Как пишется корень в алгебре

In mathematics, a square root of a number x is a number y such that y² = x; in other words, a number y whose square (the result of multiplying the number by itself, or y ⋅ y) is x.^[1] For example, 4 and −4 are square roots of 16, because 4² = (−4)² = 16.

Every nonnegative real number x has a unique nonnegative square root, called the principal square root, which is denoted by where the symbol is called the radical sign^[2] or radix. For example, to express the fact that the principal square root of 9 is 3, we write . The term (or number) whose square root is being considered is known as the radicand. The radicand is the number or expression underneath the radical sign, in this case 9. For nonnegative x, the principal square root can also be written in exponent notation, as x^1/2.

Every positive number x has two square roots: which is positive, and which is negative. The two roots can be written more concisely using the ± sign as . Although the principal square root of a positive number is only one of its two square roots, the designation «the square root» is often used to refer to the principal square root.^[3][4]

Square roots of negative numbers can be discussed within the framework of complex numbers. More generally, square roots can be considered in any context in which a notion of the «square» of a mathematical object is defined. These include function spaces and square matrices, among other mathematical structures.

History

The Yale Babylonian Collection YBC 7289 clay tablet was created between 1800 BC and 1600 BC, showing and respectively as 1;24,51,10 and 0;42,25,35 base 60 numbers on a square crossed by two diagonals.^[5] (1;24,51,10) base 60 corresponds to 1.41421296, which is a correct value to 5 decimal points (1.41421356…).

The Rhind Mathematical Papyrus is a copy from 1650 BC of an earlier Berlin Papyrus and other texts – possibly the Kahun Papyrus – that shows how the Egyptians extracted square roots by an inverse proportion method.^[6]

In Ancient India, the knowledge of theoretical and applied aspects of square and square root was at least as old as the Sulba Sutras, dated around 800–500 BC (possibly much earlier).^{[citation needed]} A method for finding very good approximations to the square roots of 2 and 3 are given in the Baudhayana Sulba Sutra.^[7] Aryabhata, in the Aryabhatiya (section 2.4), has given a method for finding the square root of numbers having many digits.

It was known to the ancient Greeks that square roots of positive integers that are not perfect squares are always irrational numbers: numbers not expressible as a ratio of two integers (that is, they cannot be written exactly as , where m and n are integers). This is the theorem Euclid X, 9, almost certainly due to Theaetetus dating back to circa 380 BC.^[8]
The particular case of the square root of 2 is assumed to date back earlier to the Pythagoreans, and is traditionally attributed to Hippasus.^{[citation needed]} It is exactly the length of the diagonal of a square with side length 1.

In the Chinese mathematical work Writings on Reckoning, written between 202 BC and 186 BC during the early Han Dynasty, the square root is approximated by using an «excess and deficiency» method, which says to «…combine the excess and deficiency as the divisor; (taking) the deficiency numerator multiplied by the excess denominator and the excess numerator times the deficiency denominator, combine them as the dividend.»^[9]

A symbol for square roots, written as an elaborate R, was invented by Regiomontanus (1436–1476). An R was also used for radix to indicate square roots in Gerolamo Cardano’s Ars Magna.^[10]

According to historian of mathematics D.E. Smith, Aryabhata’s method for finding the square root was first introduced in Europe by Cataneo—in 1546.

According to Jeffrey A. Oaks, Arabs used the letter jīm/ĝīm (ج), the first letter of the word «جذر» (variously transliterated as jaḏr, jiḏr, ǧaḏr or ǧiḏr, «root»), placed in its initial form (ﺟ) over a number to indicate its square root. The letter jīm resembles the present square root shape. Its usage goes as far as the end of the twelfth century in the works of the Moroccan mathematician Ibn al-Yasamin.^[11]

The symbol «√» for the square root was first used in print in 1525, in Christoph Rudolff’s Coss.^[12]

Properties and uses

The principal square root function (usually just referred to as the «square root function») is a function that maps the set of nonnegative real numbers onto itself. In geometrical terms, the square root function maps the area of a square to its side length.

The square root of x is rational if and only if x is a rational number that can be represented as a ratio of two perfect squares. (See square root of 2 for proofs that this is an irrational number, and quadratic irrational for a proof for all non-square natural numbers.) The square root function maps rational numbers into algebraic numbers, the latter being a superset of the rational numbers).

For all real numbers x,

    (see absolute value)

For all nonnegative real numbers x and y,

and

The square root function is continuous for all nonnegative x, and differentiable for all positive x. If f denotes the square root function, whose derivative is given by:

The Taylor series of about x = 0 converges for |x| ≤ 1, and is given by

The square root of a nonnegative number is used in the definition of Euclidean norm (and distance), as well as in generalizations such as Hilbert spaces. It defines an important concept of standard deviation used in probability theory and statistics. It has a major use in the formula for roots of a quadratic equation; quadratic fields and rings of quadratic integers, which are based on square roots, are important in algebra and have uses in geometry. Square roots frequently appear in mathematical formulas elsewhere, as well as in many physical laws.

Square roots of positive integers

A positive number has two square roots, one positive, and one negative, which are opposite to each other. When talking of the square root of a positive integer, it is usually the positive square root that is meant.

The square roots of an integer are algebraic integers—more specifically quadratic integers.

The square root of a positive integer is the product of the roots of its prime factors, because the square root of a product is the product of the square roots of the factors. Since only roots of those primes having an odd power in the factorization are necessary. More precisely, the square root of a prime factorization is

As decimal expansions

The square roots of the perfect squares (e.g., 0, 1, 4, 9, 16) are integers. In all other cases, the square roots of positive integers are irrational numbers, and hence have non-repeating decimals in their decimal representations. Decimal approximations of the square roots of the first few natural numbers are given in the following table.

n	truncated to 50 decimal places
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

As expansions in other numeral systems

As with before, the square roots of the perfect squares (e.g., 0, 1, 4, 9, 16) are integers. In all other cases, the square roots of positive integers are irrational numbers, and therefore have non-repeating digits in any standard positional notation system.

The square roots of small integers are used in both the SHA-1 and SHA-2 hash function designs to provide nothing up my sleeve numbers.

As periodic continued fractions

One of the most intriguing results from the study of irrational numbers as continued fractions was obtained by Joseph Louis Lagrange c. 1780. Lagrange found that the representation of the square root of any non-square positive integer as a continued fraction is periodic. That is, a certain pattern of partial denominators repeats indefinitely in the continued fraction. In a sense these square roots are the very simplest irrational numbers, because they can be represented with a simple repeating pattern of integers.

	= [1; 2, 2, …]
	= [1; 1, 2, 1, 2, …]
	= [2]
	= [2; 4, 4, …]
	= [2; 2, 4, 2, 4, …]
	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
	= [2; 1, 4, 1, 4, …]
	= [3]
	= [3; 6, 6, …]
	= [3; 3, 6, 3, 6, …]
	= [3; 2, 6, 2, 6, …]
	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, …]
	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, …]
	= [3; 1, 6, 1, 6, …]
	= [4]
	= [4; 8, 8, …]
	= [4; 4, 8, 4, 8, …]
	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, …]
	= [4; 2, 8, 2, 8, …]

The square bracket notation used above is a short form for a continued fraction. Written in the more suggestive algebraic form, the simple continued fraction for the square root of 11, [3; 3, 6, 3, 6, …], looks like this:

where the two-digit pattern {3, 6} repeats over and over again in the partial denominators. Since 11 = 3² + 2, the above is also identical to the following generalized continued fractions:

Computation

Square roots of positive numbers are not in general rational numbers, and so cannot be written as a terminating or recurring decimal expression. Therefore in general any attempt to compute a square root expressed in decimal form can only yield an approximation, though a sequence of increasingly accurate approximations can be obtained.

Most pocket calculators have a square root key. Computer spreadsheets and other software are also frequently used to calculate square roots. Pocket calculators typically implement efficient routines, such as the Newton’s method (frequently with an initial guess of 1), to compute the square root of a positive real number.^[13][14] When computing square roots with logarithm tables or slide rules, one can exploit the identities

where ln and log₁₀ are the natural and base-10 logarithms.

By trial-and-error,^[15] one can square an estimate for and raise or lower the estimate until it agrees to sufficient accuracy. For this technique it is prudent to use the identity

as it allows one to adjust the estimate x by some amount c and measure the square of the adjustment in terms of the original estimate and its square. Furthermore, (x + c)² ≈ x² + 2xc when c is close to 0, because the tangent line to the graph of x² + 2xc + c² at c = 0, as a function of c alone, is y = 2xc + x². Thus, small adjustments to x can be planned out by setting 2xc to a, or c = a/(2x).

The most common iterative method of square root calculation by hand is known as the «Babylonian method» or «Heron’s method» after the first-century Greek philosopher Heron of Alexandria, who first described it.^[16]
The method uses the same iterative scheme as the Newton–Raphson method yields when applied to the function y = f(x) = x² − a, using the fact that its slope at any point is dy/dx = f′(x) = 2x, but predates it by many centuries.^[17]
The algorithm is to repeat a simple calculation that results in a number closer to the actual square root each time it is repeated with its result as the new input. The motivation is that if x is an overestimate to the square root of a nonnegative real number a then a/x will be an underestimate and so the average of these two numbers is a better approximation than either of them. However, the inequality of arithmetic and geometric means shows this average is always an overestimate of the square root (as noted below), and so it can serve as a new overestimate with which to repeat the process, which converges as a consequence of the successive overestimates and underestimates being closer to each other after each iteration. To find x:

1. Start with an arbitrary positive start value x. The closer to the square root of a, the fewer the iterations that will be needed to achieve the desired precision.
2. Replace x by the average (x + a/x) / 2 between x and a/x.
3. Repeat from step 2, using this average as the new value of x.

That is, if an arbitrary guess for is x₀, and x_{n + 1} = (x_n + a/x_n) / 2, then each x_n is an approximation of which is better for large n than for small n. If a is positive, the convergence is quadratic, which means that in approaching the limit, the number of correct digits roughly doubles in each next iteration. If a = 0, the convergence is only linear.

Using the identity

the computation of the square root of a positive number can be reduced to that of a number in the range [1,4). This simplifies finding a start value for the iterative method that is close to the square root, for which a polynomial or piecewise-linear approximation can be used.

The time complexity for computing a square root with n digits of precision is equivalent to that of multiplying two n-digit numbers.

Another useful method for calculating the square root is the shifting nth root algorithm, applied for n = 2.

The name of the square root function varies from programming language to programming language, with sqrt^[18] (often pronounced «squirt» ^[19]) being common, used in C, C++, and derived languages like JavaScript, PHP, and Python.

Square roots of negative and complex numbers

The square of any positive or negative number is positive, and the square of 0 is 0. Therefore, no negative number can have a real square root. However, it is possible to work with a more inclusive set of numbers, called the complex numbers, that does contain solutions to the square root of a negative number. This is done by introducing a new number, denoted by i (sometimes written as j, especially in the context of electricity where «i» traditionally represents electric current) and called the imaginary unit, which is defined such that i² = −1. Using this notation, we can think of i as the square root of −1, but we also have (−i)² = i² = −1 and so −i is also a square root of −1. By convention, the principal square root of −1 is i, or more generally, if x is any nonnegative number, then the principal square root of −x is

The right side (as well as its negative) is indeed a square root of −x, since

For every non-zero complex number z there exist precisely two numbers w such that w² = z: the principal square root of z (defined below), and its negative.

Principal square root of a complex number

To find a definition for the square root that allows us to consistently choose a single value, called the principal value, we start by observing that any complex number can be viewed as a point in the plane, expressed using Cartesian coordinates. The same point may be reinterpreted using polar coordinates as the pair where is the distance of the point from the origin, and is the angle that the line from the origin to the point makes with the positive real () axis. In complex analysis, the location of this point is conventionally written If

then the principal square root of is defined to be the following:

The principal square root function is thus defined using the nonpositive real axis as a branch cut.
If is a non-negative real number (which happens if and only if ) then the principal square root of is in other words, the principal square root of a non-negative real number is just the usual non-negative square root.
It is important that because if, for example, (so ) then the principal square root is

but using would instead produce the other square root

The principal square root function is holomorphic everywhere except on the set of non-positive real numbers (on strictly negative reals it is not even continuous). The above Taylor series for remains valid for complex numbers with

The above can also be expressed in terms of trigonometric functions:

Algebraic formula

When the number is expressed using its real and imaginary parts, the following formula can be used for the principal square root:^[20][21]

where sgn(y) is the sign of y (except that, here, sgn(0) = 1). In particular, the imaginary parts of the original number and the principal value of its square root have the same sign. The real part of the principal value of the square root is always nonnegative.

For example, the principal square roots of ±i are given by:

Notes

In the following, the complex z and w may be expressed as:

where and .

Because of the discontinuous nature of the square root function in the complex plane, the following laws are not true in general.

A similar problem appears with other complex functions with branch cuts, e.g., the complex logarithm and the relations logz + logw = log(zw) or log(z^*) = log(z)^* which are not true in general.

Wrongly assuming one of these laws underlies several faulty «proofs», for instance the following one showing that −1 = 1:

The third equality cannot be justified (see invalid proof).^{[22]: Chapter VI Some fallacies in algebra and trigonometry, Section I The fallacies, Subsection 2 The fallacy that +1 = -1} It can be made to hold by changing the meaning of √ so that this no longer represents the principal square root (see above) but selects a branch for the square root that contains The left-hand side becomes either

if the branch includes +i or

if the branch includes −i, while the right-hand side becomes

where the last equality, is a consequence of the choice of branch in the redefinition of √.

Nth roots and polynomial roots

The definition of a square root of as a number such that has been generalized in the following way.

A cube root of is a number such that ; it is denoted

If n is an integer greater than two, a nth root of is a number such that ; it is denoted

Given any polynomial p, a root of p is a number y such that p(y) = 0. For example, the nth roots of x are the roots of the polynomial (in y)

Abel–Ruffini theorem states that, in general, the roots of a polynomial of degree five or higher cannot be expressed in terms of nth roots.

Square roots of matrices and operators

If A is a positive-definite matrix or operator, then there exists precisely one positive definite matrix or operator B with B² = A; we then define A^1/2 = B. In general matrices may have multiple square roots or even an infinitude of them. For example, the 2 × 2 identity matrix has an infinity of square roots,^[23] though only one of them is positive definite.

In integral domains, including fields

Each element of an integral domain has no more than 2 square roots. The difference of two squares identity u² − v² = (u − v)(u + v) is proved using the commutativity of multiplication. If u and v are square roots of the same element, then u² − v² = 0. Because there are no zero divisors this implies u = v or u + v = 0, where the latter means that two roots are additive inverses of each other. In other words if an element a square root u of an element a exists, then the only square roots of a are u and −u. The only square root of 0 in an integral domain is 0 itself.

In a field of characteristic 2, an element either has one square root or does not have any at all, because each element is its own additive inverse, so that −u = u. If the field is finite of characteristic 2 then every element has a unique square root. In a field of any other characteristic, any non-zero element either has two square roots, as explained above, or does not have any.

Given an odd prime number p, let q = p^e for some positive integer e. A non-zero element of the field F_q with q elements is a quadratic residue if it has a square root in F_q. Otherwise, it is a quadratic non-residue. There are (q − 1)/2 quadratic residues and (q − 1)/2 quadratic non-residues; zero is not counted in either class. The quadratic residues form a group under multiplication. The properties of quadratic residues are widely used in number theory.

In rings in general

Unlike in an integral domain, a square root in an arbitrary (unital) ring need not be unique up to sign. For example, in the ring of integers modulo 8 (which is commutative, but has zero divisors), the element 1 has four distinct square roots: ±1 and ±3.

Another example is provided by the ring of quaternions which has no zero divisors, but is not commutative. Here, the element −1 has infinitely many square roots, including ±i, ±j, and ±k. In fact, the set of square roots of −1 is exactly

A square root of 0 is either 0 or a zero divisor. Thus in rings where zero divisors do not exist, it is uniquely 0. However, rings with zero divisors may have multiple square roots of 0. For example, in any multiple of n is a square root of 0.

Geometric construction of the square root

The square root of a positive number is usually defined as the side length of a square with the area equal to the given number. But the square shape is not necessary for it: if one of two similar planar Euclidean objects has the area a times greater than another, then the ratio of their linear sizes is .

A square root can be constructed with a compass and straightedge. In his Elements, Euclid (fl. 300 BC) gave the construction of the geometric mean of two quantities in two different places: Proposition II.14 and Proposition VI.13. Since the geometric mean of a and b is , one can construct simply by taking b = 1.

The construction is also given by Descartes in his La Géométrie, see figure 2 on page 2. However, Descartes made no claim to originality and his audience would have been quite familiar with Euclid.

Euclid’s second proof in Book VI depends on the theory of similar triangles. Let AHB be a line segment of length a + b with AH = a and HB = b. Construct the circle with AB as diameter and let C be one of the two intersections of the perpendicular chord at H with the circle and denote the length CH as h. Then, using Thales’ theorem and, as in the proof of Pythagoras’ theorem by similar triangles, triangle AHC is similar to triangle CHB (as indeed both are to triangle ACB, though we don’t need that, but it is the essence of the proof of Pythagoras’ theorem) so that AH:CH is as HC:HB, i.e. a/h = h/b, from which we conclude by cross-multiplication that h² = ab, and finally that . When marking the midpoint O of the line segment AB and drawing the radius OC of length (a + b)/2, then clearly OC > CH, i.e. (with equality if and only if a = b), which is the arithmetic–geometric mean inequality for two variables and, as noted above, is the basis of the Ancient Greek understanding of «Heron’s method».

Another method of geometric construction uses right triangles and induction: can be constructed, and once has been constructed, the right triangle with legs 1 and has a hypotenuse of . Constructing successive square roots in this manner yields the Spiral of Theodorus depicted above.

See also

• Apotome (mathematics)
• Cube root
• Functional square root
• Integer square root
• Nested radical
• Nth root
• Root of unity
• Solving quadratic equations with continued fractions
• Square root principle
• Quantum gate § Square root of NOT gate (√NOT)

Notes

References

• Dauben, Joseph W. (2007). «Chinese Mathematics I». In Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Gel’fand, Izrael M.; Shen, Alexander (1993). Algebra (3rd ed.). Birkhäuser. p. 120. ISBN 0-8176-3677-3.
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
• Smith, David (1958). History of Mathematics. Vol. 2. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book…..S, ISBN 978-1-4020-4559-2.

External links

• Algorithms, implementations, and more – Paul Hsieh’s square roots webpage
• How to manually find a square root
• AMS Featured Column, Galileo’s Arithmetic by Tony Philips – includes a section on how Galileo found square roots

In mathematics, a square root of a number x is a number y such that y² = x; in other words, a number y whose square (the result of multiplying the number by itself, or y ⋅ y) is x.^[1] For example, 4 and −4 are square roots of 16, because 4² = (−4)² = 16.

Every nonnegative real number x has a unique nonnegative square root, called the principal square root, which is denoted by where the symbol is called the radical sign^[2] or radix. For example, to express the fact that the principal square root of 9 is 3, we write . The term (or number) whose square root is being considered is known as the radicand. The radicand is the number or expression underneath the radical sign, in this case 9. For nonnegative x, the principal square root can also be written in exponent notation, as x^1/2.

Every positive number x has two square roots: which is positive, and which is negative. The two roots can be written more concisely using the ± sign as . Although the principal square root of a positive number is only one of its two square roots, the designation «the square root» is often used to refer to the principal square root.^[3][4]

Square roots of negative numbers can be discussed within the framework of complex numbers. More generally, square roots can be considered in any context in which a notion of the «square» of a mathematical object is defined. These include function spaces and square matrices, among other mathematical structures.

History

The Yale Babylonian Collection YBC 7289 clay tablet was created between 1800 BC and 1600 BC, showing and respectively as 1;24,51,10 and 0;42,25,35 base 60 numbers on a square crossed by two diagonals.^[5] (1;24,51,10) base 60 corresponds to 1.41421296, which is a correct value to 5 decimal points (1.41421356…).

The Rhind Mathematical Papyrus is a copy from 1650 BC of an earlier Berlin Papyrus and other texts – possibly the Kahun Papyrus – that shows how the Egyptians extracted square roots by an inverse proportion method.^[6]

In Ancient India, the knowledge of theoretical and applied aspects of square and square root was at least as old as the Sulba Sutras, dated around 800–500 BC (possibly much earlier).^{[citation needed]} A method for finding very good approximations to the square roots of 2 and 3 are given in the Baudhayana Sulba Sutra.^[7] Aryabhata, in the Aryabhatiya (section 2.4), has given a method for finding the square root of numbers having many digits.

It was known to the ancient Greeks that square roots of positive integers that are not perfect squares are always irrational numbers: numbers not expressible as a ratio of two integers (that is, they cannot be written exactly as , where m and n are integers). This is the theorem Euclid X, 9, almost certainly due to Theaetetus dating back to circa 380 BC.^[8]
The particular case of the square root of 2 is assumed to date back earlier to the Pythagoreans, and is traditionally attributed to Hippasus.^{[citation needed]} It is exactly the length of the diagonal of a square with side length 1.

In the Chinese mathematical work Writings on Reckoning, written between 202 BC and 186 BC during the early Han Dynasty, the square root is approximated by using an «excess and deficiency» method, which says to «…combine the excess and deficiency as the divisor; (taking) the deficiency numerator multiplied by the excess denominator and the excess numerator times the deficiency denominator, combine them as the dividend.»^[9]

A symbol for square roots, written as an elaborate R, was invented by Regiomontanus (1436–1476). An R was also used for radix to indicate square roots in Gerolamo Cardano’s Ars Magna.^[10]

According to historian of mathematics D.E. Smith, Aryabhata’s method for finding the square root was first introduced in Europe by Cataneo—in 1546.

According to Jeffrey A. Oaks, Arabs used the letter jīm/ĝīm (ج), the first letter of the word «جذر» (variously transliterated as jaḏr, jiḏr, ǧaḏr or ǧiḏr, «root»), placed in its initial form (ﺟ) over a number to indicate its square root. The letter jīm resembles the present square root shape. Its usage goes as far as the end of the twelfth century in the works of the Moroccan mathematician Ibn al-Yasamin.^[11]

The symbol «√» for the square root was first used in print in 1525, in Christoph Rudolff’s Coss.^[12]

Properties and uses

The principal square root function (usually just referred to as the «square root function») is a function that maps the set of nonnegative real numbers onto itself. In geometrical terms, the square root function maps the area of a square to its side length.

The square root of x is rational if and only if x is a rational number that can be represented as a ratio of two perfect squares. (See square root of 2 for proofs that this is an irrational number, and quadratic irrational for a proof for all non-square natural numbers.) The square root function maps rational numbers into algebraic numbers, the latter being a superset of the rational numbers).

For all real numbers x,

    (see absolute value)

For all nonnegative real numbers x and y,

and

The square root function is continuous for all nonnegative x, and differentiable for all positive x. If f denotes the square root function, whose derivative is given by:

The Taylor series of about x = 0 converges for |x| ≤ 1, and is given by

The square root of a nonnegative number is used in the definition of Euclidean norm (and distance), as well as in generalizations such as Hilbert spaces. It defines an important concept of standard deviation used in probability theory and statistics. It has a major use in the formula for roots of a quadratic equation; quadratic fields and rings of quadratic integers, which are based on square roots, are important in algebra and have uses in geometry. Square roots frequently appear in mathematical formulas elsewhere, as well as in many physical laws.

Square roots of positive integers

A positive number has two square roots, one positive, and one negative, which are opposite to each other. When talking of the square root of a positive integer, it is usually the positive square root that is meant.

The square roots of an integer are algebraic integers—more specifically quadratic integers.

The square root of a positive integer is the product of the roots of its prime factors, because the square root of a product is the product of the square roots of the factors. Since only roots of those primes having an odd power in the factorization are necessary. More precisely, the square root of a prime factorization is

As decimal expansions

The square roots of the perfect squares (e.g., 0, 1, 4, 9, 16) are integers. In all other cases, the square roots of positive integers are irrational numbers, and hence have non-repeating decimals in their decimal representations. Decimal approximations of the square roots of the first few natural numbers are given in the following table.

n	truncated to 50 decimal places
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

As expansions in other numeral systems

As with before, the square roots of the perfect squares (e.g., 0, 1, 4, 9, 16) are integers. In all other cases, the square roots of positive integers are irrational numbers, and therefore have non-repeating digits in any standard positional notation system.

The square roots of small integers are used in both the SHA-1 and SHA-2 hash function designs to provide nothing up my sleeve numbers.

As periodic continued fractions

One of the most intriguing results from the study of irrational numbers as continued fractions was obtained by Joseph Louis Lagrange c. 1780. Lagrange found that the representation of the square root of any non-square positive integer as a continued fraction is periodic. That is, a certain pattern of partial denominators repeats indefinitely in the continued fraction. In a sense these square roots are the very simplest irrational numbers, because they can be represented with a simple repeating pattern of integers.

	= [1; 2, 2, …]
	= [1; 1, 2, 1, 2, …]
	= [2]
	= [2; 4, 4, …]
	= [2; 2, 4, 2, 4, …]
	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
	= [2; 1, 4, 1, 4, …]
	= [3]
	= [3; 6, 6, …]
	= [3; 3, 6, 3, 6, …]
	= [3; 2, 6, 2, 6, …]
	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, …]
	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, …]
	= [3; 1, 6, 1, 6, …]
	= [4]
	= [4; 8, 8, …]
	= [4; 4, 8, 4, 8, …]
	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, …]
	= [4; 2, 8, 2, 8, …]

The square bracket notation used above is a short form for a continued fraction. Written in the more suggestive algebraic form, the simple continued fraction for the square root of 11, [3; 3, 6, 3, 6, …], looks like this:

where the two-digit pattern {3, 6} repeats over and over again in the partial denominators. Since 11 = 3² + 2, the above is also identical to the following generalized continued fractions:

Computation

Square roots of positive numbers are not in general rational numbers, and so cannot be written as a terminating or recurring decimal expression. Therefore in general any attempt to compute a square root expressed in decimal form can only yield an approximation, though a sequence of increasingly accurate approximations can be obtained.

Most pocket calculators have a square root key. Computer spreadsheets and other software are also frequently used to calculate square roots. Pocket calculators typically implement efficient routines, such as the Newton’s method (frequently with an initial guess of 1), to compute the square root of a positive real number.^[13][14] When computing square roots with logarithm tables or slide rules, one can exploit the identities

where ln and log₁₀ are the natural and base-10 logarithms.

By trial-and-error,^[15] one can square an estimate for and raise or lower the estimate until it agrees to sufficient accuracy. For this technique it is prudent to use the identity

as it allows one to adjust the estimate x by some amount c and measure the square of the adjustment in terms of the original estimate and its square. Furthermore, (x + c)² ≈ x² + 2xc when c is close to 0, because the tangent line to the graph of x² + 2xc + c² at c = 0, as a function of c alone, is y = 2xc + x². Thus, small adjustments to x can be planned out by setting 2xc to a, or c = a/(2x).

The most common iterative method of square root calculation by hand is known as the «Babylonian method» or «Heron’s method» after the first-century Greek philosopher Heron of Alexandria, who first described it.^[16]
The method uses the same iterative scheme as the Newton–Raphson method yields when applied to the function y = f(x) = x² − a, using the fact that its slope at any point is dy/dx = f′(x) = 2x, but predates it by many centuries.^[17]
The algorithm is to repeat a simple calculation that results in a number closer to the actual square root each time it is repeated with its result as the new input. The motivation is that if x is an overestimate to the square root of a nonnegative real number a then a/x will be an underestimate and so the average of these two numbers is a better approximation than either of them. However, the inequality of arithmetic and geometric means shows this average is always an overestimate of the square root (as noted below), and so it can serve as a new overestimate with which to repeat the process, which converges as a consequence of the successive overestimates and underestimates being closer to each other after each iteration. To find x:

1. Start with an arbitrary positive start value x. The closer to the square root of a, the fewer the iterations that will be needed to achieve the desired precision.
2. Replace x by the average (x + a/x) / 2 between x and a/x.
3. Repeat from step 2, using this average as the new value of x.

That is, if an arbitrary guess for is x₀, and x_{n + 1} = (x_n + a/x_n) / 2, then each x_n is an approximation of which is better for large n than for small n. If a is positive, the convergence is quadratic, which means that in approaching the limit, the number of correct digits roughly doubles in each next iteration. If a = 0, the convergence is only linear.

Using the identity

the computation of the square root of a positive number can be reduced to that of a number in the range [1,4). This simplifies finding a start value for the iterative method that is close to the square root, for which a polynomial or piecewise-linear approximation can be used.

The time complexity for computing a square root with n digits of precision is equivalent to that of multiplying two n-digit numbers.

Another useful method for calculating the square root is the shifting nth root algorithm, applied for n = 2.

The name of the square root function varies from programming language to programming language, with sqrt^[18] (often pronounced «squirt» ^[19]) being common, used in C, C++, and derived languages like JavaScript, PHP, and Python.

Square roots of negative and complex numbers

The square of any positive or negative number is positive, and the square of 0 is 0. Therefore, no negative number can have a real square root. However, it is possible to work with a more inclusive set of numbers, called the complex numbers, that does contain solutions to the square root of a negative number. This is done by introducing a new number, denoted by i (sometimes written as j, especially in the context of electricity where «i» traditionally represents electric current) and called the imaginary unit, which is defined such that i² = −1. Using this notation, we can think of i as the square root of −1, but we also have (−i)² = i² = −1 and so −i is also a square root of −1. By convention, the principal square root of −1 is i, or more generally, if x is any nonnegative number, then the principal square root of −x is

The right side (as well as its negative) is indeed a square root of −x, since

For every non-zero complex number z there exist precisely two numbers w such that w² = z: the principal square root of z (defined below), and its negative.

Principal square root of a complex number

To find a definition for the square root that allows us to consistently choose a single value, called the principal value, we start by observing that any complex number can be viewed as a point in the plane, expressed using Cartesian coordinates. The same point may be reinterpreted using polar coordinates as the pair where is the distance of the point from the origin, and is the angle that the line from the origin to the point makes with the positive real () axis. In complex analysis, the location of this point is conventionally written If

then the principal square root of is defined to be the following:

The principal square root function is thus defined using the nonpositive real axis as a branch cut.
If is a non-negative real number (which happens if and only if ) then the principal square root of is in other words, the principal square root of a non-negative real number is just the usual non-negative square root.
It is important that because if, for example, (so ) then the principal square root is

but using would instead produce the other square root

The principal square root function is holomorphic everywhere except on the set of non-positive real numbers (on strictly negative reals it is not even continuous). The above Taylor series for remains valid for complex numbers with

The above can also be expressed in terms of trigonometric functions:

Algebraic formula

When the number is expressed using its real and imaginary parts, the following formula can be used for the principal square root:^[20][21]

where sgn(y) is the sign of y (except that, here, sgn(0) = 1). In particular, the imaginary parts of the original number and the principal value of its square root have the same sign. The real part of the principal value of the square root is always nonnegative.

For example, the principal square roots of ±i are given by:

Notes

In the following, the complex z and w may be expressed as:

where and .

Because of the discontinuous nature of the square root function in the complex plane, the following laws are not true in general.

A similar problem appears with other complex functions with branch cuts, e.g., the complex logarithm and the relations logz + logw = log(zw) or log(z^*) = log(z)^* which are not true in general.

Wrongly assuming one of these laws underlies several faulty «proofs», for instance the following one showing that −1 = 1:

The third equality cannot be justified (see invalid proof).^{[22]: Chapter VI Some fallacies in algebra and trigonometry, Section I The fallacies, Subsection 2 The fallacy that +1 = -1} It can be made to hold by changing the meaning of √ so that this no longer represents the principal square root (see above) but selects a branch for the square root that contains The left-hand side becomes either

if the branch includes +i or

if the branch includes −i, while the right-hand side becomes

where the last equality, is a consequence of the choice of branch in the redefinition of √.

Nth roots and polynomial roots

The definition of a square root of as a number such that has been generalized in the following way.

A cube root of is a number such that ; it is denoted

If n is an integer greater than two, a nth root of is a number such that ; it is denoted

Given any polynomial p, a root of p is a number y such that p(y) = 0. For example, the nth roots of x are the roots of the polynomial (in y)

Abel–Ruffini theorem states that, in general, the roots of a polynomial of degree five or higher cannot be expressed in terms of nth roots.

Square roots of matrices and operators

If A is a positive-definite matrix or operator, then there exists precisely one positive definite matrix or operator B with B² = A; we then define A^1/2 = B. In general matrices may have multiple square roots or even an infinitude of them. For example, the 2 × 2 identity matrix has an infinity of square roots,^[23] though only one of them is positive definite.

In integral domains, including fields

Each element of an integral domain has no more than 2 square roots. The difference of two squares identity u² − v² = (u − v)(u + v) is proved using the commutativity of multiplication. If u and v are square roots of the same element, then u² − v² = 0. Because there are no zero divisors this implies u = v or u + v = 0, where the latter means that two roots are additive inverses of each other. In other words if an element a square root u of an element a exists, then the only square roots of a are u and −u. The only square root of 0 in an integral domain is 0 itself.

In a field of characteristic 2, an element either has one square root or does not have any at all, because each element is its own additive inverse, so that −u = u. If the field is finite of characteristic 2 then every element has a unique square root. In a field of any other characteristic, any non-zero element either has two square roots, as explained above, or does not have any.

Given an odd prime number p, let q = p^e for some positive integer e. A non-zero element of the field F_q with q elements is a quadratic residue if it has a square root in F_q. Otherwise, it is a quadratic non-residue. There are (q − 1)/2 quadratic residues and (q − 1)/2 quadratic non-residues; zero is not counted in either class. The quadratic residues form a group under multiplication. The properties of quadratic residues are widely used in number theory.

In rings in general

Unlike in an integral domain, a square root in an arbitrary (unital) ring need not be unique up to sign. For example, in the ring of integers modulo 8 (which is commutative, but has zero divisors), the element 1 has four distinct square roots: ±1 and ±3.

Another example is provided by the ring of quaternions which has no zero divisors, but is not commutative. Here, the element −1 has infinitely many square roots, including ±i, ±j, and ±k. In fact, the set of square roots of −1 is exactly

A square root of 0 is either 0 or a zero divisor. Thus in rings where zero divisors do not exist, it is uniquely 0. However, rings with zero divisors may have multiple square roots of 0. For example, in any multiple of n is a square root of 0.

Geometric construction of the square root

The square root of a positive number is usually defined as the side length of a square with the area equal to the given number. But the square shape is not necessary for it: if one of two similar planar Euclidean objects has the area a times greater than another, then the ratio of their linear sizes is .

A square root can be constructed with a compass and straightedge. In his Elements, Euclid (fl. 300 BC) gave the construction of the geometric mean of two quantities in two different places: Proposition II.14 and Proposition VI.13. Since the geometric mean of a and b is , one can construct simply by taking b = 1.

The construction is also given by Descartes in his La Géométrie, see figure 2 on page 2. However, Descartes made no claim to originality and his audience would have been quite familiar with Euclid.

Euclid’s second proof in Book VI depends on the theory of similar triangles. Let AHB be a line segment of length a + b with AH = a and HB = b. Construct the circle with AB as diameter and let C be one of the two intersections of the perpendicular chord at H with the circle and denote the length CH as h. Then, using Thales’ theorem and, as in the proof of Pythagoras’ theorem by similar triangles, triangle AHC is similar to triangle CHB (as indeed both are to triangle ACB, though we don’t need that, but it is the essence of the proof of Pythagoras’ theorem) so that AH:CH is as HC:HB, i.e. a/h = h/b, from which we conclude by cross-multiplication that h² = ab, and finally that . When marking the midpoint O of the line segment AB and drawing the radius OC of length (a + b)/2, then clearly OC > CH, i.e. (with equality if and only if a = b), which is the arithmetic–geometric mean inequality for two variables and, as noted above, is the basis of the Ancient Greek understanding of «Heron’s method».

Another method of geometric construction uses right triangles and induction: can be constructed, and once has been constructed, the right triangle with legs 1 and has a hypotenuse of . Constructing successive square roots in this manner yields the Spiral of Theodorus depicted above.

See also

• Apotome (mathematics)
• Cube root
• Functional square root
• Integer square root
• Nested radical
• Nth root
• Root of unity
• Solving quadratic equations with continued fractions
• Square root principle
• Quantum gate § Square root of NOT gate (√NOT)

Notes

References

• Dauben, Joseph W. (2007). «Chinese Mathematics I». In Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
• Gel’fand, Izrael M.; Shen, Alexander (1993). Algebra (3rd ed.). Birkhäuser. p. 120. ISBN 0-8176-3677-3.
• Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
• Smith, David (1958). History of Mathematics. Vol. 2. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
• Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book…..S, ISBN 978-1-4020-4559-2.

External links

• Algorithms, implementations, and more – Paul Hsieh’s square roots webpage
• How to manually find a square root
• AMS Featured Column, Galileo’s Arithmetic by Tony Philips – includes a section on how Galileo found square roots

Что такое арифметический квадратный корень

Квадратным корнем (арифметическим квадратным корнем) из неотрицательного числа (a) называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен (a). (  (sqrt{a}=x, {{x}^{2}}=a; x, age 0)).

А почему же число  ( a) (число под корнем) должно быть обязательно неотрицательным?

Например, чему равен ( sqrt{-9})?

Так-так, попробуем подобрать. Может, три?

Проверим: ( {{3}^{2}}=9), а не ( -9).

Может, ( left( -3 right))? 

Опять же, проверяем: ( {{left( -3 right)}^{2}}=9).

Ну что же, не подбирается?

Это и следовало ожидать – потому что нет таких чисел, которые при возведении в квадрат дают отрицательное число! Это надо запомнить!

Число или выражение под знаком корня должно быть неотрицательным!

Однако ты наверняка уже заметил, что не только число под корнем должно быть неотрицательным, но и само значение тоже должно быть неотрицательным!

 Ведь в определении сказано, что «квадратным корнем из числа( a)называется такое неотрицательное число, квадрат которого равен( a)».

Но подождите!  В самом начале мы разбирали пример ( {{x}^{2}}=4) и один из ответов был отрицательным числом! 

 Мы подбирали числа, которые можно возвести в квадрат и получить при этом ( displaystyle 4). Ответом были ( displaystyle 2) и ( displaystyle -2)

А тут говорится, что квадратным корнем должно быть «неотрицательное число»! Почему?

Такой вопрос вполне уместен. Здесь необходимо просто разграничить понятия квадратного уравнения и арифметического квадратного корня.

К примеру, ( displaystyle {{x}^{2}}=4) (квадратное уравнение) не равносильно выражению ( x=sqrt{4}) (арифмитический квадратный корень).

Из ( {{x}^{2}}=4) следует, что

( left| x right|=sqrt{4}), то есть ( x=pm sqrt{4}=pm 2) или ( {{x}_{1}}=2); ( {{x}_{2}}=-2)

(не помнишь почему так? Почитай тему “Модуль числа”!)

А из ( x=sqrt{4}) следует, что ( x=2).

Конечно, это очень путает, но это необходимо запомнить, что знаки “плюс-минус” являются результатом решения квадратного уравнения, так как при решении уравнения мы должны записать все иксы, которые при подстановке в исходное уравнение дадут верный результат.

В наше квадратное уравнение подходит как ( 2), так и ( x=-2).

Однако, если просто извлекать квадратный корень из чего-либо, то всегда получаем один неотрицательный результат.

Запись иррациональных чисел с помощью квадратного корня

А теперь попробуй решить такое уравнение ( {{x}^{2}}=3).

Уже все не так просто и гладко, правда? Попробуй перебрать числа, может, что-то и выгорит?

Начнем с самого начала – с нуля: ( {{0}^{2}}=0) – не подходит.

Двигаемся дальше ( displaystyle x=1); ( displaystyle {{1}^{2}}=1) – меньше трех, тоже отметаем.

А что если ( displaystyle x=2)? 

Проверим: ( displaystyle {{2}^{2}}=4) – тоже не подходит, т.к. это больше трех.

С отрицательными числами получится такая же история.

И что же теперь делать? Неужели перебор нам ничего не дал?

Совсем нет, теперь мы точно знаем, что ответом будет некоторое число между ( displaystyle 1) и ( displaystyle 2), а также между ( displaystyle -2) и ( displaystyle -1).

Кроме того, очевидно, что решения не будут целыми числами. Более того, они не являются рациональными.

И что дальше?

Давай построим график функции ( displaystyle y={{x}^{2}}) и отметим на нем решения.

Попробуем обмануть систему и получить ответ с помощью калькулятора (как мы это делали в начале)!

Извлечем корень из ( displaystyle 3), делов-то!

Ой-ой-ой, выходит, что ( sqrt{3}=1,732050807568ldots ) Такое число никогда не кончается.

Как же такое запомнить, ведь на экзамене калькулятора не будет!?

Все очень просто, это и не надо запоминать, необходимо помнить (или уметь быстро прикинуть) приблизительное значение. ( sqrt{3}) и ( -sqrt{3}) уже сами по себе ответы.

Такие числа называются иррациональными, именно для упрощения записи таких чисел и было введено понятие квадратного корня.

Деление корней

С умножением корней разобрались, теперь приступим к свойству деления.

Напомню, что формула в общем виде выглядит так:

( displaystyle sqrt[{}]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[{}]{a}}{sqrt[{}]{b}}), если ( displaystyle age 0 , b>0).

А значит это, что корень из частного равен частному корней.

Ну что, давай разбираться на примерах:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{sqrt{3}}=sqrt{frac{12}{3}}=sqrt{4}=2)

Вот и вся наука. А вот такой пример:

( displaystyle   frac{sqrt{12}}{3}=frac{sqrt{12}}{sqrt{9}}=sqrt{frac{12}{9}}=sqrt{frac{4}{3}}=frac{2}{sqrt{3}})

Все не так гладко, как в первом примере, но, как видишь, ничего сложного нет.

А что, если попадется такое выражение:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=?)

Надо просто применить формулу в обратном направлении:

( displaystyle   sqrt{frac{144}{225}}=frac{sqrt{144}}{sqrt{225}}=frac{12}{15}=frac{4}{5}=0,8)

А вот такой примерчик:

( displaystyle   sqrt{0,16}=sqrt{frac{16}{100}}=frac{4}{10}=0,4)

Еще ты можешь встретить такое выражение:

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=?)

Все то же самое, только здесь надо вспомнить, как переводить дроби (если не помнишь, загляни в тему дроби и возвращайся!). Вспомнил? Теперь решаем!

( displaystyle   sqrt{5frac{19}{25}}=sqrt{frac{144}{25}}=frac{12}{5}=2,4)

Уверена, что ты со всем, всем справился, теперь попробуем возводить корни в степени.

Возведение в степень

А что же будет, если квадратный корень возвести в квадрат? Все просто, вспомним смысл квадратного корня из числа ( displaystyle a) – это число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a).

Так вот, если мы возводим число, квадратный корень которого равен ( displaystyle a), в квадрат, то что получаем?

Ну, конечно, ( displaystyle a)!

Рассмотрим на примерах:

Все просто, правда? А если корень будет в другой степени? Ничего страшного!

Придерживайся той же логики и помни свойства и возможные действия со степенями.

Забыл?

Почитай теорию по теме «Степень и ее свойства» и тебе все станет предельно ясно.

Вот, к примеру, такое выражение:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{6}}={{left( {{left( sqrt{5} right)}^{2}} right)}^{3}}={{5}^{3}}=125)

В этом примере степень четная, а если она будет нечетная? Опять же, примени свойства степени и разложи все на множители:

( displaystyle   {{left( sqrt{5} right)}^{7}}={{left( sqrt{5} right)}^{6}}cdot sqrt{5}=125sqrt{5})

С этим вроде все ясно, а как извлечь корень из числа в степени? Вот, к примеру, такое:

( displaystyle   sqrt{{{3}^{2}}}=sqrt{9}=3)

Довольно просто, правда? А если степень больше двух? Следуем той же логике, используя свойства степеней:

Ну как, все понятно? Тогда реши самостоятельно примеры:

• ( displaystyle   sqrt{{{left( -3 right)}^{2}}})
• ( displaystyle   sqrt{{{6}^{6}}})
• ( displaystyle   {{left( sqrt{8} right)}^{7}})

А вот и ответы:

Внесение под знак корня

Что мы только не научились делать с корнями! Осталось только потренироваться вносить число под знак корня!

Это совсем легко!

( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8}=sqrt{16cdot 6}-sqrt{4cdot 3cdot 8}=sqrt{96}-sqrt{96}=0)

Допустим, у нас записано число ( displaystyle   3sqrt{5})

Что мы можем с ним сделать? Ну конечно, спрятать тройку под корнем, помня при этом, что тройка – корень квадратный из ( displaystyle   9)!

( displaystyle   3sqrt{5}=sqrt{9}cdot sqrt{5}=sqrt{45})

Зачем нам это нужно? Да просто, чтобы расширить наши возможности при решении примеров:

( displaystyle   3sqrt{10}-sqrt{45}cdot sqrt{2}=sqrt{90}-sqrt{90}=0)

Как тебе такое свойство корней? Существенно упрощает жизнь? По мне, так точно! Только надо помнить, что вносить под знак квадратного корня мы можем только положительные числа.

Реши самостоятельно вот этот пример – ( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8})

Справился? Давай смотреть, что у тебя должно получиться:

( displaystyle   4sqrt{6}-2sqrt{3}cdot sqrt{8}=sqrt{16cdot 6}-sqrt{4cdot 3cdot 8}=sqrt{96}-sqrt{96}=0)

Молодец! У тебя получилось внести число под знак корня! Перейдем к не менее важному – рассмотрим, как сравнивать числа, содержащие квадратный корень!

Сравнение корней

Зачем нам учиться сравнивать числа, содержащие квадратный корень?

Очень просто. Часто, в больших и длиииинных выражениях, встречающихся на экзамене, мы получаем иррациональный ответ (помнишь, что это такое? Мы с тобой сегодня об этом уже говорили!)

Полученные ответы нам необходимо расположить на координатной прямой, например, чтобы определить, какой интервал подходит для решения уравнения. И вот здесь возникает загвоздка: калькулятора на экзамене нет, а без него как представить какое число больше, а какое меньше? То-то и оно!

Например, определи, что больше: ( displaystyle   3sqrt{7}) или ( displaystyle   2sqrt{17})?

Сходу и не скажешь. Ну что, воспользуемся разобранным свойством внесения числа под знак корня?

Тогда вперед:

( displaystyle   3sqrt{7}=sqrt{9cdot 7}=sqrt{63})

( displaystyle   2sqrt{17}=sqrt{4cdot 17}=sqrt{68})

Ну и, очевидно, что чем больше число под знаком корня, тем больше сам корень!

Т.е. если ( displaystyle 68>63), значит, ( displaystyle   sqrt{68}>sqrt{63}).

Отсюда твердо делаем вывод, что ( displaystyle   3sqrt{7}<2sqrt{17}).

И никто не убедит нас в обратном!

Извлечение корней из больших чисел

До этого мы вносили множитель под знак корня, а как его вынести? Надо просто разложить его на множители и извлечь то, что извлекается!

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{49cdot 2}=sqrt{49}cdot sqrt{2}=7sqrt{2})

Можно было пойти по иному пути и разложить на другие множители:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14})

Что дальше? А дальше раскладываем на множители до самого конца:

( displaystyle   sqrt{98}=sqrt{7cdot 14}=sqrt{7cdot 7cdot 2}=sqrt{{{7}^{2}}cdot 2}=7sqrt{2})

Неплохо, да? Любой из этих подходов верен, решай как тебе удобно.

Разложение на множители очень пригодится при решении таких нестандартных заданий, как вот это:

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12})

Не пугаемся, а действуем! Разложим каждый множитель под корнем на отдельные множители:

А теперь попробуй самостоятельно (без калькулятора! его на экзамене не будет):

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{180}cdot sqrt{12}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6})

Разве это конец? Не останавливаемся на полпути!

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{36cdot 5}cdot sqrt{2cdot 6}=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 12cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}=\=sqrt{5cdot 3}cdot sqrt{3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5}cdot sqrt{2cdot 3cdot 2}end{array})

На простые множители разложили. Что дальше? А дальше пользуемся свойством умножение корней и записываем все под одним знаком корня:

( displaystyle   begin{array}{l}sqrt{5cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 3cdot 5cdot 2cdot 3cdot 2}=sqrt{5cdot 5cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2}=\=sqrt{25}cdot sqrt{81}cdot sqrt{16}=5cdot 9cdot 4=180end{array})

Вот и все, не так все и страшно, правда?

( displaystyle   sqrt{15}cdot sqrt{54}cdot sqrt{10}=?)

Получилось ( displaystyle   90)? Молодец, все верно!

А теперь попробуй вот такой пример решить:

( displaystyle   sqrt{4225}=?)

А пример-то – крепкий орешек, так сходу и не разберешься, как к нему подступиться. Но нам он, конечно, по зубам.

В уроке «Степень числа»
мы проходили, что возвести в квадрат число означает умножить число на само себя.
Кратко запись числа в квадрате выглядит следующим образом:

3 · 3 = 3² = 9

Но как быть, если нам нужно получить обратный результат?
Например, узнать, какое число при возведении в квадрат дало бы число «9»?

У квадратного корня есть специальный знак.
Исходя из вычислений выше, нетрудно догадаться, что число, которое в квадрате дает «9»,
это число «3». Запись извлечения квадратного корня из числа «9» выглядит так:

√9 = 3

Читаем запись: «Арифметический квадратный корень из девяти». Можно опустить слово «арифметический».
Словосочетания «арифметический квадратный корень» и «квадратный корень» полностью равнозначны.

Число под знаком корня называют подкоренным выражением.

Подкоренное выражение может быть представлено не только одним числом.
Всё, что находится под знаком корня, называют подкоренным выражением. Оно может сожержать как числа, так и буквы.

• 
  √−9
  = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;
• 
  √64 = 8
  
• 
  √−1,44
  
  = … нельзя извлекать квадратный корень из отрицательного числа;

• 
  √256 = 16
  

Квадратный корень из нуля

Квадратный корень из единицы

Как найти квадратный корень из числа

Квадратные корни из целых чисел, чьи квадраты известны, вычислить довольно просто.
Для этого достаточно выучить таблицу квадратов.

Чаще всего в задачах школьного курса математики требуется найти квадратный корень из квадратов чисел от
1 до 20.

Решение примеров с квадратными корнями

Разбор примера

Вычислить арифметический квадратный корень из числа.

• √81 = 9
• √64 = 8
• √100 = 10

Как найти квадратный корень из десятичной дроби

Более подробно разберем на примере ниже.

Разбор примера

Вычислить квадратный корень из десятичной дроби «0,16».

√0,16 =

По первому пункту правила забудем про запятую в десятичной дроби и представим ее в виде целого числа «16».

Нетрудно вспомнить, какое число в квадрате дает «16». Это число
«4».

√16 = 4

√0,16 = …

Вспомним правило умножения десятичных дробей.
Количество знаков после запятой в результате умножения десятичных дробей равняется сумме количества знаков после запятой каждой
дроби.

Т.е., например, при умножении «0,15» на
«0,3» в полученном произведении будет десятичная дробь с тремя знаками после запятой.

0,15 · 0,3 = 0,045

Значит, при вычислении квадратного корня
√0,16

нам нужно найти десятичную дробь, у которой был бы только один знак после запятой.

Мы исходим из того, что в результате умножения десятичной дроби на саму себя в результате должно было получиться
два знака после запятой, как у десятичной дроби «0,16».

Получается, что ответ — десятичная дробь «0,4».

√0,16 = 0,4

Убедимся, что квадрат десятичной дроби
«0,4²» дает
«0,16».

Умножим в столбик «0,4» на

«0,4».

Рассмотрим другой пример вычисления квадратного корня из десятичной дроби. Вычислить:

√1,44 =

Представим вместо десятичной дроби «1,44» целое число
«144». Какое число в квадрате даст «144»?
Ответ — число «12».

12² = 144

√144 = 12

√1,44 = …

Так как в десятичной дроби «1,44» — два знака после запятой, значит в десятичной дроби,
которая дала в квадрате «1,44» должен быть один знак после запятой.

√1,44 = 1,2

Убедимся, что «1,2²» дает в квадрате «1,44».

1,2² = 1,2 · 1,2 = 1,44

Квадратные корни из чисел

√2,
√3,
√5,
√6,

и т.п.

Не из всех чисел удается легко извлечь квадратный корень. Например, совершенно неочевидно, чему равен

√2

или

√3

и т.п.

В самом деле, какое число в квадрате даст «2»? Или число «3»?
Такое число не будет целым. Более того, оно представляет из себя
непериодическую десятичную дробь
и входит в
множество иррациональных чисел.

Что делать, когда в ответе остаются подобные квадратные корни? Как, например, в примере ниже:

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Нет такого целого числа, которое бы дало в квадрате число «7».
Поэтому, перед завершением задачи внимательно читайте её условие.

Если в задаче дополнительно ничего не сказано об обязательном вычислении всех квадратных корней, тогда ответ можно
оставить с корнем.

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7

Если в задании сказано, что необходимо вычислить все квадратные корни с помощью микрокалькулятора,
то после вычисления квадратного корня на калькуляторе
округлите результат до необходимого количества знаков.

Текст задания в таком случае может быть написан следующим образом:

«Вычислить. Квадратные корни найти с помощью калькулятора и округлить с точностью до
«0,001».

√15 − 2 · 4 =
√15 − 8 =
√7 ≈ 2,646

Корни и степени

Степенью называется выражение вида .

Здесь  — основание степени,  — показатель степени.

к оглавлению ▴

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

По определению, .

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

.

Возвести число в натуральную степень  — значит умножить его само на себя раз:

к оглавлению ▴

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

По определению,

.

Это верно для . Выражение 0⁰ не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Например,

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где  — целое,  — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Определение.

Арифметический квадратный корень из числа  — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

Согласно определению,

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение    для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Запомним важное правило:

По определению, .

к оглавлению ▴

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из  — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

, так как ;

, так как .

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

к оглавлению ▴

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа  — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Например,

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

По определению,

в общем случае .

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Например,

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Например,

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются;

— при делении степени на степень показатели вычитаются;

— при возведении степени в степень показатели перемножаются;

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

1.

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

2.

3.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.
4. Найдите значение выражения при

Решение:

При получим

Ответ: -0,5.

5. Найдите значение выражения при

Решение:

При a = 12 получим

Мы воспользовались свойствами степеней.

Ответ: 144.

6. Найдите значение выражения при b = — 5.

Решение:

При b = — 5 получим:

Ответ: -125.

7. Расположите в порядке возрастания:

Решение:

Запишем выражения как степени с положительным показателем и сравним.

Так как то

Так как то

Сравним и для этого оценим их разность:

значит

Получим : поэтому

Ответ:

8. Представьте выражение в виде степени:

Решение:

Вынесем за скобку степень с меньшим показателем:

Ответ:

9. Упростите выражение:

Решение:

Приведем основания 6 и 12 к основаниям 2 и 3:

(выполним деление степеней с одинаковыми основаниями)

Ответ: 0,25.

10. Чему равно значение выражения при ?

Решение:

При получим

Ответ: 9.

к оглавлению ▴

Сравнение арифметических корней

11. Какое из чисел больше: или ?

Решение:

Возведем в квадрат оба числа (числа положительные):

Найдем разность полученных результатов:

так как

Значит, первое число больше второго.

Ответ:

к оглавлению ▴

Как избавиться от иррациональности в знаменателе

Если дана дробь вида то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на :

Тогда знаменатель станет рациональным.

Если дана дробь вида или то нужно умножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение, чтобы получить в знаменателе разность квадратов.

Сопряженные выражения — это выражения, отличающиеся только знаками. Например,

и и — сопряженные выражения.

Пример:

12. Вот несколько примеров — как избавиться от иррациональности в знаменателе:

Пример 1.

Пример 2.

Пример 3.

Пример 4.

Совет. Если в знаменателе дана сумма двух корней, то в разности первым числом пишите то, которое больше, и тогда разность квадратов корней будет положительным числом.

Пример 5.

13. Сравните и

1)

2) Сравним и 14.

то и а значит,

Ответ: меньше.

к оглавлению ▴

Как упрощать иррациональные выражения, пользуясь формулами сокращенного умножения

Покажем несколько примеров.

14. Упростите: выражения:

Пример 5.

т.к.

Пример 6.

Пример 7.

так как

Следующие несколько задач решаются с помощью формулы:

Решение:

Получим уравнение

Ответ:

19. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

20. Вычислите значение выражения:

Решение:

Ответ: 1.

21. Вычислите значение выражения: если

Решение.

Если то следовательно

Ответ: — 1.

22. Вычислите:

Решение:

Ответ: 1.

Рассмотрим уравнение вида где

Это равенство выполняется, только если

Подробно об таких уравнениях — в статье «Показательные уравнения».

При решении уравнений такого вида мы пользуемся монотонностью показательной функции.

23. Решите уравнение:

а)

б)

в)

Решение.

23. Решите уравнение:

Решение:

тогда

Ответ: -1.

24. Решите уравнение:

Решение:

Ответ: 4.

25. Решите уравнение:

Решение:

Значит,

Ответ: -0,2.

Если вы хотите разобрать большее количество примеров — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Факт 1.
(bullet) Возьмем некоторое неотрицательное число (a) (то есть (ageqslant 0)). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа (a) называется такое неотрицательное число (b), при возведении которого в квадрат мы получим число (a): [sqrt a=bquad text{то же самое, что }quad a=b^2] Из определения следует, что (ageqslant 0, bgeqslant 0). Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть (100^2=10000geqslant 0) и ((-100)^2=10000geqslant 0).
(bullet) Чему равен (sqrt{25})? Мы знаем, что (5^2=25) и ((-5)^2=25). Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то (-5) не подходит, следовательно, (sqrt{25}=5) (так как (25=5^2)).
Нахождение значения (sqrt a) называется извлечением квадратного корня из числа (a), а число (a) называется подкоренным выражением.
(bullet) Исходя из определения, выражения (sqrt{-25}), (sqrt{-4}) и т.п. не имеют смысла.
 

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от (1) до (20): [begin{array}{|ll|}
hline
1^2=1 & quad11^2=121 \
2^2=4 & quad12^2=144\
3^2=9 & quad13^2=169\
4^2=16 & quad14^2=196\
5^2=25 & quad15^2=225\
6^2=36 & quad16^2=256\
7^2=49 & quad17^2=289\
8^2=64 & quad18^2=324\
9^2=81 & quad19^2=361\
10^2=100& quad20^2=400\
hline end{array}]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
(bullet) Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть [sqrt apmsqrt bne sqrt{apm b}] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, (sqrt{25}+sqrt{49}), то первоначально вы должны найти значения (sqrt{25}) и (sqrt{49}), а затем их сложить. Следовательно, [sqrt{25}+sqrt{49}=5+7=12] Если значения (sqrt a) или (sqrt b) при сложении (sqrt
a+sqrt b) найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме (sqrt
2+ sqrt {49}) мы можем найти (sqrt{49}) – это (7), а вот (sqrt
2) никак преобразовать нельзя, поэтому (sqrt 2+sqrt{49}=sqrt
2+7). Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя
 
(bullet) Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть [sqrt acdot sqrt b=sqrt{ab}quad text{и}quad
sqrt a:sqrt b=sqrt{a:b}] (при условии, что обе части равенств имеют смысл)
Пример: (sqrt{32}cdot sqrt 2=sqrt{32cdot
2}=sqrt{64}=8);
 
(sqrt{768}:sqrt3=sqrt{768:3}=sqrt{256}=16);
 
(sqrt{(-25)cdot (-64)}=sqrt{25cdot 64}=sqrt{25}cdot sqrt{64}=
5cdot 8=40).
 
(bullet) Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем (sqrt{44100}). Так как (44100:100=441), то (44100=100cdot 441). По признаку делимости число (441) делится на (9) (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, (441:9=49), то есть (441=9cdot 49).
Таким образом, мы получили: [sqrt{44100}=sqrt{9cdot 49cdot 100}=
sqrt9cdot sqrt{49}cdot sqrt{100}=3cdot 7cdot 10=210] Рассмотрим еще один пример: [sqrt{dfrac{32cdot 294}{27}}=
sqrt{dfrac{16cdot 2cdot 3cdot 49cdot 2}{9cdot 3}}= sqrt{
dfrac{16cdot4cdot49}{9}}=dfrac{sqrt{16}cdot sqrt4 cdot
sqrt{49}}{sqrt9}=dfrac{4cdot 2cdot 7}3=dfrac{56}3]
(bullet) Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения (5sqrt2) (сокращенная запись от выражения (5cdot
sqrt2)). Так как (5=sqrt{25}), то [5sqrt2=sqrt{25}cdot sqrt2=sqrt{25cdot 2}=sqrt{50}] Заметим также, что, например,
1) (sqrt2+3sqrt2=4sqrt2),
2) (5sqrt3-sqrt3=4sqrt3)
3) (sqrt a+sqrt a=2sqrt a).

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число (sqrt2) мы не можем. Представим, что (sqrt2) – это некоторое число (a). Соответственно, выражение (sqrt2+3sqrt2) есть не что иное, как (a+3a) (одно число (a) плюс еще три таких же числа (a)). А мы знаем, что это равно четырем таким числам (a), то есть (4sqrt2).
 

Факт 4.
(bullet) Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака (sqrt {} ) корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа (16) можно, потому что (16=4^2), поэтому (sqrt{16}=4). А вот извлечь корень из числа (3), то есть найти (sqrt3), нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст (3).
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа (sqrt3, 1+sqrt2, sqrt{15}) и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа (pi) (число “пи”, приблизительно равное (3,14)), (e) (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно (2,7)) и т.д.
(bullet) Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой (mathbb{R}).
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.
 

Факт 5.
(bullet) Модуль вещественного числа (a) – это неотрицательное число (|a|), равное расстоянию от точки (a) до (0) на вещественной прямой. Например, (|3|) и (|-3|) равны 3, так как расстояния от точек (3) и (-3) до (0) одинаковы и равны (3).
(bullet) Если (a) – неотрицательное число, то (|a|=a).
Пример: (|5|=5); (qquad |sqrt2|=sqrt2).
 
(bullet) Если (a) – отрицательное число, то (|a|=-a).
Пример: (|-5|=-(-5)=5); (qquad |-sqrt3|=-(-sqrt3)=sqrt3).
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число (0), модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная (x) (или какая-то другая неизвестная), например, (|x|), про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: (|x|).
 
(bullet) Имеют место следующие формулы: [{large{sqrt{a^2}=|a|}}] [{large{(sqrt{a})^2=a}},
text{ при условии } ageqslant 0] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что (sqrt{a^2}) и ((sqrt a)^2) – одно и то же. Это верно только в том случае, когда (a) – положительное число или ноль. А вот если (a) – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо (a) число (-1). Тогда (sqrt{(-1)^2}=sqrt{1}=1), а вот выражение ((sqrt {-1})^2) вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что (sqrt{a^2}) не равен ((sqrt a)^2)!
 
Пример: 1) (sqrt{left(-sqrt2right)^2}=|-sqrt2|=sqrt2), т.к. (-sqrt2<0);

(phantom{00000}) 2) ((sqrt{2})^2=2).
 
(bullet) Так как (sqrt{a^2}=|a|), то [sqrt{a^{2n}}=|a^n|] (выражение (2n) обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) (sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64)
2) (sqrt{(-25)^2}=|-25|=25) (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен (-25); но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) (sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8) (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
(bullet) Для квадратных корней верно: если (sqrt a<sqrt b), то (a<b); если (sqrt a=sqrt b), то (a=b).
Пример:
1) сравним (sqrt{50}) и (6sqrt2). Для начала преобразуем второе выражение в (sqrt{36}cdot sqrt2=sqrt{36cdot 2}=sqrt{72}). Таким образом, так как (50<72), то и (sqrt{50}<sqrt{72}). Следовательно, (sqrt{50}<6sqrt2).
2) Между какими целыми числами находится (sqrt{50})?
Так как (sqrt{49}=7), (sqrt{64}=8), а (49<50<64), то (7<sqrt{50}<8), то есть число (sqrt{50}) находится между числами (7) и (8).
3) Сравним (sqrt 2-1) и (0,5). Предположим, что (sqrt2-1>0,5): [begin{aligned}
&sqrt 2-1>0,5 big| +1quad text{(прибавим единицу к обеим
частям)}\[1ex]
&sqrt2>0,5+1 big| ^2 quadtext{(возведем обе части в
квадрат)}\[1ex]
&2>1,5^2\
&2>2,25 end{aligned}] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и (sqrt 2-1<0,5).
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве (-3<sqrt2) нельзя (убедитесь в этом сами)!
 
(bullet) Следует запомнить, что [begin{aligned}
&sqrt 2approx 1,4\[1ex]
&sqrt 3approx 1,7 end{aligned}] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел!
 
(bullet) Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем (sqrt{28224}). Мы знаем, что (100^2=10,000), (200^2=40,000) и т.д. Заметим, что (28224) находится между (10,000) и (40,000). Следовательно, (sqrt{28224}) находится между (100) и (200).
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между (120) и (130)). Также из таблицы квадратов знаем, что (11^2=121), (12^2=144) и т.д., тогда (110^2=12100), (120^2=14400), (130^2=16900), (140^2=19600), (150^2=22500), (160^2=25600), (170^2=28900). Таким образом, мы видим, что (28224) находится между (160^2) и (170^2). Следовательно, число (sqrt{28224}) находится между (160) и (170).
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце (4)? Это (2^2) и (8^2). Следовательно, (sqrt{28224}) будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем (162^2) и (168^2):
(162^2=162cdot 162=26224)
(168^2=168cdot 168=28224).
Следовательно, (sqrt{28224}=168). Вуаля!

Квадра́тный ко́рень из (корень 2-й степени) — это решение уравнения вида . Несмотря на то, что в первую очередь под и подразумеваются числа, в различных рассмотрениях они могут быть математическими объектами различной природы, в том числе такими как матрицы и операторы. При использовании термина следует уточнять его значение в конкретном разделе математики.

Применение операции корня к числам

Квадратный корень из числа  — это такое число, квадрат которого (результат умножения на себя) равен , то есть решение уравнения относительно переменной .^[1][2]

Рациональные числа

Корень из рационального числа является рациональным числом, только если и (после сокращения общих множителей) являются квадратами натуральных чисел.

Непрерывная дробь корня из рационального числа всегда является периодической (возможно с предпериодом) что позволяет с одной стороны легко вычислять хорошие рациональные приближения к ним с помощью линейных рекуррент, а с другой стороны ограничивает точность приближения: , где зависит от ^[3][4].

Действительные числа

При натуральных уравнение не всегда разрешимо в рациональных числах, что и привело к появлению новых числовых полей. Древнейшее из таких расширений — поле вещественных (действительных) чисел.

Теорема. Для любого положительного числа a существует ровно два вещественных корня, которые равны по модулю и противоположны по знаку. ^[5]

Неотрицательный квадратный корень из положительного числа называется арифметическим квадратным корнем и обозначается с использованием знака радикала .^[6]

Комплексные числа

Над полем комплексных чисел решений всегда два, отличающихся только знаком (за исключением квадратного корня из нуля). Корень из комплексного числа часто обозначают как , однако использовать это обозначение нужно осторожно. Распространенная ошибка:

Для извлечения квадратного корня из комплексного числа удобно использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа: если

,

то (см. Формула Муавра)

,

где корень из модуля понимается в смысле арифметического значения, а k может принимать значения k=0 и k=1, таким образом в итоге в ответе получаются два различных результата.

Квадратный корень как элементарная функция

Вещественный анализ

Квадратным корнем называют также функцию вещественной переменной , которая каждому ставит в соответствие арифметическое значение корня.^[7] Эта функция является частным случаем степенной функции с . Эта функция является гладкой при , в нуле же она непрерывна справа, но не дифференцируема.

Комплексный анализ

Обобщения

Квадратные корни вводятся как решения уравнений вида и для других объектов: матриц ^[8], функций ^[9], операторов^[10] и т. п. В качестве операции при этом могут использоваться достаточно произвольные мультипликативные операции, например, суперпозиция.

В алгебре применяется следующее формальное определение: Пусть  — группоид и . Элемент называется квадратным корнем из если .

Квадратный корень в элементарной геометрии

Квадратные корни тесно связаны с элементарной геометрией: если дан отрезок длины 1, то с помощью циркуля и линейки можно построить те и только те отрезки, длина которых записывается выражениями, содержащими целые числа, знаки четырех действий арифметики, квадратные корни и ничего сверх того. ^[11]

Квадратный корень в информатике

Во многих языках программирования функционального уровня (а также языках разметки типа sqrt, от англ. square root «квадратный корень».

Алгоритмы нахождения квадратного корня

Нахождение или вычисление квадратного корня заданного числа называется извлечением (квадратного) корня.

Арифметическое извлечение квадратного корня

Для квадратов чисел верны следующие равенства:

1 = 1²

1 + 3 = 2²

1 + 3 + 5 = 3²

и так далее.

То есть, узнать целую часть квадратного корня числа можно, вычитая из него все нечётные числа по порядку, пока остаток не станет меньше следующего вычитаемого числа или равен нулю, и сочтя количество выполненных действий. Например, так:

9 − 1 = 8

8 − 3 = 5

5 − 5 = 0

Выполнено 3 действия, квадратный корень числа 9 равен 3.

Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не точнее. В то же время такой способ вполне доступен детям, решающим простейшие математические задачи, требующие извлечения квадратного корня.

Геометрическое извлечение квадратного корня

В частности, если , а , то ^[12]

Столбиком

Этот способ позволяет найти приближённоё значение корня из любого действительного числа с любой наперёд заданной точностью.

Для ручного извлечения корня применяется запись, похожая на деление столбиком. Пусть извлекается корень из целого числа A. В отличие от деления снос производится группами по 2 цифры, причём группы следует отмечать, начиная с десятичной запятой (в обе стороны), дописывая необходимым количеством нулей.

1. Найти a_n, квадрат которого наиболее близко подходит к группе старших разрядов числа A, оставаясь меньше последнего.
2. Провести вычитание из старших разрядов A квадрата числа a_n.
3. Удвоить a_n.
4. Сдвинуть остаток от вычитания на 2 разряда влево, а величину 2a_n — на один разряд влево. Под сдвигом в данном алгоритме понимается умножение/деление на степени 10, что соответственно является сдвигом влево и вправо.
5. Приписать справа от остатка вычитания два следующих старших разряда числа A.
6. Сравнить полученное число с нулём.
7. Если полученное число не равно 0, то найти такое 2a_{n − 1}, которое, будучи умноженным на , даст в результате число, меньшее полученного на четвёртом шаге, но наиболее близкое к нему по значению. Перейти к п.3.
8. Если в п.5 получено равенство, то перейти к п.4, предварительно приписв справа от a_n нуль.
9. После получения количества цифр, равного , прекратить вычисления (если требуется целое значение) или продолжать до необходимой точности, записывая получающиеся цифры после запятой.

Примечания

1. ↑ «Корнем n-й степени из числа x называется число, n-я степень которого совпадает с x. При n = 2 и n = 3 корни называются соответственно квадратным и кубическим.» — определение из статьи «Алгебра» энциклопедии «Кругосвет»
2. ↑ «Извлечь корень n-й степени из числа а — это значит найти такое число (или числа) x, которое при возведении в n-ю степень даст данное число ()… Корень 2-й степени называется квадратным» — определение из статьи «Извлечение корня» «Большой советской энциклопедии» третьего издания.
3. ↑ Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
4. ↑ См. А. Я. Хинчин, Цепные дроби, М. ГИФМЛ, 1960, §§ 4, 10.
5. ↑ Фихтенгольц, Григорий Михайлович. Курс дифференциального и интегрального исчисления Том. 1. Введение, § 4 // Мат. анализ на EqWorld
6. ↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
7. ↑ Фихтенгольц, гл. 2, § 1
8. ↑ См., например: Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1953, или: Воеводин В., Воеводин В., Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ, Спб.: БХВ-Петербург, 2006.
9. ↑ См., например: Ершов Л. В., Райхмист Р. Б., Построение графиков функций, М.: Просвещение, 1984, или: Каплан И. А., Практические занятия по высшей математике, Харьков: Изд-во ХГУ, 1966.
10. ↑ См., например: Хатсон В., Пим Дж., Приложения функционального анализа и теории операторов, М.: Мир, 1983, или: Халмош П., Гильбертово пространство в задачах, М.: Мир, 1970.
11. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. (ГЛАВА III Геометрические построения. Алгебра числовых полей)
12. ↑ Р. Курант Г. Роббинс Что такое математика? МЦНМО, 2000. Стр. 148

См. также

• Корень (значения)
• Арифметический корень
• Квадратное уравнение
• Итерационная формула Герона
• Корень квадратного уравнения
• Теорема Абеля — Руффини

Ссылки

• Алгоритмы вычисления квадратного корня
• A geometric view of the square root algorithm
• Соловьев Ю., Старый алгоритм