Как пишется бесконечность не предел

1 ответ:

Читайте также

«Бесконечность не предел» — Эту фразу однажды сказал наш лектор по математическому анализу на физтехе. Он имел ввиду, что безграмотно говорить «Предел равен бесконечности», нужно говорить «предел функции стремится к бесконечности», так как предел – по определению может быть только конечным числом. Мне хорошо запомнилась эта фраза, так как в мультике «история игрушек», в моем переводе, тоже самое говорил персонаж «баз светик», выставляя руку вперед и взлетая. Сейчас эта фраза имеет для меня новый, третий смысл.

Сегодня, перед зданием, в котором я работаю, я увидел небольшой вихрь осенней листвы. И этот вихрь, напомнил мне о теме, только размышления о которой доставляют мне удовольствие. Я постараюсь этой темой поделиться. Речь пойдет о бесконечности мира. Мне очень хочется забежать вперед, или сразу начать кричать. Но говорить я буду о таких вещах, которые нельзя рассказать или доказать, такие вещи можно только почувствовать и попытаться передать это интуитивное знание. При должном восприятии с обратной стороны, если сильно повезет, твой собеседник тоже почувствует, о чем ты говоришь. Поэтому говорить я постараюсь медленно и аккуратно.  

Представьте себе величину вселенной. Вот вы сейчас сидите за компьютером, на самом деле вы находитесь на огромном шаре, который мчится сквозь пустое пространство с огромной скоростью. Представьте себе это, всю эту массу, всю эту толщу под вами. В детстве я любил ложиться ночью посреди поля и представлять, что земля летит именно в том направлении, в котором я смотрю, представлять, как она меня раздавит, если врежется во что-нибудь такое же большое. Я был маленькой букашкой на огромном шаре. А ведь земля мала как крупинка, по сравнению с размерами солнечной системы. Представьте высохшее море, встав посреди которого не увидишь ничего кроме ровного горизонта, и лежащую на его дне косточку винограда. Примерно так соотносятся наша земля и солнечная система. А ведь от солнечной системы можно улететь. Можно улететь так далеко, чтобы она превратилась в точку. Насколько это далеко? У вас большой дом? Представьте себе, что вы обходите вокруг вашего дома, а насколько больше нужно сделать шагов в сторону, чтобы ваш дом стал для вас точкой? А ведь вселенная там не кончается, она только-только началась. И, что самое главное, находясь на таком расстоянии, я могу сделать шаг. Один маленький шаг, и я буду уже на другом расстоянии. Это самое важное, о чем я хотел сказать.  

На самом деле я вас потерял, уже. К черту аккуратность, я и сам себя потеряли еще когда описывал море с косточкой винограда. А вас, наверное, еще раньше. Суть в том, что человеческий мозг не в силах представить себе бесконечность, осознать её. Это как пытаться поднять 20 тонный грузовик. Вам, собственно, неважно 20 тонн весит грузовик или 21. Вы будете одинаково тужится и, одинаково. не сдвинете его с места. А вес, в это время, разный.

Вернемся к упомянутому мною вихрю листвы. Он крутился, и в каждое мельчайший отрезок времени листва составляла собою уникальный узор, и крутись этот вихрь сотню лет – ни один из узоров не повторился бы. А ведь это всего лишь 40-60 листков из миллионов уникальных листьев, которые опадают в каждом, из тысячи городов,  в каждый из сотен миллионов лет. Бесконечность различных рисунков листвы, и в каждом рисунке, можно заменить любой листок на один из бесконечности разных других. Бесконечность? Да,  бесконечность бесконечностей, но не предел! Потому, что то этот вихрь расположен в конкретном месте, а я могу расположить его в любой точке планеты. И я получаю новую меру, по которой могу мерить количество своих вихрей, и в этой мере, у меня опять бесконечное кол-во вариантов. И я так же могу добавлять и добавлять. Я добавлю различное освещение рисунка в вихре, я добавлю различные точки обзора рисунка. Предела никогда не будет. Предел это миф, это фикция.     

Как мне кажется, многие люди, думая о бесконечности мире представляют себе луч, выходящий из точки и уходящий в бесконечность.  И саму бесконечность мира они представляют, как некоторую, очень далекую точку на этом луче.   А теперь представьте, что из этой точки выходит не много, не миллион или миллиард, а бесконечное количество лучей. И точка не одна где-то далеко, а на каждом луче бесконечное кол-во точек, а теперь еще добавим, расположение точки, из которой исходят лучи — оно тоже может быть разным.

Человек не в силах понять, осознать бесконечность. Это легко доказать мысленным экспериментом. Сколько человека стоя прямо, ногами на полу, не прикасаясь друг-к-другу, уместятся в вашей ванной? В моей 3-4 человека. А сколько уместятся в комнате, в которой вы сейчас находитесь? Ну я возьмусь оценить за пол часа хождений по моей комнате взад-вперед. Оценка будет точной процентов на 10-15. А сколько человек уместятся на красной площади? А в какой-нибудь пустыне? Я даже с ошибкой в 2-3 порядка не возьмусь назвать. Конечно, сейчас можно включить математику и посчитать, даже очень хорошо посчитать, но ведь фокус не в этом. Это большая разница между тем, что бы осознать и сосчитать. Если я считаю – то при небольшом усложнении правил игры, например, каждый человек прикасаться плечом к другому человеку, моя математическая модель рушится. Если бы я осознавал, то при усложнении правил, я бы дал ответ сразу, как сразу говорю, что не могу стоя прямо дотянутся рукой до пола.

Математика учат нас работать с бесконечностью. Мы умеем вычитать одну бесконечность из другой, умеем перемножать бесконечности. Но умение работать с ними закрывает нам глаза на то, что они действительно такое. Любая бесконечность у математиков это лежащая восьмерка. Если х стремится к бесконечности, то x+1 тоже стремится к бесконечности, и x+2 ,и 2x и 3х. Они все разные, но все являются лежащими восьмерками, и человек понимает их себе одинаково, когда на самом деле они различны.

Я сказал уже очень много, половину я говорить не хотел. Но мне кажется, что я все равно ничего не успел сказать. И крайне мало сказал по делу. Это так прекрасно осознавать, что мир бесконечен. Выбери любую меру, и в ней мир будет бесконечен, и самих мер – бесконечность и способов проводить измерения каждой мерой – тоже бесконечность. Как не измеряй мир – он везде бесконечный, в каждую сторону, каждой своей частью. Подумать только, например, о однообразных будних вечерах, ведь каждый из них имел что-то особенное. Двух идентичных вечеров не найдешь. В каждый вечер были какие-то свои мысли, какой-то свой эмоциональный окрас отношений с близкими, немножко другие предметы вокруг и немножко другая череда событий. А сколько в мире домов. И сколько различных «возможных» вечеров существует. Об этом просто приятно думать.

Бесконечность — обозначение для свойства различных сущностей, у которых «нет конца» (в другом понимании — нет границы), и которые, таким образом, не сводятся к конечной величине. В современной культуре распространено обозначение бесконечности в виде математического символа ∞ (повернутой восьмерки, напоминающей лемнискату Бернулли, у которой нет начала и конца).

В математике издревле используется концепция бесконечных множеств (у которых число элементов не выражается никаким конечным натуральным числом). Начиная с работ Георга Кантора, опубликованных в XIX веке, стали различать разные математические бесконечности: например, натуральные числа образуют «счетное множество» (элементы которого можно перенумеровать), а вещественные числа перенумеровать натуральными числами нельзя, и они образуют «несчетное множество». Тем не менее, все эти бесконечные множества — лишь математическая абстракция, в реальной Вселенной нет бесконечных множеств.

Реальность[править]

Еще древние стали различать бесконечность актуальную и потенциальную. Потенциальная бесконечность означает лишь возможность неограниченного увеличения чего бы то ни было, а актуальная бесконечность — реально «бесконечное количество» (например, все натуральные числа).

Древнегреческий философ Аристотель выделял такие бесконечные сущности, как время (не имеет начала и конца), делимость величин (числа бесконечно делимы), природа (имеет бесконечное число форм), отрицание понятия границы, мышление (выдает бесконечное множество идей).

С глубокой древности философам было ясно, что актуальной бесконечности в наблюдаемом мире (Вселенной) не существует, а это лишь (математическая или философская) абстракция. На излёте Средних веков понимание конечности Вселенной укрепилось благодаря «фотометрическому парадоксу» (если бы звёзд было бесконечное количество, то всё ночное небо было бы залито светом). Современная физика уверена в конечности атомов во Вселенной, просто их число настолько большое, что кажется бесконечным. Конечен также возраст Вселенной и максимальная достижимая скорость (скорость света).

Существует подход в математике, не признающий актуальную бесконечность и в математике («конструктивная математика»), но он не является научным мейнстримом.

Парадоксы[править]

Опять же с древности стало ясно, что бесконечность порождает разнообразные парадоксы. С бесконечностью (бесконечной делимостью) имеют дело знаменитые апории Зенона («Ахиллес и черепаха» — что бегущий Ахиллес якобы никогда не догонит медленно ползущую черепаху, так как для этого потребуется бесконечное число шагов, поскольку пока Ахиллес пробежит некоторое расстояние, черепаха немного отползет и т. д.; «Дихотомия» — что чтобы пройти какой-то путь надо пройти сначала его половину, потом половину от оставшегося и т. д., то есть якобы снова сделать бесконечное число шагов, что невозможно; и «Стрела» — когда стрела летит, то весь ее путь — череда состояний покоя, и «значит» нет никакого движения). Все эти парадоксы были разрешены, и перестали казаться парадоксами с построением математического анализа, в рамках которого стали оперировать с пределами, мгновенной скоростью (производной) и бесконечно малыми величинами.

Современные парадоксы, связанные с бесконечностью, в основном имеют логически-математический характер. Например, «множество всех множеств» не существует, так как обладает противоречивыми свойствами.

«Парадокс лжеца»: истинно или ложно высказывание «сейчас я вру» (оперирует с бесконечной цепочкой утверждений). Аналогично «парадокс брадобрея»:

.

Эти парадоксы привели к перестройке математической логики.

Популярность получил знаменитый «отель Гильберта», показывающий, что (актуальная) бесконечность обладает (на первый взгляд) противоречивыми свойствами:

Меметичное[править]

Давно подмечено, что с бесконечностью тесно связана рекурсия, являющаяся источником многообразных мемов.

Например, народное (?) (было в советском мультфильме):

Занятно, что так как бесконечное число шагов не отобразимо, а отобразить его часто бывает нужно, то для решения этой проблемы используется такой костыль, как многоточие <…> (как вариант — конструкция «и т. д.»). Многоточием для этой цели не брезгуют и математики.

• 

  Настоящая бесконечность

• 

  Бесконечность — не предел

• 

• 

  Скорость света

• 

Интересные факты[править]

• Как утверждает англоязычный научно-популярный ютуб-канал о математике Numberphile, если подтвердится теория, что Вселенная бесконечна, то при путешествии по ней (если сумеете дожить, путешествуя медленнее скорости света) вы будете натыкаться на копии самих себя, тех же людей, планет и мест. Всё дело в том, что, по мнению современной физики, возможное количество комбинаций квантовых частиц — 10¹⁰⁷⁰, что меньше, чем тот же гуголплекс (10¹⁰¹⁰⁰). Поэтому, если допустить, что пусть даже если Вселенная не бесконечна, а имеет в диаметре гуголплекс метров (даже не световых лет) — при путешествии по ней рано или поздно начнёте натыкаться на копии тех же самых планет, мест и личностей. Просто потому, что на таком огромном пространстве исчерпались уникальные квантовые комбинации и мирозданию приходится повторяться.
• Также для любого объёма (включая наблюдаемую Вселенную) существует время возврата Пуанкаре, по истечению которого комбинация частиц будет полностью восстановлена в результате случайной флуктуации. Время это чрезвычайно велико, и для наблюдаемой Вселенной составляет 10^1010102.08 лет (что многократно превышает время тепловой смерти Вселенной). Однако время это конечно, и «гарантирует» нам, что даже тепловой смерти Вселенной можно не бояться — нынешний момент будет повторён бесконечное количество раз, и любая историческая последовательность будет повторяться бесконечное количество раз во всех возможных комбинациях. Естественно, этот вывод — лишь следствие некритически применяемой математической модели, и в реальности никакого повтора не будет.

Всё это – часть точного мира чисел
Числа и цифры	+1 • 1.0 • 2.0 • π • 3,5 • 3,62 • 8/64 • 13 • 14/88 • 16 • 19 • 20 • 25 • 28 • 34 • 38 • 40 • 42 • 51 • 57 • 63 • 77 • 80 • 101 • 121 • 128 • 220 • 228 • 265 • 282 • 314 • 322 • 359 • 404 • 410 • 502 • 640 • 646 • 666 • 1111 • 1138 • 1200+ε • 1337 • 1500 • 1812 • 2000 • 2300 • 3310 • 3605 • 3730 • 9000 • 9600 • 12309 • 40 000 • 100500 • 260602 • 13 000 000 • 1 000 000 000 (Сталинский • Золотой) • 1 208 925 819 614 629 174 706 176 • G64 • ∞
Проценты	90% женщин • 95% населения • Инфа 100% • 146%
Время	3 секунды • 5 секунд • Полшестого • 7:40 • 10:10 • 1917 год • 1980-е (1984 год) • 1990-е • 2000-е (2000 год) • 2010-е (2012 год)
Прочее	1 Guy 1 Jar • 2 Girls 1 Cup • ⑨ • Sweet home • 2 в 1 • 3 Guys 1 Hammer • 58 видов геев • Автомобильные номера • Гет • ДЕЕ1991ГР • Деление на ноль • Закон Парето • Код • Матан • Матановая капча • Натуральные числа • Простые числа • Вещественные числа • Рулетка • Сотни нефти • Теорема Ферма • Теория относительности • Чуть более, чем наполовину • Семь чудес света • Квадратура круга • Три обезьяны • Monkey dust

Произведение распространяется по лицензии GFDL, основной автор — Аллист

Федор Носков
«Квант» №8, 2019

Эта статья представляет собой попытку дать первичное описание порядковых чисел (ординалов). Похожий предмет в «Кванте» уже обсуждался в статье А. Кириллова, И. Клумовой и А. Сосинского «Сюрреальные числа» (№ 11 за 1979 г.), однако тогда ординалы были упомянуты вскользь, отмечалась лишь их связь с бесконечными последовательностями. Примерно этой связью руководствовались и мы, и Кантор, когда их, собственно, открыл.

Среди комиксов известного в интернете автора под псевдонимом Дюран стоит отметить «Бесконечную шутку». Этот комикс великолепный; в частности, в нем главный герой рассказывает бесконечному числу математиков анекдот про, собственно, рассказчика анекдота. Это порождает некую цикличность, но суть не в этом. Суть в анекдоте про бесконечное число математиков, заходящих в бар. Вот он:

Заходит бесконечное число математиков в бар. Первый говорит бармену: «Мне кружку пива». Второй говорит: «Мне полкружки». Третий: «Мне четверть». И так далее. «Ну вас к черту», — восклицает бармен и наливает две кружки.

Пусть бармен обслужил бесконечное число математиков за 2 секунды. А именно, нулевой математик (а в дискретной математике принято отсчитывать от нуля) обслуживается за 1 секунду, первый — за полсекунды, второй — за четверть и так далее, n-й обслуживается за ( frac{1}{2^n} ) секунды. Итак, все математики будут обслужены за 2 секунды. После этого в бар заходит еще один математик.

Каждому из предыдущих математиков мы могли присвоить номер. Нет вопросов в том, какого математика считать вторым, какого — нулевым, а какого — стотысячным. Но вот каким числом занумеровать этого нового математика, который зашел в бар? Присвоим ему номер ω, и количество математиков перед ним также будем обозначать ω. Да, это бесконечное число, но ничего страшного в этом нет. Следующего за ним математика назовем (ω + 1)-м, следующего за этим — (ω + 2)-м и так далее. Пусть и эти математики пройдут бар за 2 секунды так же, как это сделали первые ω математиков. Сколько же всего математиков прошло бар? Ответ прост: ω + ω = ω · 2. А пусть зайдут еще ω математиков! Теперь сколько их? ω · 3.

Хорошо, сделаем анекдот еще смешнее: теперь ω математиков заходят в бар за 1 секунду, потом еще ω математиков заходят в бар за полсекунды, потом еще ω математиков заходят в бар за четверть секунды и так далее. Сколько математиков окажется внутри бара за 2 секунды? Очевидно, ω · ω = ω².

Кажется, мы научились и складывать математиков, и умножать. Как же мы это делаем? Вот хотим сложить α математиков и β математиков. Что это значит? Все просто: в бар зашли сначала α математиков, потом β математиков, и их стало α + β. Однако не все так просто. Рассмотрим следующую ситуацию: в бар сначала зашли два математика, а потом ω математиков. Но возможно ли отличить этот случай от того, когда в бар заходят ω математиков? Внимательно смотрим на рисунок 1 и понимаем, что нет (более точное обоснование требует введения понятия изоморфизма). Значит, 2 + ω = ω. А вот если в бар зайдет ω математиков, а за ними 2 математика, то ситуация будет совсем другой. Итак, 2 + ω не равно ω + 2 . Тем самым, в общем случае α + β не равно β + α, как мы привыкли.

Более интересным является введение умножения. Чтобы умножить 2 на 3, надо вместо каждого из трех математиков подставить двух и получить шесть математиков. Обобщим этот принцип на наш случай.

Скажем, мы хотим умножить ω на 2. Рассмотрим ситуацию: стояли два математика. А мы вместо каждого поставили ω математиков, и вышло ω · 2 математиков (рис. 2). В другом случае мы хотим умножить ω на ω: стояли ω математиков, мы вместо каждого математика поставили ω математиков. Таким образом, если мы хотим умножить α на β, мы просто вместо каждого математика из β математиков подставляем α математиков.

Есть ли тут что-нибудь интересное? Оказывается, да: что будет, если мы 2 умножим на ω? Подставим вместо каждого математика из ω математиков двух математиков (рис. 3). Снова получим ω математиков. Получается, ω · 2 не равно 2 · ω, т.е. α · β не равно β · α в общем случае.

В качестве упражнения хочется предложить читателям доказать на математиках для произвольных α, β, γ такое соотношение: α · (β + γ) = α · β + α · γ, т.е. возможность раскрытия скобок слева. Еще интереснее обосновать некорректность раскрытия скобок справа, т.е. найти примеры, когда (β + γ) · α ≠ β · α + γ · α. (Подсказка. Рассмотрите выражение (ω + 1) · 2.)

Итак, было ω математиков, мы вместо каждого из ω математиков подставили ω математиков, получили ω² математиков. После вместо каждого из ω² математиков подставили ω математиков, получили ω³ математиков. Хорошо, я смогу получить хоть ω¹⁰⁰. Как же определить ω^ω математиков?

Представим сотворение нового, идеального мира. Жил на земле только один математик. Однажды на облаках в поднебесье собираются ω богов на совет. Говорит бог номер 0: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало ω математиков. Бог номер 1 говорит: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И появилось на земле ω² математиков. Бог номер 2 сказал: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало математиков на земле ω³. И каждый следующий бог говорил: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И стало на земле ω^ω математиков. И поняли боги, что это хорошо.

Что же сделали боги? Они ω раз умножили ω на само себя (чуть более детальное обоснование происходящего дано ниже мелким шрифтом). И получили ω^ω математиков.

Теперь представим новую ситуацию. Жил на земле только один математик. В поднебесье собрался пантеон из ω^ω богов. И сказал нулевой бог: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» А первый бог сказал: «Да будет на земле вместо каждого математика ω математиков!» И второй бог это сказал, и бог номер ω + 1 это сказал, и бог номер ω² + ω · 2 + 4 это сказал, так все боги, кроме нулевого, это сказали. И появилось на земле ( ω^{ω^ω} ) математиков. И поняли боги, что это хорошо.

Итак, как нам получить α в степени β математиков? Надо, чтобы на небесах сидели β богов, на земле жил только один математик и каждый бог сказал: «Да будет на земле вместо каждого математика α математиков!» Что делают боги? Они β раз умножают α на само себя. Делают то же, что обычно делаем в таких случаях мы, когда 2 возводим в куб.

Сейчас мы подходим к финалу истории. Вот ее окончание:

В поднебесье сидели ω богов. И нулевой бог сказал: «Да будет на земле ω математиков!» И первый бог сказал: «Да будет на земле ω математиков в такой степени, в какой их уже на земле есть!» И второй бог это сказал, и третий бог это сказал, и все следующие боги это сказали. И стало на земле ε₀ математиков. И поняли боги, что это хорошо.

Но позавидовал дьявол тому, что делали боги. Пришел в поднебесье и сказал: «Да будет на земле ω математиков в такой степени, в какой их уже есть на земле!» Но математиков осталось все равно ε₀. Так дьявол был посрамлен.

Что же произошло в этой истории? После слов нулевого бога на земле ω математиков, после слов первого ( ω^ω ) математиков, после слов второго ( ω^{ω^ω} ), после слов третьего ( ω^{ω^{ω^ω}} ) и так далее. «Число», которое получилось в результате, называется ε₀. Оно обладает одним замечательным свойством: ( ω^{ε_0} = ε_0 ).

Все эти бесконечные числа называются ординалами. В действительности они обозначают специальный вид порядка на различных множествах, о чем мы здесь распространяться не будем. Подробнее об этом можно прочитать в книге Н. К. Верещагина и А. Шеня «Начала теории множеств» (М.: МЦНМО, 1999).

Если вы смотрели «Историю игрушек», то наверняка помните Базза Лайтера – одну из самых любимых игрушек мальчика Энди. Этот персонаж получился настолько ярким и интересным, что о нем сделали отдельный компьютерно-анимационный фильм! А к выходу фильма издательство «Эксмо» приготовило своим читателям сюрприз – целых две книги о приключениях капитана Базза Лайтера в космосе!

Возвращаясь на Землю после выполнения пятилетней космической миссии, экспедиция застревает на далекой и неизведанной планете Т-Кани Один. Ее не назовешь дружелюбной и гостеприимной: и хищные лианы, и гигантские жуки атакуют без перерыва. Но самое ужасное то, что произошла авария, и был полностью уничтожен кристалл гиперскорости. А без него экспедиция не сможет добраться до Земли!

Что ж, приходится команде тут задержаться, добыть нужные ресурсы и построить корабль, способный развить гиперскорость, ну а заодно и синтезировать новый топливный кристалл. Сложно? Конечно. Но для космических рейнджеров не бывает невыполнимых задач!

Однако во время выполнения экспериментальных полетов все время что-то идет не так. Снова и снова достичь гиперскорости не получается. К тому же, для Базза полет проходит четыре минуты, а для команды, оставшейся на планете Т-Кани Один, – четыре года. Ничего себе побочный эффект!

Каждый раз, возвращаясь на планету, Базз обнаруживает, что его друзья становятся старше, в то время как он остается прежним… И вот уже вместо лучшей подруги Алиши Хоторн Базза встречает ее внучка Иззи, которая мечтает тоже стать космическим рейнджером. Сколько же лет прошло? И сколько еще предстоит Баззу летать, прежде чем миссия станет успешной?

Такова завязка этой увлекательной мульт-истории. Ну а что же было дальше? Удалось ли создать рабочий топливный кристалл? Доставит ли Базз свою команду домой, на Землю? Кто такой Зург, чье появление на планете Т-Кани Один добавляет немало опасностей и переживаний всем героям? И какую роль в этой истории играет Сокс, очаровательный робот-котик?

Все это вы узнаете, прочитав книги и посмотрев мультфильм! Книга «Базз Лайтер» – это подробный пересказ фильма, а «Базз Лайтер. Бесконечность не предел!» – пересказ всей истории от лица Иззи Хоторн, с подробностями, которых не встретишь в фильме! Запасайтесь попкорном и готовьтесь к незабываемым приключениям, космическим полетам и путешествиям во времени! Бесконечность не предел! А значит, скучать уж точно не придется!
Текст и фото: Катя Медведева

(0)(0)