Как пишется коэффициент в задачах

В математических описаниях часто фигурирует термин «числовой коэффициент», например, в работе с буквенными выражениями и выражениями с переменными. Материал статьи ниже раскрывает понятие этого термина, в том числе, на примере решения задач на нахождение числового коэффициента.

Определение числового коэффициента. Примеры

Учебник Н.Я. Виленкина (учебный материал для учащихся 6 классов) задает такое определение числового коэффициента выражения:

Определение 1

Если буквенное выражение является произведением одной или нескольких букв и одного числа, то это число называется числовым коэффициентом выражения.

Числовой коэффициент зачастую называют просто коэффициентом.

Данное определение дает возможность указать примеры числовых коэффициентов выражений.

Пример 1

Рассмотрим произведение числа 5 и буквы a, которое будет иметь следующий вид: 5·a. Число 5 является числовым коэффициентом выражения согласно определению выше.

Еще пример:

Пример 2

В заданном произведении x·y·1,3·x·x·z десятичная дробь 1,3 – единственным числовой множитель, который и будет служить числовым коэффициентом выражения.

Также разберем такое выражение:

Пример 3

7·x+y. Число 7 в данном случае не служит числовым коэффициентом выражения, поскольку заданное выражение не является произведением. Но при этом число 7 – числовой коэффициент первого слагаемого в заданном выражении.

Пример 4

Пусть дано произведение 2·a·6·b·9·c.

Мы видим, что запись выражения содержит три числа, и, чтобы найти числовой коэффициент исходного выражения, его следует переписать в виде выражения с единственным числовым множителем. Собственно, это и является процессом нахождения числового коэффициента.

Отметим, что произведения одинаковых букв могут быть представлены как степени с натуральным показателем, поэтому определение числового коэффициента верно и для выражений со степенями.

К примеру:

Пример 5

Выражение 3·x3·y·z2 – по сути оптимизированная версия выражения 3·x·x·x·y·z·z, где коэффициент выражения – число 3.

Отдельно поговорим о числовых коэффициентах 1 и -1. Они очень редко записаны в явном виде, и в этом их особенность. Когда произведение состоит из нескольких букв (без явного числового множителя), и перед ним обозначен знак плюс или вовсе нет никакого знака, мы можем говорить, что числовым коэффициентом такого выражения является число 1. Когда перед произведением букв обозначен знак минус, можно утверждать, что в этом случае числовой коэффициент – число -1.

Далее определение числового коэффициента расширяется с произведения нескольких букв и числа до произведения числа и нескольких буквенных выражений.

Пример 6

К примеру, в произведении -5·x+1 число -5 будет служить числовым коэффициентом.

По аналогии, в выражении 8·1+1x·x число 8 – коэффициент выражения; а в выражении π+14·sinx+π6·cos-π3+2·x числовой коэффициент — π+14.

Нахождение числового коэффициента выражения

Выше мы говорили о том, что если выражение представляет собой произведение с единственным числовым множителем, то этот множитель и будет являться числовым коэффициентом выражения. В случае, когда выражение записано в ином виде, предстоит совершить ряд тождественных преобразований, который приведет заданное выражение к виду произведения с единственным числовым множителем.

Пример 7

Задано выражение −3·x·(−6). Необходимо определить его числовой коэффициент.

Решение

Осуществим тождественное преобразование, а именно произведем группировку множителей, являющихся числами, и перемножим их. Тогда получим: −3·x·(−6)=((−3)·(−6))·x=18·x.

В полученном выражении мы видим явный числовой коэффициент, равный 18.

Ответ: 18

Пример 8

Задано выражение a-12·2·a-6-2·a2-3·a-3. Необходимо определить его числовой коэффициент.

Решение

С целью определения числового коэффициента преобразуем в многочлен заданное целое выражение. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим:

a-12·2·a-6-2·a2-3·a-3==2·a2-6·a-a+3-2·a2+6·a-3=-a

Числовым коэффициентом полученного выражения будет являться число -1.

Ответ: -1.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

«Free term» redirects here. For algebraic structure, see Term algebra.

In mathematics, a coefficient is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or an expression; it is usually a number, but may be any expression (including variables such as a, b and c).^[1] When the coefficients are themselves variables, they may also be called parameters.

For example, the polynomial ${displaystyle 2x^{2}-x+3}$ has coefficients 2, −1, and 3, and the powers of the variable in the polynomial $ax^{2}+bx+c$ have coefficient parameters , , and .

The constant coefficient (also known as constant term, free coefficient^[2]) is the coefficient not attached to variables in an expression. For example, the constant coefficients of the expressions above are the number 3 and the parameter c, respectively.
The coefficient attached to the highest degree of the variable in a polynomial is referred to as the leading coefficient. For example, in the expressions above, the leading coefficients are 2 and a, respectively.

Terminology and definition[edit]

In mathematics, a coefficient is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression. For example, in the polynomial

${displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$

with variables and , the first two terms have the coefficients 7 and −3. The third term 1.5 is the constant coefficient. In the final term, the coefficient is 1 and is not explicitly written.

In many scenarios, coefficients are numbers (as is the case for each term of the previous example), although they could be parameters of the problem—or any expression in these parameters. In such a case, one must clearly distinguish between symbols representing variables and symbols representing parameters. Following René Descartes, the variables are often denoted by x, y, …, and the parameters by a, b, c, …, but this is not always the case. For example, if y is considered a parameter in the above expression, then the coefficient of x would be −3y, and the constant coefficient (with respect to x) would be 1.5 + y.

When one writes

${displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

it is generally assumed that x is the only variable, and that a, b and c are parameters; thus the constant coefficient is c in this case.

Any polynomial in a single variable x can be written as

${displaystyle a_{k}x^{k}+dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$

for some nonnegative integer , where $a_{k},dotsc ,a_{1},a_{0}$ are the coefficients. This includes the possibility that some terms have coefficient 0; for example, in ${displaystyle x^{3}-2x+1}$ , the coefficient of $x^{2}$ is 0, and the term ${displaystyle 0x^{2}}$ does not appear explicitly. For the largest such that $a_{i}neq 0$ (if any), $a_{i}$ is called the leading coefficient of the polynomial. For example, the leading coefficient of the polynomial

${displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$

is 4. This can be generalised to multivariate polynomials with respect to a monomial order, see Gröbner basis § Leading term, coefficient and monomial.

Linear algebra[edit]

In linear algebra, a system of linear equations is frequently represented by its coefficient matrix. For example, the system of equations

${displaystyle {begin{cases}2x+3y=0\5x-4y=0end{cases}},}$

the associated coefficient matrix is ${displaystyle {begin{pmatrix}2&3\5&-4end{pmatrix}}.}$ Coefficient matrices are used in algorithms such as Gaussian elimination and Cramer’s rule to find solutions to the system.

The leading entry (sometimes leading coefficient^{[citation needed]}) of a row in a matrix is the first nonzero entry in that row. So, for example, in the matrix

${displaystyle {begin{pmatrix}1&2&0&6\0&2&9&4\0&0&0&4\0&0&0&0end{pmatrix}},}$

the leading coefficient of the first row is 1; that of the second row is 2; that of the third row is 4, while the last row does not have a leading coefficient.

Though coefficients are frequently viewed as constants in elementary algebra, they can also be viewed as variables as the context broadens. For example, the coordinates $(x_{1},x_{2},dotsc ,x_{n})$ of a vector in a vector space with basis $lbrace e_{1},e_{2},dotsc ,e_{n}rbrace$ are the coefficients of the basis vectors in the expression

${displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+dotsb +x_{n}e_{n}.}$

References[edit]

^ Weisstein, Eric W. «Coefficient». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-15.
^ Payman Mohassel (2009). Secure and Efficient Linear Algebra Computation. University of California, Davis. p. 43. OCLC 1014123282.

Terminology and definition[edit]

In mathematics, a coefficient is a multiplicative factor in some term of a polynomial, a series, or any expression. For example, in the polynomial

${displaystyle 7x^{2}-3xy+1.5+y,}$

with variables and , the first two terms have the coefficients 7 and −3. The third term 1.5 is the constant coefficient. In the final term, the coefficient is 1 and is not explicitly written.

When one writes

${displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

it is generally assumed that x is the only variable, and that a, b and c are parameters; thus the constant coefficient is c in this case.

Any polynomial in a single variable x can be written as

${displaystyle a_{k}x^{k}+dotsb +a_{1}x^{1}+a_{0}}$

${displaystyle 4x^{5}+x^{3}+2x^{2}}$

is 4. This can be generalised to multivariate polynomials with respect to a monomial order, see Gröbner basis § Leading term, coefficient and monomial.

Linear algebra[edit]

In linear algebra, a system of linear equations is frequently represented by its coefficient matrix. For example, the system of equations

${displaystyle {begin{cases}2x+3y=0\5x-4y=0end{cases}},}$

The leading entry (sometimes leading coefficient^{[citation needed]}) of a row in a matrix is the first nonzero entry in that row. So, for example, in the matrix

${displaystyle {begin{pmatrix}1&2&0&6\0&2&9&4\0&0&0&4\0&0&0&0end{pmatrix}},}$

the leading coefficient of the first row is 1; that of the second row is 2; that of the third row is 4, while the last row does not have a leading coefficient.

${displaystyle v=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+dotsb +x_{n}e_{n}.}$

References[edit]

^ Weisstein, Eric W. «Coefficient». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-15.
^ Payman Mohassel (2009). Secure and Efficient Linear Algebra Computation. University of California, Davis. p. 43. OCLC 1014123282.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

ax 2 = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
ax 2 + c = 0, при b = 0;
ax 2 + bx = 0, при c = 0.

Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам.

Как решить уравнение ax 2 = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0.

Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −6x 2 = 0.

Замечаем, что данному уравнению равносильно x 2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.
По шагам решение выглядит так:

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:

перенесем c в правую часть: ax 2 = — c,
разделим обе части на a: x 2 = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + c = 0 равносильно уравнению х 2 = -c/a, которое:

не имеет корней при — c/а 0.

В двух словах

Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.

Перенесем свободный член в правую часть:

Разделим обе части на 8:

В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней.

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение:

Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня:

Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0

Это уравнение равносильно х = 0 и 0,5x + 0,125 = 0.

Решить линейное уравнение:

0,5x = 0,125,
х = 0,125/0,5

Значит корни исходного уравнения — 0 и 0,25.

Ответ: х = 0 и х = 0,25.

Как разложить квадратное уравнение

С помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так:

Формула разложения квадратного трехчлена

Если x₁ и x₂ — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x₁) (x − x₂).

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Чтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так:

где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения.

Эта запись означает:

Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться.

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Теперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни.

В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней.

Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:

вычислить его значение дискриминанта по формуле D = b 2 −4ac;
если дискриминант отрицательный, зафиксировать, что действительных корней нет;
если дискриминант равен нулю, вычислить единственный корень уравнения по формуле х = −b/2a;
если дискриминант положительный, найти два действительных корня квадратного уравнения по формуле корней

Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться!

Примеры решения квадратных уравнений

Как решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике.

Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.

Найдем дискриминант: D = 28 2 — 4(-4)(-49) = 784 — 784 = 0
Так как дискриминант равен нулю, значит это квадратное уравнение имеет единственный корень
Найдем корень

Ответ: единственный корень 3,5.

Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.

Произведем равносильные преобразования. Умножим обе части на −1

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 3 и — 3.

Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.

Преобразуем уравнение так, чтобы появились множители

Ответ: два корня 0 и 1.

Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.

Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую

Ответ: два корня 7 и −7.

Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.

Найдем дискриминант по формуле

D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112

Дискриминант отрицательный, поэтому корней нет.

Ответ: корней нет.

В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся.

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Рассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения , где D = b 2 — 4ac, помогает получить еще одну формулу, более компактную, при помощи которой можно решать квадратные уравнения с четным коэффициентом при x. Рассмотрим, как появилась эта формула.

Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней:

2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″>

Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D₁. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид:

где D₁ = n 2 — ac.

Самые внимательные уже заметили, что D = 4D₁, или D₁= D/4. Проще говоря, D₁ — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения.

Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:

вычислить D₁= n 2 — ac;
если D₁ 0, значит можно найти два действительных корня по формуле

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0.

Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение.

Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.

2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″>

Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы.

Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p>

Упрощаем вид квадратных уравнений

Если мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту.

Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0.

Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100.

Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов.

Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто.

А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения

умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0.

Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0.

Связь между корнями и коэффициентами

Мы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты:

Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами.

Например, можно применить формулы из теоремы Виета:

Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3.

Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты:

Что такое коэффициент уравнения алгебра

Этот способ решения помогает не только сэкономить время, но и развить внимание.

Дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то

Дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 . Если a — b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то

341x 2 + 290x — 51 = 0

Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.

Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию

341 — 51 = 290. Получим а + с = b. Следовательно, мы

можем воспользоваться свойством 2.

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 . Коэффициент b представлен в виде 2k, т.е. является четным числом, то формулу корней уравнения можно переписать в более простом виде

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/kak-reshat-kvadratnye-uravneniya

http://www.sites.google.com/site/kvadratnyeuravenia/information/svojstva-koefficientov-kvadratnogo-uravnenia

Источник

In math ratios, we will mainly learn about the introduction or the basic of ratio, ratio in the simplest form, comparison of ratios, conversion of fraction ratio into a whole number ratio and also dividing given quantity in the given ration.

We come across certain situations in everyday life where we need to compare the two quantities. This comparison is done by means of ratio and proportion. We will review the same and learn new ways to compare quantities.

What is a ratio?

The method of comparing two quantities of the same kind and in the same units by division is known as a ratio.

• The symbol to denote the ratio is :

• If a and b are two quantities, they can be expressed as a : b.
Here, a is called antecedent and b is called consequent.

• Ratio has no units.

• It can be expressed as a fraction. 2 : 3 can be expressed as 2/3.

• The two quantities that are compared should be of the same kind. 3 liters and 2 grams cannot be compared.

• The two quantities must have the same units. The ratio between 10 g and 15 g is 10 : 15.

• The ratio must be expressed in the simplest form. 3 : 9 can be expressed as 1 : 3.

Ratio in the Simplest Form:

If a and b are two quantities.

• The ratio a : b is said to be in the simplest form if the H.C.F. of a and b is 1.

• If the H.C.F. of ‘a’ and ‘b’ is not 1, then divide ‘a’ and ‘b’ by the H.C.F. of ‘a’ and ‘b’, the ratio will be reduced to the lowest form.

Example:

Express the ratio 16 : 20 in the simplest form.

Solution:

We write the given ratio as a fraction. i.e., 16/20

Now, divide numerator and denominator of the fraction by 4

(Highest Common Factor of 16 and 20)

(16 ÷ 4)/(20 ÷ 4)

= 4/5

Comparison of Ratios:

The process, in which the two quantities having the same units are compared by division, is called the comparison by ratio.

As the ratios can be expressed as fractions, therefore, we can compare the ratios as we compare the fractions.

Example:

Compare 3¹/₂ : 1²/₅

Solution:

3¹/₂ : 1²/₅

= 7/2 : 7/5

Convert them into equivalent ratios.

7/2 and 7/5

= (7 × 5)/(2 × 5) and (7 × 2)/(2 × 2)

= 35/10 and = 14/10

Now, we have 35/10 : 14/10

Therefore, 35/10 > 14/10

So, 3¹/₂ > 1²/₅

Conversion of Fractional ratio into a Whole number ratio:

We know that (a/b) ÷ (c/d) = a/b × d/c

Example:

Convert 1/6 : 1/8 into a whole number ratio.

Solution:

1/6 : 1/8
= 1/6 ÷ 1/8
= 1/6 × 8/1
= 8̶/6̶
= 4/3
= 4 : 3

To divide the given quantity in the given ratio:

Let the given quantity be ‘p’. It is to be divided in the ratio a : b.

• Add ‘a’ and ‘b’

• 1ˢᵗ part = a/(a + b) × p

• 2ⁿᵈ part = b/(a + b) × p

Example:

1. Divide $60 in the ratio 3 : 2.

Solution:

The two parts are 3 and 2

The sum of the parts = 3 + 2 = 5

Therefore, 1ˢᵗ part = 3/5̶ × 6̶0̶ = $36

2ⁿᵈ part = 2/5̶ × 6̶0̶ = $24.

2. Divide 94 columns among A, B and C in the ratio 1/3 : 1/4 : 1/5.

Solution:

The least common multiple of 3, 4, 5 is 60.

Therefore, 1/3 : 1/4 : 1/5

= 1/3 × 60 ∶ 1/4 × 60 ∶ 1/5 × 60

= 20 ∶ 15 ∶ 12

So, the total part = 20 + 15 + 12 = 47

Therefore, 1ˢᵗ part = 20/47 × 94 = 40

2ⁿᵈ part = 15/47 × 94 = 30

3ʳᵈ part = 12/47 × 94 = 24

Worked-out problems on ratios with the detailed explanation showing the step-by-step are discussed below to show you how do you do a ratio in different examples.

1. If a : b = 7 : 12 and b : c = 3/14 find a/c.

Solution:

a/b = 7/12 ……………. (1)

b/c = 3/14 ……………. (2)

Multiplying (1) and (2) we get;

a/b × b/c

= 7/12 × 3/14

= 1/8

Therefore, a/c = 1/8

or, a : c = 1 : 8

2. If a : b = 3 : 5 and b : c = 6 : 7, find a : b : c.

Solution:

We have,

a : b = 3 : 5

i.e., a : b = 3/5 : 1

Also, b : c = 6 : 7

i.e., b : c = 1 : 7/6

Therefore, a : b : c

= 3/5 ∶ 1 ∶ 7/6

Taking the L.C.M. of 5 and 6, we get 3

Therefore, a : b : c

= 3/5 × 30 ∶ 1 × 30 ∶ 7/6 × 30

= 18 : 30 : 35

3. A certain amount is divided into 2 parts in the ratio 2 : 3. If the first part is 210, find the total amount.

Solution:

The sum of the parts = 2 + 3 = 5

When first part is 2, then total parts are 5.

When first part is 1, then total parts are 5/2

When first part is 210, then total parts are 5/2̶ × 2̶1̶0̶ = 525

4. Divide $105 into three parts such that the first part is 4/5 of the second and the ratios between the second and third part is 5 : 6.

Solution:

Let the ratio of the three parts be a : b : c

a = ⁴/₅b

Therefore, a/b = 4/5

i.e., a : b = 4/5 : 1

Again, b/c = 5/6

Therefore, b/c = 1/(6/5)

i.e., b : c = 1 : 6/5

Therefore, a : b : c = 4/5 : 1 : 6/5

The L.C.M of the denomination is 5

Therefore, a : b : c
= ⁴/₅ × 5 : 1 × 5 : ⁶/₅ × 5
= 4 : 5 : 6

Now, total number of parts = 4 + 5 + 6 = 15

Therefore, first part = 4/15 × 105 = 28

Therefore, second part = 5/15 × 105 = 35

Therefore, third part = 6/15 × 105 = 42

5. Two numbers are in the ratio 1 : 4. Their difference is 30. Find the numbers.

Solution:

Let the common ratio be x. So, the smaller number is 1x.

And the greater number is 4x.

Their difference is 30.

i.e., 4x — x = 30

3x = 30

x = 30/3

x = 10

Therefore, 1x = 1 × 10 = 10

4x = 4 × 10 = 40

Therefore, the two numbers are 10 and 40.

6. The ratio of number of boys and girls in a class is 9 : S. If the number of boys is 27, find the number of girls.

Solution:

(No. of boys)/(No. of girls) = 9/5

Then, 27/(No. of girls) = 9/5

Therefore, No. of girls = (27 × 5)/9

The number of girls in the class is 15.

● Ratios and Proportions

What is a Ratio?

What is a Proportion?

● Ratios and Proportions — Worksheets

Worksheet on Ratios

Worksheet on Proportions

Didn’t find what you were looking for? Or want to know more information
about Math Only Math.
Use this Google Search to find what you need.

Источник

What is a ratio?

The method of comparing two quantities of the same kind and in the same units by division is known as a ratio.

• The symbol to denote the ratio is :

• If a and b are two quantities, they can be expressed as a : b.
Here, a is called antecedent and b is called consequent.

• Ratio has no units.

• It can be expressed as a fraction. 2 : 3 can be expressed as 2/3.

• The two quantities that are compared should be of the same kind. 3 liters and 2 grams cannot be compared.

• The two quantities must have the same units. The ratio between 10 g and 15 g is 10 : 15.

• The ratio must be expressed in the simplest form. 3 : 9 can be expressed as 1 : 3.

Ratio in the Simplest Form:

If a and b are two quantities.

• The ratio a : b is said to be in the simplest form if the H.C.F. of a and b is 1.

• If the H.C.F. of ‘a’ and ‘b’ is not 1, then divide ‘a’ and ‘b’ by the H.C.F. of ‘a’ and ‘b’, the ratio will be reduced to the lowest form.

Example:

Express the ratio 16 : 20 in the simplest form.

Solution:

We write the given ratio as a fraction. i.e., 16/20

Now, divide numerator and denominator of the fraction by 4

(Highest Common Factor of 16 and 20)

(16 ÷ 4)/(20 ÷ 4)

= 4/5

Comparison of Ratios:

The process, in which the two quantities having the same units are compared by division, is called the comparison by ratio.

As the ratios can be expressed as fractions, therefore, we can compare the ratios as we compare the fractions.

Example:

Compare 3¹/₂ : 1²/₅

Solution:

3¹/₂ : 1²/₅

= 7/2 : 7/5

Convert them into equivalent ratios.

7/2 and 7/5

= (7 × 5)/(2 × 5) and (7 × 2)/(2 × 2)

= 35/10 and = 14/10

Now, we have 35/10 : 14/10

Therefore, 35/10 > 14/10

So, 3¹/₂ > 1²/₅

Conversion of Fractional ratio into a Whole number ratio:

We know that (a/b) ÷ (c/d) = a/b × d/c

Example:

Convert 1/6 : 1/8 into a whole number ratio.

Solution:

1/6 : 1/8
= 1/6 ÷ 1/8
= 1/6 × 8/1
= 8̶/6̶
= 4/3
= 4 : 3

To divide the given quantity in the given ratio:

Let the given quantity be ‘p’. It is to be divided in the ratio a : b.

• Add ‘a’ and ‘b’

• 1ˢᵗ part = a/(a + b) × p

• 2ⁿᵈ part = b/(a + b) × p

Example:

1. Divide $60 in the ratio 3 : 2.

Solution:

The two parts are 3 and 2

The sum of the parts = 3 + 2 = 5

Therefore, 1ˢᵗ part = 3/5̶ × 6̶0̶ = $36

2ⁿᵈ part = 2/5̶ × 6̶0̶ = $24.

2. Divide 94 columns among A, B and C in the ratio 1/3 : 1/4 : 1/5.

Solution:

The least common multiple of 3, 4, 5 is 60.

Therefore, 1/3 : 1/4 : 1/5

= 1/3 × 60 ∶ 1/4 × 60 ∶ 1/5 × 60

= 20 ∶ 15 ∶ 12

So, the total part = 20 + 15 + 12 = 47

Therefore, 1ˢᵗ part = 20/47 × 94 = 40

2ⁿᵈ part = 15/47 × 94 = 30

3ʳᵈ part = 12/47 × 94 = 24

Worked-out problems on ratios with the detailed explanation showing the step-by-step are discussed below to show you how do you do a ratio in different examples.

1. If a : b = 7 : 12 and b : c = 3/14 find a/c.

Solution:

a/b = 7/12 ……………. (1)

b/c = 3/14 ……………. (2)

Multiplying (1) and (2) we get;

a/b × b/c

= 7/12 × 3/14

= 1/8

Therefore, a/c = 1/8

or, a : c = 1 : 8

2. If a : b = 3 : 5 and b : c = 6 : 7, find a : b : c.

Solution:

We have,

a : b = 3 : 5

i.e., a : b = 3/5 : 1

Also, b : c = 6 : 7

i.e., b : c = 1 : 7/6

Therefore, a : b : c

= 3/5 ∶ 1 ∶ 7/6

Taking the L.C.M. of 5 and 6, we get 3

Therefore, a : b : c

= 3/5 × 30 ∶ 1 × 30 ∶ 7/6 × 30

= 18 : 30 : 35

3. A certain amount is divided into 2 parts in the ratio 2 : 3. If the first part is 210, find the total amount.

Solution:

The sum of the parts = 2 + 3 = 5

When first part is 2, then total parts are 5.

When first part is 1, then total parts are 5/2

When first part is 210, then total parts are 5/2̶ × 2̶1̶0̶ = 525

4. Divide $105 into three parts such that the first part is 4/5 of the second and the ratios between the second and third part is 5 : 6.

Solution:

Let the ratio of the three parts be a : b : c

a = ⁴/₅b

Therefore, a/b = 4/5

i.e., a : b = 4/5 : 1

Again, b/c = 5/6

Therefore, b/c = 1/(6/5)

i.e., b : c = 1 : 6/5

Therefore, a : b : c = 4/5 : 1 : 6/5

The L.C.M of the denomination is 5

Therefore, a : b : c
= ⁴/₅ × 5 : 1 × 5 : ⁶/₅ × 5
= 4 : 5 : 6

Now, total number of parts = 4 + 5 + 6 = 15

Therefore, first part = 4/15 × 105 = 28

Therefore, second part = 5/15 × 105 = 35

Therefore, third part = 6/15 × 105 = 42

5. Two numbers are in the ratio 1 : 4. Their difference is 30. Find the numbers.

Solution:

Let the common ratio be x. So, the smaller number is 1x.

And the greater number is 4x.

Their difference is 30.

i.e., 4x — x = 30

3x = 30

x = 30/3

x = 10

Therefore, 1x = 1 × 10 = 10

4x = 4 × 10 = 40

Therefore, the two numbers are 10 and 40.

6. The ratio of number of boys and girls in a class is 9 : S. If the number of boys is 27, find the number of girls.

Solution:

(No. of boys)/(No. of girls) = 9/5

Then, 27/(No. of girls) = 9/5

Therefore, No. of girls = (27 × 5)/9

The number of girls in the class is 15.

● Ratios and Proportions

What is a Ratio?

What is a Proportion?

● Ratios and Proportions — Worksheets

Worksheet on Ratios

Worksheet on Proportions

Didn’t find what you were looking for? Or want to know more information
about Math Only Math.
Use this Google Search to find what you need.

Источник

Определение числового коэффициента. Примеры

Нахождение числового коэффициента выражения

Terminology and definition[edit]

Linear algebra[edit]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

Terminology and definition[edit]

Linear algebra[edit]

See also[edit]

References[edit]

Further reading[edit]

Решение неполных квадратных уравнений

Как решить уравнение ax 2 = 0

Как решить уравнение ax 2 + с = 0

Как решить уравнение ax 2 + bx = 0

Как разложить квадратное уравнение

Дискриминант: формула корней квадратного уравнения

Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней

Примеры решения квадратных уравнений

Формула корней для четных вторых коэффициентов

Формула Виета

Упрощаем вид квадратных уравнений

Связь между корнями и коэффициентами

Что такое коэффициент уравнения алгебра

What is a ratio?

Ratio in the Simplest Form:

Comparison of Ratios:

Conversion of Fractional ratio into a Whole number ratio:

To divide the given quantity in the given ratio:

What is a ratio?

Ratio in the Simplest Form:

Comparison of Ratios:

Conversion of Fractional ratio into a Whole number ratio:

To divide the given quantity in the given ratio: