Как пишется дифференциальное уравнение свободных колебаний

Для изучения
любого физического явления необходима
модель. Моделью для изучения механических
колебаний является гармонический
осциллятор.

Гармоническим
осциллятором называется система,
совершающая колебания, которые могут
быть описаны дифференциальным уравнением
свободных гармонических колебаний,
имеющим вид:

. (19.5)

Выражение (19.5)
является линейным
однородным дифференциальным уравнением
второго порядка.
Согласно общей теории линейных
дифференциальных уравнений, решением
уравнения (19.5) является выражение (19.1).

Колебания
гармонического осциллятора являются
важным примером периодического движения.
Примерами гармонического осциллятора
являются пружинный,
математический и физический маятники.

Пружинный
маятник — Пружинный
маятник
тело, подвешенное на пружине жесткостью
k
.Модель
пружинного маятника показана на рис.19.1.
Положение тела, при котором пружина не
деформирована, является положением
устойчивого равновесия.
При отклонении тела от положения
равновесия в результате деформации
возникает сила упругости, которая
согласно закону Гука равна
.

Свободные колебания
совершаются за счет первоначально
сообщенной энергии при последующем
отсутствии внешних воздействий на
колебательную систему.

Рис. 19.1

В случае пружинного
маятника уравнение движения согласно
второму закону Ньютона можно записать
.
Делим наm,
получим:

. (19.6)

Учтем, что
,
получим уравнение (19.5)

Период колебаний
пружинного маятника определяется как

. (19.7)

Потенциальная
энергия пружинного маятника определяется
как:

. (19.8)

Математический
маятник. Математическим
маятником
называют подвешенный на тонкой
нерастяжимой нити груз, размеры которого
меньше длины нити, а масса больше массы
нити.

Положение, в котором
нить вертикальна – положение устойчивого
равновесия. В положении устойчивого
равновесия сила тяжести
уравновешена силой натяжения нити,
как показано на рис.19.2. При отклонении
нити на уголα
то
равнодействующая
сил тяжести и силы натяжения нити будет
направлена к положению устойчивого
равновесия.

. (19.9)

Если тело отпустить,
то будем наблюдать свободные колебания.
Во время колебаний можно считать, что
меняется только координата х.
Запишем проекцию равнодействующей силы
на ось х

. (19.10)

При малых значениях

(
~4^о)
пренебрегаем движением вдоль оси y

(19.11)

Рис.19.2.

Из уравнения
(19.10), учитывая (19.11) определим проекцию
равнодействующей силы на ось х,
которая согласно второму закону Ньютона
равна

,

учтем, что
,
получим

Уравнение
гармонических колебаний математического
маятника можно записать в дифференциальной
форме

. (19.12)

Подставим значение
.
Получим уравнение (19.5). Отсюда период
математического маятника равен

, (19.13)

где l
– длина
математического маятника.

Физический
маятник. Физический
маятник –
твердое тело, совершающее под действием
силы тяжести колебания вокруг неподвижной
оси, не проходящей через центр масс. Ось
вращения, которого, расположена выше
центра масс (рис.19.3).

При колебаниях
физического маятника, возникает вращающий
момент
,
который согласно основному уравнению
динамики вращательного движения равен:

, (19.14)

где
J
– момент инерции,

ε
– угловое ускорение,

l
– расстояние
между точкой подвеса и центром масс.
Уравнение (19.14) можно записать в виде:

или.

Принимая во внимание

или.

Можно получить
выражение периода колебаний физического
маятника:

, (19.15)

где
—приведенная
длина
физического маятника. Приведенная
длина, приравнивается длине математического
маятника с таким же периодом колебаний.

Рис.19.3.

Период колебаний
физического маятника, следовательно,
и его приведенная длина, немонотонно
зависят от расстояния от точки подвеса
до центра масс маятника.
Это легко заметить, если в соответствии
с теоремой Штейнера (4.7) момент инерциивыразить
через момент инерцииотносительно
параллельной горизонтальной оси,
проходящей через центр масс.Тогда
период колебаний будет равен

, (19.16)

где J₀
– момент
инерции центра масс.

На
практике значения низших собственных
частот систем могут быть весьма малыми.
Например, бельевая веревка, подвешенная
на двух столбах, может в случае достаточного
провисания совершать свободные колебания
с частотой 1-2Гц. Колебания такого типа
были обнаружены осенью 1959г. у проводов
линии электропередачи, пересекавшей
реку Северную, частота собственных
колебаний была весьма низкой — около
1/8Гц. Провода диаметром 43мм, протянутые
над рекой, были прикреплены к двум
большим пилонам, расстояние между
которыми превышало 1,6км. Было обнаружено,
что когда ветер дул с небольшой силой,
но в определенном направлении, возникали
столь интенсивные низкочастотные
колебания проводов, что эти провода,
минимальное расстояние между которыми
составляло 8,2м, входили в соприкосновение,
вызывавшее короткое замыкание в системе
электропередачи. (Была найдена вероятная
причина этих колебаний, и в дальнейшем
их удалось предотвращать путем покрытия
тросов тонкой пластиковой лентой:
благодаря этому изменялась геометрия
поверхности, обтекаемой воздушным
потоком).

Колебания
проводов над рекой не представляют
собой свободных колебаний, поскольку
в этом случае пассивная система находилась
под действием внешнего источника энергии
— ветра. Однако характерно, что при
решении этой проблемы инженерам, как
обычно, потребовалась информация
относительно значений собственных
частот системы, близких к частоте
наблюдавшихся колебаний.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Уравнение колебаний

Определение и уравнение колебаний

Колебания, происходящие по законам синуса или косинуса, называют гармоническими.

Уравнение гармонических колебаний:

   

где t-время; x-величина изменяющаяся со временем (координата, заряд, ток, ЭДС и т.п.); A- амплитуда колебаний – максимальное отклонение колеблющейся величины от среднего (нулевого) значения; — фаза колебаний; — начальная фаза; w- циклическая частота (изменение фазы в единицу времени). За период фаза меняется на .

   

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Уравнение вида:

   

дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Виды периодических колебаний можно с любой степени точности можно представить в виде суммы гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.

Колебания, которые будет совершать тело, если его вывести из состояния равновесия (не важно как) и предоставить самому себе, называют свободными (собственными) колебаниями. Если собственные колебания вызваны наличием только квазиупругой силы, то они будут гармоническими.

Колебания тела, обусловленные одновременным действием квазиупругой силы и силы трения (которая пропорциональна мгновенной скорости: ), называют затухающими колебаниями.

   

Уравнение (3) называется дифференциальным уравнением затухающих колебаний. Здесь – коэффициент затухания.

Решение дифференциального уравнения колебаний

Решением дифференциального уравнения затухающих колебаний (3) является соотношение вида:

   

Уравнение (4) называется уравнением затухающих колебаний. В уравнении (4) видно, что амплитуда затухающих колебаний зависит от времени. Константы A и определяются начальными условиями. Амплитуда колебаний убывает и они в целом выглядят так, как представлено на рис. 1

Период затухающих колебаний вычисляется по формуле (5):

   

Физический коэффициента затухания смысл состоит в том, что коэффициент затухания – величина, обратная времени релаксации. А время релаксации – это время, за которое амплитуда уменьшается в e раз. Однако коэффициент затухания не вполне характеризует затухание. Обычно затухание колебаний характеризуется декрементом затухания. Последний показывает, во сколько раз уменьшается амплитуда колебаний за время, равное периоду колебаний. То есть декремент затухания определяется так:

   

Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом, он, очевидно, равен:

   

Если колебательная система подвергается воздействию внешней периодической силы, то возникают так называемые вынужденные колебания, имеющие незатухающий характер.

Вынужденные колебания следует отличать от автоколебаний. В случае автоколебаний в системе предполагается специальный механизм, который в такт с собственными колебаниями «поставляет» в систему небольшие порции энергии.

Примеры решения задач

Дифференциальное уравнение свободных колебаний

Для изучения любого физического явления необходима модель. Моделью для изучения механических колебаний является гармонический осциллятор.

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, которые могут быть описаны дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний, имеющим вид:

. (19.5)

Выражение (19.5) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка. Согласно общей теории линейных дифференциальных уравнений, решением уравнения (19.5) является выражение (19.1).

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения. Примерами гармонического осциллятора являются пружинный, математический и физический маятники.

Пружинный маятник — Пружинный маятник тело, подвешенное на пружине жесткостью k.Модель пружинного маятника показана на рис.19.1. Положение тела, при котором пружина не деформирована, является положением устойчивого равновесия. При отклонении тела от положения равновесия в результате деформации возникает сила упругости, которая согласно закону Гука равна .

Свободные колебания совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Рис. 19.1

В случае пружинного маятника уравнение движения согласно второму закону Ньютона можно записать . Делим на m, получим:

. (19.6)

Учтем, что , получим уравнение (19.5)

Период колебаний пружинного маятника определяется как

. (19.7)

Потенциальная энергия пружинного маятника определяется как:

. (19.8)

Математический маятник. Математическим маятником называют подвешенный на тонкой нерастяжимой нити груз, размеры которого меньше длины нити, а масса больше массы нити.

Положение, в котором нить вертикальна – положение устойчивого равновесия. В положении устойчивого равновесия сила тяжести уравновешена силой натяжения нити , как показано на рис.19.2. При отклонении нити на угол α торавнодействующая сил тяжести и силы натяжения нити будет направлена к положению устойчивого равновесия.

. (19.9)

Если тело отпустить, то будем наблюдать свободные колебания. Во время колебаний можно считать, что меняется только координата х. Запишем проекцию равнодействующей силы на ось х

. (19.10)

При малых значениях a (a

4 о ) пренебрегаем движением вдоль оси y

(19.11)

Рис.19.2.

Из уравнения (19.10), учитывая (19.11) определим проекцию равнодействующей силы на ось х, которая согласно второму закону Ньютона равна

,

учтем, что , получим

Уравнение гармонических колебаний математического маятника можно записать в дифференциальной форме

. (19.12)

Подставим значение . Получим уравнение (19.5). Отсюда период математического маятника равен

, (19.13)

где l – длина математического маятника.

Физический маятник. Физический маятник – твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной оси, не проходящей через центр масс. Ось вращения, которого, расположена выше центра масс (рис.19.3).

При колебаниях физического маятника, возникает вращающий момент , который согласно основному уравнению динамики вращательного движения равен:

, (19.14)

где J – момент инерции,

ε – угловое ускорение,

l – расстояние между точкой подвеса и центром масс. Уравнение (19.14) можно записать в виде: или .

Принимая во внимание или .

Можно получить выражение периода колебаний физического маятника:

, (19.15)

где — приведенная длина физического маятника. Приведенная длина, приравнивается длине математического маятника с таким же периодом колебаний.

Рис.19.3.

Период колебаний физического маятника, следовательно, и его приведенная длина, немонотонно зависят от расстояния от точки подвеса до центра масс маятника. Это легко заметить, если в соответствии с теоремой Штейнера (4.7) момент инерции выразить через момент инерции относительно параллельной горизонтальной оси, проходящей через центр масс. Тогда период колебаний будет равен

, (19.16)

где J₀ –момент инерции центра масс.

На практике значения низших собственных частот систем могут быть весьма малыми. Например, бельевая веревка, подвешенная на двух столбах, может в случае достаточного провисания совершать свободные колебания с частотой 1-2Гц. Колебания такого типа были обнаружены осенью 1959г. у проводов линии электропередачи, пересекавшей реку Северную, частота собственных колебаний была весьма низкой — около 1/8Гц. Провода диаметром 43мм, протянутые над рекой, были прикреплены к двум большим пилонам, расстояние между которыми превышало 1,6км. Было обнаружено, что когда ветер дул с небольшой силой, но в определенном направлении, возникали столь интенсивные низкочастотные колебания проводов, что эти провода, минимальное расстояние между которыми составляло 8,2м, входили в соприкосновение, вызывавшее короткое замыкание в системе электропередачи. (Была найдена вероятная причина этих колебаний, и в дальнейшем их удалось предотвращать путем покрытия тросов тонкой пластиковой лентой: благодаря этому изменялась геометрия поверхности, обтекаемой воздушным потоком).

Колебания проводов над рекой не представляют собой свободных колебаний, поскольку в этом случае пассивная система находилась под действием внешнего источника энергии — ветра. Однако характерно, что при решении этой проблемы инженерам, как обычно, потребовалась информация относительно значений собственных частот системы, близких к частоте наблюдавшихся колебаний.

18.3.Скорость и ускорение гармонических колебаний

Если материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания вдоль оси координат х около положения равновесия, принятого за начало координат тогда зависимость координаты х от времени t описывается уравнением (19.1). Скорость и ускорение a колеблющееся точки соответственно равны:

, (19.17)

и , (19.18)

т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплитуды скорости и ускоренияколебаний соответственно равны υ_max = Аw и a_max= Аw₀ 2 . Фаза скорости (19.17) отличается от фазы величины (19.1) на , а фаза ускорения (19.18) отличается от фазы величины (19.1) на . В момент времени, когда х=0скорость колеблющейся точки максимальна по величине и равна амплитуде скорости в моменты прохождения колеблющейся точки через положение равновесия. При максимальных смещениях (х =±А) скорость равна нулю. Вектор скорости всегда направлен в сторону движения.

Ускорение равно нулю при прохождении колеблющейся точки через положение равновесия и достигает максимального по величине значения, которое равно амплитуде ускорения, при максимальных смещениях колеблющейся точки. Вектор ускорения всегда направлен в сторону положения равновесия. Удаляясь от положения равновесия, колеблющаяся точка движется, замедлено, приближаясь к нему – ускоренно.

График гармонического колебания, который описывается уравнением (19.1), скорость гармонического колебания, описываемая уравнением (19.17), и ускорение (19.18) показаны на рис.19.4. Видно, что смещение, скорость и ускорение гармонически колеблющейся точки являются периодическими функциями от времени с одинаковыми периодами.

Вывод дифференциального уравнения свободного колебания

На тело, совершающее свободные колебания, действуют две силы:

1. Сила, определяемая по второму закону Ньютона:

где m – масса тела;

а – ускорение;

х – смещение;

t – время.

2. Сила упругости, выраженная по закону Гука:

где k – коэффициент упругости. Знак минус показывает, что сила упругости F_упр всегда направлена в сторону положения равновесия.

На основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех действующих сил) получаем:

.

Перенесем –kx в левую часть равенства, получим:

.

Введем замену: ,

где ω₀ – круговая (циклическая) частота колебаний (ω₀=2πν)

Получили дифференциальное уравнение второго порядка относительно смещения х.

Решением этого уравнения будет:

или (см. рис.1 и рис. 2).

,

где А – амплитуда колебания;

φ₀ – начальная фаза;

ω₀t+φ₀ – фаза колебания в момент времени t;

ω₀t= ∆φ – изменение фазы колебания за время t.

Выведем уравнения мгновенной скорости и мгновенного ускорения, если колебания совершаются по закону косинуса.

Затухающие колебания.

Все реальные гармонические колебания происходят при воздействии сил сопротивления, на преодоление которых тело затрачивает часть своей энергии, в результате амплитуда колебания уменьшается со временем, т.е. колебания носят затухающий характер.

Представим график затухающего колебания:

Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания.На тело, кроме силы силы упругости действует сила сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Согласно второму закону Ньютона можно записать:

.

Разделим на массу m, получим:

.

Введем обозначения: ,

где β – коэффициент затухания.

Получили дифференциальное уравнение затухающего колебания:

.

Решение уравнения существенно зависит от знака разности ,

где ω— круговая частота затухающих колебаний, ω₀ — круговая частота собственных колебаний системы (без затухания).

При ω>0 решение дифференциального уравнения будет следующим:

.

Амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t определяется равенством:

,

где А₀ – начальная амплитуда, указанная на графике (см. рис 3).

Период Т затухающих колебаний определяется по формуле:

.

Скорость затухания (быстрота уменьшения амплитуды) определяется величиной коэффициента затухания β: чем больше β, тем быстрее уменьшается амплитуда.

Для характеристики скорости затухания ввели понятие декремента затухания.

Декрементом затухания называется отношение двух соседних амплитуд, разделенных периодом:

На практике степень затухания характеризуется логарифмическим декрементомзатухания λ, равным:

Выведем формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с коэффициентом затухания β и периодом колебания Т.

.

Выведем размерность коэффициента затухания

.

Вынужденные колебания. Вынужденными колебанияминазываются колебания, возникающие в системе при воздействии на неё внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Пусть на систему действует сила:

где F₀ – максимальное значение,

ω — круговая частота колебаний внешней силы.

На систему действуют сила сила сопротивления и сила упругости .

С учетом всех четырех сил на основании второго закона Ньютона запишем:

.

Разделим обе части равенства на m, получим:

.

Получили дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

.

Представим график вынужденных колебаний:

В начале амплитуда колебаний возрастает, а затем становится постоянной А.

Для установившихся вынужденных колебаний:

(см. рис. 4)

Резонанс.Если ω₀ и β для системы заданы, то амплитуда А вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ω₀ и β называется резонансом.

Резонансная круговая частота определяется формулой:

а резонансная амплитуда:

.

Если отсутствует сопротивление (β=0), то амплитуда неограниченно возрастает.

Представим на графиках зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы ω при различных значениях коэффициента затухания:

По виду резонансной кривой резонанс может быть острым при β→0, тупым – при β→1. (см. рис. 5).

По механизму возбуждения резонанс классифицируется на:

— механический; акустический; электромагнитный; парамагнитный; ядерномагнитный.

Возникновение резонансных явлений в организме может быть как полезным, так и вредным. Например, на акустическом резонансе основано восприятия звука, инфразвук может вызвать разрыв тканей внутренних органов.

Автоколебания.При затухающих колебаниях энергия системы расходуется на преодоление сопротивления среды. Если восполнять эту потерю энергии, то колебания станут незатухающими. Пополнять эту потерянную системой энергию можно за счет источника энергии извне, а можно сделать так, чтобы колеблющаяся система сама бы управляла внешним воздействием.

Незатухающие колебания, возникающие в системе за счет источника энергии, не обладающего колебательными свойствами, называются автоколебаниями, а сами системы – автоколебательными.

Классическим примером автоколебаний являются часы: заведенная пружина; поднятая гиря – источник энергии; анкер – регулятор поступления энергии от источника; маятник или баланс – колебательная система.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы.

Автоколебания осуществляется по следующей схеме:

Через канал обратной связи регулятор, получив информацию о состоянии колебательной системы, осуществляет регулирующую подачи энергии от источника к системе.

К автоколебательным системам относятся сердце, легкие и т.д.

Автоколебательная система сердца может быть представлена в следующем виде:

Порядок выполнения работы:

1. Включить кимограф, записать положение равновесия.
2. Отклонив маятник в сторону, отпустить его, одновременно включив секундомер.
3. После записи последнего n-го колебания отключить секундомер.
4. После последнего колебания зарегистрировать положение равновесия и отключить кимограф.
5. Записать графики 3-го – 5-го колебательных процессов.
6. С помощью линейки для каждого графика определить величину начальной амплитуды (А₀) и последней амплитуды (А_n).
7. Подсчитать число полных колебаний на графике (n).
8. Определить период колебания T:

где t – время по секундомеру.

1. Определить величину коэффициента затухания по формуле:

.

1. Определить величину логарифмического декремента затухания: .
2. Полученные данные занести в таблицу.

п/п

А0 (см)

Аn (см)

n

t(c)

T(c)

β(c -1 )

λ

Контрольные вопросы

1. Определения и единицы измерения основных характеристик колебательного движения.
2. Гармонические колебания. Вывод дифференциального уравнения гармонического колебания и его решение.
3. Затухающие колебания. Вывод дифференциального уравнения затухающего колебания и его решение.
4. Декремент затухания, логарифмический декремент затухания. Вывод формулы, связывающей логарифмический декремент с периодом колебания и коэффициентом затухания.
5. Вынужденные колебания. Дифференциальное уравнение вынужденного колебания и его решение.
6. Резонанс и его значение в медицине.
7. Автоколебания.

Тестовые задания

1. Циклической (круговой) частотой называется число полных колебаний за:

а) 1 с; б) 1 мин; в) 1 ч; г) 2π с.

1. Укажите формулу, связывающую циклическую частоту ω с частотой ν:

а) ; в) ;

б) ; г) .

1. Укажите формулу, по которой определяется амплитуда затухающего колебания в любой момент времени t:

а) ; в) ;

б) . г) .

1. Декрементом затухания называется отношение:

а) двух соседних амплитуд;

б) двух соседних амплитуд, разделенных периодом;

в) первой и последней амплитуд;

г) двух амплитуд, разделенных полупериодом.

1. Укажите единицу измерения коэффициента затухания β:

б) безразмерная величина; г) .

6. Укажите решение дифференциального уравнения свободного гармонического колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

7. Укажите, сколько сил действует на систему, если она совершает свободные гармонические колебания:

8. Укажите дифференциальное уравнение свободного гармонического колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

9. Укажите решение дифференциального уравнения затухающего колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

10. Сколько полных колебаний тело должно совершить в одну минуту, чтобы частота его колебаний равнялась 1 Гц:

11. Укажите подстановку в уравнение смещения затухающего колебания:

:

а) ; в) ;

б) ; г) ;

12. Укажите, сколько сил действует на систему, если она совершает вынужденные колебания:

13. Укажите дифференциальное уравнение вынужденного колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

14. Укажите блок – схему, по которой осуществляются автоколебания:

15. Укажите формулу, связывающую логарифмический декремент затухания λ с периодом колебания Т и коэффициентом затухания β:

а) ; в) ;

б) ; г) .

16. Укажите дифференциальное уравнение затухающего колебания:

а) ; в) ;

б) ; г) .

17. Укажите, по какой формуле определяется период колебания Т, если за время t тело совершило n полных колебаний:

а) ; в) ;

б) ; г) .

18. Укажите единицу измерения логарифмического декремента затухания:

б) с 2 ; г) безразмерная величина.

19. Укажите, какой параметр в уравнении смещения указывает на то, что процесс носит затухающий характер:

20. Укажите, какая сила вызывает уменьшение амплитуды при затухающих колебаниях:

а) ускоряющая сила;

б) сила упругости;

в) сила сопротивления;

г) сила давления.

21. Укажите, при каком значении декремента затухания процесс затухания будет проходить наиболее медленно:

а) ; в) ;

б) ; г) .

22. Укажите, на каком из графиков показан период колебания Т:

23. Укажите график вынужденного колебания:

24. Укажите, каков физический смысл знака «-» в формуле закона Гука

а) физический смысл отсутствует;

б) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х совпадают;

в) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х противоположны;

г) показывает, что направления силы упругости F_упр и смещения х взаимно перпендикулярны.

25. Частотой колебания ν называется величина, показывающая число полных колебаний:

а) за минуту; в) за час;

б) за секунду; г) за сутки.

26. Укажите, в каких единицах измеряется циклическая частота ω:

а) в секундах; в) в минутах;

б) в Гц ; г) в часах.

27. Укажите условие резонанса при β=0:

Решение дифференциальных уравнений свободных колебаний

Простейшими из колебаний являются гармонические. Это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.

Рассмотрим пружинный маятник (Рис. 1.7.1).

Рис. 1.7.1. Пружинный маятник

В состоянии покоя сила тяжести уравновешивается упругой силой:

(1.7.1)

Если сместить шарик от положения равновесия на расстояние х, то удлинение пружины станет равным Δl₀ + х. Тогда результирующая сила примет значение:

(1.7.2)

Учитывая условие равновесия (1.7.1), получим:

(1.7.3)

Знак «минус» показывает, что смещение и сила имеют противоположные направления.

Упругая сила f обладает следующими свойствами:

1. Она пропорциональна смещению шарика из положения равновесия;
2. Она всегда направлена к положению равновесия.

Для того, чтобы сообщить системе смещение х, нужно совершить против упругой силы работу:

(1.7.4)

Эта работа идет на создание запаса потенциальной энергии системы:

(1.7.5)

Под действием упругой силы шарик будет двигаться к положению равновесия со все возрастающей скоростью . Поэтому потенциальная энергия системы будет убывать, зато возрастает кинетическая энергия (массой пружины пренебрегаем). Придя в положение равновесия, шарик будет продолжать двигаться по инерции. Это — замедленное движение и прекратится тогда, когда кинетическая энергия полностью перейдет в потенциальную. Затем такой же процесс будет протекать при движении шарика в обратном направлении. Если трение в системе отсутствует, шарик будет колебаться неограниченно долго.

Уравнение второго закона Ньютона в этом случае имеет вид:

(1.7.6)

Преобразуем уравнение так:

(1.7.7)

Вводя обозначение , получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка:

(1.7.8)

Прямой подстановкой легко убедиться, что общее решение уравнения (1.7.8) имеет вид:

(1.7.9)

где а — амплитуда и φ — начальная фаза колебания — постоянные величины. Следовательно, колебание пружинного маятника является гармоническим (Рис. 1.7.2).

Рис. 1.7.2. Гармоническое колебание

Вследствие периодичности косинуса различные состояния колебательной системы повторяются через определенный промежуток времени (период колебаний) Т, за который фаза колебания получает приращение 2π. Рассчитать период можно с помощью равенства:

(1.7.10)

(1.7.11)

Число колебаний в единицу времени называется частотой:

(1.7.12)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1 с. Такую единицу называют 1 Гц.

Из (1.7.11) следует, что:

(1.7.13)

Следовательно, ω₀ — это число колебаний, совершаемое за 2π секунд. Величину ω₀ называют круговой или циклической частотой. Используя (1.7.12) и (1.7.13), запишем:

(1.7.14)

Дифференцируя (1.7.9) по времени, получим выражение для скорости шарика:

(1.7.15)

Из (1.7.15) следует, что скорость также изменяется по гармоническому закону и опережает смещение по фазе на ½π. Дифференцируя (1.7.15), получим ускорение:

(1.7.16)

1.7.2. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из нерастяжимой невесомой нити, на которой подвешено тело, вся масса которого сосредоточена в одной точке.

Отклонение маятника от положения равновесия характеризуют углом φ, образованным нитью с вертикалью (Рис. 1.7.3).

Рис. 1.7.3. Математический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

(1.7.17)

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен ml 2 :

(1.7.18)

Это уравнение можно привести к виду:

(1.7.19)

Ограничиваясь случаем малых колебаний sinφ ≈ φ и вводя обозначение:

(1.7.20)

уравнение (1.7.19) может быть представлено так:

(1.7.21)

что совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Следовательно, его решением будет гармоническое колебание:

(1.7.22)

Из (1.7.20) следует, что циклическая частота колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения свободного падения. Используя формулу для периода колебаний (1.7.11) и (1.7.20), получим известное соотношение:

(1.7.23)

1.7.3. Физический маятник

Физическим маятником называется твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с центром инерции. В положении равновесия центр инерции маятника С находится под точкой подвеса О на одной с ней вертикали (Рис. 1.7.4).

Рис. 1.7.4. Физический маятник

При отклонении маятника от положения равновесия на угол φ возникает вращательный момент, который стремится вернуть маятник в положение равновесия:

(1.7.24)

где m — масса маятника, l — расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника.

Напишем для маятника уравнение динамики вращательного движения, учитывая, что момент его инерции равен I:

(1.7.25)

Для малых колебаний sinφ ≈ φ. Тогда, вводя обозначение:

(1.7.26)

(1.7.27)

что также совпадает по форме с уравнением колебаний пружинного маятника. Из уравнений (1.7.27) и (1.7.26) следует, что при малых отклонениях физического маятника от положения равновесия он совершает гармоническое колебание, частота которого зависит от массы маятника, момента инерции и расстояния между осью вращения и центром инерции. С помощью (1.7.26) можно вычислить период колебаний:

(1.7.28)

Сравнивая формулы (1.7.28) и (1.7.23) получим, что математический маятник с длиной:

(1.7.29)

будет иметь такой же период колебаний, что и рассмотренный физический маятник. Величину (1.7.29) называют приведенной длиной физического маятника. Следовательно, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Точка на прямой, соединяющей точку подвеса с центром инерции, лежащая на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания физического маятника. По теореме Штайнера момент инерции физического маятника равен:

(1.7.30)

где I₀ — момент инерции относительно центра инерции. Подставляя (1.7.30) в (1.7.29), получим:

(1.7.31)

Следовательно, приведенная длина всегда больше расстояния между точкой подвеса и центром инерции маятника, так что точка подвеса и центр качания лежат по разные стороны от центра инерции.

1.7.4. Энергия гармонических колебаний

При гармоническом колебании происходит периодическое взаимное превращение кинетической энергии колеблющегося тела Е_к и потенциальной энергии Е_п, обусловленной действием квазиупругой силы. Из этих энергий слагается полная энергия Е колебательной системы:

(1.7.32)

Распишем последнее выражение

(1.7.33)

Но к = mω 2 , поэтому получим выражение для полной энергии колеблющегося тела

(1.7.34)

Таким образом полная энергия гармонического колебания постоянна и пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату круговой частоты колебания.

1.7.5. Затухающие колебания .

При изучении гармонических колебаний не учитывались силы трения и сопротивления, которые существуют в реальных системах. Действие этих сил существенно изменяет характер движения, колебание становится затухающим .

Если в системе кроме квазиупругой силы действуют силы сопротивления среды (силы трения), то второй закон Ньютона можно записать так:

.	(1.7.34.а)

Для решения этого дифференциального уравнения необходимо знать, от каких параметров зависит сила трения. Обычно предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах сила трения пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно ей:

,	(1.7.34.б)

где r – коэффициент трения, характеризующий свойства среды оказывать сопротивление движению. Подставим (1.7.34б) в (1.7.34а):

,	(1.7.34.в)

где β – коэффициент затухания; ω 0 – круговая частота собственных колебаний системы.

Решение уравнения(1.7.34.в) существенно зависит от знака разности: , где ω – круговая частота затухающих колебаний. При круговая частота ω является действительной величиной и решение (1.7.34.в) будет следующим:

.

(1.7.35)

График этой функции показан на рис.1.7.5 сплошной кривой 1, а штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:

.	(1.7.35.а)

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента трения и определяется формулой

.	(1.7.35.б)

При очень малом трении период затухающего колебания близок к периоду незатухающего свободного колебания (1.7.35.б)

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэффициентом затухания : чем больше β, тем сильнее тормозящее действие среды и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практике, степень затухания часто характеризуют логарифмическим декрементом затухания , понимая под этим величину, равную натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд колебаний, разделенных интервалом времени, равным периоду колебаний:

;

Следовательно, коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания связаны достаточно простой зависимостью:

При сильном затухании из формулы (1.7.37) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже называется апериодическим . График апериодического движения в виде показан на рис. 1.7.6. Незатухающие и затухающие колебания называют собственными или свободными . Они возникают вследствие начального смещения или начальной скорости и совершаются при отсутствии внешнего воздействия за счет первоначально накопленной энергии.

1.7.6. Вынужденные колебания. Резонанс .

Вынужденными колебаниями называются такие, которые возникают в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.

Предположим, что на материальную точку кроме квазиупругой силы и силы трения действует внешняя вынуждающая сила

,

где F 0 – амплитуда; ω – круговая частота колебаний вынуждающей силы. Составим дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона):

,

,

(1.7.38)

где .

Решение дифференциального уравнения (3.19) является суммой двух колебаний: затухающих и незатухающих с амплитудой

,

(1.7.39)

Амплитуда вынужденного колебания (1.7.39) прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебания. Если ω 0 и β для системы заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной .

Само явление – достижение максимальной амплитуды для заданных ω 0 и β – называют резонансом.

Рис. 1.7.7. Резонанс

При отсутствии сопротивления амплитуда вынужденных колебаний при резонансе бесконечно большая. При этом из ω рез =ω 0 , т.е. резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 5.

Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможные возникновения резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.

Если коэффициент затухания внутренних органов человека был бы не велик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т.п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека.

1.7.7. Автоколебания

Существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.

Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями , а сами системы – автоколебательными.

Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств в самой автоколебательной системе, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.

Рис. 1.7.8. Блок-схема автоколебаний

Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами (рис.1.7.8): 1) собственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи (рис. 6) воздействует на регулятор, информирую регулятор о состоянии этой системы.

Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря – источником энергии, а анкер – регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.

Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы – генераторы автоколебательных колебаний.

1.7.8. Сложение колебаний одного направления

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления и одинаковой частоты:

x 1 =a 1 cos(ω 0 t + α 1 ), x 2 =a 2 cos(ω 0 t + α 2 ).

Гармоническое колебание можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Если этот вектор вращается с угловой скоростью ω 0 , то его проекция на выбранную ось будет изменяться по гармоническому закону. Исходя из этого, выберем некоторую ось Х и представим колебания с помощью векторов а 1 и а 2 (рис.1.7.9).

Рис.1.7.9

Вектор а является суммой векторов а 1 и а 2 . Проекция вектора а на ось Х равна сумме проекций векторов а 1 и а 2 :

Следовательно, вектор а представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью, что и векторы а 1 и а 2 . Таким образом, результирующее движение представляет собой гармоническое колебание с частотой ω 0 , амплитудой а и начальной фазой α. Используя теорему косинусов, находим значение амплитуды результирующего колебания:

(1.7.40)

Из рис.1.7.6 следует, что

.

Схемы, в которых колебания изображаются графически в виде векторов на плоскости, называются векторными диаграммами.

Из формулы 1.7.40 следует. Что если разность фаз обоих колебаний равна нулю, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемых колебаний. Если разность фаз складываемых колебаний равна , то амплитуда результирующего колебания равна . Если частоты складываемых колебаний не одинаковы, то векторы, соответствующие этим колебаниям будут вращаться с разной скоростью. В этом случае результирующий вектор пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Следовательно, в результате сложения получается не гармоническое колебание, а сложный колебательный процесс.

1.7.9. Биения

Рассмотрим сложение двух гармонических колебаний одинакового направления мало отличающихся по частоте. Пусть частота одного из них равна ω , а второго ω+∆ω, причем ∆ω 1 =a cos ωt, x 2 =a cos(ω+∆ω)t.

Сложив эти выражения и используя формулу для суммы косинусов, получаем:

(1.7.41)

(во втором множителе пренебрегаем членом по сравнению с ω). График функции (1.7.41) изображен на рис. 1.7.10.

Рис.1.7.10

Колебания (1.7.41) можно рассматривать как гармоническое колебание частотой ω, амплитуда которого изменяется по закону . Эта функция является периодической с частотой в два раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой ∆ω. Таким образом, частота пульсаций амплитуды, называемая частотой биений, равна разности частот складываемых колебаний.

1.7.10. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний (фигуры Лиссажу)

Если материальная точка совершает колебания как вдоль оси х, так и вдоль оси у, то она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории. Пусть частота колебаний одинакова и начальная фаза первого колебания равна нулю, тогда уравнения колебаний запишем в виде:

х=а cos ωt, y=b cos(ωt+α),

(1.7.42)

где α – разность фаз обоих колебаний.

Выражение (1.7.42) представляет заданное в параметрическом виде уравнение траектории, по которой движется точка, участвующая в обоих колебаниях. Если исключить из уравнений (1.7.42) параметр t, то получим уравнение траектории в обычном виде:

(1.7.43)

Уравнение (1.7.43) представляет собой уравнение эллипса, оси которого ориентированы произвольно относительно координатных осей х и у. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят от амплитуд а и b и разности фаз α. Рассмотрим некоторые частные случаи:

α=mπ (m=0, ±1, ±2, …). В этом случае эллипс вырождается в отрезок прямой

,

(1.7.44)

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям m (рис 1.7.8.а), а знак минус – нечетным значениям m (рис.1.7.8.б). Результирующее колебание является гармоническим с частотой ω, амплитудой , совершающимся вдоль прямой (1.7.44), составляющей с осью х угол (рис.1.7.11).

Рис.1.7.11.а

Рис.1.7.11. б

α=(2m+1)

(m=0, ±1, ±2, …). В этом случае уравнение имеет вид

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны амплитудам (рис. 1.7.12). Если амплитуды равны, то эллипс становится окружностью.

Рис.1.7.12

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину ∆ω, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся разностью фаз. В этом случае уравнения колебаний можно записать

x=a cos ωt, y=b cos[ωt+(∆ωt+α)]

и выражение ∆ωt+α рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону. Результирующее движение в этом случае происходит по медленно изменяющейся кривой, которая будет последовательно принимать форму, отвечающую всем значениям разности фаз от -π до+π.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу . Пусть, например, частоты складываемых колебаний относятся как 1 : 2 и разность фаз π/2. Тогда уравнения колебаний имеют вид

x=a cos ωt, y=b cos[2ωt+π/2].

За то время, пока вдоль оси х точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси у, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться. Вид кривой показан на рис. 1.7.13. Кривая при таком же соотношении частот, но разности фаз равной нулю показана на рис.1.7.14. Отношение частот складываемых колебаний обратно отношению числа точек пересечения фигур Лиссажу с прямыми, параллельными осям координат. Следовательно, по виду фигур Лиссажу можно определить соотношение частот складываемых колебаний или неизвестную частоту. Если одна из частот известна.

Рис.1.7.13

Рис.1.7.14

Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее получающиеся фигуры Лиссажу.

1.7.11. Распространение волн в упругой среде

Если в каком-либо месте упругой (твёрдой жидкой или газообразной) среды возбудить колебания её частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью υ. процесс распространения колебаний в пространстве называется волной .

Частицы среды, в которой распространяется волна, не вовлекаются волной в поступательное движение, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия.

В зависимости от направлений колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль распространения волны. В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волн. Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновения только продольных волн. В твёрдой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

На рис. 1.7.12 показано движение частиц при распространении в среде поперечной волны. Номерами 1,2 и т. д. обозначены частицы отстающие друг от друга на расстояние, равное (¼ υT), т.е. на расстояние, проходимое волной за четверть периода колебаний, совершаемых частицами. В момент, времени принятый за нулевой, волна, распространяясь вдоль оси слева направо, достигла частицы 1, вследствие чего частица начала смещаться из положения равновесия вверх, увлекая за собой следующие частицы. Спустя четверть периода частица 1 достигает крайнего верхнего положения равновесия частица 2. По пришествие ещё четверти периода первая часть будет проходить положение равновесия, двигаясь в направлении сверху вниз, вторая частица достигнет крайнего верхнего положения, а третья частица начнёт смещаться вверх из положения равновесия. В момент времени равный T, первая частица закончит полный цикл колебания и будет находиться в таком же состоянии движения, как чальный момент. Волна к моменту времени T, пройдя путь (υT), достигнет частицы 5.

На Рис. 1.7.13 показано движение частиц при распространении в среде продольной волны. Все рассуждения, касающиеся поведения частиц в поперечной волне, могут быть отнесены и к данному случаю с заменой смещений вверх и вниз смещениями вправо и влево.

Из рисунка видно, что при распространении продольной волны в среде создаются чередующиеся сгущения и разряжения частиц (места сгущения обведены на рисунке пунктиром), перемещающиеся в направлении распространения волны со скоростью υ.

Рис. 1.7.15

Рис. 1.7.16

На рис. 1.7.15 и 1.7.16 показаны колебания частиц, положения, равновесия которых лежат на оси x. В действительности колеблются не только частицы, расположенные вдоль оси x, а совокупность частиц, заключённых в некотором объёме. Распространяясь от источников колебаний, волновой процесс охватывает всё новые и новые части пространства, геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания ещё не возникли.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью . Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются не подвижными (они проходят через положения равновесия частиц, колеблющихся в одной фазе ). Волновой фронт всё время перемещается.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.

Рис. 1.7.17

Пусть плоская волна распространяется вдоль оси x . Тогда все точки сферы, положения, равновесия которых имеет одинаковую координату x (но различие значения координат y и z), колеблются в одинаковой фазе.

На Рис. 1.7.17 изображена кривая, которая даёт смещение ξ из положения равновесия точек с различными x в некоторый момент времени. Не следует воспринимать этот рисунок как зримое изображение волны. На рисунке показан график функций ξ ( x, t) для некоторого фиксированного момента времени t. Такой график можно строить как для продольной так и для поперечной волны.

Расстояние λ, на короткое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны . Очевидно, что

где υ – скорость волны, T – период колебаний. Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися с разностью фаз, равной 2π (см. рис. 1.7.14)

Заменив в соотношении(1.7.45) T через 1/ν (ν – частота колебаний), получим

К этой формуле можно придти также из следующих соображений. За одну секунду источник волн совершает ν колебаний, порождая в среде при каждом колебании один «гребень» и одну «впадину» волны. К тому моменту, когда источник будет завершать ν — е колебание, первый «гребень» успеет пройти путь υ. Следовательно, ν «гребней» и «впадин» волны должны уложиться в длине υ.

1.7.12. Уравнение плоской волны

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат x, y, z и времени t :

(имеются в виду координаты равновесного положения частицы). Эта функция должна быть периодической относительно времени t , и относительно координат x, y, z. . Периодичность по времени вытекает из того, что точки, отстоящие друг от друга на расстоянии λ , колеблются одинаковым образом.

Найдем вид функции ξ в случае плоской волны, предполагая, что колебания носят гармонический характер. Для упрощения направим оси координат так, чтобы ось x совпадала с направлением распространения волны. Тогда волновые поверхности будут перпендикулярными к оси x и, поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, смещение ξ будет зависеть только от x и t :

Рис.1.7.18

Пусть колебания точек, лежащих в плоскости x = 0 (рис. 1.7.18), имеют вид

Найдем вид колебания точек в плоскости, соответствующей произвольному значению x . Для того, чтобы пройти путь от плоскости x =0 до этой плоскости, волне требуется время ( υ – cкорость распространения волны). Следовательно, колебания частиц, лежащих в плоскости x , будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости x = 0 , т.е. будут иметь вид

Итак, уравнение плоской волны (продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси x , выглядит следующим образом:

(1.7.47)

Величина а представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза волны α определяется выбором начала отсчета x и t . При рассмотрении одной волны начало отсчета времени и координаты обычно выбирают так, чтобы α была равной нулю. При совместном рассмотрении нескольких волн сделать так, чтобы для всех них начальные фазы равнялись нулю, как правило, не удается.

Зафиксируем какое – либо значение фазы, стоящей в уравнении (1.7.47), положив

(1.7.48)

Это выражение определяет связь между временем t и тем местом x , в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx/dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы. Продифференцировав выражение (1.7.48), получим

.

(1.7.49)

Таким образом, скорость распространения волны υ уравнении (1.7.47) есть скорость перемещения фазы, в связи с чем, ее называют фазовой скоростью.

Согласно (1.7.49) dx/dt> 0, следовательно, уравнение (1.7.47) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания x .

Волна, распространяющаяся в противоположном направлении, описывается уравнением

(1.7.50)

Действительно, приравняв константе фазу волны (1.7.50) и продифференцировав получившееся равенство, придем к соотношению

,

из которого следует, что волна (1.7.50) распространяется в сторону убывания x .

Уравнению плоской волны можно придать симметричный относительно x и t вид. Для этого введем величину

,

(1.7.51)

которая называется волновым числом. Умножив числитель и знаменатель последнего выражения на частоту ν, и вспомнив, что , можно представить волновое число в виде

.

(1.7.52)

Раскрыв в уравнении волны

круглые скобки и используя волновое число, придем к следующему уравнению плоской волны, распространяющейся вдоль оси :

(1.7.53)

Уравнение волны, распространяющейся в сторону убывания x :

При выводе формулы (1.7.53) мы предполагали, что амплитуда колебаний не зависит от x . Для плоской волны это наблюдается в том случае, когда энергия волны не поглощается средой. При распространении в поглощающей энергию среде интенсивность волны с удалением от источника колебаний постепенно уменьшается – наблюдается затухание волны. Опыт показывает, что в однородной среде такое затухание происходит по экспоненциальному закону:

Соответственно уравнение плоской волны, с учетом затухания , имеет следующий вид:

(1.7.54)

(a 0 – амплитуда в точках плоскости x = 0).

© ФГОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет, 2013

В физике колебаниями считают не только повторяющиеся периодически процессы, но и другие изменения состояния, которые повторяются во времени.

Систему, совершающую колебания называют колебательной.

Колебательные процессы классифицируют в зависимости от разных признаков, например, по физической природе процесса или механизма его возникновения. Так деление колебаний происходит на:

• механические;
• электромагнитные;
• электромеханические (смешанные);
• иногда выделяют квантовые колебания.

Колебания считают периодическими, если значения всех изменяющихся физических параметров, при помощи которых описывают состояние системы, повторяются спустя равные промежутки времени.

Важным с точки зрения математического и физического описания является деление колебаний на:

• свободные и
• вынужденные.

Вынужденными считают колебания, которые возникают в результате регулярного внешнего действия на колебательную систему.

Гармонически изменяющаяся величина удовлетворяет дифференциальному уравнению вида:

$ddot{l}+omega^2 l=0(2)$,

которое называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Свободные механические гармонические колебания

Допустим, что материальная точка гармонически колеблется параллельно оси $OX$ рядом с положением равновесия (начало координат разместим в нем). В этом случае связь координаты и времени можно задать уравнением:

$x=Asin (omega t+varphi_0)(3),$

где $varphi_0$ — начальная фаза колебаний точки.

Скорость движения по оси $OX$ нашей точки получим дифференцированием функции $x(t)$ по времени:

«Свободные гармонические колебания» 👇

$v=v_x=frac{dx}{dt}=v_0cos(omega t+varphi_0)(4),$

где $v_0=Aomega$ — является амплитудой скорости.

Ускорение материальной точки в рассматриваемом нами случае определим как:

$a=a_x=frac{d^2x}{dt^2}=frac{dv}{dt}=-a_msin (omega t+varphi_0)(5),$

где амплитуда ускорения точки равна $a_m=Aomega^2$.

Из закона Ньютона, учитывая выражение для ускорения (5) мы видим, что на материальную точку массы $m$ действует сила, равная:

$F_x=ma_x=-m a_msin (omega t+varphi_0)=-m omega^2x(6).$

Уравнение (6) указывает на то, что сила, действующая на материальную точку, прямо пропорциональна ее смещению от положения равновесия и имеет направление в сторону равновесия:

$vec F=-momega^2 xvec i$,

где $vec i$ орт оси $OX$.

Зависимость вида (6) для силы, свойственна для сил упругости. Силы, обладающие другой природой (не силы упругости), но подчиняющиеся зависимости (6) именуют квазиупругими.

Кинетическая энергия свободных гармонических прямолинейных колебаний равна:

$E_k=frac{1}{2}mv^2=frac{1}{2}m omega^2 A^2cos^2 (omega t+varphi_0)= frac{1}{4}m omega^2 A^2(cos (2omega t+2varphi_0)) (7).$

При свободных гармонических колебаниях изменение кинетической энергии материальной точки происходит периодически и минимальное ее значение равно нулю, а максимальное $E_k max=frac{1}{2}m omega^2 A^2$.

Частота колебаний кинетической энергии равна $2omega$.

Потенциальную энергию колебаний материальной точки под воздействием потенциальной силы найдем как:

$U=-int_0^x F_x dx=frac{1}{2}momega^2 x^2=frac{1}{2}m omega^2 A^2sin (omega t+varphi_0)= frac{1}{4}m omega^2 A^2(cos (2omega t+2varphi_0+pi)) (8).$

Согласно полученному уравнению (8) изменение потенциальной энергии по гармоническому закону происходит с частотой $2omega$. При этом минимальная ее величина в состоянии равновесия равна нулю, максимальная составляет $frac{1}{2}m omega^2 A^2$.

Колебания потенциальной и кинетической энергий идут в противофазе, то есть сдвиг между их колебаниями составляет $pi$.

При свободных гармонических колебаниях полная механическая энергия материальной точки сохраняется:

$E=E_k+U=frac{1}{2}m omega^2 A^2=const.$

Свободные электромагнитные колебания

Свободные электрические колебания можно реализовать в идеальном колебательном контуре, который состоит из:

• конденсатора, емкость которого равна $C$;
• катушки индуктивности ($L$).

Элементы в контуре соединены последовательно. Контур будем считать идеальным, поскольку его сопротивление равно нулю. Только в таком контуре можно создать незатухающие свободные колебания.

Конденсатор заряжают, после этого замыкают на катушку. При замыкании в контуре возникают свободные колебания заряда конденсатора и силы тока в катушке. Изменяющееся электромагнитное поле распространяется в пространстве (скорость распространения равна скорости света). Обычно контур считают малым, при этом в каждый момент времени сила тока во всех его частях одинакова. Данный ток считают квазистационарным.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний заряда можно представить:

$frac{d^2 q}{dt^2}+frac{1}{LC}q=0 (9).$

Величина $frac{1}{LC}=omega^2$ — циклическая частота в квадрате.

Решением уравнения (9) является функция $q(t)$, равная:

$q(t)=q_0sin (omega t varphi_0)(10)$,

где $q_0$ — амплитуда заряда конденсатора; $varphi_0$ — начальная фаза колебаний заряда на конденсаторе.

Принимая во внимание, что связь заряда и силы тока:

$I=frac{dq}{dt}(11),$

получим закон $I(t)$ при свободных гармонических колебаниях:

$I=I_0cos (omega t+varphi_0) = I_0sin (omega t+varphi_0+frac{pi}{2}) (12),$

где $I_0=omega q_0=frac{q_0}{sqrt{LC}}$ — амплитуда силы тока.

Сравнение выражений (10) и (12) указывает на то, что ток в контуре опережает по фазе заряд на $frac{pi}{2}$.

При свободных гармонических колебаниях в нашем контуре, в рамках одного периода колебаний, происходит переход энергии электрического поля конденсатора ($E_e$) в энергию магнитного поля катушки (E_m) и назад:

$E=E_e+E_m=frac {q_0^2}{2C}=frac{LI_0^2}{2}=const (13).$

Закон сохранения в виде (13) указывает нам на то, что полная энергия электромагнитных колебаний в идеальном контуре постоянна во времени.