Как пишется подмножество в математике

Euler diagram showing
A is a subset of B, A⊆B, and conversely B is a superset of A, B⊇A.

In mathematics, set A is a subset of a set B if all elements of A are also elements of B; B is then a superset of A. It is possible for A and B to be equal; if they are unequal, then A is a proper subset of B. The relationship of one set being a subset of another is called inclusion (or sometimes containment). A is a subset of B may also be expressed as B includes (or contains) A or A is included (or contained) in B. A k-subset is a subset with k elements.

The subset relation defines a partial order on sets. In fact, the subsets of a given set form a Boolean algebra under the subset relation, in which the join and meet are given by intersection and union, and the subset relation itself is the Boolean inclusion relation.

Definition[edit]

If A and B are sets and every element of A is also an element of B, then:

If A is a subset of B, but A is not equal to B (i.e. there exists at least one element of B which is not an element of A), then:

The empty set, written or is a subset of any set X and a proper subset of any set except itself, the inclusion relation is a partial order on the set (the power set of S—the set of all subsets of S^[1]) defined by . We may also partially order by reverse set inclusion by defining

When quantified, is represented as ^[2]

We can prove the statement by applying a proof technique known as the element argument^[3]:

Let sets A and B be given. To prove that

suppose that a is a particular but arbitrarily chosen element of A

show that a is an element of B.

The validity of this technique can be seen as a consequence of Universal generalization: the technique shows for an arbitrarily chosen element c. Universal generalisation then implies which is equivalent to as stated above.

The set of all subsets of is called its powerset, and is denoted by . The set of all -subsets of is denoted by , in analogue with the notation for binomial coefficients, which count the number of -subsets of an -element set. In set theory, the notation ${displaystyle [A]^{k}}$ is also common, especially when is a transfinite cardinal number.

Properties[edit]

A set A is a subset of B if and only if their intersection is equal to A.

Formally:

{displaystyle Asubseteq B{text{ if and only if }}Acap B=A.}

A set A is a subset of B if and only if their union is equal to B.

Formally:

{displaystyle Asubseteq B{text{ if and only if }}Acup B=B.}

A finite set A is a subset of B, if and only if the cardinality of their intersection is equal to the cardinality of A.

Formally:

⊂ and ⊃ symbols[edit]

Some authors use the symbols subset and supset to indicate subset and superset respectively; that is, with the same meaning as and instead of the symbols and ^[4] For example, for these authors, it is true of every set A that

Other authors prefer to use the symbols subset and supset to indicate proper (also called strict) subset and proper superset respectively; that is, with the same meaning as and instead of the symbols and ^[5] This usage makes and subset analogous to the inequality symbols leq and For example, if then x may or may not equal y, but if then x definitely does not equal y, and is less than y. Similarly, using the convention that subset is proper subset, if then A may or may not equal B, but if then A definitely does not equal B.

Examples of subsets[edit]

The regular polygons form a subset of the polygons

The set A = {1, 2} is a proper subset of B = {1, 2, 3}, thus both expressions and are true.
The set D = {1, 2, 3} is a subset (but not a proper subset) of E = {1, 2, 3}, thus is true, and is not true (false).
Any set is a subset of itself, but not a proper subset. ( is true, and is false for any set X.)
The set {x: x is a prime number greater than 10} is a proper subset of {x: x is an odd number greater than 10}
The set of natural numbers is a proper subset of the set of rational numbers; likewise, the set of points in a line segment is a proper subset of the set of points in a line. These are two examples in which both the subset and the whole set are infinite, and the subset has the same cardinality (the concept that corresponds to size, that is, the number of elements, of a finite set) as the whole; such cases can run counter to one’s initial intuition.
The set of rational numbers is a proper subset of the set of real numbers. In this example, both sets are infinite, but the latter set has a larger cardinality (or power) than the former set.

Another example in an Euler diagram:

A is a proper subset of B
C is a subset but not a proper subset of B

Other properties of inclusion[edit]

Inclusion is the canonical partial order, in the sense that every partially ordered set is isomorphic to some collection of sets ordered by inclusion. The ordinal numbers are a simple example: if each ordinal n is identified with the set [n] of all ordinals less than or equal to n, then aleq b if and only if

For the power set of a set S, the inclusion partial order is—up to an order isomorphism—the Cartesian product of (the cardinality of S) copies of the partial order on {0,1} for which This can be illustrated by enumerating ${displaystyle S=left{s_{1},s_{2},ldots ,s_{k}right},}$ , and associating with each subset (i.e., each element of $2^{S}$ ) the k-tuple from ${displaystyle {0,1}^{k},}$ of which the ith coordinate is 1 if and only if $s_{i}$ is a member of T.

References[edit]

^ Weisstein, Eric W. «Subset». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-23.
^ Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications (7th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.
^ Epp, Susanna S. (2011). Discrete Mathematics with Applications (Fourth ed.). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
^ Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
^ Subsets and Proper Subsets (PDF), archived from the original (PDF) on 2013-01-23, retrieved 2012-09-07

Bibliography[edit]

Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

External links[edit]

Media related to Subsets at Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. «Subset». MathWorld.

Источник

Euler diagram showing
A is a subset of B, A⊆B, and conversely B is a superset of A, B⊇A.

Definition[edit]

If A and B are sets and every element of A is also an element of B, then:

If A is a subset of B, but A is not equal to B (i.e. there exists at least one element of B which is not an element of A), then:

When quantified, is represented as ^[2]

We can prove the statement by applying a proof technique known as the element argument^[3]:

Let sets A and B be given. To prove that

suppose that a is a particular but arbitrarily chosen element of A

show that a is an element of B.

Properties[edit]

A set A is a subset of B if and only if their intersection is equal to A.

Formally:

A set A is a subset of B if and only if their union is equal to B.

Formally:

A finite set A is a subset of B, if and only if the cardinality of their intersection is equal to the cardinality of A.

Formally:

⊂ and ⊃ symbols[edit]

Examples of subsets[edit]

The regular polygons form a subset of the polygons

The set A = {1, 2} is a proper subset of B = {1, 2, 3}, thus both expressions and are true.
The set D = {1, 2, 3} is a subset (but not a proper subset) of E = {1, 2, 3}, thus is true, and is not true (false).
Any set is a subset of itself, but not a proper subset. ( is true, and is false for any set X.)
The set {x: x is a prime number greater than 10} is a proper subset of {x: x is an odd number greater than 10}
The set of natural numbers is a proper subset of the set of rational numbers; likewise, the set of points in a line segment is a proper subset of the set of points in a line. These are two examples in which both the subset and the whole set are infinite, and the subset has the same cardinality (the concept that corresponds to size, that is, the number of elements, of a finite set) as the whole; such cases can run counter to one’s initial intuition.
The set of rational numbers is a proper subset of the set of real numbers. In this example, both sets are infinite, but the latter set has a larger cardinality (or power) than the former set.

Another example in an Euler diagram:

A is a proper subset of B
C is a subset but not a proper subset of B

Other properties of inclusion[edit]

References[edit]

^ Weisstein, Eric W. «Subset». mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-23.
^ Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications (7th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 119. ISBN 978-0-07-338309-5.
^ Epp, Susanna S. (2011). Discrete Mathematics with Applications (Fourth ed.). p. 337. ISBN 978-0-495-39132-6.
^ Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, p. 6, ISBN 978-0-07-054234-1, MR 0924157
^ Subsets and Proper Subsets (PDF), archived from the original (PDF) on 2013-01-23, retrieved 2012-09-07

Bibliography[edit]

Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.

External links[edit]

Media related to Subsets at Wikimedia Commons
Weisstein, Eric W. «Subset». MathWorld.

Источник

Множества

Подмножество
Пересечение и объединение множеств

Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от A до Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел.

Элемент множества — это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака ∈. Запись

5∈Z

читается так: 5 принадлежит множеству Z или 5 – элемент множества Z.

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество L состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8} и M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.

Каждый элемент множества L принадлежит и множеству M, значит, множество L является подмножеством множества M. Такое соотношение множеств обозначают знаком ⊂:

L⊂M.

Запись L⊂M читается так: множество L является подмножеством множества M.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются равными и обозначаются знаком =.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6} и M = {4, 6, 2}.

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств — это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком ∩.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19}, то L∩M = {3, 11}.

Запись L∩M читается так: пересечение множеств L и M.

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком ∪.

Например, если

L = {1, 3, 7, 11} и M = {3, 11, 17, 19},

то L∪M = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запись L∪M читается так: объединение множеств L и M.

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

если L = M, то L∪M = L и L∪M = M.

Источник

{} набор набор элементов A = {3,7,9,14},
B = {9,14,28} | такой, что так что A = { x | x ∈

, x <0} A⋂B пересечение объекты, принадлежащие множеству A и множеству B A ⋂ B = {9,14} A⋃B союз объекты, принадлежащие множеству A или множеству B A ⋃ B = {3,7,9,14,28} A⊆B подмножество A является подмножеством B. множество A включено в набор B. {9,14,28} ⊆ {9,14,28} A⊂B правильное подмножество / строгое подмножество A является подмножеством B, но A не равно B. {9,14} ⊂ {9,14,28} A⊄B не подмножество множество A не является подмножеством множества B {9,66} ⊄ {9,14,28} A⊇B суперсет A является надмножеством B. множество A включает множество B {9,14,28} ⊇ {9,14,28} A⊃B правильный суперсет / строгий суперсет A является надмножеством B, но B не равно A. {9,14,28} ⊃ {9,14} A⊅B не суперсет множество A не является надмножеством множества B {9,14,28} ⊅ {9,66} 2 ^А набор мощности все подмножества A

набор мощности все подмножества A А = В равенство оба набора имеют одинаковые элементы A = {3,9,14},
B = {3,9,14},
A = B А ^в дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A А ‘ дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A А Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A B = {9,14} AB относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A — B = {9,14} A∆B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ∆ B = {1,2,9,14} A⊖B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ⊖ B = {1,2,9,14} a ∈A элемент,
принадлежит установить членство A = {3,9,14}, 3 ∈ A x ∉A не элемент нет установленного членства A = {3,9,14}, 1 ∉ A ( а , б ) упорядоченная пара сборник из 2-х элементов A × B декартово произведение множество всех упорядоченных пар из A и B | A | мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, | A | = 3 #A мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, # A = 3 | вертикальная полоса такой, что А = {х | 3 <х <14} ℵ ₀ алеф-нуль бесконечная мощность множества натуральных чисел ℵ ₁ алеф-он мощность множества счетных порядковых чисел Ø пустой набор Ø = {} A = Ø

универсальный набор набор всех возможных значений ℕ ₀ набор натуральных / целых чисел (с нулем)

₀ = {0,1,2,3,4, …} 0 ∈

₀ ℕ ₁ набор натуральных / целых чисел (без нуля)

₁ = {1,2,3,4,5, …} 6 ∈

₁ ℤ набор целых чисел

= {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} -6 ∈

ℚ набор рациональных чисел

= { x | x = a / b , a , b ∈

и b ≠ 0} 2/6 ∈

ℝ набор реальных чисел

= { x | -∞ < х <∞} 6.343434 ∈

ℂ набор комплексных чисел

= { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} 6 + 2 i ∈

Источник

Александр Мельник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение 1

В математике совокупности объектов, объединяющие ряд объектов называют множество. Данное понятие является первичным, значит, к более простым понятиям оно не сводится.

Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множествах. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.

Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $6$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,9$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.

Виды множеств

Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.

Определение 2

Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.

Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.

Определение 3

Множество, не являющееся конечным, называют бесконечным множеством.

Подмножества

Если некоторое множество не является пустым, то из него можно выделить другие множества, которые будут являться его частями.

Например, из множества натуральных чисел можно выделить множество четных.

В математике часть множества называют — подмножество. Говорят, что множество является подмножеством другого, если каждый элемент подмножества является одновременно и элементом большего множества.

Обозначение множеств, подмножеств и их элементов

«Множества,их элементы,поджмножества» 👇

Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C , D, X, Y, Z, W$ и Т.Д.

Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.

Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $ain A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.

Если же некоторый элемент, например, $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $bnotin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$

Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3in A$, $7,5notin B$

Пустое множество в математике обозначают так: $ᴓ$

Для обозначения того, что множество $B$ является подмножеством множества $A$, используют обозначение: Знак $subset $ обозначает включение одного множества в другое множество.

Пример 1

Определить какие элементы из перечисленных $12,38,54,79,934$ будут входить в множество $A$- чисел кратных $3$.

Решение: По условию множество $A$ содержит в себе элементы, каждый из которых должен быть кратным, т.е. делится без остатка на $3.$ Значит для того чтобы определить будут ли заданные числа являться элементами множества $A$ нам надо проверить какие из них будут делится на $3$ без остатка, какие нет.

Вспомним признак делимости на $3$: Если сумма цифр, входящих в состав числа делится на $3$, то число делится на $3$ без остатка.

$12$ делится на $3$, т.к. сумма цифр числа $12$ равна $3$

число $38$ на $3$ без остатка делится не будет, т.к. сумма цифр $3+8=11$ не делится на $3$ без остатка

аналогично т.к. суммы цифр числа $54$ равна $9$ доказываем, что на $3$ оно делится, в число $74$ на $3$ делится не будет, т.к. сумма цифр равна $11.$

Найдем сумму цифр числа $934: 9+3+4=16$, число $16$ не кратно $3$ ,значит и число $934$ на $3$ без остатка делится не будет

Теперь сделаем вывод, какие числа будут являться элементами множества $A$:

[38notin А, 74notin А,934notin А ; 12in A, {rm : }54in A.]

Способы задания множеств

Существует два глобально различных способа задания множеств.

Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него

Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $left{a,b,cright}$

При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.

Второй способ задания множеств применим как для конечных. так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества — множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.

Пример 2

Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, что все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:

$A=left{1 ,2 ,3,4,5,6,7,8,9right}$

Равенство множеств

Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.

Пример 3

Например, рассмотрим множества

$A=left{1 ,2 ,3,4,5,6,7,8,9right}$

$B=left{9,8,7,6,5,4,3,2,1right}$

Эти множества будут, состоят из равных элементов, значит, они будут равны, но при этом элементы расположены в разном порядке, т.е. множества различны

Пересечение множеств

Если даны два множества, то можно образовать новое множество, составленное из общих элементов этих множеств.

Пример 4

Например, рассмотрим два множества:

$A=left{1 ,2,3,4,5right}$

$B=left{9,7,5,3,right}$

Общей частью этих множеств будет множество $C=left{3,5,right}$

Математически это можно обозначить так: $Аcap B=left{3,5right}$

Пересечением множеств $A$ и $B$ называется новое множество, содержащее те и только те элементы, которые входят одновременно и в множество $A$ и в множество $B$.

Объединение множеств

Из двух множеств $A$ и $B$ можно образовать новое множество, объединяя все элементы множества $A$ и все элементы множества $B$

Математически это можно обозначить так:$ А cup B$

Объединением множеств $A$ и $B$ называется новое множество$ А cup B$, состоящее из тех и только из тех элементов, которые входят хотя бы в одно из множеств $A$ или $B$.

Разность множеств

Разностью двух множеств $A$ и $B$ называют такое множество, в которое входят все элементы из множества $A$, не принадлежащие множеству $B$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Понятие множества

Что такое «множество», мы понимаем интуитивно. В этом смысле это понятие первично, так же как «точка» или «плоскость».

Создатель теории множеств Г.Кантор описывал множество как «многое, мыслимое нами как единое».

Приведём примеры множеств:

Множество людей в салоне самолёта

Множество деревьев в парке

Множество планет Солнечной системы

Множество электронов в атоме

Множество натуральных чисел

Множество «синих-синих презелёных красных шаров»

1,2,3,….$infty$

$varnothing$

Конечное, бесконечное и пустое множества

Людей в салоне самолёта легко посчитать, это множество конечно.

С деревьями в парке, планетами и электронами – сложней. Скорее всего, мы не сможем назвать точное количество элементов этих множеств в данный момент времени. Однако, и эти множества конечны.

Натуральное число – это идеальный объект, абстракция. Множество натуральных чисел бесконечно. Как оказалось, человек может оперировать и абстракциями, и бесконечностями.

Можно себе представить даже то, «чего на свете вообще не может быть». Поскольку таких объектов нет, их множество будет пустым. Пустое множество является частью любого другого множества.

Конечные множества

Бесконечные множества

Пустые множества

Игроки на поле

Помидоры на грядке

Пчёлы в улье

Числа (натуральные, рациональные, действительные и т.д.)

Количество рациональных чисел на отрезке [0;1]

Полосатые летающие слоны

Все точки пересечения двух параллельных прямых на плоскости

Способы задания множеств

1) Перечисление – в списке задаются все элементы множества.

Например:

Множество всех континентов Земли:

{Евразия,Северная Америка,Южная Америка,Африка,Австралия,Антарктида}

Множество букв слова «математика»: {м,а,т,е,и,к}

Множество натуральных чисел меньших 5: {1,2,3,4}

2) Характеристическое свойство – указывается особенность элементов множества.

Например:

A = ${x|x gt 0, x in Bbb R}$ — множество всех действительных положительных x

B = ${n|n⋮5,n in Bbb N}$ — множество всех натуральных n, кратных 5

C = ${(x,y)|x^2+y^2 ge 1,x in Bbb R,y in Bbb R}$ – множество всех действительных точек координатной плоскости (x,y), расстояние от которых до начала координат не больше 1 (круг с центром в начале координат, радиусом 1).

D = {k|k-материк Земли} – множество всех материков планеты Земля

3) Графическое изображение – визуальное моделирование с помощью различных диаграмм (круги Эйлера, интервалы, графики и т.п.)

Подмножества

Множество A называют подмножеством множества B (A $subseteq$ B), если всякий элемент множества A также является элементом множества B:

$$ A subseteq B iff (a in Bbb A Rightarrow a in Bbb B) $$

Говорят, что B содержит A, или B покрывает A.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

Знак $subseteq$ является аналогом $ge$, т.е. «нестрогим» неравенством. Это значит, что множества A и B могут и совпадать (любое множество является подмножеством самого себя).

Между множествами можно также ввести отношение «строгое подмножество», $A subset B$, в котором B заведомо «шире» множества A (аналог строгого неравенства $lt$).

Примеры подмножеств:

Множество людей является подмножеством приматов, живущих на Земле.

Множество натуральных чисел меньших 5 является подмножеством натуральных чисел меньших $10: A = {n|n lt 5, n in Bbb N}, B = {m|m lt 10, m in Bbb N}, A subseteq B$

Множество квадратов является подмножеством прямоугольников.

Множество полосатых летающих слонов – как пустое множество — является подмножеством чего угодно: приматов, чисел, прямоугольников. Что удобно для размышлений о смысле всего.

Множество всех подмножеств данного множества A называют булеаном или степенью множества A.

Булеан конечного множества из n элементов содержит $2^n$ элементов:

$$ |A| = n, |P(A)| = 2^n$$

Примеры

Пример 1. Запишите данное множество с помощью перечисления элементов:

а) $A = {x|x^2 lt 5, x in Bbb Z}$

Задано множество целых чисел, квадрат которых меньше 5. Перечисляем:

A = {-2;-1;0;1;2}

б) $B = {x||x| ge 3, x in Bbb Z}$

Задано множество целых чисел, модуль которых не больше 3. Перечисляем:

B = {-3;-2;-1;0;1;2;3}

в) $ C = {x|(x-1)(2x+5) = 0, x in Bbb Q}$

Задано множество рациональных чисел, являющихся корнями уравнения

(x-1)(2x+5) = 0. Перечисляем:

C = {1;-2,5}

г) $D = {n|9 lt n ge 12, n in Bbb N}$

Задано множество натуральных чисел, входящих в полуинтервал $9 lt n le 12$.

Перечисляем:

D = {10;11;12}

Пример 2. Запишите данное множество с помощью характеристического свойства:

а) Множество всех натуральных чисел меньше 10

$$ A = {n|n lt 10, n in Bbb N} $$

б) Множество всех действительных чисел, кроме 0

$$ B = {x|x neq 0, x in Bbb R} $$

в) Множество всех точек с целыми координатами, принадлежащих прямой y = 2x+1

$$C = {(x,y)|y = 2x+1, x in Bbb Z, y in Bbb Z}$$

г) Множество всех целых решений уравнения $x^3+x^2+4 = 0$

$$ D = {x|x^3+x^2+4 = 0, x in Bbb Z} $$

Пример 3. Изобразите на графике в координатной плоскости данное множество:

а) $A = {(x,y)|y = x+2, x le 3, x in Bbb N}$

Задано конечное множество точек, которое можно представить перечислением:

A = {(1;3);(2;4);(3;5) }

На графике:

б)$ B = {(x,y)|y = frac{4}{x},-4 le x le -1, x in Bbb R}$

Задано бесконечное множество точек, принадлежащих данной гиперболе $y = frac{4}{x}$ в данном интервале $-4 le x le -1$. На графике:

Пример 4. Укажите и запишите с помощью перечисления одно из непустых конечных подмножеств для данного множества:

а) A = {k|k-электронное устройство}

$B subseteq A, B$ = {компьютер, смартфон, планшет}

б) A = {m|m-четырёхугольник}

$B subseteq A, B$ = {квадрат, ромб, прямоугольник}

в) A = {p|p-музыкальный инструмент}

$B subseteq A, B$ = {пианино, скрипка, виолончель}

г) A = {t|t-средство передвижения}

$B subseteq A, B$ = {автомобиль,автобус,поезд}

Пример 5*. Найдите булеан данного множества:

а) A = {5;10;27}

$$ P(A) = {{varnothing},{5},{10},{27},{5;10},{5;27},{10;27},{5;10;27} } $$

Исходное множество состоит из n = 3 элементов, булеан состоит из $2^3 = 8$ элементов.

б) B = {1;{2;16} }

$$ P(B) = {{varnothing},{1},{2;16},{1;{2;16} } } $$

Исходное множество состоит из n = 2 элементов, булеан состоит из $2^2 = 4$ элементов.

Источник

Задание множеств

Если объект
является элементом множества,
то говорят, чтопринадлежит.
Обозначение.
В противном случае говорят, чтоне принадлежит.
Обозначение.

Множество, не
содержащее элементов, называется пустым.
Обозначение:
.

Чтобы задать
множество, нужно указать, какие элементы
ему принадлежат. Это можно сделать
различными способами.

Перечислением
элементов:
.
Характеристическим
предикатом:
.
Порождающей
процедурой:
.

При задании множеств
перечислением обозначения элементов
обычно заключают в фигурные скобки и
разделяют запятыми. Характеристический
предикат
(от латинского praedicatum)
– это некоторое условие, выраженное в
форме логического утверждения,
возвращающего логическое значение.
Если для данного элемента условие
выполнено, то он принадлежит определяемому
множеству, в противном случае – не
принадлежит. Порождающая процедура –
это процедура, которая, будучи запущенной,
порождает некоторые объекты, являющиеся
элементами определяемого множества.

Пример 5.1.
;

;

Парадокс Рассела

Задание множеств
характеристическим предикатом может
приводить к противоречиям. Например,
все рассмотренные в примерах множества
не содержат себя в качестве элемента.
Рассмотрим множество всех множеств, не
содержащих себя в качестве элемента:
.

Если множество
существует, то мы должны иметь возможность
ответить на следующий вопрос:?
Пусть,
тогда.
Пусть,
тогда.
Получается неустранимое логическое
противоречие, которое известно какпарадокс
Рассела.
Существует три способа избежать этого
парадокса.

Ограничить
используемые характеристические
предикаты видом

где
– известное, заведомо существующее
множество (универсум). Обычно при этом
используют обозначение.
Дляуниверсум не указан, а потомумножеством не является.

Теория типов.
Объекты имеют тип 0, множества имеют
тип 1, множества множеств – тип 2 и т.д.
не имеет типа и множеством не является.
Характеристический
предикат
задан в виде вычислимой функции
(алгоритма). Способ вычисления значения
предикатане задан, а потомумножеством не является.

Последний из
перечисленных способов лежит в основе
так называемого конструктивизма
– направления в математике, в рамках
которого рассматриваются только такие
объекты, для которых известны процедуры
(алгоритмы) их порождения. В конструктивной
математике исключаются из рассмотрения
некоторые понятия и методы классической
математики, чреватые возможными
парадоксами.

Сравнение
множеств

Множество
содержится в множестве,
если каждый элементесть элемент.
Записывается это следующим способом:.
В этом случаеназываетсяподмножеством
.
Еслии,
тоназываетсясобственным
подмножеством
.

Мощность
множества
обозначается как.
Для конечных множеств мощность – это
число элементов. Например,,
но.
Если,
то множестваиназываютсяравномощными.

Иногда в литературе
вместо мощности множества используется
другой равнозначный ему термин:
кардинальное
число
множества (от латинского cardinalis
– главный). Этот термин был введен
Георгом Кантором.

Операции над
множествами

Обычно рассматриваются
следующие операции над множествами:

Объединение:
.
Пересечение:
.
Разность:
.
Симметрическая
разность:

Дополнение: .

Операция дополнения
подразумевает некоторый универсум:

Декартово
произведение множеств:

Декартово
произведение двух множеств
иесть множество всех упорядоченных пар
(x,
y),
где
и.

Пример
5.2. Пусть
,.
Тогда

,
,,.

На рис. 5.1 приведены
диаграммы
Эйлера,
иллюстрирующие операции над множествами.
Сами исходные множества изображаются
геометрическими фигурами (бесконечные
множества точек на плоскости), результат
выделяется с помощью штриховки.

Рис. 5.1. Диаграммы
Эйлера

Свойства операций
над множествами

Пусть задан
универсум
.
Тогдавыполняются следующие свойства.

Инволютивность:

;

Идемпотентность:

, ;

Коммутативность:

, ;

Ассоциативность:

, ;

Дистрибутивность:

, ;

Поглощение:

, ;

Свойство нуля:

, ;

Свойство
единицы:

, ;

Законы де
Моргана:

, ;

Свойства
дополнения:

, ;

Выражение для
разности:

Булеан

Множество всех
подмножеств множества
называетсябулеаном.

Теорема
5.1.
Множество из n
элементов имеет

подмножеств.

Доказательство:
Эту теорему можно доказать разными
способами (так же, как и многие другие
теоремы). Мы докажем ее, используя
бинарные
представления чисел.
Предположим, что мы имеем множество из
трех элементов
.
Каждое подмножество этого множества
зашифруем с помощью бинарного кода.
Этот код будет состоять из трех бит (по
количеству членов исходного множества).
Если в рассматриваемом подмножестве
присутствует элемент
,
первому биту кода присваиваем значение
единицы, в противном случае – нуля. Если
в подмножестве присутствует элемент

,
второму биту присваиваем значение
единицы, в противном случае – нуля. Если
в подмножестве присутствует элемент

,
третьему биту присваиваем значение
единицы, в противном случае – нуля.
Рассматривая все возможные подмножества
исходного множества
,
включая пустое множество
,
получим следующий результат.

Как
можно видеть, подмножества множества

соответствуют восьми числам: 0, 1, …, 7.
Мы рассмотрели все бинарные комбинации
в пределах трех бит. Как известно,
количество таких комбинаций равно
.

Применяя
данный метод к множеству из четырех
элементов, получим количество подмножеств:

.
Для множества из пяти элементов:
.
Обобщая эти результаты, приходим к
выводу, что множество из n
элементов
имеет

подмножеств.

Проблема
континуума

Кантор был первым,
кто стал рассматривать мощности
(кардинальные числа) бесконечных
множеств. Мощность счетного множества
он обозначил древнееврейской буквой
«алеф» с нулевым индексом:
.
Мощность множества действительных
чисел, называемую такжемощностью
континуума,
обозначил как:
.
Известно, что кардинальное числобольше кардинального числа.
В начале 80-х годов 19 века Кантор высказал
гипотезу о том, что ближайшей следующей
замощностью является мощность континуума.
Обобщенная континуум-гипотеза гласит,
что для любого множествапервая мощность, превосходящая мощность
этого множества, есть мощность множества
всех подмножеств множества.
Таким образом,,,
…