Как пишется корень в математике буквами - Граматика и образование на Pisanino.ru

У ряда пользователей, активно работающих с математикой, статистикой и прочими точными науками может возникнуть потребность набрать на клавиатуре символ корня √. При этом ни на одной из кнопок клавиатуры нет изображения подобного символа, и пользователь задаётся вопросом: как же осуществить подобное? В этом материале я помогу таким пользователям расскажу о вводе корня на клавиатуре, поясню, какие методы для этого существуют, и как обозначить корни 3,4,5 степеней.

Содержание

Как поставить знак квадратный корень на клавиатуре
Как использовать таблицу символов
Как обозначить степени корня 3,4,5 степени на клавиатуре
Заключение

Как поставить знак квадратный корень на клавиатуре

Многие пользователи в решении вопроса о написании корня на ПК, используют суррогатный символ «^», расположенный на клавише 6 в верхней части клавиатуры (активируется переходом на английскую раскладку, нажатием клавиши Shift и кнопки «6» сверху).

Некоторые пользователи также пользуются буквосочетанием sqrt (для квадратных корней), cbrt (для кубических) и так далее.

При этом это хоть и быстрые, но недостаточные приёмы. Для нормального набора знака корня выполните следующее:

Нажмите кнопку Num Lock (должен зажечься соответствующий индикатор);
Нажмите и не отжимайте кнопку Alt;
Наберите на цифровой клавиатуре справа 251 и отожмите клавишу;
Вы получите изображение квадратного корня √.

Если вы не знаете, как ввести собаку с клавиатуры, тогда вам обязательно нужно ознакомить с подробной инструкцией по её вводу, так как при наборе E-mail почты без знака собачки не обойтись.

Как использовать таблицу символов

Альтернативой этому варианту является использование специальной таблицы символов, имеющейся в ОС Виндовс, позволяющей использовать корень на клавиатуре. Выполните следующее:

Нажмите на «Пуск», затем выберите «Все программы»;
Потом «Стандартные», затем «Служебные», где выберите «Таблица символов».
Там найдите знак корня √, кликните на него, нажмите на кнопку «Выбрать», затем «Копировать» и скопируйте его в нужный вам текст с помощью клавиш Ctrl+V.

В текстовом редакторе Word (а также в Excel) также имеется соответствующая таблица символов, которую можно использовать для наших задач. Вы можете найти её, перейдя во вкладку «Вставка», и нажав на «Символ» справа, а затем и кликнув на надпись «Другие символы» чуть снизу, это поможет вам в решении вопроса написании корня в Ворде.

Можно, также, использовать опцию «Формула» во вкладке «Вставка» по описанному в данном ролике алгоритму.

Как обозначить степени корня 3,4,5 степени на клавиатуре

Например, корни 3,4,5 степени можно записать так:

X^1/3

X^1/4

X^1/5

Или так:

3√X (вместо числа 3 можете использовать соответствующее обозначение из таблицы символов (³)

4√X

5√X

При этом, несмотря на то, что в системе имеется изображение кубического корня ∛ и четвёртого корня ∜, набрать их через Alt и цифровые клавиши не получится. Это возможно лишь с помощью кодов десятичной системы HTML-код (&#8731 и &#8732) и шестнадцатеричной Юникод (&#x221B и &#x221C). По мне, так лучше использовать формы обозначения, описанные мной чуть выше.

Заключение

В данном материале мной были описаны разные варианты написания корня на клавиатуре вашего компьютера. Самые нетерпеливые могут воспользоваться знаком ^, но точнее и правильнее будет, всё же, воспользоваться комбинацией клавиш Alt+251, и поставить знак корня таким, каким он обозначается в соответствии с общепризнанным стандартом символов.

Источник

Notation for the (principal) square root of x.

For example, √25 = 5, since 25 = 5 ⋅ 5, or 5² (5 squared).

In mathematics, a square root of a number x is a number y such that y² = x; in other words, a number y whose square (the result of multiplying the number by itself, or y ⋅ y) is x.^[1] For example, 4 and −4 are square roots of 16, because 4² = (−4)² = 16.

Every nonnegative real number x has a unique nonnegative square root, called the principal square root, which is denoted by where the symbol ${displaystyle {sqrt {~^{~}}}}$ is called the radical sign^[2] or radix. For example, to express the fact that the principal square root of 9 is 3, we write . The term (or number) whose square root is being considered is known as the radicand. The radicand is the number or expression underneath the radical sign, in this case 9. For nonnegative x, the principal square root can also be written in exponent notation, as x^1/2.

Every positive number x has two square roots: which is positive, and which is negative. The two roots can be written more concisely using the ± sign as . Although the principal square root of a positive number is only one of its two square roots, the designation «the square root» is often used to refer to the principal square root.^[3]^[4]

Square roots of negative numbers can be discussed within the framework of complex numbers. More generally, square roots can be considered in any context in which a notion of the «square» of a mathematical object is defined. These include function spaces and square matrices, among other mathematical structures.

History

The Yale Babylonian Collection YBC 7289 clay tablet was created between 1800 BC and 1600 BC, showing and ${textstyle {frac {sqrt {2}}{2}}={frac {1}{sqrt {2}}}}$ respectively as 1;24,51,10 and 0;42,25,35 base 60 numbers on a square crossed by two diagonals.^[5] (1;24,51,10) base 60 corresponds to 1.41421296, which is a correct value to 5 decimal points (1.41421356…).

The Rhind Mathematical Papyrus is a copy from 1650 BC of an earlier Berlin Papyrus and other texts – possibly the Kahun Papyrus – that shows how the Egyptians extracted square roots by an inverse proportion method.^[6]

In Ancient India, the knowledge of theoretical and applied aspects of square and square root was at least as old as the Sulba Sutras, dated around 800–500 BC (possibly much earlier).^{[citation needed]} A method for finding very good approximations to the square roots of 2 and 3 are given in the Baudhayana Sulba Sutra.^[7] Aryabhata, in the Aryabhatiya (section 2.4), has given a method for finding the square root of numbers having many digits.

It was known to the ancient Greeks that square roots of positive integers that are not perfect squares are always irrational numbers: numbers not expressible as a ratio of two integers (that is, they cannot be written exactly as ${textstyle {frac {m}{n}}}$ , where m and n are integers). This is the theorem Euclid X, 9, almost certainly due to Theaetetus dating back to circa 380 BC.^[8]
The particular case of the square root of 2 is assumed to date back earlier to the Pythagoreans, and is traditionally attributed to Hippasus.^{[citation needed]} It is exactly the length of the diagonal of a square with side length 1.

In the Chinese mathematical work Writings on Reckoning, written between 202 BC and 186 BC during the early Han Dynasty, the square root is approximated by using an «excess and deficiency» method, which says to «…combine the excess and deficiency as the divisor; (taking) the deficiency numerator multiplied by the excess denominator and the excess numerator times the deficiency denominator, combine them as the dividend.»^[9]

A symbol for square roots, written as an elaborate R, was invented by Regiomontanus (1436–1476). An R was also used for radix to indicate square roots in Gerolamo Cardano’s Ars Magna.^[10]

According to historian of mathematics D.E. Smith, Aryabhata’s method for finding the square root was first introduced in Europe by Cataneo—in 1546.

According to Jeffrey A. Oaks, Arabs used the letter jīm/ĝīm (ج), the first letter of the word «جذر» (variously transliterated as jaḏr, jiḏr, ǧaḏr or ǧiḏr, «root»), placed in its initial form (ﺟ) over a number to indicate its square root. The letter jīm resembles the present square root shape. Its usage goes as far as the end of the twelfth century in the works of the Moroccan mathematician Ibn al-Yasamin.^[11]

The symbol «√» for the square root was first used in print in 1525, in Christoph Rudolff’s Coss.^[12]

Properties and uses

The graph of the function f(x) = √x, made up of half a parabola with a vertical directrix

The principal square root function (usually just referred to as the «square root function») is a function that maps the set of nonnegative real numbers onto itself. In geometrical terms, the square root function maps the area of a square to its side length.

The square root of x is rational if and only if x is a rational number that can be represented as a ratio of two perfect squares. (See square root of 2 for proofs that this is an irrational number, and quadratic irrational for a proof for all non-square natural numbers.) The square root function maps rational numbers into algebraic numbers, the latter being a superset of the rational numbers).

For all real numbers x,

$sqrt{x^2} = left|xright| = begin{cases} x, & mbox{if }x ge 0 \ -x, & mbox{if }x < 0. end{cases}$

(see absolute value)

For all nonnegative real numbers x and y,

and

$sqrt x = x^{1/2}.$

The square root function is continuous for all nonnegative x, and differentiable for all positive x. If f denotes the square root function, whose derivative is given by:

$f'(x) = frac{1}{2sqrt x}.$

The Taylor series of about x = 0 converges for |x| ≤ 1, and is given by

${displaystyle {sqrt {1+x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2}+{frac {1}{16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4}+cdots ,}$

The square root of a nonnegative number is used in the definition of Euclidean norm (and distance), as well as in generalizations such as Hilbert spaces. It defines an important concept of standard deviation used in probability theory and statistics. It has a major use in the formula for roots of a quadratic equation; quadratic fields and rings of quadratic integers, which are based on square roots, are important in algebra and have uses in geometry. Square roots frequently appear in mathematical formulas elsewhere, as well as in many physical laws.

Square roots of positive integers

A positive number has two square roots, one positive, and one negative, which are opposite to each other. When talking of the square root of a positive integer, it is usually the positive square root that is meant.

The square roots of an integer are algebraic integers—more specifically quadratic integers.

The square root of a positive integer is the product of the roots of its prime factors, because the square root of a product is the product of the square roots of the factors. Since ${displaystyle {sqrt {p^{2k}}}=p^{k},}$ only roots of those primes having an odd power in the factorization are necessary. More precisely, the square root of a prime factorization is

${displaystyle {sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}dots p_{n}^{e_{n}}{sqrt {p_{1}dots p_{k}}}.}$

As decimal expansions

The square roots of the perfect squares (e.g., 0, 1, 4, 9, 16) are integers. In all other cases, the square roots of positive integers are irrational numbers, and hence have non-repeating decimals in their decimal representations. Decimal approximations of the square roots of the first few natural numbers are given in the following table.

n	truncated to 50 decimal places
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

As expansions in other numeral systems

As with before, the square roots of the perfect squares (e.g., 0, 1, 4, 9, 16) are integers. In all other cases, the square roots of positive integers are irrational numbers, and therefore have non-repeating digits in any standard positional notation system.

The square roots of small integers are used in both the SHA-1 and SHA-2 hash function designs to provide nothing up my sleeve numbers.

As periodic continued fractions

One of the most intriguing results from the study of irrational numbers as continued fractions was obtained by Joseph Louis Lagrange c. 1780. Lagrange found that the representation of the square root of any non-square positive integer as a continued fraction is periodic. That is, a certain pattern of partial denominators repeats indefinitely in the continued fraction. In a sense these square roots are the very simplest irrational numbers, because they can be represented with a simple repeating pattern of integers.

	= [1; 2, 2, …]
	= [1; 1, 2, 1, 2, …]
	= [2]
	= [2; 4, 4, …]
	= [2; 2, 4, 2, 4, …]
	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
	= [2; 1, 4, 1, 4, …]
	= [3]
	= [3; 6, 6, …]
	= [3; 3, 6, 3, 6, …]
	= [3; 2, 6, 2, 6, …]
	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, …]
	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, …]
	= [3; 1, 6, 1, 6, …]
	= [4]
	= [4; 8, 8, …]
	= [4; 4, 8, 4, 8, …]
	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, …]
	= [4; 2, 8, 2, 8, …]

The square bracket notation used above is a short form for a continued fraction. Written in the more suggestive algebraic form, the simple continued fraction for the square root of 11, [3; 3, 6, 3, 6, …], looks like this:

$sqrt{11} = 3 + cfrac{1}{3 + cfrac{1}{6 + cfrac{1}{3 + cfrac{1}{6 + cfrac{1}{3 + ddots}}}}}$

where the two-digit pattern {3, 6} repeats over and over again in the partial denominators. Since 11 = 3² + 2, the above is also identical to the following generalized continued fractions:

${displaystyle {sqrt {11}}=3+{cfrac {2}{6+{cfrac {2}{6+{cfrac {2}{6+{cfrac {2}{6+{cfrac {2}{6+ddots }}}}}}}}}}=3+{cfrac {6}{20-1-{cfrac {1}{20-{cfrac {1}{20-{cfrac {1}{20-{cfrac {1}{20-ddots }}}}}}}}}}.}$

Computation

Square roots of positive numbers are not in general rational numbers, and so cannot be written as a terminating or recurring decimal expression. Therefore in general any attempt to compute a square root expressed in decimal form can only yield an approximation, though a sequence of increasingly accurate approximations can be obtained.

Most pocket calculators have a square root key. Computer spreadsheets and other software are also frequently used to calculate square roots. Pocket calculators typically implement efficient routines, such as the Newton’s method (frequently with an initial guess of 1), to compute the square root of a positive real number.^[13]^[14] When computing square roots with logarithm tables or slide rules, one can exploit the identities

${displaystyle {sqrt {a}}=e^{(ln a)/2}=10^{(log _{10}a)/2},}$

where ln and log₁₀ are the natural and base-10 logarithms.

By trial-and-error,^[15] one can square an estimate for and raise or lower the estimate until it agrees to sufficient accuracy. For this technique it is prudent to use the identity

${displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$

as it allows one to adjust the estimate x by some amount c and measure the square of the adjustment in terms of the original estimate and its square. Furthermore, (x + c)² ≈ x² + 2xc when c is close to 0, because the tangent line to the graph of x² + 2xc + c² at c = 0, as a function of c alone, is y = 2xc + x². Thus, small adjustments to x can be planned out by setting 2xc to a, or c = a/(2x).

The most common iterative method of square root calculation by hand is known as the «Babylonian method» or «Heron’s method» after the first-century Greek philosopher Heron of Alexandria, who first described it.^[16]
The method uses the same iterative scheme as the Newton–Raphson method yields when applied to the function y = f(x) = x² − a, using the fact that its slope at any point is dy/dx = f′(x) = 2x, but predates it by many centuries.^[17]
The algorithm is to repeat a simple calculation that results in a number closer to the actual square root each time it is repeated with its result as the new input. The motivation is that if x is an overestimate to the square root of a nonnegative real number a then a/x will be an underestimate and so the average of these two numbers is a better approximation than either of them. However, the inequality of arithmetic and geometric means shows this average is always an overestimate of the square root (as noted below), and so it can serve as a new overestimate with which to repeat the process, which converges as a consequence of the successive overestimates and underestimates being closer to each other after each iteration. To find x:

Start with an arbitrary positive start value x. The closer to the square root of a, the fewer the iterations that will be needed to achieve the desired precision.
Replace x by the average (x + a/x) / 2 between x and a/x.
Repeat from step 2, using this average as the new value of x.

That is, if an arbitrary guess for is x₀, and x_{n + 1} = (x_n + a/x_n) / 2, then each x_n is an approximation of which is better for large n than for small n. If a is positive, the convergence is quadratic, which means that in approaching the limit, the number of correct digits roughly doubles in each next iteration. If a = 0, the convergence is only linear.

Using the identity

$sqrt{a} = 2^{-n}sqrt{4^n a},$

the computation of the square root of a positive number can be reduced to that of a number in the range [1,4). This simplifies finding a start value for the iterative method that is close to the square root, for which a polynomial or piecewise-linear approximation can be used.

The time complexity for computing a square root with n digits of precision is equivalent to that of multiplying two n-digit numbers.

Another useful method for calculating the square root is the shifting nth root algorithm, applied for n = 2.

The name of the square root function varies from programming language to programming language, with sqrt^[18] (often pronounced «squirt» ^[19]) being common, used in C, C++, and derived languages like JavaScript, PHP, and Python.

Square roots of negative and complex numbers

First leaf of the complex square root

Second leaf of the complex square root

Using the Riemann surface of the square root, it is shown how the two leaves fit together

The square of any positive or negative number is positive, and the square of 0 is 0. Therefore, no negative number can have a real square root. However, it is possible to work with a more inclusive set of numbers, called the complex numbers, that does contain solutions to the square root of a negative number. This is done by introducing a new number, denoted by i (sometimes written as j, especially in the context of electricity where «i» traditionally represents electric current) and called the imaginary unit, which is defined such that i² = −1. Using this notation, we can think of i as the square root of −1, but we also have (−i)² = i² = −1 and so −i is also a square root of −1. By convention, the principal square root of −1 is i, or more generally, if x is any nonnegative number, then the principal square root of −x is

The right side (as well as its negative) is indeed a square root of −x, since

(isqrt x)^2 = i^2(sqrt x)^2 = (-1)x = -x.

For every non-zero complex number z there exist precisely two numbers w such that w² = z: the principal square root of z (defined below), and its negative.

Principal square root of a complex number

Geometric representation of the 2nd to 6th roots of a complex number z, in polar form re^iφ where r = |z | and φ = arg z. If z is real, φ = 0 or π. Principal roots are shown in black.

To find a definition for the square root that allows us to consistently choose a single value, called the principal value, we start by observing that any complex number can be viewed as a point in the plane, expressed using Cartesian coordinates. The same point may be reinterpreted using polar coordinates as the pair where r geq 0 is the distance of the point from the origin, and varphi is the angle that the line from the origin to the point makes with the positive real () axis. In complex analysis, the location of this point is conventionally written ${displaystyle re^{ivarphi }.}$ If

${displaystyle z=re^{ivarphi }{text{ with }}-pi <varphi leq pi ,}$

then the principal square root of is defined to be the following:

${displaystyle {sqrt {z}}={sqrt {r}}e^{ivarphi /2}.}$

The principal square root function is thus defined using the nonpositive real axis as a branch cut.
If is a non-negative real number (which happens if and only if ) then the principal square root of is ${displaystyle {sqrt {r}}e^{i(0)/2}={sqrt {r}};}$ in other words, the principal square root of a non-negative real number is just the usual non-negative square root.
It is important that because if, for example, (so ) then the principal square root is

${displaystyle {sqrt {-2i}}={sqrt {2e^{ivarphi }}}={sqrt {2}}e^{ivarphi /2}={sqrt {2}}e^{i(-pi /4)}=1-i}$

but using would instead produce the other square root ${displaystyle {sqrt {2}}e^{i{tilde {varphi }}/2}={sqrt {2}}e^{i(3pi /4)}=-1+i=-{sqrt {-2i}}.}$

The principal square root function is holomorphic everywhere except on the set of non-positive real numbers (on strictly negative reals it is not even continuous). The above Taylor series for remains valid for complex numbers with

The above can also be expressed in terms of trigonometric functions:

${displaystyle {sqrt {rleft(cos varphi +isin varphi right)}}={sqrt {r}}left(cos {frac {varphi }{2}}+isin {frac {varphi }{2}}right).}$

Algebraic formula

When the number is expressed using its real and imaginary parts, the following formula can be used for the principal square root:^[20]^[21]

${displaystyle {sqrt {x+iy}}={sqrt {frac {{sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}+ioperatorname {sgn}(y){sqrt {frac {{sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},}$

where sgn(y) is the sign of y (except that, here, sgn(0) = 1). In particular, the imaginary parts of the original number and the principal value of its square root have the same sign. The real part of the principal value of the square root is always nonnegative.

For example, the principal square roots of ±i are given by:

${displaystyle {begin{aligned}{sqrt {i}}&={frac {1}{sqrt {2}}}+i{frac {1}{sqrt {2}}}={frac {sqrt {2}}{2}}(1+i),\{sqrt {-i}}&={frac {1}{sqrt {2}}}-i{frac {1}{sqrt {2}}}={frac {sqrt {2}}{2}}(1-i).end{aligned}}}$

Notes

In the following, the complex z and w may be expressed as:

where ${displaystyle -pi <theta _{z}leq pi }$ and ${displaystyle -pi <theta _{w}leq pi }$ .

Because of the discontinuous nature of the square root function in the complex plane, the following laws are not true in general.

A similar problem appears with other complex functions with branch cuts, e.g., the complex logarithm and the relations logz + logw = log(zw) or log(z^*) = log(z)^* which are not true in general.

Wrongly assuming one of these laws underlies several faulty «proofs», for instance the following one showing that −1 = 1:

${displaystyle {begin{aligned}-1&=icdot i\&={sqrt {-1}}cdot {sqrt {-1}}\&={sqrt {left(-1right)cdot left(-1right)}}\&={sqrt {1}}\&=1.end{aligned}}}$

The third equality cannot be justified (see invalid proof).^[22]^{: Chapter VI Some fallacies in algebra and trigonometry, Section I The fallacies, Subsection 2 The fallacy that +1 = -1} It can be made to hold by changing the meaning of √ so that this no longer represents the principal square root (see above) but selects a branch for the square root that contains The left-hand side becomes either

if the branch includes +i or

if the branch includes −i, while the right-hand side becomes

{displaystyle {sqrt {left(-1right)cdot left(-1right)}}={sqrt {1}}=-1,}

where the last equality, is a consequence of the choice of branch in the redefinition of √.

Nth roots and polynomial roots

The definition of a square root of as a number such that ${displaystyle y^{2}=x}$ has been generalized in the following way.

A cube root of is a number such that ${displaystyle y^{3}=x}$ ; it is denoted

If n is an integer greater than two, a nth root of is a number such that ${displaystyle y^{n}=x}$ ; it is denoted

Given any polynomial p, a root of p is a number y such that p(y) = 0. For example, the nth roots of x are the roots of the polynomial (in y) ${displaystyle y^{n}-x.}$

Abel–Ruffini theorem states that, in general, the roots of a polynomial of degree five or higher cannot be expressed in terms of nth roots.

Square roots of matrices and operators

If A is a positive-definite matrix or operator, then there exists precisely one positive definite matrix or operator B with B² = A; we then define A^1/2 = B. In general matrices may have multiple square roots or even an infinitude of them. For example, the 2 × 2 identity matrix has an infinity of square roots,^[23] though only one of them is positive definite.

In integral domains, including fields

Each element of an integral domain has no more than 2 square roots. The difference of two squares identity u² − v² = (u − v)(u + v) is proved using the commutativity of multiplication. If u and v are square roots of the same element, then u² − v² = 0. Because there are no zero divisors this implies u = v or u + v = 0, where the latter means that two roots are additive inverses of each other. In other words if an element a square root u of an element a exists, then the only square roots of a are u and −u. The only square root of 0 in an integral domain is 0 itself.

In a field of characteristic 2, an element either has one square root or does not have any at all, because each element is its own additive inverse, so that −u = u. If the field is finite of characteristic 2 then every element has a unique square root. In a field of any other characteristic, any non-zero element either has two square roots, as explained above, or does not have any.

Given an odd prime number p, let q = p^e for some positive integer e. A non-zero element of the field F_q with q elements is a quadratic residue if it has a square root in F_q. Otherwise, it is a quadratic non-residue. There are (q − 1)/2 quadratic residues and (q − 1)/2 quadratic non-residues; zero is not counted in either class. The quadratic residues form a group under multiplication. The properties of quadratic residues are widely used in number theory.

In rings in general

Unlike in an integral domain, a square root in an arbitrary (unital) ring need not be unique up to sign. For example, in the ring of integers modulo 8 (which is commutative, but has zero divisors), the element 1 has four distinct square roots: ±1 and ±3.

Another example is provided by the ring of quaternions which has no zero divisors, but is not commutative. Here, the element −1 has infinitely many square roots, including ±i, ±j, and ±k. In fact, the set of square roots of −1 is exactly

${ai + bj + ck mid a^2 + b^2 + c^2 = 1} .$

A square root of 0 is either 0 or a zero divisor. Thus in rings where zero divisors do not exist, it is uniquely 0. However, rings with zero divisors may have multiple square roots of 0. For example, in ${displaystyle mathbb {Z} /n^{2}mathbb {Z} ,}$ any multiple of n is a square root of 0.

Geometric construction of the square root

The square root of a positive number is usually defined as the side length of a square with the area equal to the given number. But the square shape is not necessary for it: if one of two similar planar Euclidean objects has the area a times greater than another, then the ratio of their linear sizes is .

A square root can be constructed with a compass and straightedge. In his Elements, Euclid (fl. 300 BC) gave the construction of the geometric mean of two quantities in two different places: Proposition II.14 and Proposition VI.13. Since the geometric mean of a and b is , one can construct simply by taking b = 1.

The construction is also given by Descartes in his La Géométrie, see figure 2 on page 2. However, Descartes made no claim to originality and his audience would have been quite familiar with Euclid.

Euclid’s second proof in Book VI depends on the theory of similar triangles. Let AHB be a line segment of length a + b with AH = a and HB = b. Construct the circle with AB as diameter and let C be one of the two intersections of the perpendicular chord at H with the circle and denote the length CH as h. Then, using Thales’ theorem and, as in the proof of Pythagoras’ theorem by similar triangles, triangle AHC is similar to triangle CHB (as indeed both are to triangle ACB, though we don’t need that, but it is the essence of the proof of Pythagoras’ theorem) so that AH:CH is as HC:HB, i.e. a/h = h/b, from which we conclude by cross-multiplication that h² = ab, and finally that . When marking the midpoint O of the line segment AB and drawing the radius OC of length (a + b)/2, then clearly OC > CH, i.e. ${textstyle {frac {a+b}{2}}geq {sqrt {ab}}}$ (with equality if and only if a = b), which is the arithmetic–geometric mean inequality for two variables and, as noted above, is the basis of the Ancient Greek understanding of «Heron’s method».

Another method of geometric construction uses right triangles and induction: can be constructed, and once has been constructed, the right triangle with legs 1 and has a hypotenuse of . Constructing successive square roots in this manner yields the Spiral of Theodorus depicted above.

Notes

^ Gel’fand, p. 120 Archived 2016-09-02 at the Wayback Machine
^ «Squares and Square Roots». www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-28.
^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (2nd ed.). Jones & Bartlett Learning. p. 78. ISBN 978-0-7637-5772-4. Archived from the original on 2016-09-01. Extract of page 78 Archived 2016-09-01 at the Wayback Machine
^ Weisstein, Eric W. «Square Root». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-28.
^ «Analysis of YBC 7289». ubc.ca. Retrieved 19 January 2015.
^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
^ Joseph, ch.8.
^ Heath, Sir Thomas L. (1908). The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. p. 3.
^ Dauben (2007), p. 210.
^ «The Development of Algebra — 2». maths.org. Archived from the original on 24 November 2014. Retrieved 19 January 2015.
^ * Oaks, Jeffrey A. (2012). Algebraic Symbolism in Medieval Arabic Algebra (PDF) (Thesis). Philosophica. p. 36. Archived (PDF) from the original on 2016-12-03.
^ Manguel, Alberto (2006). «Done on paper: the dual nature of numbers and the page». The Life of Numbers. ISBN 84-86882-14-1.
^ Parkhurst, David F. (2006). Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science. Springer. pp. 241. ISBN 9780387342283.
^ Solow, Anita E. (1993). Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus. Cambridge University Press. pp. 48. ISBN 9780883850831.
^ Aitken, Mike; Broadhurst, Bill; Hladky, Stephen (2009). Mathematics for Biological Scientists. Garland Science. p. 41. ISBN 978-1-136-84393-8. Archived from the original on 2017-03-01. Extract of page 41 Archived 2017-03-01 at the Wayback Machine
^ Heath, Sir Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford: Clarendon Press. pp. 323–324.
^ Muller, Jean-Mic (2006). Elementary functions: algorithms and implementation. Springer. pp. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9., Chapter 5, p 92 Archived 2016-09-01 at the Wayback Machine
^ «Function sqrt». CPlusPlus.com. The C++ Resources Network. 2016. Archived from the original on November 22, 2012. Retrieved June 24, 2016.
^ Overland, Brian (2013). C++ for the Impatient. Addison-Wesley. p. 338. ISBN 9780133257120. OCLC 850705706. Archived from the original on September 1, 2016. Retrieved June 24, 2016.
^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. p. 17. ISBN 0-486-61272-4. Archived from the original on 2016-04-23., Section 3.7.27, p. 17 Archived 2009-09-10 at the Wayback Machine
^ Cooke, Roger (2008). Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. p. 59. ISBN 978-0-470-25952-8. Archived from the original on 2016-04-23.
^ Maxwell, E. A. (1959). Fallacies in Mathematics. Cambridge University Press.
^ Mitchell, Douglas W., «Using Pythagorean triples to generate square roots of I₂«, Mathematical Gazette 87, November 2003, 499–500.

References

Dauben, Joseph W. (2007). «Chinese Mathematics I». In Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
Gel’fand, Izrael M.; Shen, Alexander (1993). Algebra (3rd ed.). Birkhäuser. p. 120. ISBN 0-8176-3677-3.
Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
Smith, David (1958). History of Mathematics. Vol. 2. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book…..S, ISBN 978-1-4020-4559-2.

External links

Algorithms, implementations, and more – Paul Hsieh’s square roots webpage
How to manually find a square root
AMS Featured Column, Galileo’s Arithmetic by Tony Philips – includes a section on how Galileo found square roots

Источник

Notation for the (principal) square root of x.

For example, √25 = 5, since 25 = 5 ⋅ 5, or 5² (5 squared).

History

A symbol for square roots, written as an elaborate R, was invented by Regiomontanus (1436–1476). An R was also used for radix to indicate square roots in Gerolamo Cardano’s Ars Magna.^[10]

According to historian of mathematics D.E. Smith, Aryabhata’s method for finding the square root was first introduced in Europe by Cataneo—in 1546.

The symbol «√» for the square root was first used in print in 1525, in Christoph Rudolff’s Coss.^[12]

Properties and uses

The graph of the function f(x) = √x, made up of half a parabola with a vertical directrix

For all real numbers x,

$sqrt{x^2} = left|xright| = begin{cases} x, & mbox{if }x ge 0 \ -x, & mbox{if }x < 0. end{cases}$

(see absolute value)

For all nonnegative real numbers x and y,

and

$sqrt x = x^{1/2}.$

The square root function is continuous for all nonnegative x, and differentiable for all positive x. If f denotes the square root function, whose derivative is given by:

$f'(x) = frac{1}{2sqrt x}.$

The Taylor series of about x = 0 converges for |x| ≤ 1, and is given by

${displaystyle {sqrt {1+x}}=sum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{frac {1}{2}}x-{frac {1}{8}}x^{2}+{frac {1}{16}}x^{3}-{frac {5}{128}}x^{4}+cdots ,}$

Square roots of positive integers

The square roots of an integer are algebraic integers—more specifically quadratic integers.

${displaystyle {sqrt {p_{1}^{2e_{1}+1}cdots p_{k}^{2e_{k}+1}p_{k+1}^{2e_{k+1}}dots p_{n}^{2e_{n}}}}=p_{1}^{e_{1}}dots p_{n}^{e_{n}}{sqrt {p_{1}dots p_{k}}}.}$

As decimal expansions

n	truncated to 50 decimal places
0	0
1	1
2	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694
3	1.73205080756887729352744634150587236694280525381038
4	2
5	2.23606797749978969640917366873127623544061835961152
6	2.44948974278317809819728407470589139196594748065667
7	2.64575131106459059050161575363926042571025918308245
8	2.82842712474619009760337744841939615713934375075389
9	3
10	3.16227766016837933199889354443271853371955513932521

As expansions in other numeral systems

The square roots of small integers are used in both the SHA-1 and SHA-2 hash function designs to provide nothing up my sleeve numbers.

As periodic continued fractions

	= [1; 2, 2, …]
	= [1; 1, 2, 1, 2, …]
	= [2]
	= [2; 4, 4, …]
	= [2; 2, 4, 2, 4, …]
	= [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
	= [2; 1, 4, 1, 4, …]
	= [3]
	= [3; 6, 6, …]
	= [3; 3, 6, 3, 6, …]
	= [3; 2, 6, 2, 6, …]
	= [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, …]
	= [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, …]
	= [3; 1, 6, 1, 6, …]
	= [4]
	= [4; 8, 8, …]
	= [4; 4, 8, 4, 8, …]
	= [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, …]
	= [4; 2, 8, 2, 8, …]

$sqrt{11} = 3 + cfrac{1}{3 + cfrac{1}{6 + cfrac{1}{3 + cfrac{1}{6 + cfrac{1}{3 + ddots}}}}}$

where the two-digit pattern {3, 6} repeats over and over again in the partial denominators. Since 11 = 3² + 2, the above is also identical to the following generalized continued fractions:

Computation

${displaystyle {sqrt {a}}=e^{(ln a)/2}=10^{(log _{10}a)/2},}$

where ln and log₁₀ are the natural and base-10 logarithms.

By trial-and-error,^[15] one can square an estimate for and raise or lower the estimate until it agrees to sufficient accuracy. For this technique it is prudent to use the identity

${displaystyle (x+c)^{2}=x^{2}+2xc+c^{2},}$

Start with an arbitrary positive start value x. The closer to the square root of a, the fewer the iterations that will be needed to achieve the desired precision.
Replace x by the average (x + a/x) / 2 between x and a/x.
Repeat from step 2, using this average as the new value of x.

Using the identity

$sqrt{a} = 2^{-n}sqrt{4^n a},$

The time complexity for computing a square root with n digits of precision is equivalent to that of multiplying two n-digit numbers.

Another useful method for calculating the square root is the shifting nth root algorithm, applied for n = 2.

Square roots of negative and complex numbers

First leaf of the complex square root

Second leaf of the complex square root

Using the Riemann surface of the square root, it is shown how the two leaves fit together

The right side (as well as its negative) is indeed a square root of −x, since

For every non-zero complex number z there exist precisely two numbers w such that w² = z: the principal square root of z (defined below), and its negative.

Principal square root of a complex number

Geometric representation of the 2nd to 6th roots of a complex number z, in polar form re^iφ where r = |z | and φ = arg z. If z is real, φ = 0 or π. Principal roots are shown in black.

${displaystyle z=re^{ivarphi }{text{ with }}-pi <varphi leq pi ,}$

then the principal square root of is defined to be the following:

${displaystyle {sqrt {z}}={sqrt {r}}e^{ivarphi /2}.}$

${displaystyle {sqrt {-2i}}={sqrt {2e^{ivarphi }}}={sqrt {2}}e^{ivarphi /2}={sqrt {2}}e^{i(-pi /4)}=1-i}$

but using would instead produce the other square root ${displaystyle {sqrt {2}}e^{i{tilde {varphi }}/2}={sqrt {2}}e^{i(3pi /4)}=-1+i=-{sqrt {-2i}}.}$

The above can also be expressed in terms of trigonometric functions:

${displaystyle {sqrt {rleft(cos varphi +isin varphi right)}}={sqrt {r}}left(cos {frac {varphi }{2}}+isin {frac {varphi }{2}}right).}$

Algebraic formula

When the number is expressed using its real and imaginary parts, the following formula can be used for the principal square root:^[20]^[21]

${displaystyle {sqrt {x+iy}}={sqrt {frac {{sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}{2}}}+ioperatorname {sgn}(y){sqrt {frac {{sqrt {x^{2}+y^{2}}}-x}{2}}},}$

For example, the principal square roots of ±i are given by:

Notes

In the following, the complex z and w may be expressed as:

where ${displaystyle -pi <theta _{z}leq pi }$ and ${displaystyle -pi <theta _{w}leq pi }$ .

Because of the discontinuous nature of the square root function in the complex plane, the following laws are not true in general.

A similar problem appears with other complex functions with branch cuts, e.g., the complex logarithm and the relations logz + logw = log(zw) or log(z^*) = log(z)^* which are not true in general.

Wrongly assuming one of these laws underlies several faulty «proofs», for instance the following one showing that −1 = 1:

${displaystyle {begin{aligned}-1&=icdot i\&={sqrt {-1}}cdot {sqrt {-1}}\&={sqrt {left(-1right)cdot left(-1right)}}\&={sqrt {1}}\&=1.end{aligned}}}$

if the branch includes +i or

if the branch includes −i, while the right-hand side becomes

where the last equality, is a consequence of the choice of branch in the redefinition of √.

Nth roots and polynomial roots

The definition of a square root of as a number such that ${displaystyle y^{2}=x}$ has been generalized in the following way.

A cube root of is a number such that ${displaystyle y^{3}=x}$ ; it is denoted

If n is an integer greater than two, a nth root of is a number such that ${displaystyle y^{n}=x}$ ; it is denoted

Given any polynomial p, a root of p is a number y such that p(y) = 0. For example, the nth roots of x are the roots of the polynomial (in y) ${displaystyle y^{n}-x.}$

Abel–Ruffini theorem states that, in general, the roots of a polynomial of degree five or higher cannot be expressed in terms of nth roots.

Square roots of matrices and operators

In integral domains, including fields

In rings in general

${ai + bj + ck mid a^2 + b^2 + c^2 = 1} .$

Geometric construction of the square root

Notes

^ Gel’fand, p. 120 Archived 2016-09-02 at the Wayback Machine
^ «Squares and Square Roots». www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-28.
^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (2nd ed.). Jones & Bartlett Learning. p. 78. ISBN 978-0-7637-5772-4. Archived from the original on 2016-09-01. Extract of page 78 Archived 2016-09-01 at the Wayback Machine
^ Weisstein, Eric W. «Square Root». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-28.
^ «Analysis of YBC 7289». ubc.ca. Retrieved 19 January 2015.
^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
^ Joseph, ch.8.
^ Heath, Sir Thomas L. (1908). The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. p. 3.
^ Dauben (2007), p. 210.
^ «The Development of Algebra — 2». maths.org. Archived from the original on 24 November 2014. Retrieved 19 January 2015.
^ * Oaks, Jeffrey A. (2012). Algebraic Symbolism in Medieval Arabic Algebra (PDF) (Thesis). Philosophica. p. 36. Archived (PDF) from the original on 2016-12-03.
^ Manguel, Alberto (2006). «Done on paper: the dual nature of numbers and the page». The Life of Numbers. ISBN 84-86882-14-1.
^ Parkhurst, David F. (2006). Introduction to Applied Mathematics for Environmental Science. Springer. pp. 241. ISBN 9780387342283.
^ Solow, Anita E. (1993). Learning by Discovery: A Lab Manual for Calculus. Cambridge University Press. pp. 48. ISBN 9780883850831.
^ Aitken, Mike; Broadhurst, Bill; Hladky, Stephen (2009). Mathematics for Biological Scientists. Garland Science. p. 41. ISBN 978-1-136-84393-8. Archived from the original on 2017-03-01. Extract of page 41 Archived 2017-03-01 at the Wayback Machine
^ Heath, Sir Thomas L. (1921). A History of Greek Mathematics, Vol. 2. Oxford: Clarendon Press. pp. 323–324.
^ Muller, Jean-Mic (2006). Elementary functions: algorithms and implementation. Springer. pp. 92–93. ISBN 0-8176-4372-9., Chapter 5, p 92 Archived 2016-09-01 at the Wayback Machine
^ «Function sqrt». CPlusPlus.com. The C++ Resources Network. 2016. Archived from the original on November 22, 2012. Retrieved June 24, 2016.
^ Overland, Brian (2013). C++ for the Impatient. Addison-Wesley. p. 338. ISBN 9780133257120. OCLC 850705706. Archived from the original on September 1, 2016. Retrieved June 24, 2016.
^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. (1964). Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. p. 17. ISBN 0-486-61272-4. Archived from the original on 2016-04-23., Section 3.7.27, p. 17 Archived 2009-09-10 at the Wayback Machine
^ Cooke, Roger (2008). Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. p. 59. ISBN 978-0-470-25952-8. Archived from the original on 2016-04-23.
^ Maxwell, E. A. (1959). Fallacies in Mathematics. Cambridge University Press.
^ Mitchell, Douglas W., «Using Pythagorean triples to generate square roots of I₂«, Mathematical Gazette 87, November 2003, 499–500.

References

Dauben, Joseph W. (2007). «Chinese Mathematics I». In Katz, Victor J. (ed.). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam. Princeton: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-11485-9.
Gel’fand, Izrael M.; Shen, Alexander (1993). Algebra (3rd ed.). Birkhäuser. p. 120. ISBN 0-8176-3677-3.
Joseph, George (2000). The Crest of the Peacock. Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-00659-8.
Smith, David (1958). History of Mathematics. Vol. 2. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-20430-7.
Selin, Helaine (2008), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, Bibcode:2008ehst.book…..S, ISBN 978-1-4020-4559-2.

External links

Algorithms, implementations, and more – Paul Hsieh’s square roots webpage
How to manually find a square root
AMS Featured Column, Galileo’s Arithmetic by Tony Philips – includes a section on how Galileo found square roots

Источник

Тем, кто собирается писать курсовую работу, диплом или любой другой технический текст, могут пригодиться символы, отсутствующие на клавиатуре. В их числе – значок квадратного, кубического корня, корня четвертой степени и пр. На самом деле, вставить в текст этот символ – радикал — не так сложно, как кажется. Давайте разберемся, как пишется корень на клавиатуре.

Способ №1

Этот способ подойдет для отображения значка квадратного корня, в случае которого показатель степени 2 обычно опускается.

Установите курсор там, где необходимо вставить значок корня.
Откройте в Word вкладку «Вставка»;
Найдите графу «Символ» и выберите «Другие символы»;
Выберите строку «Математические операторы» и найдите среди появившихся знаков необходимый вам вариант. Нажимаем «Вставить».

Если символ корня вам нужно вставить не один раз, то пользоваться этой функцией весьма удобно. Все ранее использованные значки отображаются непосредственно под кнопкой «Символ».

Способ №2

Этот способ пригоден для отображения не только квадратного, но еще и кубического корня и корня четвертой степени.

Установите курсор там, где необходимо вставить значок корня;
Откройте в Word вкладку «Вставка»;
Найдите графу «Формула»;
В открывшемся конструкторе с левой стороны вы увидите все виды корней;
Выберите необходимый значок и нажмите на него – он появится в указанной ранее строке текста. В пустом окошке под значком корня введите подкоренное выражение. Готово!

Способ №3

Для отображения корня любой степени удобно использовать следующий способ:

Установите курсор там, где необходимо вставить значок корня;
Откройте в Word вкладку «Вставка»;
Найдите графу «Объект» и найдите в открывшемся окошке строку «Microsoft Equation 3.0».
В выпавшем поле найдите графу «Шаблоны дробей и радикалов» и нажмите на значок корня.
Выберите необходимый вариант корня и нажмите на него – он появится в тексте. В пустые окошки символа введите подкоренное выражение и показатель степени. Вы также можете выбрать в списке значок квадратного корня.

Способ №4

Этот способ не требует применения специальных функций Word – все необходимое для написания квадратного корня есть на самой клавиатуре.

Убедитесь, что вы активировали цифры в правой части клавиатуры. Чтобы включить цифровой блок, нажмите кнопку Num Lock. Обычно она находится в правом верхнем углу цифрового блока клавиатуры.
Если блока цифр у вас нет (например, на ноутбуке), то Num Lock может быть активирован с помощью комбинации клавиш – например, Fn+F8 или Fn+F11 (последняя клавиша в может отличаться в зависимости от производителя или модели вашего ноутбука).
Зажмите клавишу Alt и на активированной цифровой клавиатуре нажмите подряд цифры 2, 5 и 1. То есть, нажмите сочетание Alt+251. Вы увидите, как в указанном месте появился значок корня.

Еще один вариант внесения символа квадратного корня в текст заключается в следующем.

«Пуск»->«Все программы»->«Стандартные»->«Служебные»->«Таблица символов»;
В появившейся таблице отыщите нужный значок и нажмите на него. Затем нажимаем «Выбрать» (значок появится в строке для копирования) и «Копировать»;
С помощью сочетания клавиш Ctrl+C скопируйте корень в необходимую строчку в тексте.

Теперь вы знаете, как пишется корень на клавиатуре. Как видите, существует немало способов внесения данного математического символа в текст, и все они довольно простые.

Источник

√ Квадратный корень

Нажмите, чтобы скопировать и вставить символ

Значение символа

Математический знак корня (√) обозначает операцию обратную возведению в степень. На клавиатуре (в Windows) для него есть специальная комбинация клавиш: Alt+251. Набирать нужно на цифровом блоке с включённым Num Lock. Также, можно скопировать отсюда.

По умолчанию, корень является квадратным, то есть обратен операции возведения в квадрат. Степень задаётся маленькой цифрой перед символом. В Юникоде также присутствуют знаки корней третьей (кубический) и четвёртой степеней ∛, ∜. Есть ещё арабские ؆, но я их вам не предлагаю. Извлечение корня можно ещё записать как возведение в дробную степень: ∜(x) = (x)^0.25.

В средние века вместо знака корня применяли латинскую заглавную R, как сокращение латинского слова Radix, что значит корень. Позже стали использовать стилизованную маленькую r, которая уже была очень похожа на современный значок. Первым это сделал Кристоф Рудольф в 1525 году. Черта корня над выражением появилась ещё позже. Сначала, вместо скобок, её использовал Декарт в 1637 году. Позже она слилась со знаком корня.

Символ «Квадратный корень» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.

Свойства

Версия	1.1
Блок	Математические операторы
Тип парной зеркальной скобки (bidi)	Нет
Композиционное исключение	Нет
Изменение регистра	221A
Простое изменение регистра	221A

Кодировка

Кодировка	hex	dec (bytes)	dec	binary
UTF-8	E2 88 9A	226 136 154	14846106	11100010 10001000 10011010
UTF-16BE	22 1A	34 26	8730	00100010 00011010
UTF-16LE	1A 22	26 34	6690	00011010 00100010
UTF-32BE	00 00 22 1A	0 0 34 26	8730	00000000 00000000 00100010 00011010
UTF-32LE	1A 22 00 00	26 34 0 0	438435840	00011010 00100010 00000000 00000000

Источник

Как же писать квадратный, кубический и четвёртый корни?

Если вам нужно написать, к примеру, технический текст, возникает вопрос: «как написать символы, которых нет на клавиатуре?» Одним из таких символов является корень или радикал.

Наверняка вы замечали, что на многих сайтах используется этот обозначение. И это неудивительно, ведь подобными возможностями обладают все без исключения текстовые редакторы, а если быть точнее, суть вопроса заключается именно в клавиатуре.

Как написать корень на клавиатуре? – всё очень просто! Хоть знак «корень» на клавиатуре и не расположен, его всё-таки можно написать: для этого существует даже не один, а несколько способов. Рассмотрим их подробнее:

Способ №1. Используя горячие клавиши клавиатуры (Alt-код, т.е. первая клавиша в коде — Alt).
Способ №2. Используя 10-й код (HTML-код).
Способ №3. Используя 16-й код (Юникод).

Обратите внимание! Для того чтобы воспользоваться способом №1, вы должны нажать и удерживать клавишу Alt, после чего начать ввод числового кода с использованием дополнительных цифровых клавиш (расположены на правой части клавиатуры).

Перед тем как ввести числовой код, убедитесь, что цифровые клавиши включены (индикатор NumLk должен гореть). 10-й и 16-й коды можно не вводить, а просто скопировать из таблицы и вставить в том месте, где вам нужно.

√ Квадратный корень Alt + 251 √ √∛ Кубический корень — ∛ ∛∜ Четвертый корень — ∜ ∜

Теперь вы знаете, как писать корень на клавиатуре – для этого нужно запомнить комбинацию «Alt+251». Точнее, нужно удерживать клавишу Alt, после чего на цифровых клавишах нажать 2, 5, 1 и отпустить Alt.

Если вы всё сделали верно, на экране появится знак корня. Выглядит он следующим образом: √ (вы также можете просто скопировать его отсюда). Так самому можно писать и другие самые разные смайлики в ворде и других текстовых редакторах.

Вы можете воспользоваться и помощью поисковика Google. Для этого просто введите в поиск то, что вы ищите (к примеру, знак корня), после чего просто его скопировать.

Если у вас возникли какие-либо проблемы (на вашем ноутбуке нет расположенных справа цифровых клавиш и т. д.), достаточно нажать Пуск и перейти в таблицу символов. В зависимости от Windows таблица символов может находиться как в разделе с приложениями, так и в разделе «Стандартные».

Выглядит знак корня следующим образом: √ (вы также можете просто скопировать его отсюда).

Источник

Корнем называют не только часть растения, но и математический элемент. По умолчанию он предназначен для расчётов и вычисления именно квадратного корня, то есть числа в степени одна вторая. У этого математического элемента есть и другое название – радикал, произошедшее, вероятно, от латинского слова radix. Поэтому в некоторых случаях радикал обозначается буквой r.

Содержание:

Что такое корень и его назначение
Немного истории
Применение
Как набирать
- Знак корня на клавиатуре
- Способы набора символа в Ворде

Что такое корень и его назначение

В общих чертах его знак похож на латинскую букву V, с тем лишь отличием, что правая часть длиннее левой. Связано это с тем, что справа пишется число большее, чем левое. И как было сказано выше – левое часто не пишут (если речь идет о квадратном корне).

Пример 1. √16 = 4. Полная запись выглядела бы так: 2√16 = 4. Как видно из примера, двойка по умолчанию не пишется. Она обозначает то, сколько раз число 4 было умножено на само себя. Иными словами – 4, умноженное на 4 равняется числу 16.
Пример 2. 3√8 = 2. Тут уже вычисляется кубический корень (третьей степени). Число 8 получается из умножения числа 2 на само себя три раза – 2*2*2 = 8.

Немного истории

Современное обозначение извлечения квадратного корня из восьми, где восьмёрка находится под правым «крылышком» корня (знака), раньше имело бы выражение вида r8 с чёрточкой над восьмёркой. Но это было не всегда удобно по ряду причин.

Изменить выражение на современный лад впервые предложил в 1525 году авторитетный немецкий математик Кристоф Рудольф. Этот человек внёс большой вклад в развитие алгебры в целом, излагая сложные математические формулы доступным и ясным языком. Его труд примечателен еще и тем, что изобилует доступными и наглядными примерами. Поэтому даже спустя два века на его работу ссылаются многие учебники.

На данный момент в типографике знак корня почти не отличается в разных странах, так как вариант Рудольфа пришёлся по вкусу большинству.

Применение

Разумный вопрос, который рано или поздно возникает у человека, только начавшего изучать математику – зачем вообще нужен квадратный корень? Конечно, он, может, никогда и не пригодится уборщице тёте Люсе или дворнику дяде Васе, но для более образованного человека квадратный корень всё же нужен.

Начнём с того, что квадратный корень нужен для вычисления диагонали прямоугольника. Ну и что с того? – спросят многие. А с того, что это нужно для качественного ремонта, чтобы правильно и аккуратно разложить линолеум, сделать навесной потолок и для проведения многих других работ в сфере строительства.

Ведь дома и квартиры строят люди, вещи и материалы для ремонта изготавливают люди, либо машины, которыми управляют опять-таки люди. А человеку свойственно ошибаться. Поэтому вычисление квадратного корня может существенно сэкономить нервы и деньги при ремонте какого-либо помещения.

Квадратный корень также необходим физикам, математикам, программистам и другим профессионалам, чья профессия связана с вычислениями и наукой. Без подобных знаний наука стояла бы на месте. Однако даже простому человеку никогда не помешают базовые знания о корне. Ведь эти знания развивают мозг, заставляют его работать, образуя новые нейронные связи. Чем больше знаний в голове – тем больше человек запомнит.

Как набирать

Знак корня на клавиатуре

В электронном виде этот символ может понадобиться как студентам, учителям, научным деятелям. Связано это может быть с докладом, проектом, рефератом и так далее. В стандартной раскладке клавиатуры нет символа квадратного корня, так как он не является популярным или часто используемым. Но его можно набрать и другими способами.

Самые распространённые программы для работы с документами – это пакет MS Office, в частности, Microsoft Word. Набрать квадратный корень в этой программе можно несколькими способами, которые по аналогии могут подойти и к другим программам, с небольшими различиями в интерфейсе.

Способы набора символа в Ворде

Можно использовать следующие варианты:

При помощи набора специального кода. В самом низу клавиатуры находится клавиша с названием Alt. Этих клавиш две, подойдёт любая из них. В правой части клавиатуры есть цифры, над которыми находится клавиша Num Lock. Эту клавишу нужно предварительно нажать, чтобы активировать цифры, находящиеся под ней. Затем зажимаем клавишу Alt и не отпуская клавишу, набираем: 251. После этого на экране появится нужный значок.
Ещё один способ связан с меню «вставка-символ». После того как будет найден нужный знак, его можно будет повторять, как ранее использованный. Его код в меню поиска — 221A, (латинская буква). Предварительно лучше включить Юникод.
Самый «красивый» символ набирается с помощью компонента Microsoft Equation 3.0. Для этого надо зайти в «вставка-объект-Microsoft Equation 3.0», после чего найти там нужный знак и использовать его. При этом методе знак смотрится лучше всего, так как тут он отображается правильно с типографической и математической точки зрения.

Источник

Как поставить знак квадратный корень на клавиатуре

Как использовать таблицу символов

Как обозначить степени корня 3,4,5 степени на клавиатуре

Заключение

History

Properties and uses

Square roots of positive integers

As decimal expansions

As expansions in other numeral systems

As periodic continued fractions

Computation

Square roots of negative and complex numbers

Principal square root of a complex number

Algebraic formula

Notes

Nth roots and polynomial roots

Square roots of matrices and operators

In integral domains, including fields

In rings in general

Geometric construction of the square root

See also

Notes

References

External links

History

Properties and uses

Square roots of positive integers

As decimal expansions

As expansions in other numeral systems

As periodic continued fractions

Computation

Square roots of negative and complex numbers

Principal square root of a complex number

Algebraic formula

Notes

Nth roots and polynomial roots

Square roots of matrices and operators

In integral domains, including fields

In rings in general

Geometric construction of the square root

See also

Notes

References

External links

Способ №1

<img loading="lazy" decoding="async" onError="javascript: wp_broken_images = window.wp_broken_images || function(){}; wp_broken_images(this);" src="https://lifeo.ru/wp-content/uploads/1-2-500x260.png" alt width="500" height="260" />Способ №2

Способ №3

Способ №4

√ Квадратный корень

Нажмите, чтобы скопировать и вставить символ

Значение символа

Свойства

Похожие символы

Кодировка

Как же писать квадратный, кубический и четвёртый корни?

Что такое корень и его назначение

Немного истории

Применение

Как набирать

Знак корня на клавиатуре

Способы набора символа в Ворде

Способ №2