Как пишется деление в столбик

Однозначные натуральные числа легко делить в уме. Но как делить многозначные числа? Если в числе уже более двух разрядов, устный счет может занять много времени, да и вероятность ошибки при операциях с многоразрядными числами возростает.

Деление столбиком — удобный метод, часто применяемый для операции деления многозначных натуральных чисел. Именно этому методу и посвящена данная статья. Ниже мы рассмотрим, как выполнять деление столбиком. Сначала рассмотрим агоритм деления в столбик многозначного числа на однозначное, а затем — многозначного на многозначное. Помимо теории в статье приведены практические примеры деления в столбик.

Запись чисел при делении столбиком

Удобнее всего вести записи на бумаге в клетку, так как при расчетах разлиновка не даст вам запутаться в разрядах. Сначала делимое и делитель записываются слева направо в одну строчку, а затем разделяются специальным знаком деления в столбик, который имеет вид:

Пусть нам нужно разделить 6105 на 55, запишем:

Промежуточные вычисление будем записывать под делимым, а результат запишется под делителем. В общем случае схема деления столбиком выглядит так:

                                                                       

Следует помнить, что для вычислений понадобится свободное место на странице. Причем, чем больше разница в разрядах делимого и делителя, тем больше будет вычислений. 

Например, для деления чисел 614 808 и 51 234 понадобится меньше места, чем для деления числа 8 058 на 4. Несмотря на то, что во втором случае числа меньше, разница в числе их разрядов больше, и вычисления будут более громоздкими. Проиллюстрируем это:

                                                     

Деление столбиком на однозначное число

Практические навыки удобнее всего отрабатывать на простых примерах. Поэтому, разделим числа 8 и 2 в столбик. Конечно, данную операцию легко произвести в уме или по таблице умножения, однако провести подробный разбор будет полезно для наглядности, хоть мы и так знаем, что 8÷2=4.

Итак, сначала запишем делимое и делитель согласно методу деления в столбик.

Следующим шагом нужно выяснить, сколько делителей содержит делимое. Как это сделать? Последовательно умножаем делитель на 0, 1, 2, 3.. Делаем это до тех пор, пока в результате не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в результате сразу получается число, равное делимому, то под делителем записываем то число, на которое умножали делитель.

Иначе, когда получается число, большее чем делимое, под делителем записываем число, вычисленное на предпоследнем шаге.На место неполного частного записываем то число, на которое умножался делитель на предпоследнем шаге.

Вернемся к примеру.

2·0=0; 2·1=2; 2·2=4; 2·3=6; 2·4=8

Итак, мы сразу получили число, равное делимому. Записываем его под делимым, а число 4, на которое мы умножали делитель, записываем на место частного. 

Теперь осталось вычесть числа под делителем (также по методу столбика). В нашем случае 8-8=0.

Данный пример — деление чисел без остатка. Число, получащееся после вычитания — это остаток деления. Если оно равно нулю, значит числа разделились без остатка.

Теперь рассмотрим пример, когда числа делятся с остатком. Разделим натуральное число 7 на натуральное число 3.

В данном случае, последовательно умножая тройку на 0, 1, 2, 3.. получаем в результате:

3·0=0<7; 3·1=3<7; 3·2=6<7; 3·3=9>7

Под делимым записываем число , полученное на предпоследнем шаге. По делителем записываем число 2 — неполное частное, полученное на предпоследнем шаге. Именно на двойку мы умножали делитель, когда получили 6. 

В завершение операции вычитаем 6 из 7 и получаем:

Данный пример — деление чисел с остатком. Неполное частное равно 2 , а остаток равен 1.

Теперь, после рассмотрения элементарых примеров, перейдем к делению многозначных натуральных чисел на однозначные.

Алгоритм деления столбиком будем рассматривать на примере деления многозначного числа 140288 на число 4. Сразу скажем, что понять суть метода гораздо легче на практических примерах, и данный пример выбран не случайно, так как иллюстрирует все возможные нюансы деления натуральных чисел столбиком. 

Алгоритм деления столбиком

1. Запишем числа вместе с символом деления столбиком. Теперь смотрим на первую слева цифру в записи делимого. Возможны два случая: число, определяемое этой цифрой, больше, чем делитель, и наоборот. В первом случае мы работаем с этим числом, во втором — дополнительно берем следующую цифру в записи делимого и работаем с соответствующим двузначным числом. Согласно с этим пунктом, выделим в записе примера число, с которым будем работать первоначально. Это число — 14, так как первая цифра делимого 1 меньше, чем делитель 4.

2. Определяем, сколько раз числитель содержится полученном числе. Обозначим это число как x=14 . Последовательно умножаем делитель 4 на каждый член ряда натуральных чисел ℕ, включая нуль : 0, 1, 2, 3 и так далее. Делаем это, пока не получим в результате x или число, большее чем x. Когда в результате умножения получается число 14, записываем его под выделенным числом по правилам записи вычитания в столбик. Множитель, на который умножался делитель, записываем под делителем. Если в результате умножения получается число, большее чем x, то под выделенным числом записываем число, полученное на предпоследнем шаге, а на место неполного частного (под делителем) пишем множитель, на который на предпоследнем шаге проводилось умножение.

В соответствии с алгоритмом имеем:

4·0=0<14; 4·1=4<14; 4·2=8<14; 4·3=12<14; 4·4=16>14.

Под выделенным числом записываем число 12, полученное на предпоследнем шаге. На место частного записываем множитель 3.

3. Столбиком вычитаем  из 14 12 , результат записываем под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем. 

4. Число 2 меньше числа 4, поэтому записываем под горизонтальной чертой после двойки цифру,расположенную в следующем разряде делимого. Если же в делимом более нет цифр, то на этом операция деления заканчивается. В нашем примере после полученного в предыдущем пункте числа 2 записываем следующую цифру делимого — 0. В итоге отмечаем новое рабочее число — 20.

Пункты 2-4 повторяются циклически до окончания операции деления натуральных чисел столбиком.

2. Снова посчитаем, сколько делителей содержится в числе 20. Умножая 4 на 0, 1, 2, 3..  получаем:

4·5=20

Так как мы получили в результе число, равное 20 , записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, в следубщем разряде, записываем 5 — множитель, на который проводилось умножение. 

3. Проводим вычитание столбиком. Так как числа равны, получаем в результате число ноль: 20-20=0.

4. Мы не будем записывать число ноль, так как данный этап — еще не окончание деления. Просто запомним место, куда мы могли его записать и запишем рядом число из следующего разряда делимого. В нашем случае — число 2.

Принимаем это число за рабочее и снова выполняем пункты  алгоритма.

2. Умножаем делитель на 0, 1, 2, 3.. и сравниваем результат с отмеченным числом.

4·0=0<2; 4·1=4>2

Соответственно, под отмеченным числом записываем число 0, и под делителем в следующий разряд частного также записываем 0.

3. Выполняем операцию вычитания  и под чертой записываем результат.

4. Справа под чертой добавляем цифру 8, так как это следующая цифра делимого числа.

Таким образом, получаем новое работчее число — 28. Снова повторяем пункты алгоритма.

Проделав все по правилам, получаем результат:

Переносим под черту вниз последнюю цифру делимого — 8. В последний раз повторяем пункты алгоритма 2-4 и получаем:

В самой нижней строчке записываем число 0. Это число записывается только на последнем этапе деления, когда операция завершена.

Таким образом, результатом деления числа 140228 на 4 является число 35072. Данный пример разобран очень подробно, и при решении практических заданий расписывать все действия столь досканально не нужно.

Приведем другие примеры деления чисел в столбик и примеры записи решений.

При решении практических примеров в иделе вообще не использовать пояснения в виде словесных комментариев.

Деление многозначных натуральных чисел столбиком

Алгоритм деления многозначных чисел в столбик очень похож на рассмотренный ранее алгорим деления многозначного числа на однозначное. Если быть точнее, изменения касаются только первого пункта, а пункты 2-4  остаются неизменными. 
Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то теперь будем смотреть на столько цифр, сколько есть в делителе.Когда число, определяемое этими цифрами, больше делителя, принимам его за рабочее число. Иначе — добавляем еще одну цифру из следующего разряда делимого. Затем следуем пунктам  описанного выше алгоритма.

Рассмотрим применение алгоритма деления многозначных чисел на примере.

В завершение данной темы приведем еще один пример деления многозначных чисел в столбик, уже без пояснений.

В столбик можно выполнять как деление натуральных чисел без остатка, так и деление натуральных чисел с остатком.

Правила записи чисел при делении столбиком

Сначала делимое и делитель записываются в одну строку слева направо, после чего следует символ вида:

Например, если делимое равно 7439, а делитель 43, то  правильная запись в столбце будет следующей:

Рассмотрим следующую схему, которая иллюстрирует, где записывать делимое, делитель, частное, остаток и промежуточные вычисления при делении по столбцу:

Рассмотрим общую схему, которая иллюстрирует, где записывать делимое, делитель, частное, остаток и промежуточные вычисления при делении по столбцу:

Из схемы выше видно, что частное будет написано под делителем, т.е. ниже горизонтальной линии, а промежуточные расчеты пишутся под делимым.

Деление столбиком на однозначное число

Практические навыки лучше всего отрабатываются на простых примерах. Поэтому делим числа 9 и 3 в столбик. Конечно, эту операцию легко проделать в уме или по таблице умножения, однако подробный разбор для наглядности будет полезен, хотя мы уже знаем, что 9 ÷ 3= 3. Итак, сначала запишем делимое и делитель по методу деления в столбик:

Далее определяем число делителей, имеющихся в делимом. Как определить? Поэтапно умножать делитель на 0, 1, 2, 3…, до тех пор, пока в итоге не получится число, равное или большее, чем делимое. Если в итоге сразу окажется число, равное делимому, под делителем запишем число, на которое делитель умножался.

Иными словами, когда получается число, большее делимого, под делителем записываем число, высчитанное на предпоследнем этапе. Вместо неполного частного записываем число, на которое делитель умножался на предпоследнем этапе.

[3 times 0=0 ; 3 times 1=3 ; 3 times 2=6 ; 3 times 3=9]

Итак, мы  имеем число, равное делимому. Запишем его под делимыми, а вместо частного стоит число 3, на которое мы умножили делитель:

Теперь осталось вычесть числа под делителем (тоже методом столбца). В нашем случае 9 — 9 = 0.

Этот пример деления числа без остатка. Число после вычитания имеетс остаток от деления. Если он равен нулю, числа полностью делятся. Теперь рассмотрим пример деления числа с остатком.

Разделим натуральное число 7 на натуральное число 5.

При этом 5 последовательно умножается на 0, 1, 2, 3. ..получаем в результате:

[5 times 0=0<9 ; 5 times 1=5<9 ; 5 times 2=10>9]

Под делимым запишем число, полученное на предпоследнем этапе. Под делителем пишем число 1 — неполное частное, полученное на предпоследнем этапе. Именно на 1 мы помножили делитель, когда получили 5.

В завершение операции вычитаем 5 из 7  и получаем:

Это пример деления числа с остатком. Неполное частное равно 1, а остаток равен 2. Теперь, после изучения простейших примеров, поделим многозначные натуральные числа на однозначные значения.

Изучим механизм деления столбиком на примере деления числа 140288 на число 4.

Понять суть принципа намного легче на практических примерах, и этот пример был избран неслучайно, так как описывает все вероятные аспекты деления натуральных чисел столбиком.

Алгоритм деления столбиком

Рассмотрим подробне алгоритм деления натуральных чисел в столбик. Для этого запишем числа совместно со знаком деления столбиком. Далее смотрим на первую цифру слева в записи делимого. Вероятны два случая: число, вычисляемое этой цифрой, больше делителя и наоборот. В первом моменте работаем с этим числом, во втором добавочно берем последующую цифру в записи делимого и работаем с подобающим двузначным числом. В соответствии с этим пунктом выберем в примере число, с которым будем работать первоначально. Это число 14, так как первая цифра делимого 1 меньше делителя 4.

Определите, сколько раз числитель входит в полученное число. Обозначим это число как x = 14  Последовательно умножаем делитель 4  на каждый элемент ряда натуральных чисел N, включая ноль: 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3 и так далее. Мы делаем это до тех пор, пока результат не будет х или число больше, чем х. Когда результат умножения равен 14, мы записываем его под выбранным числом в соответствии с правилами вычитания столбца. Под делителем пишут множитель, на который умножался делитель. Если результатом умножения является число больше х, то под выбранным числом вписываем число, полученное на предпоследнем шаге, а вместо неполного частного (под делителем) вписываем множитель, на который производилось умножение на предпоследний шаг.

В соответствии с алгоритмом имеем:

[4 times 0=0<14;\4 times 1=4<14;\4 times 2=8<14;\4 times 3=12<14;\14 times 4=16>14.]

Под отмеченным числом пишем полученное на предпоследнем шаге число 12. Вместо частного пишем множитель 3.

Вычтите 12 из 14 и запишите результат под горизонтальной чертой. По аналогии с первым пунктом сравниваем полученное число с делителем.

Число 2 меньше числа 4, поэтому запишем под горизонтальной чертой после двойки число, находящееся в следующем числе делимого. Если в делимом больше нет цифр, то деление окончено. В нашем примере после числа 2, полученного в предыдущем пункте, пишем следующую цифру делимого — 0. Соответственно, помечаем новое рабочее число — 20.

Важно

Пункты 2 − 4 циклически повторяются до окончания деления натуральных чисел.

Снова вычисляем, сколько содержится  делителей в числе 20. Умножая 4  на 0, 1, 2, 3. . получаем: [4 times 5=20]. Так как в результате мы получили число равное 20 , пишем под отмеченным числом, а вместо частного в следующем бите пишем 5 — множитель, на который производилось умножение.

Проведем вычитание:  20 − 20 = 0

Цифру ноль писать не будем, потому что этот шаг не является концом деления. Давайте просто запомним место, где мы могли его написать и рядом напишем число из следующего разряда делимого — в нашем случае это число 2.

Умножьте делитель на 0, 1, 2, 3.. и сравните результат с отмеченным числом:

[4 times 0=0<2;\4 times 1=4>2]

Следовательно, под отмеченным числом пишем число 0, а под делителем в следующем разряде частного тоже пишем 0.

Выполняем операцию вычитания  и записываем результат под чертой.

Справа, под чертой, прибавьте число 8, так как это следующая цифра делимого числа.

Следовательно, получаем новое рабочее число – 28, и снова повторяем пункты алгоритма.

Вычислив все по правилам, получаем результат:

Переносим последнюю цифру делимого 8 под черту. В последний раз повторяем шаги алгоритма 2 − 4 и получаем:

В нижней строке пишем число 0. Это число пишется только в последней фазе деления, когда операция завершена.

Рассмотрев алгоритм деления можно выделить общее правило деления натуральных чисел в столбиком:

1. Делим тысячи;
2. Делим сотни:
3. Делим десятки;
4. Делим единицы.

---

Рассмотрим другие примеры:

Пример №1

Выполним деление 7485 на 3:

Следовательно, 7485 : 3 = 2495

Проверка:

2495*3=7485

---

Пример № 2:

Разделим 318624 на 6:

Проверка: [54104 times 6=318624]

Деление на многозначные натуральные числа столбиком

Алгоритм деления на многозначные числа столбиком весьма схож с ранее изученным механизмом деления многозначного числа на единичное число. Точнее, преобразования касаются только первого абзаца, а пункты 2-4 остаются без изменений. Если при делении на однозначное число мы смотрели только на первую цифру делимого, то сейчас будем смотреть на столько цифр, сколько их в делителе.Когда число, вычисляемое этими цифрами, больше делителя, мы берём это как рабочую цифру, иначе прибавляем лишнюю цифру из следующей цифры делимого. Далее следуем пунктам,  изложенным в прошлом алгоритме. Изучим применение алгоритма многозначного деления на примере.

---

Пример №3

Разделим 5562  на 206.

В делителе три числа, поэтому в делимом сразу выбираем 556. Умножьте 206 на 0, 1, 2, 3.. и получаем:

[206 times 0=0<556;\206 times 1=206<556\206 times 2=412<556; text { деление}\206 times 3=618>556]

Следовательно, под делителем записываем результат предпоследнего действия, а под делимым — множитель 2.

Продолжаем вычисления:

В результате получаем число 144. Справа от результата под чертой пишем число из соответствующей цифры делимого и получаем новое рабочее число – 1442.

Повторяем пункты 2 − 4. Получаем:

[begin{gathered}
206 times 5=1030<1442; \
206 times 6=1236<1442; \
206 times 7=1442,1442=1442
end{gathered}]

Под выделенным  числом записываем 1442, а в следующий разряд частного записываем цифру 7- множитель.

Выполним вычитание в столбик, и поймем, что операция деления окончена: в делителе больше нет цифр, чтобы писать их справа от результата вычитания.

Ответ: 27

---

Пример № 4

Разделим 36261 на 153

Проверка: [237 times 153=36261].

Ответ: 237

---

Пример № 5

Разделим 25725000 на 70

Проверка: [367500 times 70=25725000].

Ответ: 367500

Примеры деления на многозначное число с остатком

Пример №6:

Разделим 14507 на 186

Проверка: [186 times 77=14507].

---

Пример №7:

Разделим 300428 на 505

Проверка: [505 times 594=300428].

Деление десятичной дроби на натуральное число

Деление десятичной дроби в столбик производится по правилам  деления натуральных чисел.

Рассмотрим детальней на примере: [1505,86 div 43=35,02].

Пример №8:

Разделим 5612,8 на 350,8

Проверка: [350,8 times 16=5612,8]

Чтобы упростить деление чисел, традиционно используется метод деления в столбик. Не все дети понимают принцип с первого раза, а многие взрослые уже успели его забыть. Давайте разберемся, как без лишних слов объяснить ребенку деление «уголком», чтобы он научился решать примеры с двузначными, трехзначными и даже четырехзначными числами.

Как правильно делить в столбик?

Удобнее рассмотреть сам процесс на несложной иллюстрации (№1).

Как найти частное двух чисел – 35 и 5?

1. Пишем числа, участвующие в делении, так:
   
   Делимое в данном случае – 35, делитель – 5. Под делителем пишется частное.
2. Находим неполное частное. Посмотрим на первую цифру слева. В нашем случае это 3, и оно меньше 5 – значит, добавляем следующую цифру слева и будем работать с этой величиной (у нас 35).
3. Определяем, какое количество пятерок (5) поместится в 35. Вспоминаем таблицу умножения и заключаем, что в 35 поместиться 7 пятерок. Значит, в графе частное записываем 7.
   
4. Проверяем правильность действий путем умножения: 7 X 5=35. Все верно, решение выполнено точно.

Что нужно знать ребенку для понимания деления столбиком?

Чтобы любимое чадо освоило, как делить уголком (в столбик), нужно два условия:

• отличное знание таблицы умножения;
• умение быстро считать в уме.

В конце 3 класса ученики усваивают, как разделить простые двузначные числа.

При переходе в 4 класс дети учатся делить многозначные числа (больше, чем 100). Также происходит обучение делению уголком чисел с двузначным и трехзначным делителем, решение примеров с остатком.

Методика обучения детей делению столбиком

Если школьник пропустил занятия по математике либо не смог усвоить знания на уроке, то родители должны сами донести до него нужную информацию. Спешка в таком деле неуместна – быстро не значит хорошо. Следует проявить терпение. Деление чисел – простое дело для взрослого, а для школьника задача весьма сложная.

Проверьте знание таблицы умножения. Если ребенок не умножает «автоматически», позвольте подсматривать в табличку.

Первый пример можно взять простейший, с делением без остатка на однозначное число (как в иллюстрации №1).

Когда малыш понял принцип и успешно справился с несложным заданием, пора научить его делению трехзначных чисел. Выполним пример №2.

Работа с многозначными числами

Задание 2: разделим 372 на 6. Для этого на листке бумаги производим следующие действия:

1. Определяем делимое (372) и делитель (6), оформляем запись в уголок:
   
2. Неполное частное в нашем варианте, конечно, 37 (т. к. в 3 не поместится 6 ни разу, берем следующую цифру).
3. Считаем, много ли шестерок уместится в 37. Если 36:6, то получим 6. Получившееся 6 пишем в графе «частное», а 36 пишем под делителем.
4. Вычитаем из 37-36=1. Пишем единичку слева внизу под чертой:
   
5. В единичке не поместится ни одной шестерки, значит, берем оставшуюся цифру из делимого (2). Получилось 12. Нужно определить, сколько в 12 поместится 6 (12 больше 6 ровно в два раза). Получаем 2. Записываем в частное получившуюся величину:
   

Пример решен, можно проверить правильность путем умножения: 62X6=372.

Как объяснить деление с остатком?

Иногда разделить на равные доли невозможно. Легче всего объяснить такую ситуацию школьнику на несложной задаче. Например:

В группе 8 учеников, на обед им выдали 18 ватрушек на подносе. Когда каждый получит по 2 ватрушки (18:8=2 и ост. 2), на подносе останутся лишние 2 штуки. Это и есть остаток.

Решение столбиком с остатком, по математическому правилу, записывается точно так же, как и без него. Разница лишь в том, что в конце остаток будет. В этом варианте правильно прописать количество целых единиц и количество единиц в остатке (пример: 4 целых и 9 в остатке).

Обучение школьника должно проходить поэтапно, от простых примеров к более сложным.  Если нет понимания простых действий в делении, значит, нужно повторить информацию еще раз. Постепенно решение примеров начнет происходить быстрее и увереннее. Главное – поверить в силы маленького человека, быть терпеливым, и тогда делить числа методом столбца станет интересным занятием для школьника.