Как пишется знак пересечения в геометрии

Лучший ответ

Максим Ковалев

Профи

(920)


13 лет назад

пересечение обозначается так ∩ я нашел его в символах

Витя ГрабоварУченик (202)

5 лет назад

спасибо! Ты очень помог!

Остальные ответы

Юлия Хуторная

Просветленный

(36782)


13 лет назад

этот значок похож на арку

A-Gem

Знаток

(333)


13 лет назад

на клаве к сжалению такоко значка нет, но попробую объяснить: переверни U наоборот, мы этот знак «радугой» называем=)))

Ирина ВербицкаяЗнаток (496)

1 год назад

Ну и как «радугу» поставить над буквами в документе? Надо переписать старый учебник и у меня не получается поставить этот значок.

Умка

Ученик

(103)


13 лет назад

подкова, только кверх ногами!

Gala

Мыслитель

(5452)


13 лет назад

U-это знак объединения, переверни-получится знак пересечения

Гоар Бернецян

Ученик

(137)


6 лет назад

спасибо, выручили

Мери теккозян

Ученик

(136)


6 лет назад

Этот знак используется не только в геометрии и изображается ∩

Vladis )

Знаток

(425)


5 лет назад

∩

Хо Минхо

Профи

(690)


5 лет назад

∩ — знак пересечения

Александра Соболева

Ученик

(119)


5 лет назад

радуга

Lev Matveev

Ученик

(242)


5 лет назад

∩ радуга, арка, подкова верх ногами.

АСВысший разум (138139)

4 года назад

https://otvet.mail.ru/question/206345385 — подсказка: 3y² — 2x² — xy — 5y + 2 = 0, x² + y² = 1
3y² — 2x² — xy — 5y + 2 = (x-y+1)(2x+3y-2)=0
x-y+1=0 и 2x+3y-2=0 — уравнение прямых, x² + y² = 1 — уравнение окружности
Вот и решай системы:
x-y+1=0, x² + y² = 1 и x+3y-2=0, x² + y² = 1
В результате получишь ЧЕТЫРЕ пары решений

DYRAK

Профи

(538)


5 лет назад

∩ это пересечение U это обьеденение

Настя Пунюшкина

Ученик

(141)


4 года назад

U так только переверни

Александр Давыдов

Знаток

(377)


3 года назад

∩

Ҝρนĉ⍡นӈα

Гуру

(3130)


3 года назад

∩

hito_pae

Профи

(650)


8 месяцев назад

∩

0 интересует


0 не интересует

ответил

27 Март, 18


от
kravchenkoanyu_zn
Начинающий

(136 баллов)

Лучший ответ

Мне кажется так,просто я ещё не изучаю геометрию. 

---

Определение

Знак пересечения – это символ, указывающий на пересечение прямых, углов, лучей, отрезков, плоскостей и других фигур в геометрии, пересечение множеств в математике (алгебре) и информатике.

Как пишется этот символ пересечения?

Этот знак выглядит и пишется так – ⋂

Его достаточно легко запомнить, он похож на русскую букву «П», начальную букву слова «пересечение».

Как быстро запомнить этот знак?

Просто представьте себе и запомните, что этот символ выглядит как буква «П» и похож на подкову, перевернутую вниз ногами.

Как применяется знак ⋂?

Применяется для обозначения пересечения прямых, углов, лучей, отрезков в геометрии, пересечение множеств в математике (алгебре) и информатике.

Как выглядит знак «не пересечения» в геометрии?

Пример

А ∩ С = ∅ — 2 луча или (2 прямые, 2отрезка) А и С не пересекаются.

Что обозначает знак пересечения наоборот?

Это символ выглядит и пишется следующим образом: ∪

Обозначается термином – «объединение».

Опубликовано — 2 года назад | По предмету
Геометрия |
автор julia2000B

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

In geometry, an intersection is a point, line, or curve common to two or more objects (such as lines, curves, planes, and surfaces). The simplest case in Euclidean geometry is the line–line intersection between two distinct lines, which either is one point or does not exist (if the lines are parallel). Other types of geometric intersection include:

• Line–plane intersection
• Line–sphere intersection
• Intersection of a polyhedron with a line
• Line segment intersection
• Intersection curve

Determination of the intersection of flats – linear geometric objects embedded in a higher-dimensional space – is a simple task of linear algebra, namely the solution of a system of linear equations. In general the determination of an intersection leads to non-linear equations, which can be solved numerically, for example using Newton iteration. Intersection problems between a line and a conic section (circle, ellipse, parabola, etc.) or a quadric (sphere, cylinder, hyperboloid, etc.) lead to quadratic equations that can be easily solved. Intersections between quadrics lead to quartic equations that can be solved algebraically.

On a plane[edit]

Two lines[edit]

For the determination of the intersection point of two non-parallel lines

one gets, from Cramer’s rule or by substituting out a variable, the coordinates of the intersection point  :

(If the lines are parallel and these formulas cannot be used because they involve dividing by 0.)

Two line segments[edit]

For two non-parallel line segments and there is not necessarily an intersection point (see diagram), because the intersection point of the corresponding lines need not to be contained in the line segments. In order to check the situation one uses parametric representations of the lines:

The line segments intersect only in a common point of the corresponding lines if the corresponding parameters fulfill the condition .
The parameters are the solution of the linear system

It can be solved for s and t using Cramer’s rule (see above). If the condition is fulfilled one inserts or into the corresponding parametric representation and gets the intersection point .

Example: For the line segments and one gets the linear system

and . That means: the lines intersect at point .

Remark: Considering lines, instead of segments, determined by pairs of points, each condition can be dropped and the method yields the intersection point of the lines (see above).

A line and a circle[edit]

For the intersection of

one solves the line equation for x or y and substitutes it into the equation of the circle and gets for the solution (using the formula of a quadratic equation) with

if If this condition holds with strict inequality, there are two intersection points; in this case the line is called a secant line of the circle, and the line segment connecting the intersection points is called a chord of the circle.

If holds, there exists only one intersection point and the line is tangent to the circle. If the weak inequality does not hold, the line does not intersect the circle.

If the circle’s midpoint is not the origin, see.^[1] The intersection of a line and a parabola or hyperbola may be treated analogously.

Two circles[edit]

The determination of the intersection points of two circles

• 

can be reduced to the previous case of intersecting a line and a circle. By subtraction of the two given equations one gets the line equation:

This special line is the radical line of the two circles.

Special case  :

In this case the origin is the center of the first circle and the second center lies on the x-axis (s. diagram). The equation of the radical line simplifies to and the points of intersection can be written as with

In case of the circles have no points in common.
In case of the circles have one point in common and the radical line is a common tangent.

Any general case as written above can be transformed by a shift and a rotation into the special case.

The intersection of two disks (the interiors of the two circles) forms a shape called a lens.

Two conic sections[edit]

The problem of intersection of an ellipse/hyperbola/parabola with another conic section leads to a system of quadratic equations, which can be solved in special cases easily by elimination of one coordinate. Special properties of conic sections may be used to obtain a solution. In general the intersection points can be determined by solving the equation by a Newton iteration. If a) both conics are given implicitly (by an equation) a 2-dimensional Newton iteration b) one implicitly and the other parametrically given a 1-dimensional Newton iteration is necessary. See next section.

Two smooth curves[edit]

Two curves in (two-dimensional space), which are continuously differentiable (i.e. there is no sharp bend),
have an intersection point, if they have a point of the plane in common and have at this point

a: different tangent lines (transversal intersection), or

b: the tangent line in common and they are crossing each other (touching intersection, see diagram).

If both the curves have a point S and the tangent line there in common but do not cross each other, they are just touching at point S.

Because touching intersections appear rarely and are difficult to deal with, the following considerations omit this case. In any case below all necessary differential conditions are presupposed. The determination of intersection points always leads to one or two non-linear equations which can be solved by Newton iteration. A list of the appearing cases follows:

• If both curves are explicitly given: , equating them yields the equation

• If both curves are parametrically given:

Equating them yields two equations in two variables:

• If one curve is parametrically and the other implicitly given:

This is the simplest case besides the explicit case. One has to insert the parametric representation of into the equation of curve and one gets the equation:

• If both curves are implicitly given:

Here, an intersection point is a solution of the system

Any Newton iteration needs convenient starting values, which can be derived by a visualization of both the curves. A parametrically or explicitly given curve can easily be visualized, because to any parameter t or x respectively it is easy to calculate the corresponding point. For implicitly given curves this task is not as easy. In this case one has to determine a curve point with help of starting values and an iteration. See
.^[2]

Examples:

1: and circle (see diagram).

The Newton iteration for function

has to be done. As start values one can choose −1 and 1.5.

The intersection points are: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046)

2:

(see diagram).

The Newton iteration

has to be performed, where is the solution of the linear system

at point . As starting values one can choose(−0.5, 1) and (1, −0.5).

The linear system can be solved by Cramer’s rule.

The intersection points are (−0.3686, 0.9953) and (0.9953, −0.3686).

Two polygons[edit]

If one wants to determine the intersection points of two polygons, one can check the intersection of any pair of line segments of the polygons (see above). For polygons with many segments this method is rather time-consuming. In practice one accelerates the intersection algorithm by using window tests. In this case one divides the polygons into small sub-polygons and determines the smallest window (rectangle with sides parallel to the coordinate axes) for any sub-polygon. Before starting the time-consuming determination of the intersection point of two line segments any pair of windows is tested for common points. See.^[3]

In space (three dimensions)[edit]

In 3-dimensional space there are intersection points (common points) between curves and surfaces. In the following sections we consider transversal intersection only.

A line and a plane[edit]

The intersection of a line and a plane in general position in three dimensions is a point.

Commonly a line in space is represented parametrically and a plane by an equation . Inserting the parameter representation into the equation yields the linear equation

for parameter of the intersection point .

If the linear equation has no solution, the line either lies on the plane or is parallel to it.

Three planes[edit]

If a line is defined by two intersecting planes and should be intersected by a third plane , the common intersection point of the three planes has to be evaluated.

Three planes with linear independent normal vectors have the intersection point

For the proof one should establish using the rules of a scalar triple product. If the scalar triple product equals to 0, then planes either do not have the triple intersection or it is a line (or a plane, if all three planes are the same).

A curve and a surface[edit]

Analogously to the plane case the following cases lead to non-linear systems, which can be solved using a 1- or 3-dimensional Newton iteration.^[4]

• parametric curve and

parametric surface

• parametric curve and

implicit surface

Example:

parametric curve and

implicit surface (s. picture).

The intersection points are: (−0.8587, 0.7374, −0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332).

A line–sphere intersection is a simple special case.

Like the case of a line and a plane, the intersection of a curve and a surface in general position consists of discrete points, but a curve may be partly or totally contained in a surface.

A line and a polyhedron[edit]

Two surfaces[edit]

Two transversally intersecting surfaces give an intersection curve. The most simple case the intersection line of two non-parallel planes.

See also[edit]

• Analytic geometry#Intersections
• Computational geometry
• Equation of a line
• Intersection (set theory)
• Intersection theory

References[edit]

Further reading[edit]

• Nicholas M. Patrikalakis and Takashi Maekawa, Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing, Springer, 2002, ISBN 3540424547, 9783540424543, pp. 408. [1]

In geometry, an intersection is a point, line, or curve common to two or more objects (such as lines, curves, planes, and surfaces). The simplest case in Euclidean geometry is the line–line intersection between two distinct lines, which either is one point or does not exist (if the lines are parallel). Other types of geometric intersection include:

• Line–plane intersection
• Line–sphere intersection
• Intersection of a polyhedron with a line
• Line segment intersection
• Intersection curve

Determination of the intersection of flats – linear geometric objects embedded in a higher-dimensional space – is a simple task of linear algebra, namely the solution of a system of linear equations. In general the determination of an intersection leads to non-linear equations, which can be solved numerically, for example using Newton iteration. Intersection problems between a line and a conic section (circle, ellipse, parabola, etc.) or a quadric (sphere, cylinder, hyperboloid, etc.) lead to quadratic equations that can be easily solved. Intersections between quadrics lead to quartic equations that can be solved algebraically.

On a plane[edit]

Two lines[edit]

For the determination of the intersection point of two non-parallel lines

one gets, from Cramer’s rule or by substituting out a variable, the coordinates of the intersection point  :

(If the lines are parallel and these formulas cannot be used because they involve dividing by 0.)

Two line segments[edit]

For two non-parallel line segments and there is not necessarily an intersection point (see diagram), because the intersection point of the corresponding lines need not to be contained in the line segments. In order to check the situation one uses parametric representations of the lines:

The line segments intersect only in a common point of the corresponding lines if the corresponding parameters fulfill the condition .
The parameters are the solution of the linear system

It can be solved for s and t using Cramer’s rule (see above). If the condition is fulfilled one inserts or into the corresponding parametric representation and gets the intersection point .

Example: For the line segments and one gets the linear system

and . That means: the lines intersect at point .

Remark: Considering lines, instead of segments, determined by pairs of points, each condition can be dropped and the method yields the intersection point of the lines (see above).

A line and a circle[edit]

For the intersection of

one solves the line equation for x or y and substitutes it into the equation of the circle and gets for the solution (using the formula of a quadratic equation) with

if If this condition holds with strict inequality, there are two intersection points; in this case the line is called a secant line of the circle, and the line segment connecting the intersection points is called a chord of the circle.

If holds, there exists only one intersection point and the line is tangent to the circle. If the weak inequality does not hold, the line does not intersect the circle.

If the circle’s midpoint is not the origin, see.^[1] The intersection of a line and a parabola or hyperbola may be treated analogously.

Two circles[edit]

The determination of the intersection points of two circles

• 

can be reduced to the previous case of intersecting a line and a circle. By subtraction of the two given equations one gets the line equation:

This special line is the radical line of the two circles.

Special case  :

In this case the origin is the center of the first circle and the second center lies on the x-axis (s. diagram). The equation of the radical line simplifies to and the points of intersection can be written as with

In case of the circles have no points in common.
In case of the circles have one point in common and the radical line is a common tangent.

Any general case as written above can be transformed by a shift and a rotation into the special case.

The intersection of two disks (the interiors of the two circles) forms a shape called a lens.

Two conic sections[edit]

The problem of intersection of an ellipse/hyperbola/parabola with another conic section leads to a system of quadratic equations, which can be solved in special cases easily by elimination of one coordinate. Special properties of conic sections may be used to obtain a solution. In general the intersection points can be determined by solving the equation by a Newton iteration. If a) both conics are given implicitly (by an equation) a 2-dimensional Newton iteration b) one implicitly and the other parametrically given a 1-dimensional Newton iteration is necessary. See next section.

Two smooth curves[edit]

Two curves in (two-dimensional space), which are continuously differentiable (i.e. there is no sharp bend),
have an intersection point, if they have a point of the plane in common and have at this point

a: different tangent lines (transversal intersection), or

b: the tangent line in common and they are crossing each other (touching intersection, see diagram).

If both the curves have a point S and the tangent line there in common but do not cross each other, they are just touching at point S.

Because touching intersections appear rarely and are difficult to deal with, the following considerations omit this case. In any case below all necessary differential conditions are presupposed. The determination of intersection points always leads to one or two non-linear equations which can be solved by Newton iteration. A list of the appearing cases follows:

• If both curves are explicitly given: , equating them yields the equation

• If both curves are parametrically given:

Equating them yields two equations in two variables:

• If one curve is parametrically and the other implicitly given:

This is the simplest case besides the explicit case. One has to insert the parametric representation of into the equation of curve and one gets the equation:

• If both curves are implicitly given:

Here, an intersection point is a solution of the system

Any Newton iteration needs convenient starting values, which can be derived by a visualization of both the curves. A parametrically or explicitly given curve can easily be visualized, because to any parameter t or x respectively it is easy to calculate the corresponding point. For implicitly given curves this task is not as easy. In this case one has to determine a curve point with help of starting values and an iteration. See
.^[2]

Examples:

1: and circle (see diagram).

The Newton iteration for function

has to be done. As start values one can choose −1 and 1.5.

The intersection points are: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046)

2:

(see diagram).

The Newton iteration

has to be performed, where is the solution of the linear system

at point . As starting values one can choose(−0.5, 1) and (1, −0.5).

The linear system can be solved by Cramer’s rule.

The intersection points are (−0.3686, 0.9953) and (0.9953, −0.3686).

Two polygons[edit]

If one wants to determine the intersection points of two polygons, one can check the intersection of any pair of line segments of the polygons (see above). For polygons with many segments this method is rather time-consuming. In practice one accelerates the intersection algorithm by using window tests. In this case one divides the polygons into small sub-polygons and determines the smallest window (rectangle with sides parallel to the coordinate axes) for any sub-polygon. Before starting the time-consuming determination of the intersection point of two line segments any pair of windows is tested for common points. See.^[3]

In space (three dimensions)[edit]

In 3-dimensional space there are intersection points (common points) between curves and surfaces. In the following sections we consider transversal intersection only.

A line and a plane[edit]

The intersection of a line and a plane in general position in three dimensions is a point.

Commonly a line in space is represented parametrically and a plane by an equation . Inserting the parameter representation into the equation yields the linear equation

for parameter of the intersection point .

If the linear equation has no solution, the line either lies on the plane or is parallel to it.

Three planes[edit]

If a line is defined by two intersecting planes and should be intersected by a third plane , the common intersection point of the three planes has to be evaluated.

Three planes with linear independent normal vectors have the intersection point

For the proof one should establish using the rules of a scalar triple product. If the scalar triple product equals to 0, then planes either do not have the triple intersection or it is a line (or a plane, if all three planes are the same).

A curve and a surface[edit]

Analogously to the plane case the following cases lead to non-linear systems, which can be solved using a 1- or 3-dimensional Newton iteration.^[4]

• parametric curve and

parametric surface

• parametric curve and

implicit surface

Example:

parametric curve and

implicit surface (s. picture).

The intersection points are: (−0.8587, 0.7374, −0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332).

A line–sphere intersection is a simple special case.

Like the case of a line and a plane, the intersection of a curve and a surface in general position consists of discrete points, but a curve may be partly or totally contained in a surface.

A line and a polyhedron[edit]

Two surfaces[edit]

Two transversally intersecting surfaces give an intersection curve. The most simple case the intersection line of two non-parallel planes.

See also[edit]

• Analytic geometry#Intersections
• Computational geometry
• Equation of a line
• Intersection (set theory)
• Intersection theory

References[edit]

Further reading[edit]

• Nicholas M. Patrikalakis and Takashi Maekawa, Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing, Springer, 2002, ISBN 3540424547, 9783540424543, pp. 408. [1]

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между ними, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем в курсе используется геометрический язык, составленный из обозначений и символов, принятых в курсе математики (в частности, в новом курсе геометрии в средней школе).

Все многообразие обозначений и символов, а также связи между ними могут быть подразделены на две группы:

группа I — обозначения геометрических фигур и отношений между ними;

группа II обозначения логических операций, составляющие синтаксическую основу геометрического языка.

Ниже приводится полный список математических символов, используемых в данном курсе. Особое внимание уделяется символам, которые применяются для обозначения проекций геометрических фигур.

Группа I

СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ И ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ НИМИ

А. Обозначение геометрических фигур

1. Геометрическая фигура обозначается — Ф.

2. Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита или арабскими цифрами:

А, В, С, D, … , L, М, N, …

1,2,3,4,…,12,13,14,…

3. Линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций, обозначаются строчными буквами латинского алфавита:

а, b, с, d, … , l, m, n, …

Линии уровня обозначаются: h — горизонталь; f— фронталь.

Для прямых используются также следующие обозначения:

(АВ) — прямая, проходящая через точки А а В;

[АВ) — луч с началом в точке А;

[АВ] — отрезок прямой, ограниченный точками А и В.

4. Поверхности обозначаются строчными буквами греческого алфавита:

α, β, γ, δ,…,ζ,η,ν,…

Чтобы подчеркнуть способ задания поверхности, следует указывать геометрические элементы, которыми она определяется, например:

α(а || b) — плоскость α определяется параллельными прямыми а и b;

β(d₁ d₂gα) — поверхность β определяется направляющими d₁ и d₂ , образующей g и плоскостью параллелизма α.

5. Углы обозначаются:

∠ABC — угол с вершиной в точке В, а также ∠α°, ∠β°, … , ∠φ°, …

6. Угловая: величина (градусная мера) обозначается знаком , который ставится над углом:

— величина угла АВС;

— величина угла φ.

Прямой угол отмечается квадратом с точкой внутри

7. Расстояния между геометрическими фигурами обозначаются двумя вертикальными отрезками — ||.

Например:

|АВ| — расстояние между точками А и В (длина отрезка АВ);

|Аа| — расстояние от точки А до линии a;

|Аα| — расстояшие от точки А до поверхности α;

|аb| — расстояние между линиями а и b;

|αβ| расстояние между поверхностями α и β.

8. Для плоскостей проекций приняты обозначения: π₁ и π₂,
где π₁ — горизонтальная плоскость проекций;

π₂ —фрюнтальная плоскость проекций.

При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей последние обозначают π₃, π₄ и т. д.

9. Оси проекций обозначаются: х, у, z, где х — ось абсцисс; у — ось ординат; z — ось аппликат.

Постояшную прямую эпюра Монжа обозначают k.

10. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены:

А’, В’, С’, D’, … , L’, М’, N’, горизонтальные проекции точек; А», В», С», D», … , L», М», N», … фронтальные проекции точек; a’ , b’ , c’ , d’ , … , l’, m’ , n’ , —
горизонтальные проекции линий; а» ,b» , с» , d» , … , l» , m» , n» , … фронтальные проекции линий; α’, β’, γ’, δ’,…,ζ’,η’,ν’,… горизонтальные проекции поверхностей;
α», β», γ», δ»,…,ζ»,η»,ν»,…
фронтальные проекции поверхностей.

11. Следы плоскостей (поверхностей) обозначаются теми же буквами, что и горизонталь или фронталь, с добавлением подстрочного индекса _0α, подчеркивающего, что эти линии лежат в плоскости проекции и принадлежат плоскости (поверхности) α.

Так: h_0α — горизонтальный след плоскости (поверхности) α;

f_0α — фронтальный след плоскости (поверхности) α.

12. Следы прямых (линий) обозначаются заглавными буквами, с которых начинаются слова, определяющие название (в латинской транскрипции) плоскости проекции, которую пересекает линия, с подстрочным индексом, указывающим принадлежность к линии.

Например: H_a — горизонтальный след прямой (линии) а;

F_a — фронтальный след прямой (линии ) a.

13. Последовательность точек, линий (любой фигуры) отмечается подстрочными индексами _{1,2,3,…, n:}

А₁, А₂, А₃,…,А_n;

a₁, a₂, a₃,…,a_n;

α₁, α₂, α₃,…,α_n;

Ф₁, Ф₂, Ф₃,…,Ф_n и т. д.

Вспомогательная проекция точки, полученная в результате преобразования для получения действительной величины геометрической фигуры, обозначается той же буквой с подстрочным индексом ₀:

A₀, B₀, С₀, D₀, …

Аксонометрические проекции

14. Аксонометрические проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и натура с добавлением верхнего индекса ⁰:

А⁰, В⁰, С⁰, D⁰, …

1⁰, 2⁰, 3⁰, 4⁰, …

a⁰, b⁰, c⁰, d⁰, …

α⁰, β⁰, γ⁰, δ⁰, …

15. Вторичные проекции обозначаются путем добавления верхнего индекса ¹ :

А^{1 0}, В^{1 0}, С^{1 0}, D^{1 0}, …

1^{1 0}, 2^{1 0}, 3^{1 0}, 4^{1 0}, …

a^{1 0}, b^{1 0}, c^{1 0}, d^{1 0}, …

α^{1 0}, β^{1 0}, γ^{1 0}, δ^{1 0}, …

Для облегчения чтения чертежей в учебнике при оформлении иллюстративного материала использованы несколько цветов, каждый из которых имеет определенное смысловое значение: линиями (точками) черного цвета обозначены исходные данные; зеленый цвет использован для линий вспомогательных графических построений; красными линиями (точками) показаны результаты построений или те геометрические элементы, на которые следует обратить особое внимание.

Б. Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	≡	Совпадают	(АВ)≡(CD) — прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с прямой, проходящей через точки С и D
2	≅	Конгруентны	∠ABC≅∠MNK — угол АВС конгруентен углу MNK
3	∼	Подобны	ΔАВС∼ΔMNK — треугольники АВС и MNK подобны
4	||	Параллельны	α||β — плоскость α параллельна плоскости β
5	⊥	Перпендикулярны	а⊥b — прямые а и b перпендикулярны
6		Скрещиваются	с d — прямые с и d скрещиваются
7		Касательные	t l — прямая t является касательной к линии l. βα — плоскость β касательная к поверхности α
8	→	Отображаются	Ф1→Ф2 — фигура Ф1 отображается на фигуру Ф2
9	S	Центр проецирования. Если центр проецирования несобственная точка, то его положение обозначается стрелкой, указывающей направление проецирования	—
10	s	Направление проецирования	—
11	P	Параллельное проецирование	рsα Параллельное проецирование — параллельное проецирование на плоскость α в направлении s

В. Обозначения теоретико-множественные

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи	Пример символической записи в геометрии
1	M,N	Множества	—	—
2	A,B,C,…	Элементы множества	—	—
3	{ … }	Состоит из …	Ф{A, B, C,… }	Ф{A, B, C,… } — фигура Ф состоит из точек А, В,С, …
4	∅	Пустое множество	L — ∅ — множество L пустое (не содержит элементов )	—
5	∈	Принадлежит, является элементом	2∈N (где N — множество натуральных чисел) — число 2 принадлежит множеству N	А ∈ а — точка А принадлежит прямой а (точка А лежит на прямой а )
6	⊂	Включает, cодержит	N⊂М — множество N является частью (подмножеством) множества М всех рациональных чисел	а⊂α — прямая а принадлежит плоскости α (понимается в смысле: множество точек прямой а является подмножеством точек плоскости α)
7	∪	Объединение	С = A U В — множество С есть объединение множеств A и В; {1, 2. 3, 4,5} = {1,2,3}∪{4,5}	ABCD = [AB] ∪ [ВС] ∪ [CD] — ломаная линия, ABCD есть объединение отрезков [АВ], [ВС], [CD]
8	∩	Пересечение множеств	М=К∩L — множество М есть пересечение множеств К и L (содержит в себе элементы, принадлежащие как множеству К, так и множеству L). М ∩ N = ∅— пересечение множеств М и N есть пустое множество (множества М и N не имеют общих элементов)	а = α ∩ β — прямая а есть пересечение плоскостей α и β а ∩ b = ∅ — прямые а и b не пересекаются (не имеют общих точек)

Группа II СИМВОЛЫ, ОБОЗНАЧАЮЩИЕ ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ

№ по пор.	Обозначение	Содержание	Пример символической записи
1	∧	Конъюнкция предложений; соответствует союзу «и». Предложение (р∧q) истинно тогда и только тогда,когда р и q оба истинны	α∩β = { К:K∈α∧K∈β} Пересечение поверхностей α и β есть множество точек (линия), состоящее из всех тех и только тех точек К, которые принадлежат как поверхности α, так и поверхности β
2	∨	Дизъюнкция предложений; соответствует союзу «или». Предложение (p∨q) истинно, когда истинно хотя бы одно из предложений р или q (т. е. или р, или q, или оба).	—
3	⇒	Импликация — логическое следствие. Предложение р⇒q означает: «если р, то и q»	(а||с∧b||с)⇒a||b. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой
4	⇔	Предложение (р⇔q) понимается в смысле: «если р, то и q; если q, то и р»	А∈α⇔А∈l⊂α. Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит некоторой линии, принадлежащей этой плоскости. Справедливо также и обратное утверждение: если точка принадлежит некоторой линии, принадлежащей плоскости, то она принадлежит и самой плоскости
5	∀	Квантор общности, читается: для всякого, для всех, для любого. Выражение ∀(x)P(x) означает: «для всякого x: имеет место свойство Р(х) «	∀( ΔАВС)( = 180°) Для всякого (для любого) треугольника сумма величин его углов при вершинах равна 180°
6	∃	Квантор существования, читается: существует. Выражение ∃(х)P(х) означает: «существует х, обладающее свойством Р(х)»	(∀α)(∃a)[a⊄α∧a||α].Для любой плоскости α существует прямая а, не принадлежащая плоскости α и параллельная плоскости α
7	∃1	Квантор единственности существования, читается: существует единственное (-я, -й)… Выражение ∃1(x)(Рх) означает: «существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Рх»	(∀ А, В)(А≠B)(∃1а)(а∋А, В) Для любых двух различных точек А и В существует единственная прямая a, проходящая через эти точки.
8	(Px)	Отрицание высказывания P(x)	аb(∃α)(α⊃а, Ь).Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости а, которая содержит их
9		Отрицание знака	[AB]≠[CD] —отрезок [АВ] не равен отрезку [CD].а?b — линия а не параллельна линии b

Символьные обозначения Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношения между геометрическими фигурами, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем используются символьные обозначения. Символьные обозначения, все их многообразие, может быть подразделено на две группы: — Первая группа — обозначения геометрических фигур и отношения между ними; — Вторая группа — обозначения логических операций, составляющая синтаксическую основу геометрического языка. Символьные обозначения — Первая группа Символы, обозначающие геометрические фигуры и отношения между ними Обозначения геометрических фигур: Φ — геометрическая фигура; A, B, C, D, …, L, M, N, … — точки расположенные в пространстве; 1, 2, 3, 4, …, 12, 13, 14, … — точки расположенные в пространстве; a, b, c, d, …, l, m, n, … — линии, произвольно расположенные по отношению к плоскостям проекций; h, υ(f), ω — линии уровня (горизонталь, фронталь, профильная прямая соответственно); (AB) — прямая проходящая через точки A и B; [AB) — луч с началом в точке A; [AB] — отрезок прямой, ограниченный точками A и B; α, β, γ, δ, …, ζ, η, θ — поверхность; ∠ABC — угол с вершиной в точке B; ∠α, ∠β, ∠γ — угол α, угол β, угол γ соответственно; |AB| — расстояние от точки A до точки B (длина отрезка AB); |Aa| — расстояние от точки A до линии a; |Aα| — расстояние от точки A до поверхности α; |ab| — расстояние между прямыми a и b; |αβ| — расстояние между поверхностями α и β; H, V, W — координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно); П1, П2, П3 — координатные плоскости проекций (именуемые как горизонтальная, фронтальная, профильная соответственно); x, y, z — координатные оси проекций (ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат); ko — постоянная прямая эпюра Монжа; O — точка пересечения осей проекций; `, «, `» — верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно); 1, 2, 3 — верхние индексы для проекций точек, прямых, углов, фигур, поверхностей на плоскости проекций (именуемые как горизонтальную, фронтальную, профильную соответственно); αH, αV, αW — след поверхности оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; αH, αV, αW — след поверхности α оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; aH, aV, aW — след прямой a оставляемый на горизонтальной, на фронтальной, на профильной плоскости проекций соответственно; Проекции точек, линий, поверхностей любой геометрической фигуры обозначаются теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, с добавлением верхнего индекса A`, A», A`» или 1`, 1″, 1`», соответствующего плоскости проекции, на которой они получены: A`, B`, C`, D`, …, L`, M`, N`, … — горизонтальные проекции точек; A», B», C», D», …, L», M», N», … — фронтальные проекции точек; A`», B`», C`», D`», …, L`», M`», N`», … — профильные проекции точек; a`, b`, c`, d`, …, l`, m`, n`, … — горизонтальные проекции линий; a», b», c», d», …, l», m», n», … — фронтальные проекции линий; a`», b`», c`», d`», …, l`», m`», n`», … — профильные проекции линий; α`, β`, γ`, δ`, …, ζ`, η`, θ`, … — горизонтальные проекции поверхностей; α», β», γ», δ», …, ζ», η», θ», … — фронтальные проекции поверхностей; α`», β`», γ`», δ`», …, ζ`», η`», θ`», … — профильные проекции поверхностей; Символы взаиморасположения геометрических объектов Обозначение   Смысловое значение   Пример символической записи   (…)   способ задания геометрического объекта в пространстве и на комплексном чертеже   А(А`, А») – точка А задана на комплексном чертеже горизонтальной и фронтальной проекциями; α(А, b) – плоскость α задана прямой b и точкой А.   ∈ ⊂ , ⊃   принадлежность   А∈l – точка А принадлежит прямой l; l⊂α – прямая l лежит в плоскости α   ≡   совпадение   А`≡ В` – горизонтальные проекции точек А и В совпадают.   ‖ , //   параллельность   a // b – прямые a и b параллельны.   ⊥   перпендикулярность   c⊥d – прямые c и d перпендикулярны.   ∸   скрещивание    m ∸ n – прямые m и n скрещивающиеся.    ∩   пересечение   k ∩ l – прямые k и l пересекаются.    ∾   подобие   ΔАВС ~ ΔDEF – треугольники ABC и DEF подобны.    ≅   конгруэнтность   ΔАВС ≅ /АВ/ = /CD/ – отрезки АВ и CD равны.    =    равенство, результат действия   /АВ/ = /CD/ – длины отрезков AB и CD равны; k ∩ l = M — прямые k и l пересекаются в точке M.    /   отрицание   А ∉ l – точка А не принадлежит прямой l.    → ←   отображение, преобразование   V/H → V1/H– система ортогональных плоскостей V/H преобразуется в систему плоскостей V1/H Символьные обозначения — Вторая группа Символы обозначающие логические операции    ∧   конъюнкция предложений (соответствует союзу «и»)   K ∈ a ∧ K ∈ d – точка K принадлежит прямым a и d    ∨   дизъюнкция предложений (соответствует союзу «или»)   А ∈ α ∨ A ∉ α – точка А принадлежит плоскости α или точка А не принадлежит плоскости α.    ⇒ ⇐   логическое следствие – импликация (следовательно, поэтому)    a // b ∧ c // b ⇒ a // c – прямые а и с параллельны прямой b, следовательно, они параллельны между собой.    ⇔   логическая эквивалентность (что то же самое) A ∈ l ⇔ A` ∈ l`, A» ∈ l» – точка А принадлежит прямой l, следовательно, ее проекции лежат на одноименных проекциях прямой; справедливо и обратное утверждение: проекции точки А лежат на одноименных проекциях прямой l, следовательно, точка принадлежит этой прямой. +