Как пишется остаток в математике

In mathematics, the remainder is the amount «left over» after performing some computation. In arithmetic, the remainder is the integer «left over» after dividing one integer by another to produce an integer quotient (integer division). In algebra of polynomials, the remainder is the polynomial «left over» after dividing one polynomial by another. The modulo operation is the operation that produces such a remainder when given a dividend and divisor.

Alternatively, a remainder is also what is left after subtracting one number from another, although this is more precisely called the difference. This usage can be found in some elementary textbooks; colloquially it is replaced by the expression «the rest» as in «Give me two dollars back and keep the rest.»^[1] However, the term «remainder» is still used in this sense when a function is approximated by a series expansion, where the error expression («the rest») is referred to as the remainder term.

Integer division[edit]

Given an integer a and a non-zero integer d, it can be shown that there exist unique integers q and r, such that a = qd + r and 0 ≤ r < |d|. The number q is called the quotient, while r is called the remainder.

(For a proof of this result, see Euclidean division. For algorithms describing how to calculate the remainder, see division algorithm.)

The remainder, as defined above, is called the least positive remainder or simply the remainder.^[2] The integer a is either a multiple of d, or lies in the interval between consecutive multiples of d, namely, q⋅d and (q + 1)d (for positive q).

In some occasions, it is convenient to carry out the division so that a is as close to an integral multiple of d as possible, that is, we can write

a = k⋅d + s, with |s| ≤ |d/2| for some integer k.

In this case, s is called the least absolute remainder.^[3] As with the quotient and remainder, k and s are uniquely determined, except in the case where d = 2n and s = ± n. For this exception, we have:

a = k⋅d + n = (k + 1)d − n.

A unique remainder can be obtained in this case by some convention—such as always taking the positive value of s.

Examples[edit]

In the division of 43 by 5, we have:

43 = 8 × 5 + 3,

so 3 is the least positive remainder. We also have that:

43 = 9 × 5 − 2,

and −2 is the least absolute remainder.

These definitions are also valid if d is negative, for example, in the division of 43 by −5,

43 = (−8) × (−5) + 3,

and 3 is the least positive remainder, while,

43 = (−9) × (−5) + (−2)

and −2 is the least absolute remainder.

In the division of 42 by 5, we have:

42 = 8 × 5 + 2,

and since 2 < 5/2, 2 is both the least positive remainder and the least absolute remainder.

In these examples, the (negative) least absolute remainder is obtained from the least positive remainder by subtracting 5, which is d. This holds in general. When dividing by d, either both remainders are positive and therefore equal, or they have opposite signs. If the positive remainder is r₁, and the negative one is r₂, then

r₁ = r₂ + d.

For floating-point numbers[edit]

When a and d are floating-point numbers, with d non-zero, a can be divided by d without remainder, with the quotient being another floating-point number. If the quotient is constrained to being an integer, however, the concept of remainder is still necessary. It can be proved that there exists a unique integer quotient q and a unique floating-point remainder r such that a = qd + r with 0 ≤ r < |d|.

Extending the definition of remainder for floating-point numbers, as described above, is not of theoretical importance in mathematics; however, many programming languages implement this definition (see modulo operation).

In programming languages[edit]

While there are no difficulties inherent in the definitions, there are implementation issues that arise when negative numbers are involved in calculating remainders. Different programming languages have adopted different conventions. For example:

• Pascal chooses the result of the mod operation positive, but does not allow d to be negative or zero (so, a = (a div d ) × d + a mod d is not always valid).^[4]
• C99 chooses the remainder with the same sign as the dividend a.^[5] (Before C99, the C language allowed other choices.)
• Perl, Python (only modern versions) choose the remainder with the same sign as the divisor d.^[6]
• Haskell and Scheme offer two functions, remainder and modulo – Ada, Common Lisp and PL/I have mod and rem, while Fortran has mod and modulo; in each case, the former agrees in sign with the dividend, and the latter with the divisor.

Polynomial division[edit]

Euclidean division of polynomials is very similar to Euclidean division of integers and leads to polynomial remainders. Its existence is based on the following theorem: Given two univariate polynomials a(x) and b(x) (where b(x) is a non-zero polynomial) defined over a field (in particular, the reals or complex numbers), there exist two polynomials q(x) (the quotient) and r(x) (the remainder) which satisfy:^[7]

where

where «deg(…)» denotes the degree of the polynomial (the degree of the constant polynomial whose value is always 0 can be defined to be negative, so that this degree condition will always be valid when this is the remainder). Moreover, q(x) and r(x) are uniquely determined by these relations.

This differs from the Euclidean division of integers in that, for the integers, the degree condition is replaced by the bounds on the remainder r (non-negative and less than the divisor, which insures that r is unique.) The similarity between Euclidean division for integers and that for polynomials motivates the search for the most general algebraic setting in which Euclidean division is valid. The rings for which such a theorem exists are called Euclidean domains, but in this generality, uniqueness of the quotient and remainder is not guaranteed.^[8]

Polynomial division leads to a result known as the polynomial remainder theorem: If a polynomial f(x) is divided by x − k, the remainder is the constant r = f(k).^[9][10]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Smith, David Eugene (1958) [1925], History of Mathematics, Volume 2, New York: Dover, ISBN 0486204308

Further reading[edit]

• Davenport, Harold (1999). The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 25. ISBN 0-521-63446-6.
• Katz, Victor, ed. (2007). The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : a sourcebook. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
• Schwartzman, Steven (1994). «remainder (noun)». The words of mathematics : an etymological dictionary of mathematical terms used in english. Washington: Mathematical Association of America. ISBN 9780883855119.
• Zuckerman, Martin M. Arithmetic: A Straightforward Approach. Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.

In mathematics, the remainder is the amount «left over» after performing some computation. In arithmetic, the remainder is the integer «left over» after dividing one integer by another to produce an integer quotient (integer division). In algebra of polynomials, the remainder is the polynomial «left over» after dividing one polynomial by another. The modulo operation is the operation that produces such a remainder when given a dividend and divisor.

Alternatively, a remainder is also what is left after subtracting one number from another, although this is more precisely called the difference. This usage can be found in some elementary textbooks; colloquially it is replaced by the expression «the rest» as in «Give me two dollars back and keep the rest.»^[1] However, the term «remainder» is still used in this sense when a function is approximated by a series expansion, where the error expression («the rest») is referred to as the remainder term.

Integer division[edit]

Given an integer a and a non-zero integer d, it can be shown that there exist unique integers q and r, such that a = qd + r and 0 ≤ r < |d|. The number q is called the quotient, while r is called the remainder.

(For a proof of this result, see Euclidean division. For algorithms describing how to calculate the remainder, see division algorithm.)

The remainder, as defined above, is called the least positive remainder or simply the remainder.^[2] The integer a is either a multiple of d, or lies in the interval between consecutive multiples of d, namely, q⋅d and (q + 1)d (for positive q).

In some occasions, it is convenient to carry out the division so that a is as close to an integral multiple of d as possible, that is, we can write

a = k⋅d + s, with |s| ≤ |d/2| for some integer k.

In this case, s is called the least absolute remainder.^[3] As with the quotient and remainder, k and s are uniquely determined, except in the case where d = 2n and s = ± n. For this exception, we have:

a = k⋅d + n = (k + 1)d − n.

A unique remainder can be obtained in this case by some convention—such as always taking the positive value of s.

Examples[edit]

In the division of 43 by 5, we have:

43 = 8 × 5 + 3,

so 3 is the least positive remainder. We also have that:

43 = 9 × 5 − 2,

and −2 is the least absolute remainder.

These definitions are also valid if d is negative, for example, in the division of 43 by −5,

43 = (−8) × (−5) + 3,

and 3 is the least positive remainder, while,

43 = (−9) × (−5) + (−2)

and −2 is the least absolute remainder.

In the division of 42 by 5, we have:

42 = 8 × 5 + 2,

and since 2 < 5/2, 2 is both the least positive remainder and the least absolute remainder.

In these examples, the (negative) least absolute remainder is obtained from the least positive remainder by subtracting 5, which is d. This holds in general. When dividing by d, either both remainders are positive and therefore equal, or they have opposite signs. If the positive remainder is r₁, and the negative one is r₂, then

r₁ = r₂ + d.

For floating-point numbers[edit]

When a and d are floating-point numbers, with d non-zero, a can be divided by d without remainder, with the quotient being another floating-point number. If the quotient is constrained to being an integer, however, the concept of remainder is still necessary. It can be proved that there exists a unique integer quotient q and a unique floating-point remainder r such that a = qd + r with 0 ≤ r < |d|.

Extending the definition of remainder for floating-point numbers, as described above, is not of theoretical importance in mathematics; however, many programming languages implement this definition (see modulo operation).

In programming languages[edit]

While there are no difficulties inherent in the definitions, there are implementation issues that arise when negative numbers are involved in calculating remainders. Different programming languages have adopted different conventions. For example:

• Pascal chooses the result of the mod operation positive, but does not allow d to be negative or zero (so, a = (a div d ) × d + a mod d is not always valid).^[4]
• C99 chooses the remainder with the same sign as the dividend a.^[5] (Before C99, the C language allowed other choices.)
• Perl, Python (only modern versions) choose the remainder with the same sign as the divisor d.^[6]
• Haskell and Scheme offer two functions, remainder and modulo – Ada, Common Lisp and PL/I have mod and rem, while Fortran has mod and modulo; in each case, the former agrees in sign with the dividend, and the latter with the divisor.

Polynomial division[edit]

Euclidean division of polynomials is very similar to Euclidean division of integers and leads to polynomial remainders. Its existence is based on the following theorem: Given two univariate polynomials a(x) and b(x) (where b(x) is a non-zero polynomial) defined over a field (in particular, the reals or complex numbers), there exist two polynomials q(x) (the quotient) and r(x) (the remainder) which satisfy:^[7]

where

where «deg(…)» denotes the degree of the polynomial (the degree of the constant polynomial whose value is always 0 can be defined to be negative, so that this degree condition will always be valid when this is the remainder). Moreover, q(x) and r(x) are uniquely determined by these relations.

This differs from the Euclidean division of integers in that, for the integers, the degree condition is replaced by the bounds on the remainder r (non-negative and less than the divisor, which insures that r is unique.) The similarity between Euclidean division for integers and that for polynomials motivates the search for the most general algebraic setting in which Euclidean division is valid. The rings for which such a theorem exists are called Euclidean domains, but in this generality, uniqueness of the quotient and remainder is not guaranteed.^[8]

Polynomial division leads to a result known as the polynomial remainder theorem: If a polynomial f(x) is divided by x − k, the remainder is the constant r = f(k).^[9][10]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

• Larson, Ron; Hostetler, Robert (2007), Precalculus:A Concise Course, Houghton Mifflin, ISBN 978-0-618-62719-6
• Ore, Oystein (1988) [1948], Number Theory and Its History, Dover, ISBN 978-0-486-65620-5
• Rotman, Joseph J. (2006), A First Course in Abstract Algebra with Applications (3rd ed.), Prentice-Hall, ISBN 978-0-13-186267-8
• Smith, David Eugene (1958) [1925], History of Mathematics, Volume 2, New York: Dover, ISBN 0486204308

Further reading[edit]

• Davenport, Harold (1999). The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers. Cambridge, UK: Cambridge University Press. p. 25. ISBN 0-521-63446-6.
• Katz, Victor, ed. (2007). The mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam : a sourcebook. Princeton: Princeton University Press. ISBN 9780691114859.
• Schwartzman, Steven (1994). «remainder (noun)». The words of mathematics : an etymological dictionary of mathematical terms used in english. Washington: Mathematical Association of America. ISBN 9780883855119.
• Zuckerman, Martin M. Arithmetic: A Straightforward Approach. Lanham, Md: Rowman & Littlefield Publishers, Inc. ISBN 0-912675-07-1.

Статья разбирает понятие деления целых чисел с остатком. Докажем теорему о делимости целых чисел с остатком и просмотрим связи между делимыми и делителями, неполными частными и остатками. Рассмотрим правила, когда производится деление целых чисел с остатками, рассмотрев подробно на примерах. В конце решения выполним проверку.

Общее представление о делении целых чисел с остатками

Деление целых чисел с остатком  рассматривается как обобщенное деление с остатком натуральных чисел. Это выполняется потому, что натуральные числа – это составная часть целых.

Деление с остатком произвольного числа говорит о том, что целое число a делится на число b, отличное от нуля. Если b=0, тогда не производят деление с остатком.

Также как и деление натуральных чисел с остатком, производится деление целых чисел a и b, при b отличном от нуля, на c и d. В этом случае a и b называют делимым и делителем, а d – остатком деления, с – целое число или неполное частное.

Если считать, что остаток – это целое неотрицательное число, тогда его величина не больше модуля числа b. Запишем таким образом: 0≤d≤b. Данная цепочка неравенств используется при сравнении 3 и более количества чисел.

Если с – неполное частное, тогда d – остаток от деления целого числа a на b, кратко можно зафиксировать: a:b=c (ост. d).

Остаток при делении чисел a на b возможен нулевой, тогда говорят, что a делится на b нацело, то есть без остатка. Деление без остатка считается частным случаем деления.

Если делим ноль на некоторое число, получаем в результате ноль. Остаток деления также будет равен нулю. Это можно проследить из теории о делении нуля на целое число.

Теперь рассмотрим смысл деления целых чисел с остатком.

Известно, что целые положительные числа – натуральные, тогда при делении с остатком получится такой же смысл, как и при  делении натуральных чисел с остатком.

При делении целого отрицательного числа а на целое положительное b имеется смысл. Рассмотрим на примере. Представив ситуацию, когда имеем долг предметов в количестве a, которое необходимо погасить b человек. Для этого необходимо каждому внести одинаковый вклад. Чтобы определить величину долга для каждого, необходимо обратить внимание на величину  частного с.  Остаток d говорит о том, что известно количество предметов после расплаты с долгами.

Рассмотрим на примере с яблоками. Если 2 человека должны 7 яблок. В случае, если посчитать, что каждый должен вернуть по 4 яблока, после полного расчета  у них останется 1 яблоко. Запишем в виде равенства это: (−7):2=−4 (ост. 1).

Деление любого числа а на целое не имеет смысла, но возможно как вариант.

Теорема о делимости целых чисел с остатком

Мы выявили, что а – это делимое, тогда b – это делитель, с – неполное частное, а d – остаток. Они между собой связаны. Эту связь покажем при помощи равенства a=b·c+d. Связь между ними характеризуется теоремой делимости с остатком.

Любое целое число может быть представлено только через целое и отличное от нуля число b таким образом: a=b·q+r, где q и r – это некоторые целые числа. Тут имеем 0≤r≤b.

Докажем возможность существования a=b·q+r.

Связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком

При помощи равенства a=b·c+d можно находить неизвестное делимое a, когда известен делитель b  с неполным частным c и остатком d.

Связь между делителем и неполным частным и остатком можно выразить при помощи равенств: b=(a−d):c, c=(a−d):b и  d=a−b·c. С их помощью мы можем вычислить делитель, неполное частное и остаток. Это сводится к постоянному нахождению остатка от деления целого целых чисел a на b с известным делимым, делителем и неполным частным. Применяется формула d=a−b·c. Рассмотрим решение подробно.

Деление с остатком целых положительных чисел, примеры

Все целые положительные числа являются натуральными. Отсюда следует, что деление выполняется по всем правилам деления  с остатком натуральных чисел. Скорость выполнения деления с остатком натуральных чисел важна, так как на нем основано не только деление положительных, но и правила деления целых произвольных.

Самый удобный метод деления – это столбик, так как проще и быстрее получить неполное или просто частное с остатком. Рассмотрим решение более подробно.

Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры

Чтобы выполнить деление с остатком  положительного числа на целое отрицательное, необходимо сформулировать правило.

Неполное частное от деления целого положительного a на целое отрицательное b получаем число, которое противоположно неполному частному  от деления модулей чисел a на b. Тогда остаток  равен остатку при делении a на b.

Отсюда имеем, что неполное частное от деления целого полодительного числа на целое отрицательное число  считают целым неположительным числом.

Получим алгоритм:

• найти модули делимого и делителя;
• делить модуль делимого на модуль делителя, тогда получим неполное частное  и
• остаток;
• запишем число противоположное полученному.

Рассмотрим на примере алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.

Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры

Формулировка правила деления с остатком выглядит следующим образом.

Для того, чтобы получить неполное частное с при делении целого отрицательного  a на положительное b, нужно применить противоположное данному числу и вычесть из него 1, тогда остаток d будет вычисляться по формуле: d=a−b·c.

Исходя из правила можно сделать вывод, что при делении получим целое неотрицательное число. Для точности решения применяют алгоритм деления а на b с остатком:

• найти модули делимого и делителя;
• делить по модулю;
• записать противоположное данному число и вычесть 1;
• использовать формулу для остатка d=a−b·c.

Рассмотрим на примере решения, где применяется данный алгоритм.

Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры

Необходимо сформулировать правило деления с остатком целых отрицательных чисел.

Для получения неполного частного с от деления целого отрицательного числа a на целое отрицательное b, необходимо произвести вычисления по модулю, после чего прибавить 1, тогда сможем произвести вычисления по формуле d=a−b·c.

Отсюда следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел будет число положительное.

Сформулируем данное правило в виде алгоритма:

• найти модули делимого и делителя;
• разделить модуль делимого на модуль делителя  с получением неполного частного с
• остатком;
• прибавление 1 к неполному частному;
• вычисление остатка, исходя из формулы d=a−b·c.

Данный алгоритм рассмотрим на примере.

Проверка результата деления целых чисел с остатком

После выполнение деления чисел с остатком необходимо выполнять проверку. Данная проверка подразумевает 2 этапа. Вначале идет проверка остатка d на неотрицательность, выполнение условия 0≤d<b. При их выполнении разрешено выполнять 2 этап. Если 1 этап  не выполнился, значит вычисления произведены с ошибками. Второй этап состоит из того, что равенство a=b·c+d должно быть верным. Иначе в вычисления имеется ошибка.

Рассмотрим на примерах.

1. Главная
2. Справочники
3. Справочник по математике для начальной школы
4. Деление
5. Деление с остатком

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Советуем посмотреть:

Табличное деление

Внетабличное деление

Деление суммы на число

Деление на однозначное число

Деление чисел, оканчивающихся нулями

Свойства деления

Деление

Правило встречается в следующих упражнениях:

2 класс

Страница 76. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 77. Урок 29,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 79. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 80. Урок 30,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 81. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 82. Урок 31,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 84. Урок 32,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 87. Урок 33,
Петерсон, Учебник, часть 3

Страница 108. Повторение,
Петерсон, Учебник, часть 3

3 класс

Страница 26,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 35,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 61,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 60,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 15. Урок 5,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 17. Урок 6,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 46. Урок 17,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 87. Урок 32,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 94. Урок 35,
Петерсон, Учебник, часть 1

Страница 95. Урок 42,
Петерсон, Учебник, часть 2

4 класс

Страница 38,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 1

Страница 18,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 1

Страница 50. Вариант 1. Тест 1,
Моро, Волкова, Проверочные работы

Страница 18,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 35,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 67,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 72,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 103,
Моро, Волкова, Степанова, Бантова, Бельтюкова, Учебник, часть 2

Страница 31,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

Страница 55,
Моро, Волкова, Рабочая тетрадь, часть 2

5 класс

Задание 537,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 550,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 954,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1087,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1131,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1792,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1820,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 533,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1

Задание 552,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1

Номер 1139,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

6 класс

Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 342,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 359,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 373,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 515,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Задание 477,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 602,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 1461,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник

Задание 113,
Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбург, Учебник, часть 1

7 класс

Номер 209,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 385,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 421,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 431,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 582,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 602,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 773,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 873,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1031,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 1156,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

8 класс

Номер 4,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 46,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 47,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 138,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 139,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 141,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

Номер 193,
Мерзляк, Полонский, Якир, Учебник

---

Общие сведения

Деление с остатком используется практически во всех дисциплинах с физико-математическим направлением. Операция позволяет записывать значения с выделением целой части. Одним из направлений является программирование. В этой дисциплине используются различные алгоритмы, работа которых основана на этом виде деления.

Следует отметить, что для выполнения этой операции существует определенная методика. Однако для ее реализации необходимы начальные знания. К ним относятся следующие:

1. Понятие о частном.
2. Правила делимости двух величин.

Операция частного состоит из трех элементов: делимого q, делителя p и их результата r. Выражение в математической форме имеет такой вид: q/p=r или q: p=r. Далее необходимо разобрать определение каждого компонента.

Делимое — числовое значение, которое нужно разделить на один из сомножителей. Делитель — один из множителей, на которые делится величина делимого. Результат операции называется частным двух или более чисел. Следует отметить, что деление классифицируется на два вида: без остатка и с его наличием.

В первом случае частное является целочисленным значением, а во втором — образуются две величины, а именно: целая часть и остаток. Последний записывается в скобках со знаком «плюс» и «минус». Например, 12 (+1) и 12 (-1). Первая величина эквивалентна 13, а вторая — 11. Затем следует разобрать правила делимости одного числа на другое.

Классификация числовых величин

Признаки делимости — отдельные критерии, при помощи которых можно сделать вывод о целочисленном делении одной величины на другую. Следует отметить, что числа классифицируются на два вида:

1. Простые.
2. Составные.

Для определения первых нужно воспользоваться тремя методами: специальными таблицами, средствами вычислительной техники и расчетным способом. В каждом учебнике по математике находятся в дополнениях таблица простых чисел. Кроме того, в интернете можно загрузить специальные программы, позволяющие определить принадлежность значения к простой величине.

Последний метод называется ручным, поскольку для определения принадлежности к этой группе необходимо воспользоваться признаками делимости. Отличительной особенностью простого значения от составного является возможность осуществления операции деления нацело только на единицу или само себя. Составные величины включают другие множители, отличные от единицы и эквивалентного значения.

Специалисты рекомендуют занести признаки делимости на специальные карточки, сделанные из картона. На них необходимо разборчиво написать все правила целочисленного деления двух чисел. Начинающие математики, которые стремятся добиться больших успехов в этой дисциплине, должны придумать примеры к каждому, как это сделано для семерки.

Следует отметить, что создание таких «тренажеров» тренируют память и аналитическое мышление. Далее следует перейти к правилам целочисленного частного или признакам делимости.

Правила целочисленного частного

В учебнике советского математика Виленкина Наума Яковлевича, одобренном Федеральными государственными образовательными стандартами (ФГОС), можно найти правила делимости нацело одного значения на другое. К ним относятся следующие:

1. На единицу и эквивалентное значение делится любая величина.
2. Только четные значения, последний разряд которых заканчивается на цифры 2, 4, 6, 8, 0, могут делиться на двойку.
3. Если сумма всех элементов разрядной сетки делится на тройку, то значит частное при делении на это значение будет целым.
4. На четверку можно разделить величину, у которой сумма разрядов единиц и десятков делится на четыре.
5. Условие деления на 5 — разряд единиц эквивалентен 0 или 5.
6. Чтобы разделить искомое значение на шесть, необходимо соблюдение сразу двух условий (второго и третьего).
7. Для деления величины, количество разрядов которой превышает 7, на семерку необходимо руководствоваться таким методом: разбить на группы-триады (по три), а затем просуммировать. Сумма должна делиться на 7. Если количество цифр не превышает 7, то нужно отсеять последний единичный элемент, и отнять от искомого числа удвоенный последний компонент. Результат должен делиться на 7.
8. Условием деления величины на восьмерку является одновременное выполнение второго и четвертого правил.
9. Чтобы разделить значение на 9, необходимо сложить все компоненты разрядной сетки. Результирующая величина при этом должна быть целочисленным значением.
10. Когда последний разряд равен нулю, тогда число делится на 10.

Однако седьмое правило может показаться не совсем понятным для начинающих математиков. В этом случае необходимо разобрать более подробно его реализацию на примере числа 754231897. Решение выполняется таким образом:

1. Разбить на триады начиная от единиц: 754 | 231 | 897.
2. Сложить элементы в группах: 18+6+24=48.
3. Результат, полученный на втором шаге, не делится на 7 по таблице умножения (49/7=7 и 56/7=8).

Если величина имеет меньшее количество разрядов (273), то формула определения записывается таким образом: 27−2*3=27−9=21. На основании полученного результата можно сделать вывод о том, что частное чисел 273 и 7 является целой величиной.

Определение принадлежности чисел

Не во всех случаях можно воспользоваться программным обеспечением, предварительно инсталлированным на телефон или компьютер. Для этого специалисты рекомендуют использовать методику определения принадлежности числа к группе простых или составных величин. Она имеет такой вид:

1. Написать исходную величину.
2. Найти ее множители, основываясь на правила делимости.

Однако для демонстрации работы алгоритма необходимо выполнить анализ для величины, эквивалентной 567. Реализация имеет следующий вид (номер шага равен делителю, кроме первого):

1. 567.
2. (-), т. к. 7 является нечетным значением.
3. 5+6+7=18 (+). Алгоритм прерывается, поскольку множитель найден.
4. 567 — составная величина.

Далее нахождение множителей можно не продолжать. Исключение составляют только задачи, в которых необходимо найти все делители. Теперь можно переходить непосредственно к алгоритму деления с остатком, поскольку базовых знаний уже достаточно для выполнения этой операции.

Методика деления с остатком

Результатом операции нахождения частного двух чисел может быть целочисленной или дробное значение. В основном реализация их алгоритмов совпадает. Следовательно, необходимо рассмотреть один из них. Рекомендуется подробно разобрать пример на деление без остатка для 5 класса. Методика имеет следующий вид:

1. Написать число и делитель: 542/2.
2. Взять старший разряд: 5.
3. Разделить его на делитель, выделив целую часть и остаток (записывается в скобках): 5/2=2 (+1). В результирующую графу записать 2.
4. Перемножить частное (2) и делитель (2), записав под старшей группой результат их произведения: 2*2=4.
5. От 5 отнять 4: 5−4=1.
6. Снести разряд десятков, поставив его рядом с 1: 14.
7. Разделить величину в шестом пункте на делитель: 14/2=7 (записать к частному).
8. Вынести последний элемент разрядной сетки, поделив его на 2: 2/2=1 (записать в графу результата).
9. Ответ: 271.
10. Выполнить проверку при помощи калькулятора: 271*2=542.

Можно составить задание, какое позволит применить этот алгоритм, но результат получится с остатком. Для этого необходимо решать задачу для нечетного числа и двойки, т. е. 541/2.

Нахождение частного осуществляется таким образом:

1. Выполнить все действия до седьмого пункта включительно.
2. Снести элемент единиц: 1. Он не делится на двойку. В этом случае нужно в графе результата записать 0. Получится величина «270».
3. Дописать остаток: 270 (+1).
4. Проверка: 2*270 (+1)=540+1=541. Числа совпадают.

Кроме того, эту методику также рекомендуется записать на отдельном листе бумаги. Она должна быть перед глазами, поскольку необходимо сформировать правильные действия учащегося при решении задач этого типа. Со временем ее можно будет убрать.

Пример решения

Специалисты рекомендуют также решать задачи на деление с остатком для 5 класса. Это связано с тем, что для лучшего результата недостаточно просто проходить школьный материал, а необходимо составлять различные задания. Одно из них имеет условие следующего вида:

1. Известен делитель и остаток: 3 и 2 соответственно.
2. Число-делимое состоит из трех разрядов, сумма которых эквивалентна 17.
3. Разряд сотен меньше десятков в 2 раза, а третий элемент меньше их суммы на 1.
4. Частное состоит из трех разрядов, десятки и единицы которого равны, а сотня на 1 меньше любого из них.
5. Необходимо найти делимое.

Математики рекомендуют решить задание самостоятельно, а затем сопоставить ответы. Оно решается по такой методике:

1. Составляются уравнения (t — первый старший разряд, s — десятки и u — единицы): s=2t, u=t+2t-1, t+2t+(t+2t-1)=17.
2. Корни последнего уравнения: t=3. Отсюда s=6 и u=8.
3. Искомое число: 368.

Если подставить величины, которые получились во втором пункте, то можно сделать вывод о правильном нахождении значения. Оно состоит из трех разрядов, т. е. 368. Сумма последних составляет 17, что удовлетворяет условию задачи (3+6+8=17). Компонент, находящийся в разрядной сетке на месте сотен, меньше элемента разряда десятков в два раза, т. е. 6/3=2. Последняя цифра вычисляется по формуле: сотни+десятки-единицы=3+6−8=1.

Однако для окончательной проверки нужно выполнить операцию деления 368/3. Ее результатом является величина, равная 122 (+2). Условие в четвертом пункте соблюдается, поскольку 2=2 и 1<2. Следовательно, задача решена правильно.

Таким образом, операция деления в столбик с остатком выполняется при помощи методики, для применения которой нужно знать признаки делимости одного значения на другое, а также виды чисел и их главные отличия (простого от сложного).

Деление c остатком — арифметическая операция (b) , играющая большую роль в арифметике (b) , теории чисел (b) , алгебре (b) и криптографии (b) . Чаще всего эта операция определяется для целых (b) или натуральных чисел (b) следующим образом^[1]. Пусть и  — целые числа, причём Деление с остатком («делимого») на («делитель») означает нахождение таких целых чисел и , что выполняется равенство:

Таким образом, результатами деления с остатком являются два целых числа: называется неполным частным от деления, а  — остатком от деления. На остаток налагается дополнительное условие: то есть остаток от деления должен быть неотрицательным числом и по абсолютной величине меньше делителя (b) . Это условие обеспечивает однозначность результатов деления с остатком для всех целых чисел, то есть существует единственное решение уравнения при заданных выше условиях. Если остаток равен нулю, говорят, что нацело делится на

Нахождение неполного частного также называют целочисленным делением, а нахождение остатка от деления называют взятием остатка или, неформально, делением по модулю (однако последний термин стоит избегать, так как он может привести к путанице с делением в кольце (b) или группе вычетов (b) по аналогии со сложением или умножением по модулю).

Примеры

• При делении с остатком положительного числа на получаем неполное частное и остаток .

Проверка:

• При делении с остатком отрицательного числа на получаем неполное частное и остаток .

Проверка:

• При делении с остатком отрицательного числа на получаем неполное частное и остаток .

Проверка:

• При делении с остатком положительного числа на получаем неполное частное и остаток .

Проверка:

• При делении с остатком числа на получаем неполное частное и остаток , то есть деление выполняется нацело.

Операция деления с остатком может быть определена не только для целых чисел, но и для других математических объектов (например, для многочленов (b) ), см. ниже.

Определение

Оставаясь строго в рамках натуральных чисел (b) , приходится различать деление с остатком и деление нацело, поскольку нулевой остаток не является натуральным числом; кроме того, неполное частное при делении меньшего числа на большее должно равняться нулю, что тоже выводит за рамки натуральных чисел. Все эти искусственные ограничения неоправданно усложняют формулировки, поэтому в источниках обычно либо рассматривается расширенный натуральный ряд, включающий ноль^[2], либо теория сразу формулируется для целых чисел, как указано выше^[1].

Для вычисления неполного частного от деления на положительное число следует разделить (в обычном смысле) на и округлить результат до ближайшего целого в меньшую сторону:

когда .

где полускобки обозначают взятие целой части (b) . Значение неполного частного позволяет вычислить значение остатка по формуле:

Для отрицательного делителя нужно округлять частное в большую сторону:

когда .

Операция «mod» и связь со сравнениями

Величина остатка может быть получена бинарной операцией (b) «взятия остатка» от деления на , обозначаемой mod:

Не следует путать это обозначение с обозначением сравнения по модулю (b) . Формула для влечёт выполнение сравнения:

однако обратная импликация (b) , вообще говоря, неверна. А именно, это сравнение не подразумевает выполнения неравенства , необходимого для того, чтобы было остатком.

В программировании

Операция вычисления неполного частного и остатка в различных языках программирования

Язык	Неполное частное	Остаток	Знак остатка
ActionScript (b)		%	Делимое
Ada (b)		mod	Делитель
rem	Делимое
Бейсик (b)		MOD	Не определено
Си (b) (ISO 1990)	/	%	Не определено
Си (b) (ISO 1999)	/	%	Делимое[3]
C++ (b) (ISO 2003)	/	%	Не определено[4]
C++ (ISO 2011) (b)	/	%	Делимое[5]
C# (b)	/	%	Делимое
ColdFusion (b)		MOD	Делимое
Common Lisp (b)		mod	Делитель
	rem	Делимое
D (b)	/	%	Делимое[6]
Delphi (b)	div	mod	Делимое
Eiffel (b)	//	\	Делимое
Erlang (b)	div	rem	Делимое
Euphoria (b)		remainder	Делимое
Microsoft Excel (b) (англ.)	QUOTIENT()	MOD()	Делитель
Microsoft Excel (b) (рус.)	ЧАСТНОЕ()	ОСТАТ()
FileMaker (b)	Div()	Mod()	Делитель
Fortran (b)		mod	Делимое
	modulo	Делитель
GML (Game Maker) (b)	div	mod	Делимое
Go (b)	/	%	Делимое
Haskell (b)	div	mod	Делитель
quot	rem	Делимое
J (b)		|~	Делитель
Java (b)	/	%	Делимое[7]
Math.floorDiv	Math.floorMod	Делитель (1.8+)
JavaScript (b)	.toFixed(0)	%	Делимое
Lua (b)		%	Делитель
Mathematica (b)	Quotient	Mod	Делитель
MATLAB (b)	idivide(?, ?, 'floor')	mod	Делитель
idivide	rem	Делимое
MySQL (b)	DIV	MOD %	Делимое
Oberon (b)	DIV	MOD	+
Objective Caml (b)		mod	Не определено
Pascal (b)	div	mod	Делимое[8]
Perl (b)	Нет	%	Делитель
PHP (b)	Нет[9]	%	Делимое
PL/I (b)		mod	Делитель (ANSI PL/I)
Prolog (b) (ISO 1995)		mod	Делитель
PureBasic (b)	/	Mod %	Делимое
Python (b)	//	%	Делитель
QBasic (b)		MOD	Делимое
R (b)	%/%	%%	Делитель
RPG (b)		%REM	Делимое
Ruby (b)	/	%	Делитель
Scheme (b)		modulo	Делитель
SenseTalk (b)		modulo	Делитель
rem	Делимое
Tcl (b)		%	Делитель
Verilog (b) (2001)		%	Делимое
VHDL (b)		mod	Делитель
rem	Делимое
Visual Basic (b)		Mod	Делимое

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике (b) и телекоммуникационном оборудовании (b) для создания контрольных чисел (b) и получения случайных чисел (b) в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел (b) .

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа. Например, в Паскале (b) операция mod вычисляет остаток от деления, а операция div осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

Знак остатка

Операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

• Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
• Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к .

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

• Есть сумма копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки: n div 100 и n mod 100. Знак остатка совпадает со знаком делимого.
• Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка (, ), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? Ответ: x div 16, y div 16 и (x mod 16, y mod 16) соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.

Операция div в x86 (b) /x64 (b) делит регистровую пару rdx:rax на любой другой регистр или число из памяти^[10]. Неполное частное и остаток выходят по первому варианту — округляют к нулю.

Как запрограммировать, если такой операции нет?

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: , где , в зависимости от задачи, может быть «полом (b) » или усечением. Однако деление здесь получается дробное (b) , которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (b) (отдельные электронные таблицы (b) , программируемые калькуляторы (b) и математические программы), а также в скриптовых языках (b) , в которых издержки интерпретации (b) намного превышают издержки дробной арифметики (Perl (b) , PHP (b) ).

При отсутствии команды mod остаток программируется как .

Если положительно, а знак совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой .

Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки  — это битовый сдвиг (b) (для чисел со знаком (b)  — арифметический) и .

Обобщения

Вещественные числа

Если два числа и (отличное от нуля (b) ) относятся к множеству вещественных чисел (b) , может быть поделено на без остатка, и при этом частное также является вещественным числом. Если же частное по условию должно быть целым числом (b) , в этом случае остаток будет вещественным числом, то есть может оказаться дробным (b) .

Формально:

если , то , где .

Пример

Деление 7,9 на 2,1 с остатком даёт:

(неполное частное);

(остаток).

Гауссовы целые числа

Гауссово число (b)  — это комплексное число (b) вида , где  — целые числа. Для них можно определить деление с остатком: любое гауссово число можно разделить с остатком на любое ненулевое гауссово число , то есть представить в виде:

,

где частное и остаток  — гауссовы числа, причём Однако, в отличие от целых чисел, остаток от деления определяется неоднозначно. Например, можно разделить на тремя способами:

Многочлены

При делении с остатком двух многочленов (b) и для однозначности результата вводится условие: степень многочлена-остатка должна быть строго меньше степени делителя:

, причём .

Пример

(остаток 3), так как: .

См. также

• Алгоритм Евклида (b)
• Делимость (b)
• Наибольший общий делитель (b)
• Непрерывная дробь (b)
• Сравнение по модулю (b)

Примечания

1. 1 2 Деление // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия (b) , 1979. — Т. 2.
2. ↑ Потапов М. К., Александров В. В., Пасиченко П. И. Алгебра и анализ элементарных функций. М.: Наука, 1981, 560 с., С. 9.
3. ↑ ISO/IEC 9899:TC2: When integers are divided, the result of the / operator is the algebraic quotient with any fractional part discarded. [This is often called «truncation toward zero».]; в списке изменений 1999→TC1 и TC1→TC2 данное изменение не числится.
4. ↑ «ISO/IEC 14882:2003 : Programming languages — C++», 5.6.4: International Organization for Standardization (b) , International Electrotechnical Commission (b) , 2003. «the binary % operator yields the remainder from the division of the first expression by the second. …. If both operands are nonnegative then the remainder is nonnegative; if not, the sign of the remainder is implementation-defined».
5. ↑ N3242=11-0012 (Working draft), текст совпадает с C99
6. ↑ D language specification (англ.). dlang.org. Дата обращения: 29 октября 2017. Архивировано из оригинала 3 октября 2017 года.
7. ↑ Арнолд, Кен, Гослинг, Дж. (b) , Холмс, Д. Язык программирования Java. — 3-е изд. — М., СПб., Киев: Вильямс, 2001. — С. 173—174. — ISBN 5-8459-0215-0.
8. ↑ Стандарт 1973 года: div — division with truncation.
9. ↑ PHP: Arithmetic Operators — Manual. Дата обращения: 27 ноября 2014. Архивировано 19 ноября 2014 года.
10. ↑ DIV — Unsigned Divide