Как пишется коэффициент в математике

В математических описаниях часто фигурирует термин «числовой коэффициент», например, в работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными. Материал статьи ниже раскрывает понятие этого термина, в том числе, на примере решения задач на нахождение числового коэффициента.

Определение числового коэффициента. Примеры

Учебник Н.Я. Виленкина (учебный материал для учащихся 6 классов) задает такое определение числового коэффициента выражения:

Определение 1

Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения.

Числовой коэффициент зачастую называют просто коэффициентом.

Данное определение дает возможность указать примеры числовых коэффициентов выражений.

Пример 1

Рассмотрим произведение числа 5 и буквы a, которое будет иметь следующий вид: 5·a. Число 5 является числовым коэффициентом выражения согласно определению выше.

Еще пример:

Пример 2

В заданном произведении x·y·1,3·x·x·z десятичная дробь 1,3 – единственным числовой множитель, который и будет служить числовым коэффициентом выражения.

Также разберем такое выражение:

Пример 3

7·x+y. Число 7 в данном случае не служит числовым коэффициентом выражения, поскольку заданное выражение не является произведением. Но при этом число 7 – числовой коэффициент первого слагаемого в заданном выражении.

Пример 4

Пусть дано произведение 2·a·6·b·9·c.

Мы видим, что запись выражения содержит три числа, и, чтобы найти числовой коэффициент исходного выражения, его следует переписать в виде выражения с единственным числовым множителем. Собственно, это и является процессом нахождения числового коэффициента.

Отметим, что произведения одинаковых букв могут быть представлены как степени с натуральным показателем, поэтому определение числового коэффициента верно и для выражений со степенями.

К примеру:

Пример 5

Выражение 3·x3·y·z2 – по сути оптимизированная версия выражения 3·x·x·x·y·z·z, где коэффициент выражения – число 3.

Отдельно поговорим о числовых коэффициентах 1 и -1. Они очень редко записаны в явном виде, и в этом их особенность. Когда произведение состоит из нескольких букв (без явного числового множителя), и перед ним обозначен знак плюс или вовсе нет никакого знака, мы можем говорить, что числовым коэффициентом такого выражения является число 1. Когда перед произведением букв обозначен знак минус, можно утверждать, что в этом случае числовой коэффициент – число -1.

Далее определение числового коэффициента расширяется с произведения нескольких букв и числа до произведения числа и нескольких буквенных выражений.

Пример 6

К примеру, в произведении -5·x+1 число -5 будет служить числовым коэффициентом.

По аналогии, в выражении 8·1+1x·x число 8 – коэффициент выражения; а в выражении π+14·sinx+π6·cos-π3+2·x числовой коэффициент — π+14.

Нахождение числового коэффициента выражения

Выше мы говорили о том, что если выражение представляет собой произведение с единственным числовым множителем, то этот множитель и будет являться числовым коэффициентом выражения. В случае, когда выражение записано в ином виде, предстоит совершить ряд тождественных преобразований, который приведет заданное выражение к виду произведения с единственным числовым множителем.

Пример 7

Задано выражение −3·x·(−6). Необходимо определить его числовой коэффициент.

Решение

Осуществим тождественное преобразование, а именно произведем группировку множителей, являющихся числами, и перемножим их. Тогда получим: −3·x·(−6)=((−3)·(−6))·x=18·x.

В полученном выражении мы видим явный числовой коэффициент, равный 18.

Ответ: 18

Пример 8

Задано выражение a-12·2·a-6-2·a2-3·a-3. Необходимо определить его числовой коэффициент.

Решение

С целью определения числового коэффициента преобразуем в многочлен заданное целое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:

a-12·2·a-6-2·a2-3·a-3==2·a2-6·a-a+3-2·a2+6·a-3=-a

Числовым коэффициентом полученного выражения будет являться число -1.

Ответ: -1.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

В предыдущих уроках мы уже познакомились со свойствами действий с рациональными числами и раскрытием скобок. В этих темах у нас зачастую фигурируют не числа, а выражения.

В некоторых случаях у выражения можно выделить такое число, которое называют коэффициентом.

О том, что это такое, чему он равен, какой у него может быть знак и где его можно применить, мы узнаем в сегодняшнем уроке.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Мы уже знаем переместительное и сочетательное свойства умножения.

Они позволяют нам упрощать выражения, что делает работу удобнее.

Упростим выражение (mathbf{frac{1}{2}acdot(-frac{2}{3}b)}), используя эти свойства.

(mathbf{frac{1}{2}acdot(-frac{2}{3}b)=frac{1}{2}cdot acdot(-frac{2}{3})cdot b=frac{1}{2}cdot(-frac{2}{3})cdot acdot b=-frac{1}{3}cdot acdot b=-frac{1}{3}ab})

Мы представили выражения как произведение четырех множителей, сгруппировали в начало численные множители, а в конец буквенные, далее мы перемножили имеющиеся численные множители так, чтобы получилось одно число.

В данном случае коэффициентом выражения будет являться число (mathbf{-frac{1}{3}})

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Определение: если выражения является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называется числовым коэффициентом (или сокращенно коэффициентом).

Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями; также после него можно написать знак умножения, но обычно его не пишут, а он просто подразумевается.

Пример:

Каков коэффициент выражения (mathbf{0.4a})?

Проверяем, подходит ли выражение под определение: да, оно подходит, так как является произведением.

Числовой множитель только один, значит, ничего считать не надо, и мы сразу можем сказать, что коэффициент данного выражения равен (mathbf{0.4})

Пример:

Каков коэффициент выражения (mathbf{3acdot 2b cdot 4cdot c}) ?

Опять же, данное выражение является произведением, правда коэффициент пока не ясен, так как числовой множитель не один.

В данном случае, как и в примере из начала урока множители необходимо сгруппировать, в результате получим, что коэффициент равен (mathbf{3cdot 2cdot 4=24})

Что если мы хотим посчитать коэффициент выражения, которое является произведением одних лишь буквенных множителей?

Тут нам поможет следующая логика.

Например, очевидно такое равенство: (mathbf{a=1cdot a})

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Так мы можем приписать умножение на единицу к любому выражению, при этом значение выражения никак не изменится.

Таким образом мы получим необходимый для определения числовой множитель, он и будет коэффициентом.

Поэтому если мы видим выражения, состоящие из одних лишь буквенных множителей, то мы знаем, что их коэффициент равен единице.

Примеры:

(mathbf{ab=1cdot ab}) — коэффициент равен единице

(mathbf{ab+ab=1cdot ab+1cdot ab=ab(1 + 1)=abcdot 2=2ab}) — коэффициент равен 2

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Как мы уже определили в прошлой главе, коэффициент будет являться произведением числовых множителей.

Значит, знак коэффициента будет соответствовать знаку этого произведения.

Посмотрим на примерах:

Пример:

Посчитаем коэффициент выражения (mathbf{3acdot (-3)cdot b}):

(mathbf{3acdot (-3)cdot b=3cdot(-3)cdot ab=-9ab})

В данном случае коэффициент получился равным (mathbf{-9}), то есть отрицательным, так как произведение числовых множителей получилось отрицательным.

Пример:

Посчитаем коэффициент выражения (mathbf{-frac{1}{3}acdot (-frac{1}{2})bc}):

(mathbf{-frac{1}{3}acdot (-frac{1}{2})bc=-frac{1}{3}cdot(-frac{1}{2})abc=frac{1}{6}abc})

В данном случае количество отрицательных множителей четное, поэтому и коэффициент получается меньше нуля.

Если бы отрицательных множителей было число нечетное, то коэффициент получился бы отрицательным.

Правило: если выражение является произведением числовых и буквенных множителей и отрицательных числовых множителей четное количество, а остальные множители больше нуля, то коэффициент будет положительным; если же их нечетное количество, то коэффициент будет отрицательным.

Также мы знаем, что произведение любых чисел и нуля равняется нулю.

То же самое касается и буквенных множителей.

Пример:

(mathbf{frac{1}{2}abcdot 0c=0})

Поэтому такие выражения, которые являются произведением, а один из их множителей равен нулю, сами равны нулю.

Сразу можно понять, как можно использовать эти знания.

Представим, что у нас есть некоторая сумма. И если для каждого выражения, которое является слагаемым, мы посчитаем коэффициент, то, возможно, некоторые слагаемые уничтожаться, потому что их коэффициент окажется равен нулю.

Пример:

(mathbf{2a+9438xycdot frac{1}{36}ccdot 0z+3b=2a+0+3b=2a+3b})

Как видите, нам не пришлось вдаваться в подробности слагаемого, так как один из его числовых множителей равен нулю.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Вы уже знаете с прошлых уроков, что умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.

То есть для любых рациональных чисел a, b и c будет верно равенство:

(mathbf{(a + b) cdot c = ac + bc})

Мы знаем, что выражение, состоящее из рациональных чисел и включающее в себя операции сложения, вычитания, умножения и деления, также будет равняться рациональному числу.

А значит, вместо а, b и c могли стоять не просто рациональные числа, но и целые выражения — главное, чтобы одной букве соответствовало одно и только одно выражение.

Также известно, что отношение равенства симметрично, то есть из того, что ((mathbf{a=b})) следует, что ((mathbf{b=a}))

Значит, мы можем использоваться распределительное свойство и так:

(mathbf{ab+bc=(a+b)cdot c})

Часто мы будем называть такой переход вынесением общего множителя (общим является множитель с).

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Теперь применим все эти факты на практике.

Пример:

Упростим выражение (mathbf{345ab+345bc+345cd}) :

(mathbf{345ab+345bc+345cd=(345ab+345bc) + 345cd=345cdot(ab+bc)+345cd=})

(mathbf{=345cdot((ab+bc)+cd)=345cdot(ab+bc+cd)})

Первым делом мы добавили скобки для наглядности, чтобы показать, что дальше мы будет упрощать сумму первых двух слагаемых.

К ним мы применили распределительной свойство и вынесли общий множитель 345.

Заметим, что теперь выражение представляет из себя два слагаемых, и у них у обоих есть общий множитель 345.

Поэтому в следующем действие мы снова выносим общий множитель.

Теперь остается убрать ненужные скобки, и мы получаем упрощенное выражение.

Кстати, на этом примере становится понятно, что распределительно свойство работает на любом количестве слагаемых:

(mathbf{(a+b+c)d=ad+bd+cd})

(mathbf{(a+b+с+…+z)t=at+bt+ct+…+zt})

Под троеточием в данном случае подразумевается сколько угодно много слагаемых, главное, что они такого же вида, как первые и последние.

То есть первое троеточие обозначает слагаемые, состоящие из одного числа (буквы), второе же троеточие обозначает слагаемые вида «слагаемое из левой части выражения домноженное на t».

Как же в данном случае нам может помочь коэффициент?

В нашем примере мы выносили общий множитель. Им как раз и является коэффициент таких выражений, как ab, bc и cd.

В примере он уже был везде посчитан и нам ничего не приходилось умножать.

Пример:

Упростим выражение (mathbf{30a+15bcdot2c+10dcdot3e}) :

(mathbf{30a+15bcdot 2c+10dcdot 3e=30a+30bc+30de=30(a+bc+de)})

В данном случае мы сначала посчитали в каждом слагаемом коэффициент (слагаемые в данном случае являются не просто числами, а выражениями).

А далее мы поняли, что этот коэффициент является общим множителем и мы его выносим, пользуясь распределительным свойством.

Пример:

Упростим выражение (mathbf{3acdot b cdot 3c +3cdot a cdot 3c}) :

(mathbf{3acdot b cdot 3c +3cdot a cdot 3c=9abc+9ac=9cdot(abc+ac)})

Это выражение можно упростить еще сильнее, вынося общий буквенный множитель. В данном случае в скобках у слагаемых общий множитель a и с, их и вынесем:

(mathbf{9cdot(abc+ac)=9cdot(a(bc+c))=9cdot(a(bc+1c))=9cdot(a(c(b+1)))=9ac(b+1)})

Здесь мы применили тот факт, что если у выражения не стоит коэффициент, то мы считаем, что его коэффициент равен единице.

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Ранее мы уже рассматривали одну ошибку в литературном произведении Джека Лондона.

Сегодня мы посмотрим не на ошибки, а на задачки в литературе.

Один из героев Жюля Верна пытался подсчитать, насколько его голова прошла более длинный путь за время одного кругосветного путешествия, чем его ступни.

На первый взгляд задача выглядит довольно непонятной.

Но если сделать ряд допущений, как это часто делают при решении задач реального мира, то наша задача становится вполне решаемой.

Во-первых, известно, что Земля имеет не совсем форму шара, но мы предположим, что траектория героя представляла из себя именно окружность с фиксированным радиусом — радиусом Земли (обозначим буквой R).

Во-вторых, предположим, что двигался он всегда в стоячем положении, а когда он спал, то не двигался.

Это нам нужно для того, чтобы предположить, что голова всегда была на определенном расстоянии от земли.

Тогда мы можем нарисовать следующий рисунок:

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Выразим путь, который прошли ступни героя. Этот путь будет равняться длине окружности с радиусом R, то есть (mathbf{2pi R})

Пунктиром обозначен путь головы героя, он равняется длине окружности с радиусом (R+h), то есть (mathbf{2pi (R+h)})

Выразим разность второй и первой величины и получим результат:

(mathbf{2pi (R+h)-2pi R=2pi(R+h-R)=2pi h})

Видно, что результат не зависит от радиуса Земли, но зато зависит от высоты героя. Предположим, что его рост средний и равен 1.75 м.

Тогда (mathbf{2pi h = 2cdot 3.14cdot1.75=10.99}) м.

Ответ: на 10.99 м. голова героя прошла более длинный путь за время одного кругосветного путешествия, чем его ступни.

Как мы видим, для решения такой, на первый взгляд странной задачи, хватает весьма простой математики.

Terminology and definition[edit]

In mathematics, a coefficient is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression. For example, in the polynomial

${displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$

with variables and , the first two terms have the coefficients 7 and −3. The third term 1.5 is the constant coefficient. In the final term, the coefficient is 1 and is not explicitly written.

In many scenarios, coefficients are numbers (as is the case for each term of the previous example), although they could be parameters of the problem—or any expression in these parameters. In such a case, one must clearly distinguish between symbols representing variables and symbols representing parameters. Following René Descartes, the variables are often denoted by x, y, …, and the parameters by a, b, c, …, but this is not always the case. For example, if y is considered a parameter in the above expression, then the coefficient of x would be −3y, and the constant coefficient (with respect to x) would be 1.5 + y.

When one writes

${displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

it is generally assumed that x is the only variable, and that a, b and c are parameters; thus the constant coefficient is c in this case.

Any polynomial in a single variable x can be written as

${displaystyle a_{k}x^{k}+dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$

for some nonnegative integer , where $a_{k},dotsc ,a_{1},a_{0}$ are the coefficients. This includes the possibility that some terms have coefficient 0; for example, in ${displaystyle x^{3}-2x+1}$ , the coefficient of $x^{2}$ is 0, and the term ${displaystyle 0x^{2}}$ does not appear explicitly. For the largest such that $a_{i}neq 0$ (if any), $a_{i}$ is called the leading coefficient of the polynomial. For example, the leading coefficient of the polynomial

${displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$

is 4. This can be generalised to multivariate polynomials with respect to a monomial order, see Gröbner basis § Leading term, coefficient and monomial.

Linear algebra[edit]

In linear algebra, a system of linear equations is frequently represented by its coefficient matrix. For example, the system of equations

${displaystyle {begin{cases}2x+3y=0\5x-4y=0end{cases}},}$

the associated coefficient matrix is ${displaystyle {begin{pmatrix}2&3\5&-4end{pmatrix}}.}$ Coefficient matrices are used in algorithms such as Gaussian elimination and Cramer’s rule to find solutions to the system.

The leading entry (sometimes leading coefficient^{[citation needed]}) of a row in a matrix is the first nonzero entry in that row. So, for example, in the matrix

${displaystyle {begin{pmatrix}1&2&0&6\0&2&9&4\0&0&0&4\0&0&0&0end{pmatrix}},}$

the leading coefficient of the first row is 1; that of the second row is 2; that of the third row is 4, while the last row does not have a leading coefficient.

Though coefficients are frequently viewed as constants in elementary algebra, they can also be viewed as variables as the context broadens. For example, the coordinates $(x_{1},x_{2},dotsc ,x_{n})$ of a vector in a vector space with basis $lbrace e_{1},e_{2},dotsc ,e_{n}rbrace$ are the coefficients of the basis vectors in the expression

${displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+dotsb +x_{n}e_{n}.}$

References[edit]

^ Weisstein, Eric W. «Coefficient». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-15.
^ Payman Mohassel (2009). Secure and Efficient Linear Algebra Computation. University of California, Davis. p. 43. OCLC 1014123282.

Terminology and definition[edit]

In mathematics, a coefficient is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression. For example, in the polynomial

${displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$

with variables and , the first two terms have the coefficients 7 and −3. The third term 1.5 is the constant coefficient. In the final term, the coefficient is 1 and is not explicitly written.

When one writes

${displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

it is generally assumed that x is the only variable, and that a, b and c are parameters; thus the constant coefficient is c in this case.

Any polynomial in a single variable x can be written as

${displaystyle a_{k}x^{k}+dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$

${displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$

is 4. This can be generalised to multivariate polynomials with respect to a monomial order, see Gröbner basis § Leading term, coefficient and monomial.

Linear algebra[edit]

In linear algebra, a system of linear equations is frequently represented by its coefficient matrix. For example, the system of equations

${displaystyle {begin{cases}2x+3y=0\5x-4y=0end{cases}},}$

The leading entry (sometimes leading coefficient^{[citation needed]}) of a row in a matrix is the first nonzero entry in that row. So, for example, in the matrix

${displaystyle {begin{pmatrix}1&2&0&6\0&2&9&4\0&0&0&4\0&0&0&0end{pmatrix}},}$

the leading coefficient of the first row is 1; that of the second row is 2; that of the third row is 4, while the last row does not have a leading coefficient.

${displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+dotsb +x_{n}e_{n}.}$

References[edit]

^ Weisstein, Eric W. «Coefficient». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-15.
^ Payman Mohassel (2009). Secure and Efficient Linear Algebra Computation. University of California, Davis. p. 43. OCLC 1014123282.

Алгебраические выражения

Коэффициент
Виды выражений

Алгебраическое выражение — это запись, составленная со смыслом, в которой числа могут быть обозначены и буквами, и цифрами. Также она может содержать знаки арифметических действий и скобки.

Любую букву, обозначающую число, и любое число, изображённое с помощью цифр, принято считать в алгебре также алгебраическим выражением.

Алгебраические выражения, входящие в состав формул, могут применяться к решению частных арифметических задач, если в них заменить буквы данными числами и произвести указанные действия. Число, которое получится, если взять вместо букв какие-либо числа и произвести над ними указанные действия, называется численной величиной алгебраического выражения. Из этого легко сделать вывод, что одно и то же алгебраическое выражение при различных значениях входящих в него букв может иметь различные числовые величины.

Примеры:

1) Выражение

am + bn,

при a = 2, m = 5, b = 1, n = 4 вычисляется:

2 · 5 + 1 · 4 = 14,

а при a = 3, m = 4, b = 5, n = 1 вычисляется:

3 · 4 + 5 · 1 = 17 и т. д.

2) Выражение

abс,

при a = 1, b = 2, c = 3 равно:

1 · 2 · 3 = 6,

а при a = 2, b = 3, c = 4 равно:

2 · 3 · 4 = 24 и т. д.

Коэффициент

Коэффициент — это числовой множитель алгебраического выражения, представляющего собой произведение нескольких сомножителей. Коэффициент в выражении ставится перед всеми остальными буквенными множителями. Таким образом,

произведение чисел a, b, c, d, 4 записывается так: 4abcd;

произведение чисел m, n, , p записывается так: .

Числа 4 и — это коэффициенты. Очевидно, что

4abcd = abcd + abcd + abcd + abcd

и точно также

Итак, коэффициент показывает, сколько раз целое алгебраическое выражение или известная его часть берется слагаемым.

Если в алгебраическом выражении нет числового множителя, то подразумевается, что коэффициент равен единице, так как

a = 1 · a; bc = 1 · bc

и так далее.

Виды выражений

Алгебраическое выражение, в которое не входят буквенные делители, называется целым, в противном случае дробным или алгебраической дробью.

Пример.

Целые алгебраические выражения:

Дробные алгебраические выражения:

Выражения, не содержащие корней, называются рациональными, а содержащие корни — иррациональными или радикальными. Например, все выражения, приведённые выше, являющиеся целыми или дробными, так же можно назвать и рациональными.

√a , 5³√c + a√mn — иррациональные или радикальные выражения.

Источник

Определение числового коэффициента. Примеры

Нахождение числового коэффициента выражения

Читайте также

Terminology and definition[edit]

Linear algebra[edit]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

Terminology and definition[edit]

Linear algebra[edit]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

Алгебраические выражения

Коэффициент

Виды выражений