Модуль
В этой статье введем и очень подробно разберем такое важное понятие, как модуль числа.
Разберемся, откуда модуль взялся, какими свойствами обладает.
Научимся решать уравнения и неравенства с модулем.
«Величина» числа
Сначала попытаемся сформулировать понятие о «величине» числа. Из этого понятия естественным образом получим понимание, откуда взялся и как определить модуль.
Геометрический смысл
Представьте, что вы стоите в точке на числовой оси. Слева от вас, в точке , находится школа. Справа, в точке , находится ваш дом. Математически число меньше, чем . Но вот идти до школы метров влево гораздо дольше, чем пройти метров до дома вправо. В этом смысле «величина» пройденного расстояния в метров больше, чем метров.
Пусть теперь школа находится в точке , а дом в точке . Математически вновь получаем, что меньше . Но вот нам, находящимся в , совершенно нет разницы: идти метров влево или метров вправо. В обоих случаях мы пройдем метров. То есть, по «величине» числа и равны.
Количественный смысл
Рассмотрим числа и . В математическом смысле гораздо меньше . А давайте посмотрим на эти числа под другим углом. У вас есть всего рублей и вы задолжали другу. Ваш долг составляет рублей. В этом смысле «величина» вашего долга в рублей гораздо больше имеющихся у вас рублей. Получается, что математически меньше , но по «величине» больше .
Теперь рассмотрим числа и . Математически, опять же, меньше . Но, пользуясь нашей аналогией с долгом, своими рублями вы полностью покроете долг в рублей. То есть, по «величине» число равно числу .
Понятие величины
Мы поняли, что каждое число имеет свою «величину». Причем эта величина не зависит от того, положительным или отрицательным является число. Можно даже сказать, что «величина» числа это и есть само число, от которого «отбросили» его знак.
Модуль числа
Сформулируем на строгом языке математики наше интуитивное представление о «величине» числа, которое мы сформировали в предыдущем разделе.
Модуль или абсолютная величина вещественного числа — само число , если оно неотрицательно, иначе .
Допустим, мы хотим найти модуль какого-то числа . Согласно определению, нам надо провести элементарную проверку. Если число положительное или равно , то модулем и является само . Если же меньше , то результатом модуля будет .
Легко убедиться, что модуль числа полностью соответсвует по смыслу «величине» числа, рассмотренной в предыдущем разделе. Там мы утверждали, что по «величине» больше , а равно . И действительно:
Эквивалентное определение модуля
Положение знака нестрогого неравенства в определении модуля не имеет значения:
Доказательство
Обозначим второе определение модуля числа как . Покажем, что какой не возьми, будет выполняться .
Пусть . По классическому определению . По второму: . То есть .
Пусть . По классическому определению . А вот во втором определении попадает уже под второе условие, то есть . Опять имеем .
Наконец, пусть . По классическому определению . У второго определения та же ситуация: . Получается, что и в этом случае .
Итак, мы рассмотрели все возможные значения для и во всех случаях . Это и означает, что между двумя определениями нет никакой разницы
Такое определение иногда бывает полезно. Например, если лежит в следующих пределах: , то можно сразу сказать, что , даже несмотря на то, что для так выражаться будет некорректно, ведь , а не .
Свойства модуля
У модуля есть очень много полезных свойств, которые сильно помогают при решении уравнений, неравенств, доказательстве теорем и так далее.
Рассмотрим самые полезные из них. Все свойства ниже формулируем для любых вещественных чисел и .
Очевидные свойства
Наиболее очевидные свойства модуля напрямую вытекают из рассмотренного ранее понятия о «величине» числа. Например, мы определили «величину» числа как само число с «отброшенным» знаком. Это означает, что «величина» не может быть отрицательной.
Модуль всегда неотрицателен
Доказательство
Рассмотрим произвольное вещественное число . Если , то, по определению модуля , поэтому . Если , то, по определению модуля . Пусть тогда . Умножим обе части неравенства на : . По определению модуля , поэтому . Доказали, что вне зависимости от знака его модуль будет неотрицательным числом.
Помимо этого, было бы странно, если «величина» числа оказалсь бы больше, чем само это число. Отсюда еще одно очевидное своство:
Модуль не меньше аргумента
Доказательство
Докажем правую часть неравенства:
Если , то по определению получаем, что , а значит выполняется .
Если , то неравенство выполняется, так как слева имеем отрицательное число, а число справа всегда неотрицательное.
Доказательство левой части неравенства проводится аналогично.
Вспоминаем геометрический смысл «величины» числа. Мы выяснили, что нет разницы: иди из влево метров или вправо метров. В обоих случаях придется идти метров. Это означает, что «величина» противоположных чисел совпадает, то есть:
Модули противоположных чисел равны
Следствие:
Доказательство
Если , то и , откуда получаем выполняющееся равенство .
Если , то и , откуда получаем также выполняющееся равенство .
Для доказательства следствия вынесем в правой части равенства за скобки :
По уже доказанному свойству это равенство выполняется.
Последнее свойство будет уже чуть менее очевидным. Пусть мы умножаем друг на друга два числа. Логично предположить, что «величина» произведения двух чисел будет равна произведению «величин» множителей.
Доказательство
Из свойства равенства модулей противоположных чисел все равенства ниже выполняются:
Для дальнейших действий выбираем такое произведение, в котором оба числа под модулем являются неотрицательными числами. Пусть таким вариантом будет . Так как и — неотрицательные числа, то, по определению модуля и , то есть:
Произведение двух неотрицательных чисел есть число неторицательное. Поэтому, по определению модуля, можно записать следующее равенство:
Грубо говоря, тут мы воспользовались определением модуля «наоборот». Итак, получили следующую цепочку равенств:
Это очень важное свойство. Оно позволяет нам в любой момент разбивать большое выражение под модулем на несколько поменьше, либо, наоборот, объединять несколько модулей в один и выполнять внутри какие-то действия.
Связь с возведением в квадрат
Доказательство
Воспользуемся свойством объединения произведения модулей:
Мы знаем, что квадрат любого числа есть число положительное, то есть , поэтому, по определению модуля, . Итак, доказали, что:
Это свойство часто позволяет очень сильно упростить решение уравнений и неравенств, так как мы избавляемся от модуля, возиться с которым можно долго, особенно в неравенствах.
Решение
Возводим в квадрат обе части неравенства и пользуемся доказанным свойством:
Связь с корнем
Доказательство
С помощью свойства связи модуля и квадрата произведем замену подкоренного выражения:
Модуль любого числа неотрицателен. Поэтому . Значит, арифметический корень от будет равняться (вариант отбрасывается по определению):
С помощью данного свойства часто получается свести различные сложные неравенства к неравенствам с модулем, которые мы подробно разберем ниже.
Неравенство треугольника
В геометрии у треугольников есть замечательное свойство, заключающееся в том, что длина любой стороны треугольника меньше суммы длин двух оставшихся. Это свойство называется «неравенством треугольника».
Например, пусть у нас есть какой-то треугольник . Тогда длина стороны меньше суммы длин сторон и :
В некоторых учебниках по геометрии различают сам отрезок (например, ) и его длину . Если пользоваться этими обозначениями, неравенство треугольника примет следующий вид:
Оказывается, в алгебре есть очень похожее неравенство, но связано оно не с отрезками и их длинами, а с числами и их модулями. Из-за внешнего сходства это неравенство тоже называют неравенством треугольника.
Доказательство
Слева и справа имеем положительные числа, поэтому можно возвести в квадрат обе части неравенства и воспользоваться свойством связи модуля и квадрата:
Для правой части воспользуемся свойством произведения модулей:
Рассмотрим отдельно варианты неравенства с и :
Оба неравенства всегда выполняется. Первое выполняется, так как модуль всегда не меньше аргумента. Второе выполняется по этому же свойству, а также из-за того, что модули противоположных чисел равны.
С геометрией и треугольниками все понятно. А в чем смысл неравенства треугольника с модулями? А смысл в том, что оно задает максимально возможный результат, который можно получить с помощью сложения или вычитания двух чисел.
Например, пусть у нас есть два числа: и . Какой максимальный результат можно получить из этих двух чисел, пользуясь только сложением и вычатнием? Проверим все возможных варианта напрямую:
Видим, что максимальное значение равно . Такое же значение получаем и по доказанному выше неравенству. Итак, максимально возможное значение равно сумме модулей этих двух чисел. На самом деле, это кажется вполне логичным.
Есть также похожее неравенство, но с разностью модулей. Его называют обратным неравенством треугольника.
Обратное неравенство треугольника
Доказательство
Если меньше , то неравенство выполняется, так как модуль всегда неотрицателен.
Пусть тогда . Возведем обе части неравенства в квадрат и воспользуемся свойством связи модуля и квадрата:
Умножим обе части неравенства на с переменой знака неравенства:
Это неравенство всегда выполняется (см. доказательство неравенства треугольника).
По аналогии с предыдущим доказанным неравенством, обратное неравенство треугольника дает нам минимальное возможное значение, которое можно получить, рассматривая сумму или разность двух чисел.
Оба доказанных неравенства можно объединить в одно цепное. Так его проще запомнить и использовать:
Расстояние между точками
Представим числовую ось. Отметим на ней две точки, например и . Какое между ними расстояние?
Ничего сложного, скажете вы, расстояние равно . И это правильный ответ. Сразу заметим, что , то есть при вычитании из меньшей точки большей получаем то же расстояние, но со знаком минус.
Расстояние между точками и равно . И опять, если мы поменяем местами числа в разности, то получим отрицательное расстояние
Общий посыл вы уловили. Для нахождения расстояния между двумя точками, надо из большей точки вычесть меньшую. Если сделать наоборот, то получим противоположное, отрицательное расстояние.
Вроде все ясно. Ну и причем здесь модуль? А вот представим, что у вас нет точных значений. Вам просто дали точки и , и попросили найти расстояние между ними. Какая-то из двух разностей ниже будет расстоянием:
Но какая именно? Тут к нам и приходит на помощь модуль. Расстояние между и обозначим так:
Если , то мы угадали с разностью и получим положительный результат. Взятие модуля никак на него не повлияет. Если , то мы не угадали и получаем отрицательное расстояние.
Но, по определению модуля, в результате все-равно получим положительное расстояние.
Расстоянием между двумя точками и на числовой оси называется модуль их разности: .
Наконец, поговорим о модулях одного числа, например или . Их можно представить вот так:
В этом смысле модуль одного числа можно понимать как расстояние от до этого числа (до и до ) на числовой оси.
Функция модуля
До этого момента мы говорили о модуле, как о некотором свойстве, которым обладает число, о его беззнаковой «величине». На самом деле, это лишь один из подходов к определению модуля. Он хорош тем, что основные свойства модуля не берутся из ниоткуда, а логично (можно даже сказать, очевидным образом) вытекают из понятия о «величине» числа.
Более строгим подходом является определение модуля как функции. В этом случае модуль спускается с небес на землю и теряет свой статус «неотъемлемой части любого числа», но зато у нас появляется возможность использовать его в большом и наработанном аппарате математики (и математического анализа):
- Определить его функциональные свойства
- Решать уравнения и неравенства с ним
- Строить и изучать сложные функции с его участием
Модуль (функция) — кусочно-линейная функция, определенная на всей вещественной прямой следующим образом:
Видим, что механизм получения значения полностью совпадает с определением модуля числа, которое я дал в начале статьи. Никакой разницы в значениях между этими определениями нет. Это означает, что все выведенные выше свойства модуля числа прекрасно сохраняются и для функции модуля.
График функции модуля элементарный. От до это будет убывающая под углом в градусов прямая . От и далее это обычная прямая .
Помимо рассмотренных ранее уникальных свойств модуля, можно также проанализировать его на предмет наличия общих свойств функций.
Свойства модуля как функции
- Область определения:
- Область значений:
- Функция четная
- Строго убывает на и строго возрастает на
Доказательство
Любое вещественное число будет удовлетворять либо верхнему, либо нижнему неравенству из определения функции модуля. Другими словами, «величина» есть у любого числа. Поэтому область определения функции модуля равна .
Для любых неотрицательных чисел функция модуля будет равна самим этим числам. Значит, любое положительное число входит в область значений функции модуля. В то же время, модуль всегда неотрицателен, поэтому отрицательных чисел в области значений не может быть. Значит, область значений равна .
Доказанное ранее свойство равенства модулей противоположных чисел и означает четность функции модуля по определению.
Наконец, функция монотонно убывает, а монотонно возрастает на всей своей области определения. Поэтому функция модуля монотонно убывает на и возрастает на .
Все же, под модулем в литературе и других источниках информации чащее всего понимают именно функцию модуля.
C этого момента мы тоже будем придерживаться этой логики.
В дальнейших разделах вместо записей и я буду использовать записи и , чтобы подчеркнуть, что под знаком модуля может быть как число, так и какая-нибудь функция.
Уравнения с модулем
Научимся решать уравнения, в которых присутсвует модуль. В самом общем виде, их можно представить так: , причем под и могут оказать не только переменные, но и целые функции. Как решить это уравнение относительно ?
Уравнения с модулем вида
Уравнение вида имеет два решения вида и , если и не имеет решений вовсе, если .
Доказательство
Докажем сначала для случая, когда . В этом случае, какое ни возьми, его модуль всегда будет положительным, поэтому не существует такого числа , при котором получили бы равенство .
Пусть теперь . Тогда мы можем возвести обе части равенства в квадрат и воспользоваться свойством связи модуля и квадрата:
В левой части равенства ноль можно получить только когда какая-то из скобок равна . Отсюда два возмножных решения:
Пример
Решите уравнение с параметром:
Решение
Определим, при каких решений у уравнения не будет. Решений у него не будет, когда его правая часть отрицательная, то есть при . Для исходное уравнение по доказанной выше теореме разбивается на два:
Откуда получаем два корня:
Обратите внимание, что левый корень не зависит от .
Неравенства с модулем
Сейчас мы выведем формулы для решения неравенств с модулями любых видов.
Доказывать формулы мы будем строго аналитически, но это не страшно, ведь суть каждого вида неравенств я также поясню геометрически.
Далее я буду использовать знаки и , чтобы подчеркнуть, что формулы одинаково работают и для чисел, и для функций.
Неравенства вида
Неравенства с модулем вида
Доказательство
Стоит сразу отметить, что если , то неравенство не выполняется вне зависимости от значения , ведь модуль всегда неотрицателен и мы получаем, что положительное число должно быть меньше, чем отрицательное , чего не может быть.
Получается, рассматривать неравенство имеет смысл только при . Тогда возведем обе части неравенства в квадрат и воспользуемся свойством связи модуля с квадратом:
Имеем произведение двух скобок друг на друга, которое должно быть меньше . Такое возможно в двух случаях: если первая скобка меньше нуля, а вторая больше, и наоборот:
Преобразуем превый случай:
Разберем второй случай:
Но мы рассматриваем только неотрицательные , поэтому второй случай всегда не выполняется. Значит, в рассмотрении остается только первый случай:
Важно отметить, что формула работает и для нестрогого случая. Тогда все «расшифровывающие» неравенства справа также становятся нестрогими.
Теперь подумаем над сутью неравенств вида . Мы уже поняли, что можно рассматривать как расстояние от до . В этом смысле решить неравенство означает найти все такие , чтобы расстояние между и было меньше .
Геометрически это можно представить в виде симметричного относительно коридора со «стенками», равными и , между которыми «зажаты» все решения этого неравенства:
Решение
Решением этого неравенства будут все возможные расстояния между точкой и . Например, может равняться и так далее.
Воспользуемся доказанной выше формулой:
Действительно, расстояние между любым числом из интервала и будет меньше .
Окрестность
Очень важную разновидность рассматриваемых нами неравенств представляют такие вот неравенства:
где и — константы. Воспользуемся доказанной формулой для получения цепного неравенства:
По смыслу от нас требуется найти такие точки на числовой прямой, чтобы расстояние между ними и числом не превышало .
Геометрически это можно представить, как симметрический коридор с центром в точке и стенками в точках и .
Такие вот неравенства называют окрестностями. Если говорить точнее, неравенство задает -окрестность точки .
Окрестности очень часто используются в высшей математике. Например, именно понятие окрестности точки является ключевым в определении предела последовательности и функции. А на пределах строится вообще весь математический анализ. Но об этом поговорим в соответствующих статьях. А сейчас решим пример:
Решение
Запишем это неравенство немного в другом виде:
Сразу видим, что речь идет о -окрестности точки . Другими словами, в качестве подходят все точки из коридора от до с включением «стенок коридора» в качестве значений для .
Если строго, то пользуемся доказанной теоремой:
В полученном цепном неравенстве вычтем из всех частей :
Неравенства вида
Неравенства с модулем вида
Если , то неравенство выполняется для любого . Если , то выполняется:
Доказательство
Сразу заметим, что если , то неравенство выполняется вообще всегда, вне зависимости от , ведь модуль всегда неотрицателен.
Разберем вариант, когда . Тогда мы, прямо как и для неравенств вида , можем возвести обе части неравенства в квадрат и воспользоваться свойством связи модуля с квадратом:
Имеем произведение двух скобок друг на друга, которое должно быть больше . Такое возможно в двух случаях: если обе скобки больше нуля, и наоборот, обе скобки меньше нуля:
В верхнем И-условии при выполнении автоматически выполняется , так как . Поэтому, из двух неравенств можно оставить только . Аналогично поступаем и с нижним И-условием:
Итоговое неравенство имеет вид:
Теорема работает также и для случая нестрогих неравенств. Тогда в правой части также будут нестрогие неравенства.
В чем заключается смысл неравенств этого вида? Вновь вспоминаем, что можно рассматривать, как расстояние от до . В этом смысле неравнству будут удовлетворять все такие , что расстояние между и больше, чем . По факту, мы строим все тот-же симметричный относительно коридор со стенками и , и все подходящие не должны попасть в этот коридор.
Легко заметить, что неравенства вида являются, по факту, отрицанием неравенств вида . Действительно, в обоих случаях мы строим симметричный коридор. Только в первом в случае с мы берем все числа вне этого коридора, а в случае с все числа внутри него.
Теперь у вас есть вся необходимая информация для решения задач из раздела «Модуль».
Закрепите пройденную теорию практикой!
Модуль числа – теория и решение задач
Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂
А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.
Вот смотри…
Ситуация первая
В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.
Например, мы не можем проехать на машине “минус 70 километров” (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить “минус 5 кг апельсинов”. Эти значения всегда должны быть положительными.
Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.
Ситуация вторая
Ты покупаешь пакет чипсов “Lay’s”. На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.
И что, можно идти судиться с компанией “Lay’s”, если они тебе недовесили?
Нет. Потому что “Lay’s” устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это “плюс-минус” – это и есть модуль.
Ситуация третья
В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: “Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!” 20 тысяч – это и есть модуль.
А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.
Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…
Модуль числа – коротко о главном
Определение модуля:
Модуль (абсолютная величина) числа ( displaystyle x) – это само число ( displaystyle x), если ( displaystyle xge 0), и число ( displaystyle -x), если ( displaystyle x<0):
( displaystyle left| x right|=left{ begin{array}{l}x, xge 0\-x, x<0end{array} right.)
Свойства модуля:
- Модуль числа есть число неотрицательное: ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0);
- Модули противоположных чисел равны: ( left| -x right|=left| x right|);
- Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ( left| xcdot yright|=left| x right|cdot left|yright|);
- Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ( displaystyle left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0});
- Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|);
- Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|) при ( displaystyle c>0);
- Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}}).
Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: “Уравнения с модулем“. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.
И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.
Что же такое модуль числа?
Представь, что это ты.
Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления ( 0).
Итак, ты делаешь ( 3) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой ( 3).
Это означает, что ты удалился от места, где стоял на (3) шага (( 3) единичных отрезка).
То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно ( 3).
Но ведь ты же можешь двигаться и назад!
Если от отправной точки с координатой ( 0) сделать ( 3) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой ( -3).
Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?
Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (( 3) и ( -3)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (( 0)).
Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.
Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.
Так, модулем числа ( 5) будет ( 5). Модуль числа ( -5) также равен ( 5).
Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.
Обозначается модуль просто:
( |mathbf{a}|,) (( a) – любое число).
Итак, найдём модуль числа ( 3) и ( -3):
( left| mathbf{3} right|=mathbf{3})
( left| -mathbf{3} right|=mathbf{3}.)
Основные свойства модуля
Первое свойство модуля
Модуль не может быть выражен отрицательным числом ( |mathbf{a}|text{ }ge text{ }mathbf{0})
То есть, если ( mathbf{a}) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.
Если ( mathbf{a}text{ }>text{ }mathbf{0},) то ( displaystyle left| a right|=a).
Если ( a) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.
Если ( atext{ }<text{ }mathbf{0},) то ( |mathbf{a}|text{ }=text{ }-mathbf{a})
А если ( a=0)? Ну, конечно! Его модуль также равен ( 0):
Если ( a=0), то ( |mathbf{a}|=mathbf{a}), или ( displaystyle left| 0 right|=0).
Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:
( left| -4 right|text{ }=text{ }left| 4 right|text{ }=text{ }4;)
( left| -7 right|text{ }=text{ }left| 7 right|text{ }=text{ }7.)
А теперь потренируйся:
- ( left| 9 right|text{ }=text{ }?;)
- ( left| -3 right|text{ }=text{ }?;)
- ( left| 16 right|text{ }=text{ }?;)
- ( left| 8 right|text{ }=text{ }?;)
- ( left| -17 right|text{ }=text{ }?.)
Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.
Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: ( left| 2-sqrt{5} right|=?)
Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.
Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:
- если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
- если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.
Ну что, попробуем? Оценим ( 2-sqrt{5}):
( 2<sqrt{5}) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)
Если ( 2<sqrt{5}), то какой знак имеет ( 2-sqrt{5})? Ну конечно, ( 2-sqrt{5}<0)!
А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:
( left| 2-sqrt{5} right|=-left( 2-sqrt{5} right)=-2+sqrt{5}=sqrt{5}-2)
Разобрался? Тогда попробуй сам:
- ( left| sqrt{3}-1 right|=?)
- ( left| 3-sqrt{7} right|=?)
- ( left| 2-sqrt{7} right|=?)
- ( left| sqrt{13}-4 right|=?)
Ответы:
( sqrt{3}-1; 3-sqrt{7}; sqrt{7}-2; 4-sqrt{13.})
Какими же ещё свойствами обладает модуль?
Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.
То есть: ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|)
Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.
Например:
( left| mathbf{5}cdot mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{5} right|cdot left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{5}cdot mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{35};)
( left| mathbf{3}cdot left( -mathbf{2} right) right|text{ }=text{ }left| mathbf{3} right|cdot left| -mathbf{2} right|text{ }=text{ }mathbf{3}cdot mathbf{2}text{ }=text{ }mathbf{6}.)
А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:
( displaystyle |frac{a}{b}|=frac{|a|}{|b|}) при условии, что ( mathbf{b}ne mathbf{0}) (так как на ноль делить нельзя).
Еще одно свойство модуля…
Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.
( |a+bleft| text{ }le text{ } right|aleft| + right|b|)
Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.
Допустим, что числа ( a) и ( b) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:
| ( left| mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{10} right|text{ }=text{ }mathbf{10}) | ( left| mathbf{3} right|+left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10}) |
Выражения также равны, если оба числа отрицательны:
| ( displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~)( displaystyle=|-10|=10) | ( |-mathbf{3}left| + right|-mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10}) |
Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:
| ( left| -mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4}) | ( |-mathbf{3}left| + right|mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10}) |
или
| ( left| mathbf{3}+left( -mathbf{7} right) right|text{ }=text{ }left| -mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4}) | ( left| mathbf{3} right|+left| -mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10}) |
( mathbf{4}<mathbf{10})
Рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля
Что если перед нами такое выражение:
( left| 7x right|)
Что мы можем сделать с этим выражением?
Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|), а значит ( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|). Число ( 7) больше нуля, а значит можно просто записать:
( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|=7left| x right|)
Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:
( left| cx right|=ccdot left| x right|,) при ( c>0)
А чему равно такое выражение:
( {{left| x right|}^{2}}=?)
Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?
Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.
И что же получается? А вот что:
( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})
Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:
( {{left| 5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)
( {{left| -5 right|}^{2}}=?)
Ну, и почему сомнения? Действуем смело!
( {{left| -5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)
Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!
Тренировка на примерах
1. Найдите значение выражения ( |xleft| text{ }+text{ } right|y|), если ( x=text{ }-7,5text{ },y=text{ }12.)
2. У каких чисел модуль равен ( 5)?
3. Найдите значение выражений:
а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|;)
б) ( |-5|text{ }-text{ }|6|;)
в) ( |15left| cdot right|-3|;)
г) ( displaystyle frac{|8|}{|-2|}).
Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:
Решение 1:
Итак, подставим значения ( x) и ( y) в выражение ( |mathbf{x}left| text{ }-text{ } right|mathbf{y}|.) Получим:
( |-7,5|text{ }+text{ }|12|text{ }=7,5text{ }+text{ }12text{ }=text{ }19,5.)
Решение 2:
Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное ( 5) имеют два числа: ( 5) и ( -5).
Решение 3:
а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|=text{ }3+9=text{ }12;)
б) ( |-5|-text{ }left| 6 right|text{ }=text{ }5-6=text{ }-1;)
в) ( |15left| cdot right|-3|text{ }=text{ }15cdot 3=text{ }45;)
г) ( frac{|8|}{|-2|}=frac{8}{2}=4.)
Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!
Решение более сложных примеров
Попробуем упростить выражение ( left| sqrt{3}-2 right|+left| sqrt{3}+5 right|)
Решение:
Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.
Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).
Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.
( displaystyle sqrt{3} approx 1,7). Получается, значение первого выражения под модулем ( displaystyle sqrt{3}-2approx 1,7-2approx -0,3text{ }).
( -0,3<0), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.
Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:
Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:
Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)
Модуль (абсолютная величина) числа ( x) – это само число ( x), если ( xge 0), и число ( -x), если ( x<0):
( left| x right|=left{ begin{array}{l}x,text{ }xge 0\-x,text{ }x<0end{array} right.)
Например: ( left| 4 right|=4;text{ }left| 0 right|=0;text{ }left| -3 right|=-left( -3 right)=3.)
Пример:
Упростите выражение ( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|).
Решение:
( sqrt{5}-3<0Rightarrow left| sqrt{5}-3 right|=-left( sqrt{5}-3 right)=3-sqrt{5};)
( sqrt{5}+1>0Rightarrow left| sqrt{5}+1 right|=sqrt{5}+1;)
( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|=3-sqrt{5}+sqrt{5}+1=4.)
Основные свойства модуля (итог)
Для всех ( x,yin mathbb{R}):
- ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0;)
- ( left| -x right|=left| x right|;)
- ( left| xcdot y right|=left| x right|cdot left| y right|;)
- ( left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0};)
- ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)
- ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)
- ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})
Докажите свойство модуля: ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)
Доказательство:
Предположим, что существуют такие ( x;yin mathbb{R}), что ( left| x+y right|>left| x right|+left| y right|.) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):
( displaystyle begin{array}{l}left| x+y right|>left| x right|+left| y right|Leftrightarrow \{{left( x+y right)}^{2}}>{{left( left| x right|+left| y right| right)}^{2}}Leftrightarrow \{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2cdot left| x right|cdot left| y right|+{{y}^{2}}Leftrightarrow \xy>left| x right|cdot left| y right|Leftrightarrow \xy>left| xy right|,end{array})
а это противоречит определению модуля.
Следовательно, таких ( x;yin mathbb{R}) не существует, а значит, при всех ( x,text{ }yin mathbb{R}) выполняется неравенство ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|.)
А теперь самостоятельно…
Докажите свойство модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)
Воспользуемся свойством №3: ( left| ccdot x right|=left| c right|cdot left| x right|), а поскольку ( c>0text{ }Rightarrow text{ }left| c right|=c), тогда
( left| cx right|=ccdot left| x right|), ч.т.д.
Упростите выражение ( left| frac{31}{8}-sqrt{15} right|+left| frac{15}{4}-sqrt{15} right|)
Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем:
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий курсов
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.
Модуль числа
Модуль числа и уравнения с модулем — тема особенная, прямо-таки заколдованная 
Она совсем не сложная, просто в школе её редко объясняют нормально. В результате без специальной подготовки почти никто из школьников не может дать правильное определение модуля и тем более решить уравнение с модулем. И эту картину мы наблюдаем на протяжении многих лет.
Поэтому осваивайте тему «Уравнения и неравенства с модулем» по нашим статьям и на наших занятиях! Вы сумеете обойти множество конкурентов на ЕГЭ, олимпиадах и вступительных экзаменах.
Модуль числа называют ещё абсолютной величиной этого числа. Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак. В записи положительного числа и так нет никакого знака, поэтому модуль положительного числа равен ему самому. Например, 
Модуль нуля равен нулю. А модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному (без знака!).
Например, 
Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: 
Определение модуля
Вот оно:
От большинства известных из школы определений оно отличается лишь одним: в нём есть выбор. Есть условие. И в зависимости от этого условия мы раскрываем модуль либо так, либо иначе.
Так же, как в информатике — в разветвляющихся алгоритмах с применением условных операторов. Как, вообще-то, и в жизни: сдал ЕГЭ на минимальный балл — можешь подавать документы в ВУЗ. Не сдал на минимальный балл — можешь идти в армию
Таким образом, если под знаком модуля стоит выражение, зависящее от переменной, мы раскрываем модуль по определению. Например,
В некоторых случаях модуль раскрывается однозначно. Например, 
так как выражение под знаком модуля неотрицательно при любых x и y. Или: 
так так как выражение под модулем неположительно при любых z.
Геометрическая интерпретация модуля
Нарисуем числовую прямую. Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Например, 
То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.
Эта геометрическая интерпретация очень полезна для решения уравнений и неравенств с модулем.
Рассмотрим простейшее уравнение 
. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и −3. Значит, у уравнения есть два решения: x = 3 и x = −3.
Вообще, если имеются два числа, a и b, то 
равно расстоянию между ними на числовой прямой.
(В связи с этим нередко встречается обозначение 
длины отрезка AB, то есть расстояния от точки A
до точки B.)
Ясно, что 
(расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a).
Решим уравнение 
. Эту запись можно прочитать так: расстояние от точки x до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Мы видим, что наше уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы решили его самым простым способом — без использования определения модуля.
Перейдём к неравенствам. Решим неравенство: 
.
Эту запись можно прочитать так: «расстояние от точки x до точки −7 меньше четырёх». Отмечаем на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.
Ответ: (-11; -3).
Другой пример. Решим неравенство: |10 − x| ≥ 7.
Расстояние от точки 10 до точки x больше или равно 7. Отметим эти точки на числовой прямой.
Ответ: 
.
График функции 
Этот график надо знать обязательно. Для 
имеем y = x. Для 
имеем y = −x. В результате получаем:
С помощью этого графика также можно решать уравнения и неравенства.
Корень из квадрата
Нередко в задачах ЕГЭ требуется вычислить 
, где 
– некоторое число или выражение. Не забывайте, что 
Действительно, по определению арифметического квадратного корня — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен 
. Оно равно при 
и 
при 
, т. е. как раз 
.
Примеры заданий ЕГЭ
1. Найдите значение выражения: 
при 
.
Заметим, что 
при . Следовательно, значение нашего выражения равно: 
.
2. Найдите значение выражения: 
при 
.
Действуем аналогично:
.
В следующей статье мы рассмотрим более сложные уравнения и неравенства с модулем.
Читайте также: Уравнения с модулем
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Модуль числа» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Публикация обновлена:
07.01.2023
This article is about the general term in mathematics. For the operation, see Modulo operation. For the mathematical system, see Modular arithmetic.
In mathematics, the term modulo («with respect to a modulus of», the Latin ablative of modulus which itself means «a small measure») is often used to assert that two distinct mathematical objects can be regarded as equivalent—if their difference is accounted for by an additional factor. It was initially introduced into mathematics in the context of modular arithmetic by Carl Friedrich Gauss in 1801.[1] Since then, the term has gained many meanings—some exact and some imprecise (such as equating «modulo» with «except for»).[2] For the most part, the term often occurs in statements of the form:
- A is the same as B modulo C
which means
- A and B are the same—except for differences accounted for or explained by C.
History[edit]
Modulo is a mathematical jargon that was introduced into mathematics in the book Disquisitiones Arithmeticae by Carl Friedrich Gauss in 1801.[3] Given the integers a, b and n, the expression «a ≡ b (mod n)», pronounced «a is congruent to b modulo n«, means that a − b is an integer multiple of n, or equivalently, a and b both share the same remainder when divided by n. It is the Latin ablative of modulus, which itself means «a small measure.»[4]
The term has gained many meanings over the years—some exact and some imprecise. The most general precise definition is simply in terms of an equivalence relation R, where a is equivalent (or congruent) to b modulo R if aRb. More informally, the term is found in statements of the form:
- A is the same as B modulo C
which means
- A and B are the same—except for differences accounted for or explained by C.
Usage[edit]
Original use[edit]
Gauss originally intended to use «modulo» as follows: given the integers a, b and n, the expression a ≡ b (mod n) (pronounced «a is congruent to b modulo n«) means that a − b is an integer multiple of n, or equivalently, a and b both leave the same remainder when divided by n. For example:
- 13 is congruent to 63 modulo 10
means that
- 13 − 63 is a multiple of 10 (equiv., 13 and 63 differ by a multiple of 10).
Computing[edit]
In computing and computer science, the term can be used in several ways:
- In computing, it is typically the modulo operation: given two numbers (either integer or real), a and n, a modulo n is the remainder of the numerical division of a by n, under certain constraints.
- In category theory as applied to functional programming, «operating modulo» is special jargon which refers to mapping a functor to a category by highlighting or defining remainders.[5]
Structures[edit]
The term «modulo» can be used differently—when referring to different mathematical structures. For example:
- Two members a and b of a group are congruent modulo a normal subgroup, if and only if ab−1 is a member of the normal subgroup (see quotient group and isomorphism theorem for more).
- Two members of a ring or an algebra are congruent modulo an ideal, if the difference between them is in the ideal.
- Used as a verb, the act of factoring out a normal subgroup (or an ideal) from a group (or ring) is often called «modding out the…» or «we now mod out the…».
- Two subsets of an infinite set are equal modulo finite sets precisely if their symmetric difference is finite, that is, you can remove a finite piece from the first subset, then add a finite piece to it, and get the second subset as a result.
- A short exact sequence of maps leads to the definition of a quotient space as being one space modulo another; thus, for example, that a cohomology is the space of closed forms modulo exact forms.
Modding out[edit]
In general, modding out is a somewhat informal term that means declaring things equivalent that otherwise would be considered distinct. For example, suppose the sequence 1 4 2 8 5 7 is to be regarded as the same as the sequence 7 1 4 2 8 5, because each is a cyclicly-shifted version of the other:
In that case, one is «modding out by cyclic shifts«.
See also[edit]
Look up modulo in Wiktionary, the free dictionary.
- Essentially unique
- List of mathematical jargon
- Up to
References[edit]
- ^ «Modular arithmetic». Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-11-21.
- ^ «modulo». catb.org. Retrieved 2019-11-21.
- ^ Bullynck, Maarten (2009-02-01). «Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany». Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009. ISSN 0315-0860.
- ^ «modulo», The Free Dictionary, retrieved 2019-11-21
- ^ Barr; Wells (1996). Category Theory for Computing Science. London: Prentice Hall. p. 22. ISBN 0-13-323809-1.
External links[edit]
- Modulo in the Jargon File
This article is about the general term in mathematics. For the operation, see Modulo operation. For the mathematical system, see Modular arithmetic.
In mathematics, the term modulo («with respect to a modulus of», the Latin ablative of modulus which itself means «a small measure») is often used to assert that two distinct mathematical objects can be regarded as equivalent—if their difference is accounted for by an additional factor. It was initially introduced into mathematics in the context of modular arithmetic by Carl Friedrich Gauss in 1801.[1] Since then, the term has gained many meanings—some exact and some imprecise (such as equating «modulo» with «except for»).[2] For the most part, the term often occurs in statements of the form:
- A is the same as B modulo C
which means
- A and B are the same—except for differences accounted for or explained by C.
History[edit]
Modulo is a mathematical jargon that was introduced into mathematics in the book Disquisitiones Arithmeticae by Carl Friedrich Gauss in 1801.[3] Given the integers a, b and n, the expression «a ≡ b (mod n)», pronounced «a is congruent to b modulo n«, means that a − b is an integer multiple of n, or equivalently, a and b both share the same remainder when divided by n. It is the Latin ablative of modulus, which itself means «a small measure.»[4]
The term has gained many meanings over the years—some exact and some imprecise. The most general precise definition is simply in terms of an equivalence relation R, where a is equivalent (or congruent) to b modulo R if aRb. More informally, the term is found in statements of the form:
- A is the same as B modulo C
which means
- A and B are the same—except for differences accounted for or explained by C.
Usage[edit]
Original use[edit]
Gauss originally intended to use «modulo» as follows: given the integers a, b and n, the expression a ≡ b (mod n) (pronounced «a is congruent to b modulo n«) means that a − b is an integer multiple of n, or equivalently, a and b both leave the same remainder when divided by n. For example:
- 13 is congruent to 63 modulo 10
means that
- 13 − 63 is a multiple of 10 (equiv., 13 and 63 differ by a multiple of 10).
Computing[edit]
In computing and computer science, the term can be used in several ways:
- In computing, it is typically the modulo operation: given two numbers (either integer or real), a and n, a modulo n is the remainder of the numerical division of a by n, under certain constraints.
- In category theory as applied to functional programming, «operating modulo» is special jargon which refers to mapping a functor to a category by highlighting or defining remainders.[5]
Structures[edit]
The term «modulo» can be used differently—when referring to different mathematical structures. For example:
- Two members a and b of a group are congruent modulo a normal subgroup, if and only if ab−1 is a member of the normal subgroup (see quotient group and isomorphism theorem for more).
- Two members of a ring or an algebra are congruent modulo an ideal, if the difference between them is in the ideal.
- Used as a verb, the act of factoring out a normal subgroup (or an ideal) from a group (or ring) is often called «modding out the…» or «we now mod out the…».
- Two subsets of an infinite set are equal modulo finite sets precisely if their symmetric difference is finite, that is, you can remove a finite piece from the first subset, then add a finite piece to it, and get the second subset as a result.
- A short exact sequence of maps leads to the definition of a quotient space as being one space modulo another; thus, for example, that a cohomology is the space of closed forms modulo exact forms.
Modding out[edit]
In general, modding out is a somewhat informal term that means declaring things equivalent that otherwise would be considered distinct. For example, suppose the sequence 1 4 2 8 5 7 is to be regarded as the same as the sequence 7 1 4 2 8 5, because each is a cyclicly-shifted version of the other:
In that case, one is «modding out by cyclic shifts«.
See also[edit]
Look up modulo in Wiktionary, the free dictionary.
- Essentially unique
- List of mathematical jargon
- Up to
References[edit]
- ^ «Modular arithmetic». Encyclopedia Britannica. Retrieved 2019-11-21.
- ^ «modulo». catb.org. Retrieved 2019-11-21.
- ^ Bullynck, Maarten (2009-02-01). «Modular arithmetic before C.F. Gauss: Systematizations and discussions on remainder problems in 18th-century Germany». Historia Mathematica. 36 (1): 48–72. doi:10.1016/j.hm.2008.08.009. ISSN 0315-0860.
- ^ «modulo», The Free Dictionary, retrieved 2019-11-21
- ^ Barr; Wells (1996). Category Theory for Computing Science. London: Prentice Hall. p. 22. ISBN 0-13-323809-1.
External links[edit]
- Modulo in the Jargon File
Обратите внимание на картинку.
Для того чтобы узнать тему нашего урока, попробуйте отгадать ребус.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
На этом уроке разберемся, что называют модулем числа, раскроем его геометрический смысл, рассмотрим основные свойства модуля, научимся находить модуль числа и применять эти знания при решении задач.
В переводе с латинского «модуль» (modulus) означает мера, размер.
Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский философ и математик Роджер Котс, друг и ученик Исаака Ньютона.
Многие ученые использовали в своих научных трудах понятие модуль, однако символьное обозначение он приобрел только в конце XIX века.
В 1841 году выдающийся немецкий ученый Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс ввел символьное обозначение модуля числа, которое используют и применяют по сегодняшний день.
В некоторых случаях вместо «модуль числа» говорят: «абсолютная величина», но надо понимать, что это тождественно равные понятия.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
В математике модуль имеет несколько значений. Разберем, что в математике называют модулем числа (абсолютной величиной).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим понятие модуль с геометрической точки зрения.
Вам уже известно, что на координатной прямой мы отмечаем действительные числа, а каждому действительному числу на этой прямой соответствует определенная точка и наоборот, каждой точке на координатной прямой соответствует действительное число.
Точка задается некоторым расстоянием от начала координат.
Длина отрезка от начала координат до точки вмещает в себя определенное количество единичных отрезков координатной прямой.
Длина такого отрезка всегда неотрицательная величина.
Рассмотрим пример:
Два мяча катнули по одной прямой. Первый мяч откатился вправо от исходной точки на 4 м, второй мяч влево от исходной точки на 6 м.
Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух мячей.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка О— это исходная точка мячей- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1 метр.
Вправо откладываем координату первого мяча А (+4)
Влево откладываем координату второго мяча В (-6)
Расстояние от точки А до начала отсчета 4 единичных отрезка.
Длина ОА = 4 единичных отрезка.
Расстояние от точки В до начала отсчета 6 единичных отрезков.
Длина ОВ = 6 единичных отрезков.
Расстояние ОА и ОВ называют абсолютной величиной, модулем числа, они всегда положительны.
Таким образом, модулем числа называют расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданной точки (выраженной в единичных отрезках).
Обозначается модуль двумя вертикальными чертами слева и справа от числа | |.
Запись |A| читается как «Модуль А» или «Модуль числа А».
Пример 1
|7|— модуль числа 7
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой 7
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что |7| — это расстояние от точки с координатой 7 до точки начала отсчета О, что составляет 7 единичных отрезков.
Значит, модуль числа 7 равен самому числу 7
|7| = 7
Пример 2
|-5| — модуль числа (-5)
Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой (-5).
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета О помещается 5 единичных отрезков.
5 единичных отрезков — это и есть расстояние от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета (модуль числа).
Значит, модуль числа (-5) равен 5
|-5| = 5
Пример 3
|-1|— модуль числа (-1)
В расстояние от точки с координатой (-1) до точки начала отсчета помещается только один единичный отрезок этой прямой, поэтому модуль (-1) равен 1.
|-1| = 1
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.
1. Модуль нуля равен нулю
Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.
|0| = 0
2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)
Модуль положителен, так как по определению модуль — это расстояние, а расстояние всегда является положительным числом.
Приведем пример:
Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.
Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.
Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.
Точка А с координатой А (+3) — момент удара мяча о стенку.
Точка В с координатой В (0) — совпадает с точкой отсчета.
Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке 0 м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!
Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.
Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:
3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков
6 единичных отрезков = 6 м
Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.
Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).
Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
3. Модули противоположных чисел равны
Рассмотрим на примере данное утверждение:
Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4
Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка О — начало отсчета координатной прямой х.
Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.
Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4
Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)
Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4
В данном примере значение х может быть равным:
х = 4
х = —4
Числа 4 и —4 отличаются только знаками, поэтому смело можем сказать, что это противоположные числа.
На координатной прямой противоположные числа, хоть и по разные стороны от точки начала отсчета, но находятся на равных расстояниях от этой точки, т.е. по модулю равны.
4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел
В буквенном выражении это можно записать так:
(mathbf{|a cdot b| = |a| cdot |b|})
Пример: (mathbf{|5 cdot 6| = |5| cdot |6| = 5 cdot 6 = 30})
5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
(mathbf{|a|^2 = a^2 })
Пример:
(mathbf{|10|^2 = 10^2 = 100 })
(mathbf{|-2|^2 = 2^2 = 4})
6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей
(mathbf{Bigl| frac{x}{y}Bigr| = frac{|x|}{|y|} , y neq 0})(так как на нуль делить нельзя).
Пример:
(mathbf{Bigl| frac{8}{2}Bigr| = frac{|8|}{|2|}= frac{8}{2} = 4 })
(mathbf{Bigl| -frac{8}{2}Bigr| = frac{|-8|}{|2|}= frac{8}{2} = 4 })
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Рассмотрим несколько примеров таких задач.
Задача 1
Запишите все числа, имеющие модуль 142.
Решение:
Представим координатную прямую с началом отсчета в точке О
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Нам известно, что модуль числа — это расстояние (количество единичных отрезков) от нуля до какой-либо точки.
142 единичных отрезка мы можем отложить на координатной прямой вправо и получим точку с координатой 142.
Также 142 единичных отрезка мы можем отложить влево от нуля, в этом случае получаем точку с координатой 142.
На координатной прямой находятся два числа, которые имеют модуль 142, а расстояние до этих точек содержат по 142 единичных отрезка.
|142| = 142
|-142| = 142
Ответ: числа 142 и —142 имеют модуль 142
Задача 2
Расположите числа —15; —1; 4; 7 в порядке возрастания модулей.
Решение:
Надо понимать, что в порядке возрастания будем располагать не сами числа —15; —1; 4; 7, а их модули.
Для этого найдем модули каждого из них:
|-15| = 15
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
Модули чисел получились: 15, 1, 4, 7
Расположим эти числа в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому):
1, 4, 7, 15.
Получаем такую последовательность равенств,
|-1| = 1
|4| = 4
|7| = 7
|-15| = 15
Следовательно, числа в порядке возрастания их модулей должны располагаться так: -1, 4, 7, -15
Ответ: —1, 4, 7, —15
Задача 3
На координатной прямой отметили две точки -73 и 68. Модуль какого числа больше?
Решение:
Представим, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки О (налала отсчета) отмечены две точки.
Слева от точки начала отсчета расположена точка с координатой -73
Справа от точки начала отсчета расположена точка с координатой 68
Нам известно, что модуль — это расстояние от заданной точки до точки начала отсчета, выраженное в единичных отрезках.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Расстояние от точки О до точки с координатой -73 содержит больше единичных отрезков, чем расстояние от точки О до точки с координатой 68 (т.е. координата точки -73 находится дальше от начала координат, чем точка с координатой 68).
Значит, модуль числа -73 больше модуля числа 68
|-73| = 73
|68| = 68
73 > 68, а это значит:
|-73| > |68|
Ответ: |-73| > |68|
Задача 4
На координатной прямой точка А отмечена левее точки начала отсчета на 2 единицы и точка В — правее от точки начала отсчета на 6 единиц.
Чему равны координаты этих точек?
Чему равен модуль каждой координаты?
Решение:
Построим координатную прямую, за начала отсчета примем точку О
Единичный отрезок равен 1 деление- 1 единица.
На координатной прямой отметим точки А и В
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям
Точка А имеет координату A (-2), так как она отодвинута влево от точки О на расстояние в два единичных отрезка.
Точка В имеет координату В (6), так как она отодвинута вправо от точки О на расстояние в шесть единичных отрезков.
Получили точки с координатами A (-2) и В (6)
Модуль-это расстояние в единичных отрезках от заданной точки до начала отсчета.
Таким образом:
Модуль —2 равен 2
|-2| = 2
Модуль 6 равен 6
|6| = 6
Ответ: Модули координат точек A (-2) и В (6) равны 2 и 6 соответственно.
Наверное, вы уже заметили, что значение координат может быть положительным и отрицательным, а модули только положительными.
Эта информация доступна зарегистрированным пользователям