Как пишется окружность в геометрии знак - Граматика и образование на Pisanino.ru

circumference C

diameter D

radius R

center or origin O

Circumference = π × diameter = 2π × radius.

In geometry, the circumference (from Latin circumferens, meaning «carrying around») is the perimeter of a circle or ellipse.^[1] That is, the circumference would be the arc length of the circle, as if it were opened up and straightened out to a line segment.^[2] More generally, the perimeter is the curve length around any closed figure.
Circumference may also refer to the circle itself, that is, the locus corresponding to the edge of a disk.
The circumference of a sphere is the circumference, or length, of any one of its great circles.

Circle

The circumference of a circle is the distance around it, but if, as in many elementary treatments, distance is defined in terms of straight lines, this cannot be used as a definition. Under these circumstances, the circumference of a circle may be defined as the limit of the perimeters of inscribed regular polygons as the number of sides increases without bound.^[3] The term circumference is used when measuring physical objects, as well as when considering abstract geometric forms.

When a circle’s diameter is 1, its circumference is pi .

Relationship with π

The circumference of a circle is related to one of the most important mathematical constants. This constant, pi, is represented by the Greek letter pi . The first few decimal digits of the numerical value of are 3.141592653589793 …^[4] Pi is defined as the ratio of a circle’s circumference to its diameter

${displaystyle pi ={frac {C}{d}}.}$

Or, equivalently, as the ratio of the circumference to twice the radius. The above formula can be rearranged to solve for the circumference:

The use of the mathematical constant π is ubiquitous in mathematics, engineering, and science.

In Measurement of a Circle written circa 250 BCE, Archimedes showed that this ratio ( since he did not use the name π) was greater than 310/71 but less than 31/7 by calculating the perimeters of an inscribed and a circumscribed regular polygon of 96 sides.^[5] This method for approximating π was used for centuries, obtaining more accuracy by using polygons of larger and larger number of sides. The last such calculation was performed in 1630 by Christoph Grienberger who used polygons with 10⁴⁰ sides.

Ellipse

Circumference is used by some authors to denote the perimeter of an ellipse. There is no general formula for the circumference of an ellipse in terms of the semi-major and semi-minor axes of the ellipse that uses only elementary functions. However, there are approximate formulas in terms of these parameters. One such approximation, due to Euler (1773), for the canonical ellipse,

${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

${displaystyle C_{rm {ellipse}}sim pi {sqrt {2left(a^{2}+b^{2}right)}}.}$

Some lower and upper bounds on the circumference of the canonical ellipse with ageq b are:^[6]

${displaystyle 4{sqrt {a^{2}+b^{2}}}leq Cleq pi {sqrt {2left(a^{2}+b^{2}right)}}.}$

Here the upper bound 2pi a is the circumference of a circumscribed concentric circle passing through the endpoints of the ellipse’s major axis, and the lower bound $4{sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ is the perimeter of an inscribed rhombus with vertices at the endpoints of the major and minor axes.

The circumference of an ellipse can be expressed exactly in terms of the complete elliptic integral of the second kind.^[7] More precisely,

${displaystyle C_{rm {ellipse}}=4aint _{0}^{pi /2}{sqrt {1-e^{2}sin ^{2}theta }} dtheta ,}$

where is the length of the semi-major axis and is the eccentricity ${displaystyle {sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

References

^ San Diego State University (2004). «Perimeter, Area and Circumference» (PDF). Addison-Wesley. Archived from the original (PDF) on 6 October 2014.
^ Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3rd ed.), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., p. 565, ISBN 0-7167-0456-0
^ Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequence A000796». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
^ Jameson, G.J.O. (2014). «Inequalities for the perimeter of an ellipse». Mathematical Gazette. 98 (499): 227–234. doi:10.2307/3621497. JSTOR 3621497. S2CID 126427943.
^ Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), «Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, π, and the Ladies Diary», American Mathematical Monthly, 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, JSTOR 2323302, MR 0966232, S2CID 119810884

External links

Numericana — Circumference of an ellipse

Источник

circumference C

diameter D

radius R

center or origin O

Circumference = π × diameter = 2π × radius.

Circle

When a circle’s diameter is 1, its circumference is pi .

Relationship with π

${displaystyle pi ={frac {C}{d}}.}$

Or, equivalently, as the ratio of the circumference to twice the radius. The above formula can be rearranged to solve for the circumference:

The use of the mathematical constant π is ubiquitous in mathematics, engineering, and science.

Ellipse

${displaystyle {frac {x^{2}}{a^{2}}}+{frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

${displaystyle C_{rm {ellipse}}sim pi {sqrt {2left(a^{2}+b^{2}right)}}.}$

Some lower and upper bounds on the circumference of the canonical ellipse with ageq b are:^[6]

${displaystyle 4{sqrt {a^{2}+b^{2}}}leq Cleq pi {sqrt {2left(a^{2}+b^{2}right)}}.}$

The circumference of an ellipse can be expressed exactly in terms of the complete elliptic integral of the second kind.^[7] More precisely,

${displaystyle C_{rm {ellipse}}=4aint _{0}^{pi /2}{sqrt {1-e^{2}sin ^{2}theta }} dtheta ,}$

where is the length of the semi-major axis and is the eccentricity ${displaystyle {sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}.}$

References

^ San Diego State University (2004). «Perimeter, Area and Circumference» (PDF). Addison-Wesley. Archived from the original (PDF) on 6 October 2014.
^ Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3rd ed.), Addison-Wesley, p. 580, ISBN 978-0-321-22773-7
^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometry, W. H. Freeman and Co., p. 565, ISBN 0-7167-0456-0
^ Sloane, N. J. A. (ed.). «Sequence A000796». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Katz, Victor J. (1998), A History of Mathematics / An Introduction (2nd ed.), Addison-Wesley Longman, p. 109, ISBN 978-0-321-01618-8
^ Jameson, G.J.O. (2014). «Inequalities for the perimeter of an ellipse». Mathematical Gazette. 98 (499): 227–234. doi:10.2307/3621497. JSTOR 3621497. S2CID 126427943.
^ Almkvist, Gert; Berndt, Bruce (1988), «Gauss, Landen, Ramanujan, the arithmetic-geometric mean, ellipses, π, and the Ladies Diary», American Mathematical Monthly, 95 (7): 585–608, doi:10.2307/2323302, JSTOR 2323302, MR 0966232, S2CID 119810884

External links

Numericana — Circumference of an ellipse

Источник

Окружность

Построение окружности циркулем
Радиус, хорда и диаметр
Дуга

Окружность — это геометрическая фигура, образованная замкнутой кривой линией, все точки которой одинаково удалены от одной и той же точки.

Точка, от которой одинаково удалены все точки окружности, называется центром окружности. Центр окружности обычно обозначают большой латинской буквой O:

Окружность делит плоскость на две области — внутреннюю и внешнюю. Геометрическая фигура, ограниченная окружностью, — это круг:

Построение окружности циркулем

Для построения окружности используют специальный прибор — циркуль:

Установим циркулю произвольный раствор (расстояние между ножками циркуля) и, поставив его ножку с остриём в какую-нибудь точку плоскости (например, на листе бумаги), станем вращать циркуль вокруг этой точки. Другая его ножка, снабжённая карандашом или грифелем, прикасающимся к плоскости, начертит на плоскости замкнутую линию — окружность:

Радиус, хорда и диаметр

Радиус — это отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром. Радиусом также называется расстояние от точки окружности до её центра:

Все радиусы окружности имеют одну и ту же длину, то есть они равны между собой. Радиус обозначается буквой R или r.

Хорда — это отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром окружности.

Диаметр обозначается буквой D. Диаметр окружности в два раза больше её радиуса:

D = 2r.

Дуга

Дуга — это часть окружности, ограниченная двумя точками. Любые две точки делят окружность на две дуги:

Чтобы различать дуги, на которые две точки разделяют окружность, на каждую из дуг ставят дополнительную точку:

Для обозначения дуг используется символ :

О хорде, которая соединяет концы дуги, говорят, что она стягивает дугу.

Хорда AB стягивает дуги AFB и AJB.

Источник

Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.

Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!

Содержание страницы:

Определение окружности

Окружность – геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Эта точка называется центром окружности.

Отрезки в окружности

Радиус окружности R – отрезок, соединяющий центр окружности с точкой на окружности.

Хорда a – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Диаметр d – хорда, проходящая через центр окружности, он равен двум радиусам окружности ( d = 2 R ).

O A – радиус, D E – хорда, B C – диаметр.

Теорема 1:
Радиус, перпендикулярный хорде, делит пополам эту хорду и дугу, которую она стягивает.

Касательная к окружности – прямая, имеющая с окружностью одну общую точку.

Из одной точки, лежащей вне окружности, можно провести две касательные к данной окружности.

Теорема 2:
Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны ( A C = B C ).

Теорема 3:
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.

Дуга в окружности

Часть окружности, заключенная между двумя точками, называется дугой окружности.

Например, хорда A B стягивает две дуги: ∪ A M B и ∪ A L B .

Теорема 4:
Равные хорды стягивают равные дуги.

Если A B = C D , то ∪ A B = ∪ C D

Углы в окружности

В окружности существует два типа углов: центральные и вписанные.

Центральный угол – угол, вершина которого лежит в центре окружности.

∠ A O B – центральный.

Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается. ∪ A B = ∠ A O B = α

Если провести диаметр, то он разобьёт окружность на две полуокружности. Градусная мера каждой полуокружности будет равна градусной мере развернутого угла, который на неё опирается.

Градусная мара всей окружности равна 360 ° .

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

∠ A C B – вписанный.

Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается. ∠ A C B = ∪ A B 2 = α 2 ∪ A B = 2 ⋅ ∠ A C B = α

Теорема 5:
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

∠ M A N = ∠ M B N = ∠ M C N = ∪ M N 2 = α 2

Теорема 6:
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность (на диаметр), равен 90 ° .

M N – диаметр.

∠ M A N = ∠ M B N = ∪ M N 2 = 180 ° 2 = 90 °

Длина окружности, длина дуги

Мы узнали, как измеряется градусная мера дуги окружности (она равна градусной мере центрального угла, который на нее опирается) и всей окружности целиком (градусная мера окружности равна 360 ° ). Теперь поговорим о том, что же такое длина дуги в окружности. Длина дуги – это значение, которое мы бы получили, если бы мерили дугу швейным сантиметром. Рассмотрим две окружности с разными радиусами, в каждой из которых построен центральный угол равный α .

Градусная мера дуги ∪ A B равна градусной мере дуги ∪ C D и равна α .

∪ A B = ∪ C D = α

Но невооуруженным глазом видно, что длины дуг разные. Если градусная мера дуги окружности зависит только от величины центрального угла, который на неё опирается, то длина дуги окружности зависит ещё и от радиуса самой окружноси.

Длина окружности находится по формуле:

l = 2 π R

Длина дуги окружности, на которую опирается центральный угол α равна:

l α = π R 180 ∘ ⋅ α

Площадь круга и его частей

Теперь поговорим про площадь круга, площадь сектора и площадь сегмента.

Круг – часть пространства, которая находится внутри окружности.

Иными словами, окружность – это граница, а круг – это то, что внутри.

Примеры окружности в реальной жизни: велосипедное колесо, обруч, кольцо.

Примеры круга в реальной жизни: пицца, крышка от канализационного люка, плоская тарелка.

Площадь круга находится по формуле: S = π R 2

Сектор – это часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Примеры сектора в реальной жизни: кусок пиццы, веер.

Площадь кругового сектора, ограниченного центральным углом α находится по формуле: S α = π R 2 360 ° ⋅ α

Сегмент – это часть круга, ограниченная дугой и хордой, стягивающей эту дугу.

Примеры сегмента в реальной жизни: мармелад “лимонная долька”, лук для стрельбы.

Чтобы найти площадь сегмента, нужно сперва вычислить площадь кругового сектора, который данный сегмент содержит, а потом вычесть площадь треугольника, который образован центральным углом и хордой.

S = π R 2 360 ° ⋅ α − 1 2 R 2 sin α

Теорема синусов

Если вокруг произвольного треугольника описана окружность, то её радиус можно найти при помощи теоремы синусов:

a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R Достаточно знать одну из сторон треугольника и синус угла, который напротив неё лежит. Из этих данных можно найти радиус описанной окружности.

Примеры решений заданий из ОГЭ

Модуль геометрия: задания, связанные с окружностями.

Источник

Как записать окружность в дано

На чтение 7 мин Просмотров 1к. Опубликовано 07.08.2020

Содержание

Взаимное расположение окружности и точки
Дуга, радиус, хорда, диаметр окружности
Задача 1
Задача 2
Содержание
Хорды, дуги и касательные [ править | править код ]
Углы [ править | править код ]

Окружность. Основные понятия и обозначения. Число π.

Окружность – это фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки.

Основные понятия:

Центр окружности – это точка, равноудаленная от точек окружности.

Радиус – это расстояние от точек окружности до ее центра (равен половине диаметра, рис.1).

Диаметр – это хорда, проходящая через центр окружности (рис.1).

Хорда – это отрезок, соединяющий две точки окружности (рис.1).

Касательная – это прямая, имеющая только одну общую точку с окружностью. Проходит через точку окружности перпендикулярно диаметру, проведенному в эту точку (рис.1).
Касательная всегда перпендикулярна диаметру (радиусу), проведенному к точке касания.

Секущая – это прямая, проходящая через две различные точки окружности (рис.1).

Единичная окружность – это окружность, радиус которой равен единице.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности. Равен градусной мере дуги, на которую опирается (рис.2).

Вписанный угол – это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Равен половине градусной меры дуги, на которую опирается, либо дополняет половину этого угла до 180° (рис.3).

Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности, равен 90°.

Обозначения:

C – длина окружности,

r или R – радиус,

φ – центральный угол,

L – длина дуги окружности.

Число π:

Отношение длины окружности к длине ее диаметра обозначается греческой буквой π (пи).

Число π – постоянная величина, которая не меняется в зависимости от величины окружности:

Дуга окружности.

Дуга окружности – это часть окружности, разделенная двумя несовпадающими точками окружности.

Угол, образуемый дугой окружности, равной длине радиуса, есть 1 радиан (рис.4).

1 радиан = 180 0 : π ≈ 57 0 17 ‘ 45 »

1 радиан ≈ 57,3 0

Длину дуги окружности, образованной центральным углом, можно вычислить в радианах по формуле:

L = φR

где R – радиус окружности, φ – центральный угол.

Формула длины окружности:

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Окружность – это множество точек, равноудаленных от заданной точки (точки О), которую называют центром окружности. Окружность разделит плоскость на 2 части. Ту часть плоскости, которая лежит внутри окружности вместе с самой окружностью, называют кругом. Точка О является как центром окружности, так и центром круга (рис. 2).

Рис. 2. Окружность и круг

Взаимное расположение окружности и точки

Точки могут лежать на окружности, т. е. принадлежать окружности. Точки А и В принадлежат окружности с центром в точке О (Рис. 3); точки О, Е и D не принадлежат окружности с центром в точке О; точки О, Е, А, В принадлежат кругу с центром в точке О, а точка D не принадлежит этому кругу.

Рис. 3. Окружность и круг с центром в точке О

Точки А и В делят окружность на две части (рис. 4), каждую из которых называют дугой окружности; точки А и В – концами дуг.

Рис. 4. Окружность

Дуга, радиус, хорда, диаметр окружности

Дуга окружности – это часть окружности, ограниченная двумя точками. Пример. На окружности с центром в точке О отмечены точки А, В и С. Назовите дуги, на которые эти дуги делят окружность. Дуги с концами в точках А и В: дуга АВ, дуга АСВ. Дуги с концами в точках В и С: дуга ВС, дуга ВАС. Дуги с концами в точках А и С: дуга АС, дуга АВС. Отрезки ОА, ОВ соединяют центр окружности с точками, лежащими на окружности. Их называют радиусами (рис. 5).

Рис. 5. Радиусы окружности

Радиус – это расстояние от центра окружности до любой точки окружности. Радиусы одной окружности равны. Обозначают радиусы R или r. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называют хордой. Хорду, проходящую через центр окружности, называют диаметром. Обозначают: d или D. Свойства диаметра: 1. диаметр – самая большая хорда. 2. d = 2R. Диаметр делит круг на два полукруга, а окружность – на две полуокружности

Задача 1

Постройте окружность с центром в точке О и радиусом 4 см. Постройте прямую а так, чтобы она пересекла окружность в двух точках А и В (рис. 6). На каком расстоянии от центра окружности находятся точки А и В?

Рис. 6. Окружность с центром в точке О и радиусом 4 см

Так как расстояние между двумя точками – это длина отрезка с концами в этих точках, то нам необходимо найти длины отрезков ОА и ОВ. По определению отрезки ОА и ОВ – радиусы одной и той же окружности. Тогда ОА = ОВ = R= 4 см. Значит, на расстоянии 4 см находятся точки А и В от центра окружности.

Задача 2

Постройте отрезок АВ, равный 4 см. Постройте первую окружность с центром в точке А радиусом 3 см, и другую окружность с центром в точке В радиусом 2 см. Назовите точки пересечения окружностей точками Е и С (рис. 7). Чему равны длины отрезков АЕ, АС, ЕВ и ВС?

Рис. 7. Отрезок АВ

По определению, отрезок АЕ, АС – это радиусы первой окружности. АЕ = АС =

Рис. 8. Точки, удаленные от концов отрезка на 3 см

Список литературы

Н.Я. Виленкин. Учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений/ 17-е изд. – М.: Мнемозина, 2005.
Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике: 5–6. – М.: Илекса, 2011. – 106 с.
Ершева А.П., Голобородько В.В. Вся школьная математика в самостоятельных и контрольных работах. Математика 5–6. – М.: Илекса, 2006. – 432 с.
Н.Н. Хлевнюк, М.В. Иванова. Формирование вычислительных навыков на уроках математики. 5–9 классы. – М.: Илекса, 2011. – 248 с.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Учебник математики. 5 класс. Н.Я. Виленкин. № 850–856.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Окру́жность — замкнутая плоская кривая, которая состоит из всех точек на плоскости, равноудалённых от заданной точки [1] : эта точка называется центром окружности. Отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, называется радиусом; радиусом называется также и длина этого отрезка. Окружность разбивает плоскость на две части [2] — конечную внутреннюю и бесконечную внешнюю. Внутренность окружности называется кругом; граничные точки (то есть саму окружность) в зависимости от подхода, круг может включать или не включать.

Практическое построение окружности возможно с помощью циркуля.

Окружность нулевого радиуса (вырожденная окружность) является точкой, далее этот случай исключается из рассмотрения, если не оговорено иное.

Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.

Далее всюду буква R <displaystyle R> обозначает радиус окружности.

Содержание

Хорды, дуги и касательные [ править | править код ]

1 — секущая, 2 — хорда AB (отмечена красным), 3 — сегмент (отмечен зелёным), 4 — дуга

Прямая может иметь с окружностью не более двух общих точек.

Прямая, пересекающая окружность в двух различных точках, называется секущей. Отрезок секущей, расположенный внутри окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром; тот же термин используется для его длины. Диаметр вдвое больше радиуса: D = 2 R , <displaystyle D=2R,> он делит окружность на две равные части и поэтому является её осью симметрии. Диаметр больше любой другой хорды [3] .

Хорда разбивает круг на две части, называемые сегментами круга. Два различных радиуса тоже разбивают круг на две части, называемые секторами круга (см. рисунки) [3] .

Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Для заданной окружности имеют место следующие свойства [3] .

Хорды, равноотстоящие от центра, равны. Обратно, если две хорды равны по длине, то они одинаково удалены от центра.
Равным хордам соответствуют равные дуги, и наоборот.

Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности. Касательная к окружности всегда перпендикулярна её радиусу (и диаметру), проведенному в точке касания. То есть радиус является одновременно и нормалью к окружности [4] .

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, не лежащей на окружности, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности [5] .

Углы [ править | править код ]

Вписанный угол θ равен половине величины центрального угла 2θ, опирающегося на ту же самую дугу (розового цвета)

К расчёту длины дуги и хорды

Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол может быть принят как угловая мера дуги, на которую он опирается. Центральный угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, в математике принимается в качестве единицы измерения углов, и называется радиан.

Из определения радиана следует, что длина L <displaystyle L> любой дуги окружности связана с центральным углом θ <displaystyle heta > , опирающимся на эту дугу, простым соотношением [6] : L = R θ . <displaystyle L=R heta .> (при этом длина хорды, стягивающей ту же дугу, равна 2 R sin ⁡ θ 2 L <displaystyle 2Rsin < heta over 2> ). Поскольку длина окружности равна 2 π R <displaystyle 2pi R> , с ростом угла значение его радианной меры меняется от 0 до 2 π . <displaystyle 2pi .>

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Внешний угол для вписанного угла — угол, образованный одной стороной и продолжением другой стороны вписанного угла (угол θ коричневого цвета на рис.). Внешний угол для вписанного угла равен вписанному углу, опирающемуся на ту же хорду с другой стороны.

Угол между окружностью и прямой — угол между секущей прямой и одной из двух касательных к окружности в точке пересечения прямой и окружности.

Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°. Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности, всегда прямой (равен 90°).
Вписанный угол не меняет своей величины при перемещении его вершины вдоль окружности.
Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле, и дуги напротив неё.
Угол между касательной и хордой, имеющими общую точку, равен половине угловой меры дуги, стягиваемой хордой.

Источник

Окружность и её центр

Окружность — геометрическое место всех точек плоскости, равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное неотрицательное расстояние, называемое её радиусом.

Содержание

1 Другие определения
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Основные формулы
5 Уравнения
- 5.1 Декартовы координаты
- 5.2 Полярные координаты
- 5.3 Комплексная плоскость
6 Касательные и нормали
7 Концентрические и ортогональные окружности
8 См. также
9 Литература

Другие определения

Окружность диаметра AB — это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Окружность — это фигура, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных точек равно данному числу, отличному от единицы. (см. Окружность Аполлония)

Также фигура, состоящая из всех таких точек, для каждой из которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек равна заданной величине, большей половины квадрата расстояния между данными точками.

Связанные определения

Радиус — не только величина расстояния, но и отрезок, соединяющий центр окружности с одной из её точек.
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется её хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром.
Окружность называется единичной, если её радиус равен единице. Единичная окружность является одним из основных объектов тригонометрии.
Любые две несовпадающие точки окружности делят её на две части. Каждая из этих частей называется дугой окружности. Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.

Угол, образуемый дугой окружности, равной по длине радиусу, принимается за 1 радиан.
Длина единичной полуокружности обозначается через .
Геометрическое место точек плоскости, расстояние от которых до данной точки не больше, чем заданное ненулевое, называется кругом.
Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Прямая, проходящая через две различных точки окружности, называется секущей.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую опирается.
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими.
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными.

Свойства

Изопериметрическое неравенство: Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.
Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
Касательная к окружности всегда перпендикулярна её диаметру, один из концов которого является точкой касания.
Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры.
Длину дуги окружности радиуса , образованной центральным углом , измеренным в радианах, можно вычислить по формуле .
Вписанный угол либо равен половине центрального угла, опирающегося на его дугу, либо дополняет половину этого угла до 180°.
- Два вписанных угла, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на дугу длиной в половину окружности равен 90°.
Угол между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности равен полуразности мер дуг, лежащих между секущими.
Угол между пересекающимися хордами равен полусумме мер дуги, лежащей в угле и дуги напротив неё.
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, стягиваемой хордой.
Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
При пересечении двух хорд произведение отрезков, на которые делится одна из них точкой пересечения, равно произведению отрезков другой.
Произведение длин расстояний от выбранной точки до двух точек пересечения окружности и секущей, проходящей через выбранную точку, не зависит от выбора секущей и равно абсолютной величине степени точки относительно окружности.
- Квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и равен абсолютной величине степени точки относительно окружности.
Окружность является простой плоской кривой второго порядка.
Окружность является коническим сечением и частным случаем эллипса.

Основные формулы

Длина окружности:

Радиус окружности:

$R = frac{C}{2 pi} = frac{D}{2}.$

Диаметр окружности:

$D = frac{C}{pi} = 2 R.$

Площадь круга радиуса R:

$S= pi R^2 = frac{pi D^2}{4}.$

Площадь сектора, ограниченного углом α, измеряемым в градусах, радиусом R:

$S= pi R^2 frac{alpha}{360^circ}.$

Площадь сегмента, ограниченного дугой окружности углом α, хордой:

$S= pi R^2 frac{alpha}{360^circ}-frac{R^2 sin alpha}{2}.$

Уравнения

Декартовы координаты

Окружность радиуса r = 1, центр (a, b) = (1.2, −0.5)

Общее уравнение окружности записывается как:

или

left(x-x_0right)^2 + left(y-y_0right)^2 = R^2,

где

$2x_0=-A,; 2y_0=-B,; 2R = sqrt{A^2+B^2-4C}.$

Точка — центр окружности, — её радиус.

Уравнение окружности радиуса с центром в начале координат:

Уравнение окружности, проходящей через три точки (с помощью определителя) и

$begin{vmatrix} x^2 + y^2 & x & y & 1 \ x_1^2 + y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \ x_2^2 + y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \ x_3^2 + y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 end{vmatrix} = 0.$

Окружность также можно описать с помощью параметрического уравнения:

$begin{cases} x = x_0 + R cos varphi \ y = y_0 + R sin varphi end{cases},;;;0 leqslant varphi < 2 pi.$

В декартовой системе координат окружность не является графиком функции, но она может быть описана как объединение графиков двух следующих функций:

$y = y_0 pm sqrt{R^2 - (x - x_0 )^2}.$

Если центр окружности совпадает с началом координат, функции принимают вид:

$y = pm sqrt{R^2 - x^2 }.$

Полярные координаты

Окружность радиуса с центром в точке :

rho^2 - 2rho,rho_0cosleft(phi-phi_0right) + rho_0^2 = R^2.

Если полярные координаты центра окружности то проходящая через начало координат окружность описывается уравнением:

$rho(varphi)=2Rcos,(varphi-alpha),;;;alpha-fracpi 2 leqslant varphi leqslant alpha+fracpi 2.$

Если же центр является началом координат, то уравнение будет иметь вид:

Комплексная плоскость

На комплексной плоскости окружность задаётся формулой:

или в параметрическом виде

$z=z_0 + Re^{it},,tinR.,$

Касательные и нормали

Уравнение касательной к окружности в точке определяется уравнением

$left(frac{A}{2}+x_1right)x + left(frac{B}{2}+y_1right)y + left(frac{A}{2}x_1+frac{B}{2}y_1+Cright) = 0.$

Уравнение нормали в той же точке можно записать как

$frac{x-x_1}{2x_1+A} = frac{y-y_1}{2y_1+B}.,$

Концентрические и ортогональные окружности

Две окружности, заданные уравнениями:

x^2+y^2+A_1x+B_1y+C_1=0,;;;x^2+y^2+A_2x+B_2y+C_2=0

являются концентрическими (то есть имеющими общий центр) в том и только в том случае, когда A_1=A_2 и

Две окружности являются ортогональными (то есть пересекающиеся под прямым углом) тогда и только тогда, когда выполняется условие

См. также

Вписанная окружность
Описанная окружность
Окружность Аполлония

Литература

Математическая энциклопедия в пяти томах. — М: Советская энциклопедия, 1983.
Маркушевич А. И. Замечательные кривые, выпуск 4. — М: Гостехиздат, 1952. — 32 с.
Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 70.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Кадомцев С.Б. и др. Дополнительные главы к учебнику 8 класса // Геометрия. — 3-е издание. — М: Вита-Пресс, 2003.

Кривые
Определения	Аналитическая • Жордана • Канторова • Урысона • Овал • Спрямляемая Радиус кривизны
Преобразованные	Эволюта • Эвольвента • Подера • Антиподера • Параллельная • Дуальная • Каустика
Неплоские	Винтовая линия • Линия откоса • Локсодрома • Ортодромия • Губка
Плоские алгебраические
Конические сечения	Гипербола • Парабола • Эллипс (Окружность)
3-й порядок	Эллиптические: Эллиптическая кривая • Функции Якоби • Интеграл • Функции Другие: Верзьера Аньези • Декартов лист • Кубика • Полукубическая парабола • Строфоида • Циссоида Диокла
Лемнискаты	Бернулли (Овал Кассини) • Бута • Жероно
Аппроксимационные	Сплайн (B-сплайн • Кубический • Моносплайн • Эрмита) • Безье
Циклоидальные	Кардиоида • Нефроида • Дельтоида • Астроида • Улитка Паскаля
Плоские трансцендентные
Спирали	Архимедова (Ферма) • Гиперболическая • «Жезл» • Клотоида • Логарифмическая
Циклоидальные	Циклоида • Эпициклоида • Гипоциклоида • Трохоида (Удлинённая + Укороченная циклоида) • Эпитрохоида (Удлинённая + Укороченная эпициклоида • («Роза») • Гипотрохоида • Скорейшего спуска (Брахистохрона, дуга циклоиды)
Другие	Квадратриса • Погони (Трактриса) • Трохоида • Цепная линия (перевёрнутая арочная) • Постоянной ширины • Синусоида
Фрактальные
Простые	Коха • Леви • Минковского • Пеано
Топологические	Салфетка + Ковёр Серпинского • Губка Менгера

Конические сечения
Главные типы	Эллипс • Гипербола • Парабола
Вырожденные	Точка • Прямая • Пара прямых
Частный случай эллипса	Окружность
Геометрическое построение	Коническое сечение • Шары Данделена
См. также	Коническая константа
Математика • Геометрия

Источник

Возьмем циркуль. Установим ножку циркуля с иглой в точку «O», а ножку циркуля с
карандашом будем вращать вокруг этой точки. Таким образом, мы получим замкнутую
линию. Такую замкнутую линию называют — окружность.

Рассмотрим более подробно окружность. Разберёмся, что называют центром,
радиусом и диаметром окружности.

(·)O — называется центром окружности.
Отрезок, который соединяет
центр и любую точку окружности, называется радиусом окружности.
Радиус окружности обозначается буквой «R». На рисунке выше —
это отрезок «OA».
Отрезок, который соединяет
две точки окружности и проходит через её центр, называется
диаметром окружности.

Диаметр окружности обозначается буквой «D».
На рисунке выше — это отрезок «BC».

На рисунке также видно, что диаметр равен двум радиусам. Поэтому
справедливо выражение «D = 2R».

Число π и длина окружности

Прежде чем разобраться, как считается длина окружности, необходимо выяснить, что
такое число π (читается как «Пи»), которое
так часто упоминают на уроках.

В далекие времена математики Древней Греции внимательно изучали окружность
и пришли к выводу, что длина окружности и её диаметр взаимосвязаны.

Запомните!

Отношение длины окружности к её диаметру является одинаковым
для всех
окружностей и обозначается греческой буквой π
(«Пи»).
π ≈ 3,14…

Число «Пи» относится к числам, точное значение которых записать невозможно
ни с помощью обыкновенных дробей, ни с помощью десятичных дробей. Нам
для наших вычислений достаточно использовать значение π,

округленное до разряда сотых
π ≈ 3,14…

Теперь, зная, что такое число π, мы
можем записать формулу длины окружности.

Запомните!

Длина окружности
— это произведение числа π
и диаметра окружности.
Длина окружности обозначается буквой «С» (читается как «Це»).

C = πD
C = 2πR

, так как D = 2R

Как найти длину окружности

Чтобы закрепить полученные знания, решим задачу на окружности.

Разбор примера

Условие задачи:

Найдите длину окружности, радиус которой равен 24 см. Число
π
округлите до сотых.

Воспользуемся формулой длины окружности:

C = 2πR
≈ 2 · 3,14 · 24 ≈ 150,72 см

Разберем обратную задачу, когда мы знаем длину
окружности, а нас просят найти её диаметр.

Разбор примера

Условие задачи:

Определите диаметр окружности, если
её длина равна 56,52 дм.
(π ≈ 3,14).

Выразим из формулы длины окружности диаметр.

C = πD
D = С / π

D = 56,52 / 3,14 = 18 дм

Хорда и дуга окружности

На рисунке ниже отметим на окружности две точки «A» и «B». Эти точки делят окружность
на две части, каждую из которых называют дугой.
Это синяя дуга «AB» и черная дуга «AB».
Точки «A» и «B» называют концами дуг.

Соединим точки «A» и «B» отрезком. Полученный отрезок называют
хордой.

Важно!

Точки «A» и «B» делят окружность на две дуги. Поэтому важно
понимать, какую дугу вы имеете в виду, когда пишите дуга «AB».

Для того чтобы избежать путаницы, часто вводят дополнительную точку на
нужной дуге и обращаются к ней по трем точкам.

Источник

Circle

Relationship with π

Ellipse

See also

References

External links

Circle

Relationship with π

Ellipse

See also

References

External links

Окружность

Построение окружности циркулем

Радиус, хорда и диаметр

Дуга

Определение окружности

Отрезки в окружности

Дуга в окружности

Углы в окружности

Длина окружности, длина дуги

Площадь круга и его частей

Теорема синусов

Примеры решений заданий из ОГЭ

Как записать окружность в дано

Этот видеоурок доступен по абонементу

Взаимное расположение окружности и точки

Дуга, радиус, хорда, диаметр окружности

Задача 1

Задача 2

Содержание

Хорды, дуги и касательные [ править | править код ]

Углы [ править | править код ]

Содержание

Другие определения

Связанные определения

Свойства

Основные формулы

Уравнения

Декартовы координаты

Полярные координаты

Комплексная плоскость

Касательные и нормали

Концентрические и ортогональные окружности

См. также

Литература

Число π и длина окружности

Как найти длину окружности

Разбор примера

Разбор примера

Хорда и дуга окружности