Как пишется предел в математике - Граматика и образование на Pisanino.ru

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Источник

In mathematics, a limit is the value that a function (or sequence) approaches as the input (or index) approaches some value.^[1] Limits are essential to calculus and mathematical analysis, and are used to define continuity, derivatives, and integrals.

The concept of a limit of a sequence is further generalized to the concept of a limit of a topological net, and is closely related to limit and direct limit in category theory.

In formulas, a limit of a function is usually written as

${displaystyle lim _{xto c}f(x)=L,}$

(although a few authors may use «Lt» instead of «lim»^[2])
and is read as «the limit of f of x as x approaches c equals L«. The fact that a function f approaches the limit L as x approaches c is sometimes denoted by a right arrow (→ or ), as in

{displaystyle f(x)to L{text{ as }}xto c,}

which reads « of tends to as tends to «.

History[edit]

Grégoire de Saint-Vincent gave the first definition of limit (terminus) of a geometric series in his work Opus Geometricum (1647): «The terminus of a progression is the end of the series, which none progression can reach, even not if she is continued in infinity, but which she can approach nearer than a given segment.»^[3]

The modern definition of a limit goes back to Bernard Bolzano who, in 1817, introduced the basics of the epsilon-delta technique to define continuous functions. However, his work was not known during his lifetime.^[4]

Augustin-Louis Cauchy in 1821,^[5] followed by Karl Weierstrass, formalized the definition of the limit of a function which became known as the (ε, δ)-definition of limit.

The modern notation of placing the arrow below the limit symbol is due to G. H. Hardy, who introduced it in his book A Course of Pure Mathematics in 1908.^[6]

Types of limits[edit]

In sequences[edit]

Real numbers[edit]

The expression 0.999… should be interpreted as the limit of the sequence 0.9, 0.99, 0.999, … and so on. This sequence can be rigorously shown to have the limit 1, and therefore this expression is meaningfully interpreted as having the value 1.^[7]

Formally, suppose a₁, a₂, … is a sequence of real numbers. When the limit of the sequence exists, the real number L is the limit of this sequence if and only if for every real number ε > 0, there exists a natural number N such that for all n > N, we have |a_n − L| < ε.^[8]
The notation

${displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=L}$

is often used, and which is read as

«The limit of a_n as n approaches infinity equals L«

The formal definition intuitively means that eventually, all elements of the sequence get arbitrarily close to the limit, since the absolute value |a_n − L| is the distance between a_n and L.

Not every sequence has a limit. If it does, then it is called convergent, and if it does not, then it is divergent. One can show that a convergent sequence has only one limit.

The limit of a sequence and the limit of a function are closely related. On one hand, the limit as n approaches infinity of a sequence {a_n} is simply the limit at infinity of a function a(n)—defined on the natural numbers {n}. On the other hand, if X is the domain of a function f(x) and if the limit as n approaches infinity of f(x_n) is L for every arbitrary sequence of points {x_n} in {X – {x₀}} which converges to x₀, then the limit of the function f(x) as x approaches x₀ is L.^[9] One such sequence would be {x₀ + 1/n}.

Infinity as a limit[edit]

There is also a notion of having a limit «at infinity», as opposed to at some finite . A sequence ${a_{n}}$ is said to «tend to infinity» if, for each real number M>0 , known as the bound, there exists an integer such that for each n>N ,

${displaystyle |a_{n}|>M.}$

That is, for every possible bound, the magnitude of the sequence eventually exceeds the bound. This is often written ${displaystyle lim _{nrightarrow infty }a_{n}=infty }$ or simply ${displaystyle a_{n}rightarrow infty }$ . Such sequences are also called unbounded.

It is possible for a sequence to be divergent, but not tend to infinity. Such sequences are called oscillatory. An example of an oscillatory sequence is ${displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ .

For the real numbers, there are corresponding notions of tending to positive infinity and negative infinity, by removing the modulus sign from the above definition:

${displaystyle a_{n}>M.}$

defines tending to positive infinity, while

${displaystyle -a_{n}>M.}$

defines tending to negative infinity.

Sequences which do not tend to infinity are called bounded. Sequences which do not tend to positive infinity are called bounded above, while those which do not tend to negative infinity are bounded below.

Metric space[edit]

The discussion of sequences above is for sequences of real numbers. The notion of limits can be defined for sequences valued in more abstract spaces. One example of a more abstract space is metric spaces. If is a metric space with distance function , and ${displaystyle {a_{n}}_{ngeq 0}}$ is a sequence in , then the limit (when it exists) of the sequence is an element ain M such that, given , there exists an such that for each n>N , the equation

${displaystyle d(a,a_{n})<epsilon }$

is satisfied.

An equivalent statement is that ${displaystyle a_{n}rightarrow a}$ if the sequence of real numbers ${displaystyle d(a,a_{n})rightarrow 0}$ .

Example: ℝⁿ[edit]

An important example is the space of -dimensional real vectors, with elements ${displaystyle mathbf {x} =(x_{1},cdots ,x_{n})}$ where each of the $x_{i}$ are real, an example of a suitable distance function is the Euclidean distance, defined by

${displaystyle d(mathbf {x} ,mathbf {y} )=|mathbf {x} -mathbf {y} |={sqrt {sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

The sequence of points ${displaystyle {mathbf {x} _{n}}_{ngeq 0}}$ converges to if the limit exists and ${displaystyle |mathbf {x} _{n}-mathbf {x} |rightarrow 0}$ .

Topological space[edit]

In some sense the most abstract space in which limits can be defined are topological spaces. If is a topological space with topology tau , and ${displaystyle {a_{n}}_{ngeq 0}}$ is a sequence in , then the limit (when it exists) of the sequence is a point ain X such that, given a (open) neighborhood of , there exists an such that for every n>N ,

${displaystyle a_{n}in U}$

is satisfied.

Function space[edit]

This section deals with the idea of limits of sequences of functions, not to be confused with the idea of limits of functions, discussed below.

The field of functional analysis partly seeks to identify useful notions of convergence on function spaces. For example, consider the space of functions from a generic set to . Given a sequence of functions ${displaystyle {f_{n}}_{n>0}}$ such that each is a function ${displaystyle f_{n}:Erightarrow mathbb {R} }$ , suppose that there exists a function such that for each x in E ,

${displaystyle f_{n}(x)rightarrow f(x){text{ or equivalently }}lim _{nrightarrow infty }f_{n}(x)=f(x).}$

Then the sequence $f_{n}$ is said to converge pointwise to . However, such sequences can exhibit unexpected behavior. For example, it is possible to construct a sequence of continuous functions which has a discontinuous pointwise limit.

Another notion of convergence is uniform convergence. The uniform distance between two functions is the maximum difference between the two functions as the argument x in E is varied. That is,

${displaystyle d(f,g)=max _{xin E}|f(x)-g(x)|.}$

Then the sequence $f_{n}$ is said to uniformly converge or have a uniform limit of if ${displaystyle f_{n}rightarrow f}$ with respect to this distance. The uniform limit has «nicer» properties than the pointwise limit. For example, the uniform limit of a sequence of continuous functions is continuous.

Many different notions of convergence can be defined on function spaces. This is sometimes dependent on the regularity of the space. Prominent examples of function spaces with some notion of convergence are Lp spaces and Sobolev space.

In functions[edit]

A function f(x) for which the limit at infinity is L. For any arbitrary distance ε, there must be a value S such that the function stays within L ± ε for all x > S.

Suppose f is a real-valued function and c is a real number. Intuitively speaking, the expression

$lim _{xto c}f(x)=L$

means that f(x) can be made to be as close to L as desired, by making x sufficiently close to c.^[10] In that case, the above equation can be read as «the limit of f of x, as x approaches c, is L«.

Formally, the definition of the «limit of f(x) as approaches » is given as follows. The limit is a real number so that, given an arbitrary real number (thought of as the «error»), there is a such that, for any satisfying , it holds that . This is known as the (ε, δ)-definition of limit.

The inequality is used to exclude from the set of points under consideration, but some authors do not include this in their definition of limits, replacing with simply . This replacement is equivalent to additionally requiring that be continuous at .

It can be proven that there is an equivalent definition which makes manifest the connection between limits of sequences and limits of functions.^[11] The equivalent definition is given as follows. First observe that for every sequence ${x_{n}}$ in the domain of , there is an associated sequence ${displaystyle {f(x_{n})}}$ , the image of the sequence under . The limit is a real number so that, for all sequences ${displaystyle x_{n}rightarrow c}$ , the associated sequence ${displaystyle f(x_{n})rightarrow L}$ .

One-sided limit[edit]

It is possible to define the notion of having a «left-handed» limit («from below»), and a notion of a «right-handed» limit («from above»). These need not agree. An example is given by the positive indicator function, , defined such that if xleq 0 , and f(x)=1 if x>0 . At x=0 , the function has a «left-handed limit» of 0, a «right-handed limit» of 1, and its limit does not exist. Symbolically, this can be stated as
${displaystyle lim _{xto c^{-}}f(x)=0}$ , and ${displaystyle lim _{xto c^{+}}f(x)=1}$ , and from this it can be deduced ${displaystyle lim _{xto c}f(x)}$ doesn’t exist, because ${displaystyle lim _{xto c^{-}}f(x)neq lim _{xto c^{+}}f(x)}$ .

Infinity in limits of functions[edit]

It is possible to define the notion of «tending to infinity» in the domain of ,

${displaystyle lim _{xrightarrow infty }f(x)=L.}$

In this expression, the infinity is considered to be signed: either +infty or -infty . The «limit of f as x tends to positive infinity» is defined as follows. It is a real number such that, given any real , there exists an M>0 so that if , . Equivalently, for any sequence ${displaystyle x_{n}rightarrow +infty }$ , we have ${displaystyle f(x_{n})rightarrow L}$ .

It is also possible to define the notion of «tending to infinity» in the value of ,

${displaystyle lim _{xrightarrow c}f(x)=infty .}$

The definition is given as follows. Given any real number M>0 , there is a so that for , the absolute value of the function . Equivalently, for any sequence ${displaystyle x_{n}rightarrow c}$ , the sequence ${displaystyle f(x_{n})rightarrow infty }$ .

Nonstandard analysis[edit]

In non-standard analysis (which involves a hyperreal enlargement of the number system), the limit of a sequence $(a_{n})$ can be expressed as the standard part of the value $a_{H}$ of the natural extension of the sequence at an infinite hypernatural index n=H. Thus,

${displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=operatorname {st} (a_{H}).}$

Here, the standard part function «st» rounds off each finite hyperreal number to the nearest real number (the difference between them is infinitesimal). This formalizes the natural intuition that for «very large» values of the index, the terms in the sequence are «very close» to the limit value of the sequence. Conversely, the standard part of a hyperreal $a=[a_{n}]$ represented in the ultrapower construction by a Cauchy sequence $(a_{n})$ , is simply the limit of that sequence:

${displaystyle operatorname {st} (a)=lim _{nto infty }a_{n}.}$

In this sense, taking the limit and taking the standard part are equivalent procedures.

Limit sets[edit]

Limit set of a sequence[edit]

Let ${displaystyle {a_{n}}_{n>0}}$ be a sequence in a topological space . For concreteness, can be thought of as , but the definitions hold more generally. The limit set is the set of points such that if there is a convergent subsequence ${displaystyle {a_{n_{k}}}_{k>0}}$ with ${displaystyle a_{n_{k}}rightarrow a}$ , then belongs to the limit set. In this context, such an is sometimes called a limit point.

A use of this notion is to characterize the «long-term behavior» of oscillatory sequences. For example, consider the sequence ${displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ . Starting from n=1, the first few terms of this sequence are . It can be checked that it is oscillatory, so has no limit, but has limit points .

Limit set of a trajectory[edit]

This notion is used in dynamical systems, to study limits of trajectories. Defining a trajectory to be a function , the point is thought of as the «position» of the trajectory at «time» . The limit set of a trajectory is defined as follows. To any sequence of increasing times ${t_n}$ , there is an associated sequence of positions ${displaystyle {x_{n}}={gamma (t_{n})}}$ . If is the limit set of the sequence ${x_{n}}$ for any sequence of increasing times, then is a limit set of the trajectory.

Technically, this is the omega -limit set. The corresponding limit set for sequences of decreasing time is called the alpha -limit set.

An illustrative example is the circle trajectory: . This has no unique limit, but for each , the point is a limit point, given by the sequence of times ${displaystyle t_{n}=theta +2pi n}$ . But the limit points need not be attained on the trajectory. The trajectory also has the unit circle as its limit set.

Uses[edit]

Limits are used to define a number of important concepts in analysis.

Series[edit]

A particular expression of interest which is formalized as the limit of a sequence is sums of infinite series. These are «infinite sums» of real numbers, generally written as

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}.}$

This is defined through limits as follows:^[11] given a sequence of real numbers ${a_{n}}$ , the sequence of partial sums is defined by

${displaystyle s_{n}=sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$

If the limit of the sequence ${s_{n}}$ exists, the value of the expression ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ is defined to be the limit. Otherwise, the series is said to be divergent.

A classic example is the Basel problem, where ${displaystyle a_{n}=1/n^{2}}$ . Then

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {pi ^{2}}{6}}.}$

However, while for sequences there is essentially a unique notion of convergence, for series there are different notions of convergence. This is due to the fact that the expression ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ does not discriminate between different orderings of the sequence ${a_{n}}$ , while the convergence properties of the sequence of partial sums can depend on the ordering of the sequence.

A series which converges for all orderings is called unconditionally convergent. It can be proven to be equivalent to absolute convergence. This is defined as follows. A series is absolutely convergent if ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }|a_{n}|}$ is well defined. Furthermore, all possible orderings give the same value.

Otherwise, the series is conditionally convergent. A surprising result for conditionally convergent series is the Riemann series theorem: depending on the ordering, the partial sums can be made to converge to any real number, as well as .

Power series[edit]

A useful application of the theory of sums of series is for power series. These are sums of series of the form

${displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }c_{n}z^{n}.}$

Often is thought of as a complex number, and a suitable notion of convergence of complex sequences is needed. The set of values of for which the series sum converges is a circle, with its radius known as the radius of convergence.

Continuity of a function at a point[edit]

The definition of continuity at a point is given through limits.

The above definition of a limit is true even if . Indeed, the function f need not even be defined at c. However, if f(c) is defined and is equal to , then the function is said to be continuous at the point .

Equivalently, the function is continuous at if as , or in terms of sequences, whenever ${displaystyle x_{n}rightarrow c}$ , then ${displaystyle f(x_{n})rightarrow f(c)}$ .

An example of a limit where is not defined at is given below.

Consider the function

${displaystyle f(x)={frac {x^{2}-1}{x-1}}.}$

then f(1) is not defined (see Indeterminate form), yet as x moves arbitrarily close to 1, f(x) correspondingly approaches 2:^[12]

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	undefined	2.001	2.010	2.100

Thus, f(x) can be made arbitrarily close to the limit of 2—just by making x sufficiently close to 1.

In other words,

${displaystyle lim _{xto 1}{frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$

This can also be calculated algebraically, as ${textstyle {frac {x^{2}-1}{x-1}}={frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ for all real numbers x ≠ 1.

Now, since x + 1 is continuous in x at 1, we can now plug in 1 for x, leading to the equation

${displaystyle lim _{xto 1}{frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$

In addition to limits at finite values, functions can also have limits at infinity. For example, consider the function

${displaystyle f(x)={frac {2x-1}{x}}}$

where:

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.9999

As x becomes extremely large, the value of f(x) approaches 2, and the value of f(x) can be made as close to 2 as one could wish—by making x sufficiently large. So in this case, the limit of f(x) as x approaches infinity is 2, or in mathematical notation,

${displaystyle lim _{xto infty }{frac {2x-1}{x}}=2.}$

Continuous functions[edit]

An important class of functions when considering limits are continuous functions. These are precisely those functions which preserve limits, in the sense that if is a continuous function, then whenever ${displaystyle a_{n}rightarrow a}$ in the domain of , then the limit ${displaystyle f(a_{n})}$ exists and furthermore is f(a) .

In the most general setting of topological spaces, a short proof is given below:

Let be a continuous function between topological spaces and . By definition, for each open set in , the preimage $f^{{-1}}(V)$ is open in .

Now suppose ${displaystyle a_{n}rightarrow a}$ is a sequence with limit in . Then ${displaystyle f(a_{n})}$ is a sequence in , and f(a) is some point.

Choose a neighborhood of f(a) . Then $f^{{-1}}(V)$ is an open set (by continuity of ) which in particular contains , and therefore $f^{{-1}}(V)$ is a neighborhood of . By the convergence of $a_{n}$ to , there exists an such that for n>N , we have ${displaystyle a_{n}in f^{-1}(V)}$ .

Then applying to both sides gives that, for the same , for each n>N we have ${displaystyle f(a_{n})in V}$ . Originally was an arbitrary neighborhood of f(a) , so ${displaystyle f(a_{n})rightarrow f(a)}$ . This concludes the proof.

In real analysis, for the more concrete case of real-valued functions defined on a subset , that is, , a continuous function may also be defined as a function which is continuous at every point of its domain.

Limit points[edit]

In topology, limits are used to define limit points of a subset of a topological space, which in turn give a useful characterization of closed sets.

In a topological space , consider a subset . A point is called a limit point if there is a sequence ${a_{n}}$ in such that ${displaystyle a_{n}rightarrow a}$ .

The reason why ${a_{n}}$ is defined to be in rather than just is illustrated by the following example. Take and . Then , and therefore is the limit of the constant sequence . But is not a limit point of .

A closed set, which is defined to be the complement of an open set, is equivalently any set which contains all its limit points.

Derivative[edit]

The derivative is defined formally as a limit. In the scope of real analysis, the derivative is first defined for real functions defined on a subset . The derivative at x in E is defined as follows. If the limit

${displaystyle {frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

as exists, then the derivative at is this limit.

Equivalently, it is the limit as of

${displaystyle {frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}$

If the derivative exists, it is commonly denoted by f'(x) .

Properties[edit]

Sequences of real numbers[edit]

For sequences of real numbers, a number of properties can be proven.^[11] Suppose ${a_{n}}$ and ${b_{n}}$ are two sequences converging to and respectively.

Sum of limits is equal to limit of sum

${displaystyle a_{n}+b_{n}rightarrow a+b.}$

Product of limits is equal to limit of product

${displaystyle a_{n}cdot b_{n}rightarrow acdot b.}$

Inverse of limit is equal to limit of inverse (as long as )

${displaystyle {frac {1}{a_{n}}}rightarrow {frac {1}{a}}.}$

equivalently, the function is continuous about positive .

Cauchy sequences[edit]

A property of convergent sequences of real numbers is that they are Cauchy sequences.^[11] The definition of a Cauchy sequence ${a_{n}}$ is that for every real number , there is an such that whenever m,n>N ,

${displaystyle |a_{m}-a_{n}|<epsilon .}$

Informally, for any arbitrarily small error epsilon , it is possible to find an interval of diameter epsilon such that eventually the sequence is contained within the interval.

Cauchy sequences are closely related to convergent sequences. In fact, for sequences of real numbers they are equivalent: any Cauchy sequence is convergent.

In general metric spaces, it continues to hold that convergent sequences are also Cauchy. But the converse is not true: not every Cauchy sequence is convergent in a general metric space. A classic counterexample is the rational numbers, , with the usual distance. The sequence of decimal approximations to , truncated at the th decimal place is a Cauchy sequence, but does not converge in .

A metric space in which every Cauchy sequence is also convergent, that is, Cauchy sequences are equivalent to convergent sequences, is known as a complete metric space.

One reason Cauchy sequences can be «easier to work with» than convergent sequences is that they are a property of the sequence ${a_{n}}$ alone, while convergent sequences require not just the sequence ${a_{n}}$ but also the limit of the sequence .

Order of convergence[edit]

Beyond whether or not a sequence ${a_{n}}$ converges to a limit , it is possible to describe how fast a sequence converges to a limit. One way to quantify this is using the order of convergence of a sequence.

A formal definition of order of convergence can be stated as follows. Suppose ${displaystyle {a_{n}}_{n>0}}$ is a sequence of real numbers which is convergent with limit . Furthermore, ${displaystyle a_{n}neq a}$ for all . If positive constants lambda and alpha exist such that

${displaystyle lim _{nto infty }{frac {left|a_{n+1}-aright|}{left|a_{n}-aright|^{alpha }}}=lambda }$

then $a_{n}$ is said to converge to with order of convergence alpha . The constant lambda is known as the asymptotic error constant.

Order of convergence is used for example the field of numerical analysis, in error analysis.

Computability[edit]

Limits can be difficult to compute. There exist limit expressions whose modulus of convergence is undecidable. In recursion theory, the limit lemma proves that it is possible to encode undecidable problems using limits.^[13]

There are several theorems or tests that indicate whether the limit exists. These are known as convergence tests. Examples include the ratio test and the squeeze theorem. However they may not tell how to compute the limit.

Notes[edit]

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Aggarwal, M.L. (2021). «13. Limits and Derivatives». Understanding ISC Mathematics Class XI. Vol. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). p. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
^ Van Looy, Herman (1984). «A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667)». Historia Mathematica. 11 (1): 57–75. doi:10.1016/0315-0860(84)90005-3.
^ Felscher, Walter (2000), «Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta», American Mathematical Monthly, 107 (9): 844–862, doi:10.2307/2695743, JSTOR 2695743
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
^ Miller, Jeff (1 December 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, archived from the original on 2015-05-01, retrieved 2008-12-18
^ Stillwell, John (1994), Elements of algebra: geometry, numbers, equations, Springer, p. 42, ISBN 978-1441928399
^ Weisstein, Eric W. «Limit». mathworld.wolfram.com. Archived from the original on 2020-06-20. Retrieved 2020-08-18.
^ Apostol (1974, pp. 75–76)
^ Weisstein, Eric W. «Epsilon-Delta Definition». mathworld.wolfram.com. Archived from the original on 2020-06-25. Retrieved 2020-08-18.
^ ^a ^b ^c ^d Chua, Dexter. «Analysis I (based on a course given by Timothy Gowers)». Notes from the Mathematical Tripos.
^ «limit | Definition, Example, & Facts». Encyclopedia Britannica. Archived from the original on 2021-05-09. Retrieved 2020-08-18.
^ Soare, Robert I. (2014). Recursively enumerable sets and degrees : a study of computable functions and computably generated sets. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66681-3. OCLC 1154894968.

References[edit]

Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd ed.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473

External links[edit]

Источник

The concept of a limit of a sequence is further generalized to the concept of a limit of a topological net, and is closely related to limit and direct limit in category theory.

In formulas, a limit of a function is usually written as

${displaystyle lim _{xto c}f(x)=L,}$

which reads « of tends to as tends to «.

History[edit]

Augustin-Louis Cauchy in 1821,^[5] followed by Karl Weierstrass, formalized the definition of the limit of a function which became known as the (ε, δ)-definition of limit.

The modern notation of placing the arrow below the limit symbol is due to G. H. Hardy, who introduced it in his book A Course of Pure Mathematics in 1908.^[6]

Types of limits[edit]

In sequences[edit]

Real numbers[edit]

${displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=L}$

is often used, and which is read as

«The limit of a_n as n approaches infinity equals L«

The formal definition intuitively means that eventually, all elements of the sequence get arbitrarily close to the limit, since the absolute value |a_n − L| is the distance between a_n and L.

Not every sequence has a limit. If it does, then it is called convergent, and if it does not, then it is divergent. One can show that a convergent sequence has only one limit.

Infinity as a limit[edit]

${displaystyle |a_{n}|>M.}$

It is possible for a sequence to be divergent, but not tend to infinity. Such sequences are called oscillatory. An example of an oscillatory sequence is ${displaystyle a_{n}=(-1)^{n}}$ .

For the real numbers, there are corresponding notions of tending to positive infinity and negative infinity, by removing the modulus sign from the above definition:

${displaystyle a_{n}>M.}$

defines tending to positive infinity, while

${displaystyle -a_{n}>M.}$

defines tending to negative infinity.

Metric space[edit]

${displaystyle d(a,a_{n})<epsilon }$

is satisfied.

An equivalent statement is that ${displaystyle a_{n}rightarrow a}$ if the sequence of real numbers ${displaystyle d(a,a_{n})rightarrow 0}$ .

Example: ℝⁿ[edit]

${displaystyle d(mathbf {x} ,mathbf {y} )=|mathbf {x} -mathbf {y} |={sqrt {sum _{i}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.}$

The sequence of points ${displaystyle {mathbf {x} _{n}}_{ngeq 0}}$ converges to if the limit exists and ${displaystyle |mathbf {x} _{n}-mathbf {x} |rightarrow 0}$ .

Topological space[edit]

${displaystyle a_{n}in U}$

is satisfied.

Function space[edit]

This section deals with the idea of limits of sequences of functions, not to be confused with the idea of limits of functions, discussed below.

${displaystyle f_{n}(x)rightarrow f(x){text{ or equivalently }}lim _{nrightarrow infty }f_{n}(x)=f(x).}$

Another notion of convergence is uniform convergence. The uniform distance between two functions is the maximum difference between the two functions as the argument x in E is varied. That is,

${displaystyle d(f,g)=max _{xin E}|f(x)-g(x)|.}$

In functions[edit]

A function f(x) for which the limit at infinity is L. For any arbitrary distance ε, there must be a value S such that the function stays within L ± ε for all x > S.

Suppose f is a real-valued function and c is a real number. Intuitively speaking, the expression

$lim _{xto c}f(x)=L$

means that f(x) can be made to be as close to L as desired, by making x sufficiently close to c.^[10] In that case, the above equation can be read as «the limit of f of x, as x approaches c, is L«.

One-sided limit[edit]

Infinity in limits of functions[edit]

It is possible to define the notion of «tending to infinity» in the domain of ,

${displaystyle lim _{xrightarrow infty }f(x)=L.}$

It is also possible to define the notion of «tending to infinity» in the value of ,

${displaystyle lim _{xrightarrow c}f(x)=infty .}$

Nonstandard analysis[edit]

${displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=operatorname {st} (a_{H}).}$

${displaystyle operatorname {st} (a)=lim _{nto infty }a_{n}.}$

In this sense, taking the limit and taking the standard part are equivalent procedures.

Limit sets[edit]

Limit set of a sequence[edit]

Limit set of a trajectory[edit]

Technically, this is the omega -limit set. The corresponding limit set for sequences of decreasing time is called the alpha -limit set.

Uses[edit]

Limits are used to define a number of important concepts in analysis.

Series[edit]

A particular expression of interest which is formalized as the limit of a sequence is sums of infinite series. These are «infinite sums» of real numbers, generally written as

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}.}$

This is defined through limits as follows:^[11] given a sequence of real numbers ${a_{n}}$ , the sequence of partial sums is defined by

${displaystyle s_{n}=sum _{i=1}^{n}a_{i}.}$

If the limit of the sequence ${s_{n}}$ exists, the value of the expression ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }a_{n}}$ is defined to be the limit. Otherwise, the series is said to be divergent.

A classic example is the Basel problem, where ${displaystyle a_{n}=1/n^{2}}$ . Then

${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}={frac {pi ^{2}}{6}}.}$

Power series[edit]

A useful application of the theory of sums of series is for power series. These are sums of series of the form

${displaystyle f(z)=sum _{n=0}^{infty }c_{n}z^{n}.}$

Continuity of a function at a point[edit]

The definition of continuity at a point is given through limits.

Equivalently, the function is continuous at if as , or in terms of sequences, whenever ${displaystyle x_{n}rightarrow c}$ , then ${displaystyle f(x_{n})rightarrow f(c)}$ .

An example of a limit where is not defined at is given below.

Consider the function

${displaystyle f(x)={frac {x^{2}-1}{x-1}}.}$

then f(1) is not defined (see Indeterminate form), yet as x moves arbitrarily close to 1, f(x) correspondingly approaches 2:^[12]

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.900	1.990	1.999	undefined	2.001	2.010	2.100

Thus, f(x) can be made arbitrarily close to the limit of 2—just by making x sufficiently close to 1.

In other words,

${displaystyle lim _{xto 1}{frac {x^{2}-1}{x-1}}=2.}$

This can also be calculated algebraically, as ${textstyle {frac {x^{2}-1}{x-1}}={frac {(x+1)(x-1)}{x-1}}=x+1}$ for all real numbers x ≠ 1.

Now, since x + 1 is continuous in x at 1, we can now plug in 1 for x, leading to the equation

${displaystyle lim _{xto 1}{frac {x^{2}-1}{x-1}}=1+1=2.}$

In addition to limits at finite values, functions can also have limits at infinity. For example, consider the function

${displaystyle f(x)={frac {2x-1}{x}}}$

where:

f(100) = 1.9900
f(1000) = 1.9990
f(10000) = 1.9999

${displaystyle lim _{xto infty }{frac {2x-1}{x}}=2.}$

Continuous functions[edit]

In the most general setting of topological spaces, a short proof is given below:

Let be a continuous function between topological spaces and . By definition, for each open set in , the preimage $f^{{-1}}(V)$ is open in .

Now suppose ${displaystyle a_{n}rightarrow a}$ is a sequence with limit in . Then ${displaystyle f(a_{n})}$ is a sequence in , and f(a) is some point.

Limit points[edit]

In topology, limits are used to define limit points of a subset of a topological space, which in turn give a useful characterization of closed sets.

In a topological space , consider a subset . A point is called a limit point if there is a sequence ${a_{n}}$ in such that ${displaystyle a_{n}rightarrow a}$ .

A closed set, which is defined to be the complement of an open set, is equivalently any set which contains all its limit points.

Derivative[edit]

${displaystyle {frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

as exists, then the derivative at is this limit.

Equivalently, it is the limit as of

${displaystyle {frac {f(y)-f(x)}{y-x}}.}$

If the derivative exists, it is commonly denoted by f'(x) .

Properties[edit]

Sequences of real numbers[edit]

For sequences of real numbers, a number of properties can be proven.^[11] Suppose ${a_{n}}$ and ${b_{n}}$ are two sequences converging to and respectively.

Sum of limits is equal to limit of sum

${displaystyle a_{n}+b_{n}rightarrow a+b.}$

Product of limits is equal to limit of product

${displaystyle a_{n}cdot b_{n}rightarrow acdot b.}$

Inverse of limit is equal to limit of inverse (as long as )

${displaystyle {frac {1}{a_{n}}}rightarrow {frac {1}{a}}.}$

equivalently, the function is continuous about positive .

Cauchy sequences[edit]

${displaystyle |a_{m}-a_{n}|<epsilon .}$

Informally, for any arbitrarily small error epsilon , it is possible to find an interval of diameter epsilon such that eventually the sequence is contained within the interval.

Cauchy sequences are closely related to convergent sequences. In fact, for sequences of real numbers they are equivalent: any Cauchy sequence is convergent.

A metric space in which every Cauchy sequence is also convergent, that is, Cauchy sequences are equivalent to convergent sequences, is known as a complete metric space.

Order of convergence[edit]

${displaystyle lim _{nto infty }{frac {left|a_{n+1}-aright|}{left|a_{n}-aright|^{alpha }}}=lambda }$

then $a_{n}$ is said to converge to with order of convergence alpha . The constant lambda is known as the asymptotic error constant.

Order of convergence is used for example the field of numerical analysis, in error analysis.

Computability[edit]

Notes[edit]

^ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
^ Aggarwal, M.L. (2021). «13. Limits and Derivatives». Understanding ISC Mathematics Class XI. Vol. II. Industrial Area, Trilokpur Road, Kala Amb-173030, Distt. Simour (H.P.): Arya Publications (Avichal Publishing Company). p. A-719. ISBN 978-81-7855-743-4.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
^ Van Looy, Herman (1984). «A chronology and historical analysis of the mathematical manuscripts of Gregorius a Sancto Vincentio (1584–1667)». Historia Mathematica. 11 (1): 57–75. doi:10.1016/0315-0860(84)90005-3.
^ Felscher, Walter (2000), «Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta», American Mathematical Monthly, 107 (9): 844–862, doi:10.2307/2695743, JSTOR 2695743
^ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.
^ Miller, Jeff (1 December 2004), Earliest Uses of Symbols of Calculus, archived from the original on 2015-05-01, retrieved 2008-12-18
^ Stillwell, John (1994), Elements of algebra: geometry, numbers, equations, Springer, p. 42, ISBN 978-1441928399
^ Weisstein, Eric W. «Limit». mathworld.wolfram.com. Archived from the original on 2020-06-20. Retrieved 2020-08-18.
^ Apostol (1974, pp. 75–76)
^ Weisstein, Eric W. «Epsilon-Delta Definition». mathworld.wolfram.com. Archived from the original on 2020-06-25. Retrieved 2020-08-18.
^ ^a ^b ^c ^d Chua, Dexter. «Analysis I (based on a course given by Timothy Gowers)». Notes from the Mathematical Tripos.
^ «limit | Definition, Example, & Facts». Encyclopedia Britannica. Archived from the original on 2021-05-09. Retrieved 2020-08-18.
^ Soare, Robert I. (2014). Recursively enumerable sets and degrees : a study of computable functions and computably generated sets. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-66681-3. OCLC 1154894968.

References[edit]

Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd ed.), Menlo Park: Addison-Wesley, LCCN 72011473

External links[edit]

Источник

Кто о чём, а мы продолжаем разбирать сложную математику, чтобы она не была такой сложной.

Что такое предел в математике

Когда математики говорят о пределах, то имеют в виду такую последовательность событий:

Есть функция — это просто какая-то «коробка» с математикой. Ты ей на вход число, она его обрабатывает у себя внутри и отдаёт другое число.
У функции есть как минимум два числа: то, которое ты ей даёшь на вход; и то, которое получаешь на выходе.
Иногда математикам интересно, что будет, если число на входе будет к чему-то стремиться. А именно: «Если число на входе будет стремиться вот сюда, куда будет стремиться число на выходе?»

👉 Стремиться — значит стараться приблизиться к какому-то числу, но не достигнуть его.

Если мы говорим, что переменная функции стремится к бесконечности, то это значит, что с каждым новым вычислением мы берём значение переменной больше предыдущего.

1, 2, 3, … 1000000000000003, 1000000000000004 и так до бесконечности

Наоборот тоже работает: если переменная функции стремится к нулю, то это значит, что она постоянно уменьшается:

1, 0.1, 0.01, 0.001, … 0.00000000000000000000000001 и с каждым разом число будет ближе к нулю, но никогда его не достигнет.

Стремление переменной к числу обозначается стрелкой: x→0, а предел — словом lim:

График и предел

Если мы нарисуем график этой функции, то можем увидеть, что начиная с какого-то момента он превратится в почти прямую линию вдоль оси. Почти прямую — потому что прямой он никогда не станет, но стремится к этому, если продолжить рисовать график бесконечно.

Но бесконечный график означает, что у нас переменная функции стремится к бесконечности. А значение этой линии на графике — это и есть предел этой функции при переменной, стремящейся к бесконечности:

Пределы в жизни

Пределы из математики часто используются для решения практических задач, где нужно найти точку, после которой разница в результате будет уже незаметна.

Например, бригада монтажников строит мост, и им нужно понять, какой максимальной длины можно сделать плиту перекрытия. Есть требования, что плита должна выдерживать в середине нагрузку в 50 тонн — она может быть и прочнее, но 50 тонн это минимум. Для решения этой задачи используют предел — он покажет, длиннее какого размера делать плиту нельзя, а всё, что короче, даст необходимую прочность.

Астрономы с помощью пределов изучают законы Вселенной, физики проверяют всё на прочность, и даже в микроэлектронике затухание сигналов тоже зависит от пределов функций.

Погрешность в пределах

В математике пределы считаются точно: используются специальные формулы и трюки, которые помогают найти точный ответ. Но в жизни такая точность необязательна: можно взять любое решение, которое нас устроит с приемлемой погрешностью.

Эта погрешность поможет нам считать пределы, не зная точных математических формул подсчёта.

Считаем предел в программировании

Раз у нас есть постоянное действие по уменьшению или увеличению переменной, то логично сделать из этого простой цикл и поручить его машине. Единственное, что нам нужно предусмотреть, — момент, когда цикл должен остановиться, потому что в мире математики lim по умолчанию касается бесконечности (потому что стремиться можно бесконечно).

Так как мы не знаем заранее точного предела функции, но можем контролировать количество повторений, то сделаем такие условия для остановки цикла:

Закончилось количество повторений. Например, мы заранее говорим, что будем стремиться к границе предела 10000000000 раз, но если ничего не выйдет — остановимся.
Если достигли нужной погрешности. Два соседних результата отличаются на величину погрешности или меньше — отлично, мы нашли то, что нужно.

Самый сложный момент в коде — описать то, как переменная функции к чему-то стремится. Если к бесконечности, то всё просто: на каждом шаге прибавляем или умножаем на какое-то число. А если нужно, чтобы переменная стремилась к нулю или другому числу, то можно действовать так: брать начальное число, конечное, складывать их и делить пополам. Так мы будем постоянно приближаться к нужному нам числу, но никогда его не достигнем.

⚠️ Важная оговорка: числа в компьютере — это не числа в абстрактном математическом понимании, а конечный набор данных. Конечный он тем, что на всякое число выделяется какое-то количество «клеток», в которые это число можно записать. Если у нас ограниченное количество «клеток», значит, у нас есть какой-то предел самого большого и самого малого числа.

Например, если мы дали переменной 32 бита памяти, самое малое число, которое мы сможем в нее записать, — 1,4012985 × 10^-45. Это кажется бесконечно малым, но на самом деле, если циклически делить число на 2 несколько сотен раз в секунду, мы упремся в этот лимит точности почти сразу. Потом знаки после запятой закончатся и число очень быстро превратится в 0.

С точки зрения математики любое число можно бесконечно делить и получать бесконечное число знаков после запятой; а с точки зрения компьютера бесконечное число знаков невозможно, и если делить достаточно долго — мы получим ноль.

Поэтому в работе с пределами важно указывать либо число шагов для определения предела, либо погрешность.

Теперь напишем простой цикл, который нам посчитает lim x→2 (8−2x) / (x²−4x−12):

предел функции f(x) = (8−2x) / (x²−4x-12);
при x стремящемся к 2.

Если мы посчитаем этот предел как математики, то получим значение −1. Проверим, как с этим справится наш код:

// погрешность вычислений
var e = 0.00001;

// предел, к которому будет стремиться переменная
var lim = 2;

// переменная функции, на старте начинаем стремиться к пределу отсюда
var x = 0;

// сколько раз мы уже выполнили цикл
var n = 0;

// максимальное количество приближений к пределу
var max_n = 100;

// функция, которая возвращает значение для переменной функции
function f(x) {
	return (8 - 2*x*x)/(x*x + 4*x - 12);
}

// пока мы не достигли нужной погрешности — выполняем цикл
while (Math.abs(f(x) -f((x+lim)/2)) >= e) {
	// приближаемся ещё на один шаг к пределу
	x = (x+lim)/2;
	// увеличиваем счётчик приближений
	n +=1;
	// если дошли до максимального количества повторений 
	if (n == max_n) {
		// выводим сообщение о том, что останавливаемся
		console.log('Закончилось количество повторений, остановились на таком значении функции: ', f(x));
		// сбрасываем переменную с максимальным значением повторений и выходим из цикла
		max_n = 0;
		break;
	}
}

// если переменная с максимальным значением не была сброшена
if (max_n != 0){
	// выводим найденный предел
	console.log('Предел функции с заданной погрешностью: ', f(x))
}

Программа справилась и выдала результат с нужной нам точностью

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Источник

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что «скучная теория» должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1

Вычислить а) $ lim_{x to 0} frac{1}{x} $; б)$ lim_{x to infty} frac{1}{x} $

Решение

а) $$ lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty $$

б)$$ lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ text{a)} lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty text{ б)}lim limits_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Пример 2

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$

Решение

Внимание «чайникам» Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2+2 cdot x+1}{x+1}=frac{1^2+2 cdot 1+1}{1+1} = $$

$$ = frac{4}{2}=2 $$

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними — это не так страшно как кажется

Ответ

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Пример 3

Решить $ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела.

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = frac{(-1)^2-1}{-1+1}=frac{0}{0} $$

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

$$ lim limits_{x to -1}frac{x^2-1}{x+1} = lim limits_{x to -1}frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$

$$ = lim limits_{x to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$

Ответ

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$

Пример 4

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$

Решение

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{0}{0} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{x+2}{x-2} = frac{2+2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $$

Бесконечность получилась в результате — это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.

Ответ

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Пример 5

Вычислить $ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} $

Решение

$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = frac{infty}{infty} $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное — возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} =lim limits_{x to infty} frac{x^2(1-frac{1}{x^2})}{x(1+frac{1}{x})} = $$

$$ = lim limits_{x to infty} frac{x(1-frac{1}{x^2})}{(1+frac{1}{x})} = $$

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

$$ = frac{infty(1-frac{1}{infty})}{(1+frac{1}{infty})} = frac{infty cdot 1}{1+0} = frac{infty}{1} = infty $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = infty $$

Пример 6

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$

Решение

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2(1-frac{4}{x^2})}{x^2(1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2})} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{1-frac{4}{x^2}}{1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2}} = frac{1}{1} = 1 $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: «ноль делить на ноль» или «бесконечность делить на бесконечность» и переходим к следующим пунктам инструкции.
Чтобы устранить неопределенность «ноль делить на ноль» нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
Если неопределенность «бесконечность делить на бесконечность», тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

В этой статье мы расскажем, что из себя представляет предел функции. Сначала поясним общие моменты, которые очень важны для понимания сути этого явления.

Понятие предела

В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞. Его следует понимать как бесконечно большое +∞ или бесконечно малое -∞ число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем в виду сразу оба этих ее смысла, однако запись вида +∞ или -∞ не стоит заменять просто на ∞.

Запись предела функции имеет вид limx→x0f(x). В нижней части мы пишем основной аргумент x, а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению x0 он будет стремиться. Если значение x0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение x0 стремится к бесконечности (не важно, ∞, +∞ или -∞), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.

Предел бывает конечным и бесконечным. Если он равен конкретному действительному числу, т.е. limx→x0f(x)=A, то его называют конечным пределом, если же limx→x0f(x)=∞, limx→x0f(x)=+∞ или limx→x0f(x)=-∞, то бесконечным.

Если мы не можем определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.

Что такое предел функции

В этом пункте мы объясним, как найти значение предела функции в точке и на бесконечности. Для этого нам нужно ввести основные определения и вспомнить, что такое числовые последовательности, а также их сходимость и расходимость.

Определение 1

Число A является пределом функции f(x) при x→∞, если последовательность ее значений будет сходиться к A для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).

Запись предела функции выглядит так: limx→∞f(x)=A.

Определение 2

При x→∞ предел функции f(x) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (положительной или отрицательной).

Запись выглядит как limx→∞f(x)=∞.

Пример 1

Докажите равенство limx→∞1×2=0 с помощью основного определения предела для x→∞.

Решение

Начнем с записи последовательности значений функции 1×2 для бесконечно большой положительной последовательности значений аргумента x=1, 2, 3,…, n,….

11>14>19>116>…>1n2>…

Мы видим, что значения будут постепенно уменьшаться, стремясь к 0. См. на картинке:

Далее мы запишем то же самое, но для бесконечно большой отрицательной последовательности.

x=-1, -2, -3,…, -n,…

11>14>19>116>…>1-n2>…

Здесь тоже видно монотонное убывание к нулю, что подтверждает верность данного в условии равенства:

Ответ: Верность данного в условии равенства подтверждена.

Пример 2

Вычислите предел limx→∞e110x.

Решение

Начнем, как и раньше, с записи последовательностей значений f(x)=e110x для бесконечно большой положительной последовательности аргументов. Например, x=1, 4, 9, 16, 25,…, 102,…→+∞.

e110; e410; e910; e1610; e2510;…; e10010;…==1,10; 1,49; 2,45; 4,95; 12,18;…;22026,46;…

Мы видим, что данная последовательность бесконечно положительна, значит, f(x)=limx→+∞e110x=+∞

Переходим к записи значений бесконечно большой отрицательной последовательности, например, x=-1, -4, -9, -16,-25,…, -102,…→-∞.

e-110; e-410; e-910; e-1610; e-2510;…;e-10010;…==0,90; 0,67; 0,40; 0,20; 0,08;…;0,000045;…x=1, 4, 9, 16, 25,…,102 ,…→∞

Поскольку она тоже стремится к нулю, то f(x)=limx→∞1e10x=0.

Наглядно решение задачи показано на иллюстрации. Синими точками отмечена последовательность положительных значений, зелеными – отрицательных.

Ответ: limx→∞e110x=+∞, при x→+∞0, при x→-∞.

Перейдем к методу вычисления предела функции в точке. Для этого нам нужно знать, как правильно определить односторонний предел. Это пригодится нам и для того, чтобы найти вертикальные асимптоты графика функции.

Определение 3

Число B является пределом функции f(x) слева при x→a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции xn, сходящейся к a, если при этом ее значения остаются меньше a (xn<a).

Такой предел на письме обозначается как limx→a-0f(x)=B.

Теперь сформулируем, что такое предел функции справа.

Определение 4

Число B является пределом функции f(x) справа при x→a в том случае, когда последовательность ее значений сходится к данному числу при любой последовательности аргументов функции xn, сходящейся к a, если при этом ее значения остаются больше a (xn>a).

Этот предел мы записываем как limx→a+0f(x)=B.

Мы можем найти предел функции f(x) в некоторой точке тогда, когда для нее существуют равные пределы с левой и правой стороны, т.е. limx→af(x)=limx→a-0f(x)=limx→a+0f(x)=B. В случае бесконечности обоих пределов предел функции в исходной точке также будет бесконечен.

Теперь мы разъясним данные определения, записав решение конкретной задачи.

Пример 3

Докажите, что существует конечный предел функции f(x)=16(x-8)2-8 в точке x0=2 и вычислите его значение.

Решение

Для того чтобы решить задачу, нам потребуется вспомнить определение предела функции в точке. Для начала докажем, что у исходной функции имеется предел слева. Запишем последовательность значений фукнции, которая будет сходиться к x0=2, если xn<2:

f(-2); f(0); f(1); f112; f134; f178; f11516;…; f110231024;…==8,667; 2,667; 0,167; -0,958; -1,489; -1,747; -1,874;…; -1,998;…→-2

Поскольку приведенная последовательность сводится к -2, мы можем записать, что limx→2-016x-82-8=-2.

Далее докажем наличие предела справа: запишем аргументы в последовательности, которая будет сходиться к x0=2, если xn>2:

6, 4, 3, 212, 214, 218, 2116,…, 211024,…→2

Значения функции в этой последовательности будут выглядеть так:

f(6); f(4); f(3); f212; f234; f278; f21516;…; f210231024;…==-7,333; -5,333; -3,833; -2,958; -2,489; -2,247;-2,124;…, -2,001,…→-2

Данная последовательность также сходится к -2, значит, limx→2+016(x-8)2-8=-2.

Мы получили, что пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции f(x)=16(x-8)2-8 в точке x0=2 существует, и limx→216(x-8)2-8=-2.

Вы можете увидеть ход решения на иллюстрации (зеленые точки– последовательность значений, сходящаяся к xn<2, синие – к xn>2).

Ответ: Пределы с правой и левой стороны у данной функции будут равными, значит, предел функции существует, и limx→216(x-8)2-8=-2.

Чтобы более глубоко изучить теорию пределов, советуем вам прочесть статью о непрерывности функции в точке и основных видах точек разрыва.

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Понятие предела в математике

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Еще один вид неопределенностей: 0/0

Правило Лопиталя в пределах

History[edit]

Types of limits[edit]

In sequences[edit]

Real numbers[edit]

Infinity as a limit[edit]

Metric space[edit]

Example: ℝn[edit]

Topological space[edit]

Function space[edit]

In functions[edit]

One-sided limit[edit]

Infinity in limits of functions[edit]

Nonstandard analysis[edit]

Limit sets[edit]

Limit set of a sequence[edit]

Limit set of a trajectory[edit]

Uses[edit]

Series[edit]

Power series[edit]

Continuity of a function at a point[edit]

Continuous functions[edit]

Limit points[edit]

Derivative[edit]

Properties[edit]

Sequences of real numbers[edit]

Cauchy sequences[edit]

Order of convergence[edit]

Computability[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

History[edit]

Types of limits[edit]

In sequences[edit]

Real numbers[edit]

Infinity as a limit[edit]

Metric space[edit]

Example: ℝn[edit]

Topological space[edit]

Function space[edit]

In functions[edit]

One-sided limit[edit]

Infinity in limits of functions[edit]

Nonstandard analysis[edit]

Limit sets[edit]

Limit set of a sequence[edit]

Limit set of a trajectory[edit]

Uses[edit]

Series[edit]

Power series[edit]

Continuity of a function at a point[edit]

Continuous functions[edit]

Limit points[edit]

Derivative[edit]

Properties[edit]

Sequences of real numbers[edit]

Cauchy sequences[edit]

Order of convergence[edit]

Computability[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

External links[edit]

Что такое предел в математике

График и предел

Пределы в жизни

Погрешность в пределах

Считаем предел в программировании

Как решать пределы для чайников?

Примеры решений

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Алгоритм вычисления лимитов

Понятие предела

Example: ℝⁿ[edit]

Example: ℝⁿ[edit]