Как пишется сумма в математике - Граматика и образование на Pisanino.ru

Вот говорят, что если ты не закончил Физтех, ФПМ или Бауманку, тебе в программировании делать нечего. Почему так говорят? Потому что, дескать, ты не учил сложную математику, а в программировании без неё никуда.

Это всё чушь, конечно. Если вы плохо знаете математику, вы можете быть блестящим разработчиком. Вы вряд ли напишете драйверы для видеокарты, но вы запросто сделаете мобильное приложение или веб-сервис. А это — основные деньги в этой среде.

Но всё же, чтобы получить некоторое интеллектуальное превосходство, вот вам пара примеров из страшного мира математики. Пусть они покажут вам, что не все закорючки в математике — это ад и ужас. Вот две нестрашные закорючки.

Знак Σ — сумма

Когда математикам нужно сложить несколько чисел подряд, они иногда пишут так:

Σ (читается «сигма») — это знак алгебраической суммы, который означает, что нам нужно сложить все числа от нижнего до верхнего, а перед этим сделать с ними то, что написано после знака Σ.

На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». То есть:

Взять все числа от 5 до 15 (снизу и сверху знака Σ).
С каждым из этих чисел сделать то, что написано справа от Σ, — то есть умножить на два.
Сложить результаты этих операций.

Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».

Но мы с вами как программисты видим, что здесь есть повторяющиеся действия: мы много раз складываем числа, которые меняются по одному и тому же правилу. А раз мы знаем это правило и знаем, сколько раз надо его применить, то это легко превратить в цикл. Для наглядности мы показали, какие параметры в Σ за что отвечают в цикле:

Произведение П

С произведением в математике работает точно такое же правило, только мы не складываем все элементы, а перемножаем их друг на друга:

А если это перевести в цикл, то алгоритм получится почти такой же, что и в сложении:

Что дальше

Сумма и произведение — простые математические операции, пусть они и обозначаются страшными символами. Впереди нас ждут интегралы, дифференциалы, приращения и бесконечные ряды. С ними тоже всё не так сложно, как кажется на первый взгляд.

Вёрстка:

Кирилл Климентьев

Источник

In mathematics, summation is the addition of a sequence of any kind of numbers, called addends or summands; the result is their sum or total. Beside numbers, other types of values can be summed as well: functions, vectors, matrices, polynomials and, in general, elements of any type of mathematical objects on which an operation denoted «+» is defined.

Summations of infinite sequences are called series. They involve the concept of limit, and are not considered in this article.

The summation of an explicit sequence is denoted as a succession of additions. For example, summation of [1, 2, 4, 2] is denoted 1 + 2 + 4 + 2, and results in 9, that is, 1 + 2 + 4 + 2 = 9. Because addition is associative and commutative, there is no need of parentheses, and the result is the same irrespective of the order of the summands. Summation of a sequence of only one element results in this element itself. Summation of an empty sequence (a sequence with no elements), by convention, results in 0.

Very often, the elements of a sequence are defined, through a regular pattern, as a function of their place in the sequence. For simple patterns, summation of long sequences may be represented with most summands replaced by ellipses. For example, summation of the first 100 natural numbers may be written as 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100. Otherwise, summation is denoted by using Σ notation, where is an enlarged capital Greek letter sigma. For example, the sum of the first n natural numbers can be denoted as ${textstyle sum _{i=1}^{n}i.}$

For long summations, and summations of variable length (defined with ellipses or Σ notation), it is a common problem to find closed-form expressions for the result. For example,^[a]

${displaystyle sum _{i=1}^{n}i={frac {n(n+1)}{2}}.}$

Although such formulas do not always exist, many summation formulas have been discovered—with some of the most common and elementary ones being listed in the remainder of this article.

Notation[edit]

Capital-sigma notation[edit]

Mathematical notation uses a symbol that compactly represents summation of many similar terms: the summation symbol, , an enlarged form of the upright capital Greek letter sigma. This is defined as

${displaystyle sum _{imathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

where i is the index of summation; a_i is an indexed variable representing each term of the sum; m is the lower bound of summation, and n is the upper bound of summation. The «i = m» under the summation symbol means that the index i starts out equal to m. The index, i, is incremented by one for each successive term, stopping when i = n.^[b]

This is read as «sum of a_i, from i = m to n«.

Here is an example showing the summation of squares:

${displaystyle sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

In general, while any variable can be used as the index of summation (provided that no ambiguity is incurred), some of the most common ones include letters such as ,^[c] , , and ; the latter is also often used for the upper bound of a summation.

Alternatively, index and bounds of summation are sometimes omitted from the definition of summation if the context is sufficiently clear. This applies particularly when the index runs from 1 to n.^[1] For example, one might write that:

${displaystyle sum a_{i}^{2}=sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}$

Generalizations of this notation are often used, in which an arbitrary logical condition is supplied, and the sum is intended to be taken over all values satisfying the condition. For example:

${displaystyle sum _{0leq k<100}f(k)}$

is an alternative notation for ${textstyle sum _{k=0}^{99}f(k),}$ the sum of f(k) over all (integers) in the specified range. Similarly,

$sum _{x{mathop {in }}S}f(x)$

is the sum of f(x) over all elements in the set , and

${displaystyle sum _{d,|,n};mu (d)}$

is the sum of mu (d) over all positive integers dividing .^[d]

There are also ways to generalize the use of many sigma signs. For example,

${displaystyle sum _{i,j}}$

is the same as

${displaystyle sum _{i}sum _{j}.}$

A similar notation is used for the product of a sequence, where , an enlarged form of the Greek capital letter pi, is used instead of

Special cases[edit]

It is possible to sum fewer than 2 numbers:

These degenerate cases are usually only used when the summation notation gives a degenerate result in a special case.
For example, if n=m in the definition above, then there is only one term in the sum; if n=m-1 , then there is none.

Formal definition[edit]

Summation may be defined recursively as follows:

${displaystyle sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$

, for b < a;

$sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+sum _{i=a}^{b-1}g(i)$

, for b ≥ a.

Measure theory notation[edit]

In the notation of measure and integration theory, a sum can be expressed as a definite integral,

$sum _{k{mathop {=}}a}^{b}f(k)=int _{[a,b]}f,dmu$

where [a,b] is the subset of the integers from to , and where is the counting measure.

Calculus of finite differences[edit]

Given a function f that is defined over the integers in the interval [m, n], the following equation holds:

${displaystyle f(n)-f(m)=sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

This is the analogue of the fundamental theorem of calculus in calculus of finite differences, which states that:

${displaystyle f(n)-f(m)=int _{m}^{n}f'(x),dx,}$

where

${displaystyle f'(x)=lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

is the derivative of f.

An example of application of the above equation is the following:

${displaystyle n^{k}=sum _{i=0}^{n-1}left((i+1)^{k}-i^{k}right).}$

Using binomial theorem, this may be rewritten as:

${displaystyle n^{k}=sum _{i=0}^{n-1}left(sum _{j=0}^{k-1}{binom {k}{j}}i^{j}right).}$

The above formula is more commonly used for inverting of the difference operator Delta , defined by:

{displaystyle Delta (f)(n)=f(n+1)-f(n),}

where f is a function defined on the nonnegative integers.
Thus, given such a function f, the problem is to compute the antidifference of f, a function ${displaystyle F=Delta ^{-1}f}$ such that . That is,
This function is defined up to the addition of a constant, and may be chosen as^[2]

${displaystyle F(n)=sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

There is not always a closed-form expression for such a summation, but Faulhaber’s formula provides a closed form in the case where ${displaystyle f(n)=n^{k}}$ and, by linearity, for every polynomial function of n.

Approximation by definite integrals[edit]

Many such approximations can be obtained by the following connection between sums and integrals, which holds for any increasing function f:

$int _{s=a-1}^{b}f(s) dsleq sum _{i=a}^{b}f(i)leq int _{s=a}^{b+1}f(s) ds.$

and for any decreasing function f:

$int _{s=a}^{b+1}f(s) dsleq sum _{i=a}^{b}f(i)leq int _{s=a-1}^{b}f(s) ds.$

For more general approximations, see the Euler–Maclaurin formula.

For summations in which the summand is given (or can be interpolated) by an integrable function of the index, the summation can be interpreted as a Riemann sum occurring in the definition of the corresponding definite integral. One can therefore expect that for instance

${frac {b-a}{n}}sum _{i=0}^{n-1}fleft(a+i{frac {b-a}{n}}right)approx int _{a}^{b}f(x) dx,$

since the right-hand side is by definition the limit for of the left-hand side. However, for a given summation n is fixed, and little can be said about the error in the above approximation without additional assumptions about f: it is clear that for wildly oscillating functions the Riemann sum can be arbitrarily far from the Riemann integral.

Identities[edit]

The formulae below involve finite sums; for infinite summations or finite summations of expressions involving trigonometric functions or other transcendental functions, see list of mathematical series.

General identities[edit]

${displaystyle sum _{n=s}^{t}Ccdot f(n)=Ccdot sum _{n=s}^{t}f(n)quad }$

(distributivity)^[3]

${displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)pm sum _{n=s}^{t}g(n)=sum _{n=s}^{t}left(f(n)pm g(n)right)quad }$

(commutativity and associativity)^[3]

${displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)=sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)quad }$

(index shift)

${displaystyle sum _{nin B}f(n)=sum _{min A}f(sigma (m)),quad }$

for a bijection σ from a finite set A onto a set B (index change); this generalizes the preceding formula.

${displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)=sum _{n=s}^{j}f(n)+sum _{n=j+1}^{t}f(n)quad }$

(splitting a sum, using associativity)

${displaystyle sum _{n=a}^{b}f(n)=sum _{n=0}^{b}f(n)-sum _{n=0}^{a-1}f(n)quad }$

(a variant of the preceding formula)

${displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)=sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)quad }$

(the sum from the first term up to the last is equal to the sum from the last down to the first)

${displaystyle sum _{n=0}^{t}f(n)=sum _{n=0}^{t}f(t-n)quad }$

(a particular case of the formula above)

${displaystyle sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}quad }$

(commutativity and associativity, again)

${displaystyle sum _{kleq jleq ileq n}a_{i,j}=sum _{i=k}^{n}sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=sum _{j=k}^{n}sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=sum _{j=0}^{n-k}sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}quad }$

(another application of commutativity and associativity)

${displaystyle sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=sum _{n=s}^{t}f(2n)+sum _{n=s}^{t}f(2n+1)quad }$

(splitting a sum into its odd and even parts, for even indexes)

${displaystyle sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)quad }$

(splitting a sum into its odd and even parts, for odd indexes)

${displaystyle left(sum _{i=0}^{n}a_{i}right)left(sum _{j=0}^{n}b_{j}right)=sum _{i=0}^{n}sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}quad }$

(distributivity)

${displaystyle sum _{i=s}^{m}sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=left(sum _{i=s}^{m}a_{i}right)left(sum _{j=t}^{n}c_{j}right)quad }$

(distributivity allows factorization)

${displaystyle sum _{n=s}^{t}log _{b}f(n)=log _{b}prod _{n=s}^{t}f(n)quad }$

(the logarithm of a product is the sum of the logarithms of the factors)

${displaystyle C^{sum limits _{n=s}^{t}f(n)}=prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}quad }$

(the exponential of a sum is the product of the exponential of the summands)

Powers and logarithm of arithmetic progressions[edit]

${displaystyle sum _{i=1}^{n}c=ncquad }$

for every c that does not depend on i

${displaystyle sum _{i=0}^{n}i=sum _{i=1}^{n}i={frac {n(n+1)}{2}}qquad }$

(Sum of the simplest arithmetic progression, consisting of the first n natural numbers.)^[2]^: 52

${displaystyle sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}qquad }$

(Sum of first odd natural numbers)

${displaystyle sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)qquad }$

(Sum of first even natural numbers)

${displaystyle sum _{i=1}^{n}log i=log n!qquad }$

(A sum of logarithms is the logarithm of the product)

${displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{2}=sum _{i=1}^{n}i^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={frac {n^{3}}{3}}+{frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{6}}qquad }$

(Sum of the first squares, see square pyramidal number.) ^[2]^: 52

${displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{3}=left(sum _{i=0}^{n}iright)^{2}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)^{2}={frac {n^{4}}{4}}+{frac {n^{3}}{2}}+{frac {n^{2}}{4}}qquad }$

(Nicomachus’s theorem) ^[2]^: 52

More generally, one has Faulhaber’s formula for p>1

${displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{p}={frac {n^{p+1}}{p+1}}+{frac {1}{2}}n^{p}+sum _{k=2}^{p}{binom {p}{k}}{frac {B_{k}}{p-k+1}},n^{p-k+1},}$

where $B_{k}$ denotes a Bernoulli number, and is a binomial coefficient.

Summation index in exponents[edit]

In the following summations, a is assumed to be different from 1.

$sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={frac {1-a^{n}}{1-a}}$

(sum of a geometric progression)

${displaystyle sum _{i=0}^{n-1}{frac {1}{2^{i}}}=2-{frac {1}{2^{n-1}}}}$

(special case for a = 1/2)

${displaystyle sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$

(a times the derivative with respect to a of the geometric progression)

${displaystyle {begin{aligned}sum _{i=0}^{n-1}left(b+idright)a^{i}&=bsum _{i=0}^{n-1}a^{i}+dsum _{i=0}^{n-1}ia^{i}\&=bleft({frac {1-a^{n}}{1-a}}right)+dleft({frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}right)\&={frac {b(1-a^{n})-(n-1)da^{n}}{1-a}}+{frac {da(1-a^{n-1})}{(1-a)^{2}}}end{aligned}}}$

(sum of an arithmetico–geometric sequence)

Binomial coefficients and factorials[edit]

There exist very many summation identities involving binomial coefficients (a whole chapter of Concrete Mathematics is devoted to just the basic techniques). Some of the most basic ones are the following.

Involving the binomial theorem[edit]

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$

the binomial theorem

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}=2^{n},}$

the special case where a = b = 1

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$

, the special case where p = a = 1 − b, which, for

expresses the sum of the binomial distribution

${displaystyle sum _{i=0}^{n}i{n choose i}=n(2^{n-1}),}$

the value at a = b = 1 of the derivative with respect to a of the binomial theorem

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{frac {n choose i}{i+1}}={frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$

the value at a = b = 1 of the antiderivative with respect to a of the binomial theorem

Involving permutation numbers[edit]

In the following summations, ${displaystyle {}_{n}P_{k}}$ is the number of k-permutations of n.

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

$sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=sum _{i=1}^{n}prod _{j=0}^{k}(i+j)={frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$

$sum _{i=0}^{n}i!cdot {n choose i}=sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=lfloor n!cdot erfloor ,quad nin mathbb {Z} ^{+}$

, where and

denotes the floor function.

Others[edit]

${displaystyle sum _{k=0}^{m}{binom {n+k}{n}}={binom {n+m+1}{n+1}}}$

${displaystyle sum _{i=k}^{n}{i choose k}={n+1 choose k+1}}$

$sum _{i=0}^{n}icdot i!=(n+1)!-1$

$sum _{i=0}^{n}{m+i-1 choose i}={m+n choose n}$

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}^{2}={2n choose n}}$

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{frac {1}{i!}}={frac {lfloor n!;erfloor }{n!}}}$

Harmonic numbers[edit]

$sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i}}=H_{n}$

(that is the nth harmonic number)

$sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}$

(that is a generalized harmonic number)

Growth rates[edit]

The following are useful approximations (using theta notation):

$sum _{i=1}^{n}i^{c}in Theta (n^{c+1})$

for real c greater than −1

${displaystyle sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i}}in Theta (log _{e}n)}$

(See Harmonic number)

$sum _{i=1}^{n}c^{i}in Theta (c^{n})$

for real c greater than 1

$sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}in Theta (ncdot log(n)^{c})$

for non-negative real c

$sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}cdot i^{d}in Theta (n^{d+1}cdot log(n)^{c})$

for non-negative real c, d

$sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}cdot i^{d}cdot b^{i}in Theta (n^{d}cdot log(n)^{c}cdot b^{n})$

for non-negative real b > 1, c, d

History[edit]

In 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz, in a letter to Henry Oldenburg, suggests the symbol ∫ to mark the sum of differentials (Latin: calculus summatorius), hence the S-shape.^[4]^[5]^[6] The renaming of this symbol to integral arose later in exchanges with Johann Bernoulli.^[6]
In 1755, the summation symbol Σ is attested in Leonhard Euler’s Institutiones calculi differentialis.^[7]^[8] Euler uses the symbol in expressions like:

${displaystyle Sigma (2wx+w^{2})=x^{2}}$

In 1772, usage of Σ and Σⁿ is attested by Lagrange.^[7]^[9]
In 1823, the capital letter S is attested as a summation symbol for series. This usage was apparently widespread.^[7]
In 1829, the summation symbol Σ is attested by Fourier and C. G. J. Jacobi.^[7] Fourier’s use includes lower and upper bounds, for example:^[10]^[11]

${displaystyle sum _{i=1}^{infty }e^{-i^{2}t}ldots }$

Notes[edit]

^ For details, see Triangular number.
^ For a detailed exposition on summation notation, and arithmetic with sums, see Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). «Chapter 2: Sums». Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (PDF) (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0201558029.^{[permanent dead link]}
^ in contexts where there is no possibility of confusion with the imaginary unit
^ Although the name of the dummy variable does not matter (by definition), one usually uses letters from the middle of the alphabet ( through ) to denote integers, if there is a risk of confusion. For example, even if there should be no doubt about the interpretation, it could look slightly confusing to many mathematicians to see instead of in the above formulae involving . See also typographical conventions in mathematical formulae.

References[edit]

^ «Summation Notation». www.columbia.edu. Retrieved 2020-08-16.
^ ^a ^b ^c ^d Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1.
^ ^a ^b «Calculus I — Summation Notation». tutorial.math.lamar.edu. Retrieved 2020-08-16.
^ Burton, David M. (2011). The History of Mathematics: An Introduction (7th ed.). McGraw-Hill. p. 414. ISBN 978-0-07-338315-6.
^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Gerhardt, Karl Immanuel (ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlin: Mayer & Müller. p. 154.
^ ^a ^b Cajori (1929), pp. 181-182.
^ ^a ^b ^c ^d Cajori (1929), p. 61.
^ Euler, Leonhard (1755). Institutiones Calculi differentialis (in Latin). Petropolis. p. 27.
^ Lagrange, Joseph-Louis (1867–1892). Oeuvres de Lagrange. Tome 3 (in French). Paris. p. 451.
^ Mémoires de l’Académie royale des sciences de l’Institut de France pour l’année 1825, tome VIII (in French). Paris: Didot. 1829. pp. 581-622.
^ Fourier, Jean-Baptiste Joseph (1888–1890). Oeuvres de Fourier. Tome 2 (in French). Paris: Gauthier-Villars. p. 149.

Bibliography[edit]

Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8.

External links[edit]

Media related to Summation at Wikimedia Commons

Источник

Summations of infinite sequences are called series. They involve the concept of limit, and are not considered in this article.

For long summations, and summations of variable length (defined with ellipses or Σ notation), it is a common problem to find closed-form expressions for the result. For example,^[a]

${displaystyle sum _{i=1}^{n}i={frac {n(n+1)}{2}}.}$

Although such formulas do not always exist, many summation formulas have been discovered—with some of the most common and elementary ones being listed in the remainder of this article.

Notation[edit]

Capital-sigma notation[edit]

Mathematical notation uses a symbol that compactly represents summation of many similar terms: the summation symbol, , an enlarged form of the upright capital Greek letter sigma. This is defined as

${displaystyle sum _{imathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

This is read as «sum of a_i, from i = m to n«.

Here is an example showing the summation of squares:

${displaystyle sum _{i=3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

${displaystyle sum a_{i}^{2}=sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}.}$

Generalizations of this notation are often used, in which an arbitrary logical condition is supplied, and the sum is intended to be taken over all values satisfying the condition. For example:

${displaystyle sum _{0leq k<100}f(k)}$

is an alternative notation for ${textstyle sum _{k=0}^{99}f(k),}$ the sum of f(k) over all (integers) in the specified range. Similarly,

$sum _{x{mathop {in }}S}f(x)$

is the sum of f(x) over all elements in the set , and

${displaystyle sum _{d,|,n};mu (d)}$

is the sum of mu (d) over all positive integers dividing .^[d]

There are also ways to generalize the use of many sigma signs. For example,

${displaystyle sum _{i,j}}$

is the same as

${displaystyle sum _{i}sum _{j}.}$

A similar notation is used for the product of a sequence, where , an enlarged form of the Greek capital letter pi, is used instead of

Special cases[edit]

It is possible to sum fewer than 2 numbers:

Formal definition[edit]

Summation may be defined recursively as follows:

${displaystyle sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$

, for b < a;

$sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+sum _{i=a}^{b-1}g(i)$

, for b ≥ a.

Measure theory notation[edit]

In the notation of measure and integration theory, a sum can be expressed as a definite integral,

$sum _{k{mathop {=}}a}^{b}f(k)=int _{[a,b]}f,dmu$

where [a,b] is the subset of the integers from to , and where is the counting measure.

Calculus of finite differences[edit]

Given a function f that is defined over the integers in the interval [m, n], the following equation holds:

${displaystyle f(n)-f(m)=sum _{i=m}^{n-1}(f(i+1)-f(i)).}$

This is the analogue of the fundamental theorem of calculus in calculus of finite differences, which states that:

${displaystyle f(n)-f(m)=int _{m}^{n}f'(x),dx,}$

where

${displaystyle f'(x)=lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

is the derivative of f.

An example of application of the above equation is the following:

${displaystyle n^{k}=sum _{i=0}^{n-1}left((i+1)^{k}-i^{k}right).}$

Using binomial theorem, this may be rewritten as:

${displaystyle n^{k}=sum _{i=0}^{n-1}left(sum _{j=0}^{k-1}{binom {k}{j}}i^{j}right).}$

The above formula is more commonly used for inverting of the difference operator Delta , defined by:

${displaystyle F(n)=sum _{i=0}^{n-1}f(i).}$

Approximation by definite integrals[edit]

Many such approximations can be obtained by the following connection between sums and integrals, which holds for any increasing function f:

$int _{s=a-1}^{b}f(s) dsleq sum _{i=a}^{b}f(i)leq int _{s=a}^{b+1}f(s) ds.$

and for any decreasing function f:

$int _{s=a}^{b+1}f(s) dsleq sum _{i=a}^{b}f(i)leq int _{s=a-1}^{b}f(s) ds.$

For more general approximations, see the Euler–Maclaurin formula.

${frac {b-a}{n}}sum _{i=0}^{n-1}fleft(a+i{frac {b-a}{n}}right)approx int _{a}^{b}f(x) dx,$

Identities[edit]

General identities[edit]

${displaystyle sum _{n=s}^{t}Ccdot f(n)=Ccdot sum _{n=s}^{t}f(n)quad }$

(distributivity)^[3]

${displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)pm sum _{n=s}^{t}g(n)=sum _{n=s}^{t}left(f(n)pm g(n)right)quad }$

(commutativity and associativity)^[3]

${displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)=sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)quad }$

(index shift)

${displaystyle sum _{nin B}f(n)=sum _{min A}f(sigma (m)),quad }$

for a bijection σ from a finite set A onto a set B (index change); this generalizes the preceding formula.

${displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)=sum _{n=s}^{j}f(n)+sum _{n=j+1}^{t}f(n)quad }$

(splitting a sum, using associativity)

${displaystyle sum _{n=a}^{b}f(n)=sum _{n=0}^{b}f(n)-sum _{n=0}^{a-1}f(n)quad }$

(a variant of the preceding formula)

${displaystyle sum _{n=s}^{t}f(n)=sum _{n=0}^{t-s}f(t-n)quad }$

(the sum from the first term up to the last is equal to the sum from the last down to the first)

${displaystyle sum _{n=0}^{t}f(n)=sum _{n=0}^{t}f(t-n)quad }$

(a particular case of the formula above)

${displaystyle sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}quad }$

(commutativity and associativity, again)

${displaystyle sum _{kleq jleq ileq n}a_{i,j}=sum _{i=k}^{n}sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=sum _{j=k}^{n}sum _{i=j}^{n}a_{i,j}=sum _{j=0}^{n-k}sum _{i=k}^{n-j}a_{i+j,i}quad }$

(another application of commutativity and associativity)

${displaystyle sum _{n=2s}^{2t+1}f(n)=sum _{n=s}^{t}f(2n)+sum _{n=s}^{t}f(2n+1)quad }$

(splitting a sum into its odd and even parts, for even indexes)

${displaystyle sum _{n=2s+1}^{2t}f(n)=sum _{n=s+1}^{t}f(2n)+sum _{n=s+1}^{t}f(2n-1)quad }$

(splitting a sum into its odd and even parts, for odd indexes)

${displaystyle left(sum _{i=0}^{n}a_{i}right)left(sum _{j=0}^{n}b_{j}right)=sum _{i=0}^{n}sum _{j=0}^{n}a_{i}b_{j}quad }$

(distributivity)

${displaystyle sum _{i=s}^{m}sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=left(sum _{i=s}^{m}a_{i}right)left(sum _{j=t}^{n}c_{j}right)quad }$

(distributivity allows factorization)

${displaystyle sum _{n=s}^{t}log _{b}f(n)=log _{b}prod _{n=s}^{t}f(n)quad }$

(the logarithm of a product is the sum of the logarithms of the factors)

${displaystyle C^{sum limits _{n=s}^{t}f(n)}=prod _{n=s}^{t}C^{f(n)}quad }$

(the exponential of a sum is the product of the exponential of the summands)

Powers and logarithm of arithmetic progressions[edit]

${displaystyle sum _{i=1}^{n}c=ncquad }$

for every c that does not depend on i

${displaystyle sum _{i=0}^{n}i=sum _{i=1}^{n}i={frac {n(n+1)}{2}}qquad }$

(Sum of the simplest arithmetic progression, consisting of the first n natural numbers.)^[2]^: 52

${displaystyle sum _{i=1}^{n}(2i-1)=n^{2}qquad }$

(Sum of first odd natural numbers)

${displaystyle sum _{i=0}^{n}2i=n(n+1)qquad }$

(Sum of first even natural numbers)

${displaystyle sum _{i=1}^{n}log i=log n!qquad }$

(A sum of logarithms is the logarithm of the product)

${displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{2}=sum _{i=1}^{n}i^{2}={frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={frac {n^{3}}{3}}+{frac {n^{2}}{2}}+{frac {n}{6}}qquad }$

(Sum of the first squares, see square pyramidal number.) ^[2]^: 52

${displaystyle sum _{i=0}^{n}i^{3}=left(sum _{i=0}^{n}iright)^{2}=left({frac {n(n+1)}{2}}right)^{2}={frac {n^{4}}{4}}+{frac {n^{3}}{2}}+{frac {n^{2}}{4}}qquad }$

(Nicomachus’s theorem) ^[2]^: 52

More generally, one has Faulhaber’s formula for p>1

${displaystyle sum _{k=1}^{n}k^{p}={frac {n^{p+1}}{p+1}}+{frac {1}{2}}n^{p}+sum _{k=2}^{p}{binom {p}{k}}{frac {B_{k}}{p-k+1}},n^{p-k+1},}$

where $B_{k}$ denotes a Bernoulli number, and is a binomial coefficient.

Summation index in exponents[edit]

In the following summations, a is assumed to be different from 1.

$sum _{i=0}^{n-1}a^{i}={frac {1-a^{n}}{1-a}}$

(sum of a geometric progression)

${displaystyle sum _{i=0}^{n-1}{frac {1}{2^{i}}}=2-{frac {1}{2^{n-1}}}}$

(special case for a = 1/2)

${displaystyle sum _{i=0}^{n-1}ia^{i}={frac {a-na^{n}+(n-1)a^{n+1}}{(1-a)^{2}}}}$

(a times the derivative with respect to a of the geometric progression)

(sum of an arithmetico–geometric sequence)

Binomial coefficients and factorials[edit]

Involving the binomial theorem[edit]

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}a^{n-i}b^{i}=(a+b)^{n},}$

the binomial theorem

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}=2^{n},}$

the special case where a = b = 1

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}p^{i}(1-p)^{n-i}=1}$

, the special case where p = a = 1 − b, which, for

expresses the sum of the binomial distribution

${displaystyle sum _{i=0}^{n}i{n choose i}=n(2^{n-1}),}$

the value at a = b = 1 of the derivative with respect to a of the binomial theorem

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{frac {n choose i}{i+1}}={frac {2^{n+1}-1}{n+1}},}$

the value at a = b = 1 of the antiderivative with respect to a of the binomial theorem

Involving permutation numbers[edit]

In the following summations, ${displaystyle {}_{n}P_{k}}$ is the number of k-permutations of n.

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{}_{i}P_{k}{n choose i}={}_{n}P_{k}(2^{n-k})}$

$sum _{i=1}^{n}{}_{i+k}P_{k+1}=sum _{i=1}^{n}prod _{j=0}^{k}(i+j)={frac {(n+k+1)!}{(n-1)!(k+2)}}$

$sum _{i=0}^{n}i!cdot {n choose i}=sum _{i=0}^{n}{}_{n}P_{i}=lfloor n!cdot erfloor ,quad nin mathbb {Z} ^{+}$

, where and

denotes the floor function.

Others[edit]

${displaystyle sum _{k=0}^{m}{binom {n+k}{n}}={binom {n+m+1}{n+1}}}$

${displaystyle sum _{i=k}^{n}{i choose k}={n+1 choose k+1}}$

$sum _{i=0}^{n}icdot i!=(n+1)!-1$

$sum _{i=0}^{n}{m+i-1 choose i}={m+n choose n}$

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{n choose i}^{2}={2n choose n}}$

${displaystyle sum _{i=0}^{n}{frac {1}{i!}}={frac {lfloor n!;erfloor }{n!}}}$

Harmonic numbers[edit]

$sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i}}=H_{n}$

(that is the nth harmonic number)

$sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i^{k}}}=H_{n}^{k}$

(that is a generalized harmonic number)

Growth rates[edit]

The following are useful approximations (using theta notation):

$sum _{i=1}^{n}i^{c}in Theta (n^{c+1})$

for real c greater than −1

${displaystyle sum _{i=1}^{n}{frac {1}{i}}in Theta (log _{e}n)}$

(See Harmonic number)

$sum _{i=1}^{n}c^{i}in Theta (c^{n})$

for real c greater than 1

$sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}in Theta (ncdot log(n)^{c})$

for non-negative real c

$sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}cdot i^{d}in Theta (n^{d+1}cdot log(n)^{c})$

for non-negative real c, d

$sum _{i=1}^{n}log(i)^{c}cdot i^{d}cdot b^{i}in Theta (n^{d}cdot log(n)^{c}cdot b^{n})$

for non-negative real b > 1, c, d

History[edit]

In 1675, Gottfried Wilhelm Leibniz, in a letter to Henry Oldenburg, suggests the symbol ∫ to mark the sum of differentials (Latin: calculus summatorius), hence the S-shape.^[4]^[5]^[6] The renaming of this symbol to integral arose later in exchanges with Johann Bernoulli.^[6]
In 1755, the summation symbol Σ is attested in Leonhard Euler’s Institutiones calculi differentialis.^[7]^[8] Euler uses the symbol in expressions like:

${displaystyle Sigma (2wx+w^{2})=x^{2}}$

In 1772, usage of Σ and Σⁿ is attested by Lagrange.^[7]^[9]
In 1823, the capital letter S is attested as a summation symbol for series. This usage was apparently widespread.^[7]
In 1829, the summation symbol Σ is attested by Fourier and C. G. J. Jacobi.^[7] Fourier’s use includes lower and upper bounds, for example:^[10]^[11]

${displaystyle sum _{i=1}^{infty }e^{-i^{2}t}ldots }$

Notes[edit]

^ For details, see Triangular number.
^ For a detailed exposition on summation notation, and arithmetic with sums, see Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). «Chapter 2: Sums». Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (PDF) (2nd ed.). Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0201558029.^{[permanent dead link]}
^ in contexts where there is no possibility of confusion with the imaginary unit
^ Although the name of the dummy variable does not matter (by definition), one usually uses letters from the middle of the alphabet ( through ) to denote integers, if there is a risk of confusion. For example, even if there should be no doubt about the interpretation, it could look slightly confusing to many mathematicians to see instead of in the above formulae involving . See also typographical conventions in mathematical formulae.

References[edit]

^ «Summation Notation». www.columbia.edu. Retrieved 2020-08-16.
^ ^a ^b ^c ^d Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, Kenneth H. Rosen, John G. Michaels, CRC Press, 1999, ISBN 0-8493-0149-1.
^ ^a ^b «Calculus I — Summation Notation». tutorial.math.lamar.edu. Retrieved 2020-08-16.
^ Burton, David M. (2011). The History of Mathematics: An Introduction (7th ed.). McGraw-Hill. p. 414. ISBN 978-0-07-338315-6.
^ Leibniz, Gottfried Wilhelm (1899). Gerhardt, Karl Immanuel (ed.). Der Briefwechsel von Gottfried Wilhelm Leibniz mit Mathematikern. Erster Band. Berlin: Mayer & Müller. p. 154.
^ ^a ^b Cajori (1929), pp. 181-182.
^ ^a ^b ^c ^d Cajori (1929), p. 61.
^ Euler, Leonhard (1755). Institutiones Calculi differentialis (in Latin). Petropolis. p. 27.
^ Lagrange, Joseph-Louis (1867–1892). Oeuvres de Lagrange. Tome 3 (in French). Paris. p. 451.
^ Mémoires de l’Académie royale des sciences de l’Institut de France pour l’année 1825, tome VIII (in French). Paris: Didot. 1829. pp. 581-622.
^ Fourier, Jean-Baptiste Joseph (1888–1890). Oeuvres de Fourier. Tome 2 (in French). Paris: Gauthier-Villars. p. 149.

Bibliography[edit]

Cajori, Florian (1929). A History Of Mathematical Notations Volume II. Open Court Publishing. ISBN 978-0-486-67766-8.

External links[edit]

Media related to Summation at Wikimedia Commons

Источник

Знак суммы в математике как считать?

summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. .

Как записать алгебраическую сумму?

Обратите внимание, что запись алгебраической суммы обычно упрощают: положительные числа записываются без предшествующего знака + , а отрицательные числа, стоящие в начале выражения, записываются без скобок: (-5) + (+7) = -5 + 7. заменяют на выражение: 3z — 2x — y.

Что такое слагаемое в математике?

Числа при сложении называются слагаемыми. Результат сложения – сумма. сложение, слагаемые, сумма, результат сложения.

Что такое сумма и ее значение?

(Сумма -это объединение двух или несколько чисел, между ними ставится знак «+»).

Что такое сумма чисел 2 класс?

Сложение – это объединение объектов в одно целое. Результатом сложения чисел является число, называемое суммой чисел (слагаемых). . Большее число называется уменьшаемым, меньшее – вычитаемым, результат вычитания – разностью.

Что такое разность и ее значение?

Значение разности: Разность-это то что получается при вычитание чисел. . Уменьшаемое-вычитаемое=разность. Вот оно значение разности .

Что такое алгебраическая сумма 6 класс?

Алгебраическая сумма — это выражение, которое можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел.

Как найти алгебраическую сумму многочленов?

Для того чтобы найти алгебраическую сумму нескольких многочленов, записанную в стандартном виде, необходимо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые. При этом, если перед скобкой стоит знак «плюс», то раскрывая скобки, знаки перед слагаемыми нужно оставить без изменений.

Как найти сумму числового и функционального ряда

Числовой ряд является некой последовательностью, которая рассматривается совместно с другой последовательностью (ее еще называют последовательностью частичных сумм). Подобные понятия применяются в математическом и комплексном анализе.

Сумму числового ряда можно легко вычислить в Excel с помощью функции РЯД.СУММ. Рассмотрим на примере, как работает данная функция, а после построим график функций. Научимся применять числовой ряд на практике при подсчете роста капитала. Но для начала немного теории.

Сумма числового ряда

Числовой ряд можно рассматривать как систему приближений к числам. Для его обозначения применяют формулу:

Здесь показана начальная последовательность чисел ряда и правило суммирования:

∑ — математический знак суммы;
a_i — общий аргумент;
_i — переменная, правило для изменения каждого последующего аргумента;
∞ — знак бесконечности, «предел», до которого проводится суммирование.

Запись обозначает: суммируются натуральные числа от 1 до «плюс бесконечности». Так как _i = 1, то подсчет суммы начинается с единицы. Если бы здесь стояло другое число (например, 2, 3), то суммировать мы начинали бы с него (с 2, 3).

В соответствии с переменной _i ряд можно записать развернуто:

= а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ + … (до «плюс бесконечности).

Определение суммы числового ряда дается через «частичные суммы». В математике они обозначаются Sn. Распишем наш числовой ряд в виде частичных сумм:

Сумма числового ряда – это предел частичных сумм S_n. Если предел конечен, говорят о «сходящемся» ряде. Бесконечен – о «расходящемся».

Сначала найдем сумму числового ряда:

Теперь построим в Excel таблицу значений членов ряда:

Общий первый аргумент берем из формулы: i=3.

Все следующие значения _i находим по формуле: =B4+$B$1. Ставим курсор в нижний правый угол ячейки В5 и размножаем формулу.

Найдем значения. Делаем активной ячейку С4 и вводим формулу: =СУММ(2*B4+1). Копируем ячейку С4 на заданный диапазон.

Значение суммы аргументов получаем с помощью функции: =СУММ(C4:C11). Комбинация горячих клавиш ALT+«+» (плюс на клавиатуре).

Функция РЯД.СУММ в Excel

Для нахождения суммы числового ряда в Excel применяется математическая функция РЯД.СУММ. Программой используется следующая формула:

х – значение переменной;
n – степень для первого аргумента;
m – шаг, на который увеличивается степень для каждого последующего члена;
а – коэффициенты при соответствующих степенях х.

Важные условия для работоспособности функции:

все аргументы обязательные (то есть все должны быть заполнены);
все аргументы – ЧИСЛОвые значения;
вектор коэффициентов имеет фиксированную длину (предел в «бесконечность» не подойдет);
количество «коэффициентов» = числу аргументов.

Вычисление суммы ряда в Excel

Та же функция РЯД.СУММ работает со степенными рядами (одним из вариантов функциональных рядов). В отличие от числовых, их аргументы являются функциями.

Функциональные ряды часто используются в финансово-экономической сфере. Можно сказать, это их прикладная область.

Например, положили в банк определенную сумму денег (а) на определенный период (n). Имеем ежегодную выплату х процентов. Для расчета наращенной суммы на конец первого периода используется формула:

На конец второго и последующих периодов – вид выражений следующий:

S₂ = a (1 + x) 2 ; S₃ = a (1 + x) 2 и т.д.

Чтобы найти общую сумму:

S_n = a (1 + x) + a (1 + x) 2 + a (1 + x) 3 + … + a (1 + x) n

Частичные суммы в Excel можно найти с помощью функции БС().

Исходные параметры для учебной задачи:

Используя стандартную математическую функцию, найдем накопленную сумму в конце срока сумму. Для этого в ячейке D2 используем формулу: =B2*СТЕПЕНЬ(1+B3;4)

Теперь в ячейке D3 решим эту же задачу с помощью встроенной функции Excel: =БС(B3;B1;;-B2)

Результаты одинаковые, как и должно быть.

Как заполнить аргументы функции БС():

«Ставка» — процентная ставка, под которую оформлен вклад. Так как в ячейке В3 установлен процентный формат, мы в поле аргумента просто указали ссылку на эту ячейку. Если было бы указано число, то прописывали бы его сотую долю (20/100).
«Кпер» — число периодов для выплат процентов. В нашем примере – 4 года.
«Плт» — периодические выплаты. В нашем случае их нет. Поэтому поле аргумента не заполняем.
«Пс» — «приведенная стоимость», сумма вклада. Так как мы на время расстаемся с этими деньгами, параметр указываем со знаком «-».

Таким образом, функция БС помогла найти нам сумму функционального ряда.

В Excel есть и другие встроенные функции для нахождения разных параметров. Обычно это функции для работы с инвестиционными проектами, ценными бумагами и амортизационными платежами.

Построение графика функций суммы числового ряда

Построим график функций, отражающий рост капитала. Для этого нам нужно построить график функции являющейся суммой построенного ряда. За пример, возьмем те же данные по вкладу:

Дальше нам нужна функция для начисления сложных процентов — БС(). Мы узнаем будущею стоимость инвестиций при условии равных платежей и постоянной процентной ставке. Используя функцию БС(), заполним таблицу:

В первой строке показана накопленная сумма через год. Во второй – через два. И так далее.

Сделаем еще один столбец, в котором отразим прибыль:

Как мы считали – в строке формул.

На основании полученных данных построим график функций.

Выделим 2 диапазона: A5:A9 и C5:C9. Переходим на вкладку «Вставка» — инструмент «Диаграммы». Выбираем первый график:

Сделаем задачу еще более «прикладной». В примере мы использовали сложные проценты. Они начисляются на наращенную в предыдущем периоде сумму.

Возьмем для сравнения простые проценты. Формула простых процентов в Excel: =$B$2*(1+A6*B6)

Добавим полученные значения в график «Рост капитала».

Какие именно выводы сделает инвестор – очевидно.

Математическая формула частичной суммы функционального ряда (с простыми процентами): S_n = a (1 + x*n), где а – первоначальная сумма вклада, х – проценты, n – период.

Как написать знак суммы (количества) в таблицах Excel.

При написании формул в документах MS Excel или Word зачастую возникает потребность в написании математического знака суммы (он же «знак суммирования» или «знак нахождения суммы»). Некоторые далекие от математических исчислений люди называют его «знак количества».

Выглядит знак суммы, как угловатая растянутая относительно горизонтальной оси симметрии заглавная русская буква «Е» или английская «E».

Вставить знак суммы в ячейку таблицы «эксель» или на лист «вордовского» документа можно двумя методами, которые приведены ниже:

При помощи таблицы символов;

При помощи опций на панели быстрого доступа в самой программе.

Как поставить знак суммы при помощи таблицы символов.

Необходимо последовательно выполнить следующие действия:

Войти в меню «Пуск» => Программы => Стандартные => Служебные => Таблица символов.
Выбрать символ суммирования;
Скопировать символ суммирования;
Вставить символ в таблицу или документ «Ворда».

Способ нехитрый и не занимает много времени.

Как поставить знак суммы при помощи встроенных возможностей «Эксель».

Необходимо выполнить следующую последовательность действий:

Выбрать ячейку, в которую поставите знак суммы;
В меню быстрого доступа выбрать вкладку «Вставка»
Выбрать пиктограмму «Символ»;
В появившемся окне выбрать знак суммы и вставить его при помощи кнопки «Вставить»

Подробное пошаговое видео о том, как выполняются описанные выше действия:

Источник

У этого термина существуют и другие значения, см. сумма.

Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

а + b = b + a
а + (b + с) = (а + b) + с
(а + b) с = ас + bc
с (а + b) = ca + cb

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Содержание

1 Определенная сумма
2 Свойства определённой суммы
3 Примеры
4 Неопределённая сумма
5 Формула Ньютона-Лейбница
6 Этимология
7 Литература
8 См. также

Определенная сумма

Часто для краткости сумму n слагаемых a_k, a_k+1, …, a_N обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

$a_k + a_{k+1} + ... + a_N = sum_{i=k}^N a_i$

Это обозначение называют определённой (конечной) суммой a_i по i от k до N.

Для удобства вместо $sum_{i=k}^Na_i$ иногда пишут $sum_{P(i)}^{}a_i$ , где P(i) — некоторое соотношение для , таким образом $sum_{P(i)}^{}a_i$ это конечная сумма всех a_i , где

Свойства определённой суммы

$left(sum_{i=k_1}^{k_2}a_iright)left(sum_{j=p_1}^{p_2}b_jright) = sum_{i=k_1}^{k_2}left(sum_{j=p_1}^{p_2}a_ib_jright)$
$sum_{i=k_1}^{k_2}sum_{j=p_1}^{p_2}a_{ij} = sum_{j=p_1}^{p_2}sum_{i=k_1}^{k_2}a_{ij}$
$sum_{i=k_1}^{k_2}(a_i + b_i) = sum_{i=k_1}^{k_2}a_i + sum_{i=k_1}^{k_2}b_i$
$sum_{i=k_1}^{k_2} {z cdot a_i} = z cdot sum_{i=k_1}^{k_2} a_i$
$sum_{i=1}^{n}{i}=frac{n(n+1)}{2}$

Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии:

$sum_{i=0}^n(a_0+bcdot i) = (n+1)frac{a_0+a_n}{2}$

2. Сумма геометрической прогрессии:

$sum_{i=0}^na_0cdot b^i = a_0cdot frac{1-b^{n+1}}{1-b}$

3. $sum_{i=0}^n{left(frac{1}{p}right)}^i = frac{p}{p-1}left(1-frac{1}{p^{n+1}}right), quad p neq 1, n ge 0$

Почему это так

$sum_{i=0}^n{left(frac{1}{p}right)}^i = sum_{i=0}^n{1cdot {frac{1}{p^i}}} = 1cdot frac{1-{left(frac{1}{p}right)}^{n+1}}{1-frac{1}{p}} = frac{frac{p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{frac{p-1}{p}} = frac{p^{n+1}-1}{p^n(p-1)} = frac{p}{p-1}left(1-frac{1}{p^{n+1}}right)$

4. $sum_{i=0}^nip^i = frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^2}, quad p ne 1$

Почему это так

Доказательство:

$sum_{i=0}^nip^i = sum_{i=1}^nip^i = pcdot sum_{i=1}^nip^{i-1} = pcdot sum_{i=0}^{n-1}(i+1)p^i = pcdot left(sum_{i=0}^{n-1}{ip^i} + sum_{i=0}^{n-1}p^iright)=pcdot sum_{i=0}^nip^i - pcdot np^n + pcdot frac{1-p^n}{1-p} Rightarrow$

$Rightarrow (1-p)sum_{i=0}^nip^i = frac{-np^{n+1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p} Rightarrow sum_{i=0}^nip^i = frac{np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^2}$

5. $sum_{i=0}^np^i = (p-1)sum_{i=0}^{n-1}((n-i)p^i) + n + 1, quad p ne 1$

Стоит заметить, что при p = 10

получаем $sum_{i=0}^n10^i = 9cdotsum_{i=0}^{n-1}((n-i)10^i) + n +1$

, а это последовательность равенств следующего вида:

1 = 9cdot 0 + 1,quad 11 = 9cdot 1 + 2,quad 111 = 9 cdot 12 + 3,quad 1111 = 9 cdot 123 + 4,quad 11111 = 9 cdot 1234 + 5

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой a_i по называется такая функция f(i) , обозначаемая $sum_{i}^{} a_i$ , что $forall i: f(i+1) - f(i) = a_{i+1}$ .

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма $sum_{i}^{} a_i = f(i)$ , то $sum_{i=k}^N a_i = f(N+1)-f(k)$ .

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

Литература

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчесления. — седьмое. — М.: Наука, 1969. — Т. 1. — 608 с. — 100 000 экз.

См. также

Контрольная сумма

Источник

‹— Назад

Символ суммирования

В математике для записи сумм, содержащих много слагаемых, или в случае, когда число слагаемых обозначено буквой, применяется следующая запись:

которая расшифровывается так

(14.1)

где — функция целочисленного аргумента. Здесь символ (большая греческая буква «сигма») означает суммирование. Запись внизу символа суммирования показывает, что переменная, которая меняет свои значения от слагаемого к слагаемому, обозначена буквой и что начальное значение этой переменной равно . Запись вверху обозначает последнее значение, которое принимает переменная .

Пример 14.2 Вычислим несколько сумм:

1) .

2) . Так как в правой части стоит сумма геометрической прогрессии с первым членом равным и знаменателем прогрессии равным , то эту сумму легко найти

3) .

4) .

5) .

В курсе линейной алгебры чаще всего будут встречаться суммы вида . Здесь переменная с индексом рассматривается как функция от своего индекса. Поэтому

С помощью знака суммы формулу (10.1) скалярного произведения векторов можно записать так:

(14.2)

где для трехмерного пространства , для плоскости .

Для единообразия будем считать, что

и говорить, что это сумма, содержащая одно слагаемое.

Замечание 14.1 Буква, стоящая внизу под знаком суммы (индекс суммирования), не влияет на результат суммирования. Важно лишь, как от этого индекса зависит суммируемая величина. Например,

Или

в правой части никакой буквы нет, значит, и результат от не зависит.

Предложение 14.1 Множитель, не зависящий от индекса суммирования, может быть вынесен за знак суммы:

Доказательство этого предложения предоставляется читателю.

Предложение 14.2

(14.3)

Это предложение является частным случаем следующего утверждения.

Доказательство. Пусть

Тогда

Раскроем скобки в правой части этого равенства. Получим сумму элементов при всех допустимых значениях индексов суммирования. Слагаемые сгруппируем по-другому, а именно, сначала соберем все слагаемые, у которых первый индекс равен 1, потом, у которых первый индекс равен 2 и т.д. Получим

Заменив в этом равенстве в левой части его выражением через знаки суммирования, получим формулу (14.4).

Замечание 14.2 Двойные суммы из равенства (14.4) можно записывать и без использования скобок

Нужно помнить, что двойная сумма означает сумму элементов для всех допустимых значений индексов суммирования. По этой же причине, если встречается запись, содержащая подряд три или более символов суммирования, то порядок расстановки этих символов можно менять произвольно.

Если границы изменения всех индексов суммирования одинаковы, то можно для суммирования по нескольким индексам использовать запись вида

Иногда под символом суммы указывают дополнительные условия, налагаемые на индексы суммирования. Так запись

означает, что в сумму не включаются величины , ,…, , то есть с равными индексами.

Иногда в записи суммы не указываются границы изменения индексов, например,

Такая запись используется, когда значения, которые могут принимать индексы, очевидны из предыдущего текста или будут оговорены сразу после окончания формулы.

Математика, вышка, высшая математика, математика онлайн, вышка онлайн, онлайн математика, онлайн решение математики, ход решения, процес решения, решение, задачи, задачи по математике, математические задачи, решение математики онлайн, решение математики online, online решение математики, решение высшей математики, решение высшей математики онлайн, матрицы, решение матриц онлайн, векторная алгебра онлайн, решение векторов онлайн, система линейных уравнений, метод Крамера, метод Гаусса, метод обратной матрицы, уравнения, системы уравнений, производные, пределы, интегралы, функция, неопределенный интеграл, определенный интеграл, решение интегралов, вычисление интегралов, решение производных, интегралы онлайн, производные онлайн, пределы онлайн, предел функции, предел последовательности, высшие производные, производная неявной функции

Источник

Знак Σ — сумма

Произведение П

Что дальше

Notation[edit]

Capital-sigma notation[edit]

Special cases[edit]

Formal definition[edit]

Measure theory notation[edit]

Calculus of finite differences[edit]

Approximation by definite integrals[edit]

Identities[edit]

General identities[edit]

Powers and logarithm of arithmetic progressions[edit]

Summation index in exponents[edit]

Binomial coefficients and factorials[edit]

Involving the binomial theorem[edit]

Involving permutation numbers[edit]

Others[edit]

Harmonic numbers[edit]

Growth rates[edit]

History[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

External links[edit]

Notation[edit]

Capital-sigma notation[edit]

Special cases[edit]

Formal definition[edit]

Measure theory notation[edit]

Calculus of finite differences[edit]

Approximation by definite integrals[edit]

Identities[edit]

General identities[edit]

Powers and logarithm of arithmetic progressions[edit]

Summation index in exponents[edit]

Binomial coefficients and factorials[edit]

Involving the binomial theorem[edit]

Involving permutation numbers[edit]

Others[edit]

Harmonic numbers[edit]

Growth rates[edit]

History[edit]

See also[edit]

Notes[edit]

References[edit]

Bibliography[edit]

External links[edit]

Знак суммы в математике как считать?

Как записать алгебраическую сумму?

Что такое слагаемое в математике?

Что такое сумма и ее значение?

Что такое сумма чисел 2 класс?

Что такое разность и ее значение?

Что такое алгебраическая сумма 6 класс?

Как найти алгебраическую сумму многочленов?

Как найти сумму числового и функционального ряда

Сумма числового ряда

Функция РЯД.СУММ в Excel

Вычисление суммы ряда в Excel

Построение графика функций суммы числового ряда

Как написать знак суммы (количества) в таблицах Excel.

При помощи таблицы символов;

При помощи опций на панели быстрого доступа в самой программе.

Как поставить знак суммы при помощи таблицы символов.

Содержание

Определенная сумма

Свойства определённой суммы

Примеры

Неопределённая сумма

Формула Ньютона-Лейбница

Этимология

Литература

См. также

Символ суммирования