Как пишется знак пересечения в математике

{} набор набор элементов A = {3,7,9,14},
B = {9,14,28} А ∩ Б пересечение объекты, принадлежащие множеству A и множеству B A ∩ B = {9,14} А ∪ Б союз объекты, принадлежащие множеству A или множеству B A ∪ B = {3,7,9,14,28} А ⊆ Б подмножество A является подмножеством B. множество A включено в набор B. {9,14,28} ⊆ {9,14,28} A ⊂ B правильное подмножество / строгое подмножество A является подмножеством B, но A не равно B. {9,14} ⊂ {9,14,28} А ⊄ Б не подмножество множество A не является подмножеством множества B {9,66} ⊄ {9,14,28} А ⊇ Б суперсет A является надмножеством B. множество A включает множество B {9,14,28} ⊇ {9,14,28} А ⊃ Б правильный суперсет / строгий суперсет A является надмножеством B, но B не равно A. {9,14,28} ⊃ {9,14} А ⊅ Б не суперсет множество A не является надмножеством множества B {9,14,28} ⊅ {9,66} 2 ^А набор мощности все подмножества A   набор мощности все подмножества A   А = В равенство оба набора имеют одинаковые элементы A = {3,9,14},
B = {3,9,14},
A = B А ^в дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A   А Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
AB = {9,14} А — Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
AB = {9,14} A ∆ B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ∆ B = {1,2,9,14} А ⊖ Б симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ⊖ B = {1,2,9,14} a ∈A элемент,
принадлежит установить членство A = {3,9,14}, 3 ∈ A x ∉A не элемент нет установленного членства A = {3,9,14}, 1 ∉ A ( а , б ) упорядоченная пара сборник из 2-х элементов   A × B декартово произведение множество всех упорядоченных пар из A и B   | A | мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, | A | = 3 #A мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, # A = 3 | вертикальная полоса такой, что А = {х | 3 <х <14} алеф-нуль бесконечная мощность множества натуральных чисел   алеф-он мощность множества счетных порядковых чисел   Ø пустой набор Ø = {} C = {Ø} универсальный набор набор всех возможных значений   ₀ набор натуральных / целых чисел (с нулем) ₀ = {0,1,2,3,4, …} 0 ∈ _{0 1} набор натуральных / целых чисел (без нуля) ₁ = {1,2,3,4,5, …} 6 ∈ ₁ набор целых чисел = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} -6 ∈ набор рациональных чисел = { x | x = a / b , a , b ∈ } 2/6 ∈ набор реальных чисел = { x | -∞ < х <∞} 6.343434∈ набор комплексных чисел = { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} 6 + 2 i ∈

Символ (TeX) Символ (Unicode) Название Значение Пример Произношение Раздел математики

⇒

→

⊃

Импликация, следование означает «если верно, то также верно».
(→ может использоваться вместо ⇒ или для обозначения функции, см. ниже.)
(⊃ может использоваться вместо ⇒, или для обозначения надмножества, см. ниже.). верно, но неверно (так как также является решением). «влечёт» или «если…, то» везде ⇔ Равносильность означает « верно тогда и только тогда, когда верно». «если и только если» или «равносильно» везде ∧ Конъюнкция истинно тогда и только тогда, когда и оба истинны. , если  — натуральное число. «и» Математическая логика ∨ Дизъюнкция истинно, когда хотя бы одно из условий и истинно. , если  — натуральное число. «или» Математическая логика ¬ Отрицание истинно тогда и только тогда, когда ложно .
«не» Математическая логика ∀ Квантор всеобщности обозначает « верно для всех ». «Для любых», «Для всех» Математическая логика ∃ Квантор существования означает «существует хотя бы один такой, что верно » (подходит число 5) «существует» Математическая логика = Равенство обозначает « и обозначают одно и то же значение». 1 + 2 = 6 − 3 «равно» везде

 :=

:⇔

Определение означает « по определению равен ».
означает « по определению равносильно » (Гиперболический косинус)
(Исключающее или) «равно/равносильно по определению» везде { , } Множество элементов означает множество, элементами которого являются , и . (множество натуральных чисел) «Множество…» Теория множеств

{ | }

{ : }

Множество элементов, удовлетворяющих условию означает множество всех таких, что верно . «Множество всех… таких, что верно…» Теория множеств

∅

{}

Пустое множество и означают множество, не содержащее ни одного элемента. «Пустое множество» Теория множеств

∈

∉

Принадлежность/непринадлежность к множеству означает « является элементом множества »
означает « не является элементом множества »
«принадлежит», «из»
«не принадлежит» Теория множеств

⊆

⊂

Подмножество означает «каждый элемент из также является элементом из ».
обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ).
«является подмножеством», «включено в» Теория множеств

⊇

⊃

Надмножество означает «каждый элемент из также является элементом из ».
обычно означает то же, что и . Однако некоторые авторы используют , чтобы показать строгое включение (то есть ).
«является надмножеством», «включает в себя» Теория множеств ⊊ Собственное подмножество означает и . «является собственным подмножеством», «строго включается в» Теория множеств ⊋ Собственное надмножество означает и . «является собственным надмножеством», «строго включает в себя» Теория множеств ∪ Объединение означает множество элементов, принадлежащих или (или обоим сразу). «Объединение … и …», «…, объединённое с …» Теория множеств ⋂ Пересечение означает множество элементов, принадлежащих и , и . «Пересечение … и … », «…, пересечённое с …» Теория множеств Разность множеств означает множество элементов, принадлежащих , но не принадлежащих . «разность … и … », «минус», «… без …» Теория множеств → Функция означает функцию с областью определения и областью прибытия (областью значений) . Функция , определённая как «из … в», везде ↦ Отображение означает, что образом после применения функции будет . Функцию, определённую как , можно записать так: «отображается в» везде N или ℕ Натуральные числа означает множество или реже (в зависимости от ситуации). «Эн» Числа Z или ℤ Целые числа означает множество «Зед» Числа Q или ℚ Рациональные числа означает
«Ку» Числа R или ℝ Вещественные числа, или действительные числа означает множество всех пределов последовательностей из
( — комплексное число: ) «Эр» Числа C или ℂ Комплексные числа означает множество «Це» Числа

<
> Сравнение обозначает, что строго меньше .
означает, что строго больше . «меньше чем», «больше чем» Отношение порядка
≤ или ⩽
≥ или ⩾ Сравнение означает, что меньше или равен .
означает, что больше или равен . «меньше или равно»; «больше или равно» Отношение порядка ≈ Приблизительное равенство с точностью до означает, что 2,718 отличается от не больше чем на . с точностью до . «приблизительно равно» Числа √ Арифметический квадратный корень означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт .
«Корень квадратный из …» Числа ∞ Бесконечность и суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, меньшее/большее всех действительных чисел. «Плюс/минус бесконечность» Числа | | Модуль числа (абсолютное значение), модуль комплексного числа или мощность множества обозначает абсолютную величину .
обозначает мощность множества и равняется, если конечно, числу элементов . «Модуль»; «Мощность» Числа и Теория множеств ∑ Сумма, сумма ряда означает «сумма , где принимает значения от 1 до », то есть .
означает сумму ряда, состоящего из .

«Сумма … по … от … до …» Арифметика, Математический анализ ∏ Произведение означает «произведение для всех от 1 до », то есть
«Произведение … по … от … до …» Арифметика  ! Факториал означает «произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно, то есть

« факториал» Комбинаторика ∫ Интеграл означает «интеграл от до функции от по переменной ».
«Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…» Математический анализ df/dx
f'(x) Производная или означает «(первая) производная функции от по переменной ». «Производная … по …» Математический анализ
Производная -го порядка или (во втором случае если  — фиксированное число, то оно пишется римскими цифрами) означает «-я производная функции от по переменной ». «-я производная … по …» Математический анализ

Intersection

The intersection of two sets and represented by circles. is in red.
Type	Set operation
Field	Set theory
Statement	The intersection is the set of elements that exists in both set and set .
Symbolic statement

In set theory, the intersection of two sets and denoted by ^[1] is the set containing all elements of that also belong to or equivalently, all elements of that also belong to ^[2]

Notation and terminology[edit]

Intersection is written using the symbol «» between the terms; that is, in infix notation. For example:

The intersection of more than two sets (generalized intersection) can be written as:

which is similar to capital-sigma notation.

For an explanation of the symbols used in this article, refer to the table of mathematical symbols.

Definition[edit]

The intersection of two sets and denoted by ,^[3] is the set of all objects that are members of both the sets and
In symbols:

That is, is an element of the intersection if and only if is both an element of and an element of ^[3]

For example:

• The intersection of the sets {1, 2, 3} and {2, 3, 4} is {2, 3}.
• The number 9 is not in the intersection of the set of prime numbers {2, 3, 5, 7, 11, …} and the set of odd numbers {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}, because 9 is not prime.

Intersecting and disjoint sets[edit]

We say that intersects (meets) if there exists some that is an element of both and in which case we also say that intersects (meets) at . Equivalently, intersects if their intersection is an inhabited set, meaning that there exists some such that

We say that and are disjoint if does not intersect In plain language, they have no elements in common. and are disjoint if their intersection is empty, denoted

For example, the sets and are disjoint, while the set of even numbers intersects the set of multiples of 3 at the multiples of 6.

Algebraic properties[edit]

Binary intersection is an associative operation; that is, for any sets and one has

Thus the parentheses may be omitted without ambiguity: either of the above can be written as . Intersection is also commutative. That is, for any and one has

The intersection of any set with the empty set results in the empty set; that is, that for any set ,

Also, the intersection operation is idempotent; that is, any set satisfies that . All these properties follow from analogous facts about logical conjunction.

Intersection distributes over union and union distributes over intersection. That is, for any sets and one has

Inside a universe one may define the complement of to be the set of all elements of not in Furthermore, the intersection of and may be written as the complement of the union of their complements, derived easily from De Morgan’s laws:

Arbitrary intersections[edit]

The most general notion is the intersection of an arbitrary nonempty collection of sets.
If is a nonempty set whose elements are themselves sets, then is an element of the intersection of if and only if for every element of is an element of
In symbols:

The notation for this last concept can vary considerably. Set theorists will sometimes write ««, while others will instead write ««.
The latter notation can be generalized to ««, which refers to the intersection of the collection
Here is a nonempty set, and is a set for every

In the case that the index set is the set of natural numbers, notation analogous to that of an infinite product may be seen:

When formatting is difficult, this can also be written ««. This last example, an intersection of countably many sets, is actually very common; for an example, see the article on σ-algebras.

Nullary intersection[edit]

Note that in the previous section, we excluded the case where was the empty set (). The reason is as follows: The intersection of the collection is defined as the set (see set-builder notation)

If is empty, there are no sets in so the question becomes «which ‘s satisfy the stated condition?» The answer seems to be every possible . When is empty, the condition given above is an example of a vacuous truth. So the intersection of the empty family should be the universal set (the identity element for the operation of intersection),^[4]
but in standard (ZF) set theory, the universal set does not exist.

In type theory however, is of a prescribed type so the intersection is understood to be of type (the type of sets whose elements are in ), and we can define to be the universal set of (the set whose elements are exactly all terms of type ).

See also[edit]

• Algebra of sets – Identities and relationships involving sets
• Cardinality – Definition of the number of elements in a set
• Complement – Set of the elements not in a given subset
• Intersection (Euclidean geometry)
• Intersection graph – Graph representing intersections between given sets
• Intersection theory – Branch of algebraic geometry
• List of set identities and relations – Equalities for combinations of sets
• Logical conjunction – Logical connective AND
• MinHash – Data mining technique
• Naive set theory – Informal set theories
• Symmetric difference – Elements in exactly one of two sets
• Union – Set of elements in any of some sets

References[edit]

Further reading[edit]

• Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). «Set Theory and Logic». Topology (Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). «Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums». Discrete Mathematics and Its Applications (Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Intersection». MathWorld.

Intersection

The intersection of two sets and represented by circles. is in red.
Type	Set operation
Field	Set theory
Statement	The intersection is the set of elements that exists in both set and set .
Symbolic statement

In set theory, the intersection of two sets and denoted by ^[1] is the set containing all elements of that also belong to or equivalently, all elements of that also belong to ^[2]

Notation and terminology[edit]

Intersection is written using the symbol «» between the terms; that is, in infix notation. For example:

The intersection of more than two sets (generalized intersection) can be written as:

which is similar to capital-sigma notation.

For an explanation of the symbols used in this article, refer to the table of mathematical symbols.

Definition[edit]

The intersection of two sets and denoted by ,^[3] is the set of all objects that are members of both the sets and
In symbols:

That is, is an element of the intersection if and only if is both an element of and an element of ^[3]

For example:

• The intersection of the sets {1, 2, 3} and {2, 3, 4} is {2, 3}.
• The number 9 is not in the intersection of the set of prime numbers {2, 3, 5, 7, 11, …} and the set of odd numbers {1, 3, 5, 7, 9, 11, …}, because 9 is not prime.

Intersecting and disjoint sets[edit]

We say that intersects (meets) if there exists some that is an element of both and in which case we also say that intersects (meets) at . Equivalently, intersects if their intersection is an inhabited set, meaning that there exists some such that

We say that and are disjoint if does not intersect In plain language, they have no elements in common. and are disjoint if their intersection is empty, denoted

For example, the sets and are disjoint, while the set of even numbers intersects the set of multiples of 3 at the multiples of 6.

Algebraic properties[edit]

Binary intersection is an associative operation; that is, for any sets and one has

Thus the parentheses may be omitted without ambiguity: either of the above can be written as . Intersection is also commutative. That is, for any and one has

The intersection of any set with the empty set results in the empty set; that is, that for any set ,

Also, the intersection operation is idempotent; that is, any set satisfies that . All these properties follow from analogous facts about logical conjunction.

Intersection distributes over union and union distributes over intersection. That is, for any sets and one has

Inside a universe one may define the complement of to be the set of all elements of not in Furthermore, the intersection of and may be written as the complement of the union of their complements, derived easily from De Morgan’s laws:

Arbitrary intersections[edit]

The most general notion is the intersection of an arbitrary nonempty collection of sets.
If is a nonempty set whose elements are themselves sets, then is an element of the intersection of if and only if for every element of is an element of
In symbols:

The notation for this last concept can vary considerably. Set theorists will sometimes write ««, while others will instead write ««.
The latter notation can be generalized to ««, which refers to the intersection of the collection
Here is a nonempty set, and is a set for every

In the case that the index set is the set of natural numbers, notation analogous to that of an infinite product may be seen:

When formatting is difficult, this can also be written ««. This last example, an intersection of countably many sets, is actually very common; for an example, see the article on σ-algebras.

Nullary intersection[edit]

Note that in the previous section, we excluded the case where was the empty set (). The reason is as follows: The intersection of the collection is defined as the set (see set-builder notation)

If is empty, there are no sets in so the question becomes «which ‘s satisfy the stated condition?» The answer seems to be every possible . When is empty, the condition given above is an example of a vacuous truth. So the intersection of the empty family should be the universal set (the identity element for the operation of intersection),^[4]
but in standard (ZF) set theory, the universal set does not exist.

In type theory however, is of a prescribed type so the intersection is understood to be of type (the type of sets whose elements are in ), and we can define to be the universal set of (the set whose elements are exactly all terms of type ).

See also[edit]

• Algebra of sets – Identities and relationships involving sets
• Cardinality – Definition of the number of elements in a set
• Complement – Set of the elements not in a given subset
• Intersection (Euclidean geometry)
• Intersection graph – Graph representing intersections between given sets
• Intersection theory – Branch of algebraic geometry
• List of set identities and relations – Equalities for combinations of sets
• Logical conjunction – Logical connective AND
• MinHash – Data mining technique
• Naive set theory – Informal set theories
• Symmetric difference – Elements in exactly one of two sets
• Union – Set of elements in any of some sets

References[edit]

Further reading[edit]

• Devlin, K. J. (1993). The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (Second ed.). New York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). «Set Theory and Logic». Topology (Second ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). «Basic Structures: Sets, Functions, Sequences, and Sums». Discrete Mathematics and Its Applications (Sixth ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

External links[edit]

• Weisstein, Eric W. «Intersection». MathWorld.

В результате математических операций над множествами из исходных множеств получается новое множество, причем этот результат однозначен. Примерами таких операций являются пересечение и объединение множеств. Эти операции производятся по определенным правилам, о которых пойдет речь ниже.

Обозначения множеств. Знаки объединения и пересечения множеств

Для обозначения множеств применяется специальная система символов. Самый простой способ описать множество — использование фигурных скобок, внутри которых элементы перечисляются через запятую:

$A = {0, -1, 2, 5, 8, 77}$

Недостатком такой записи является то, что с ее помощью задать множество можно только если оно содержит конечное и не слишком большое количество элементов. Поэтому чаще используется универсальный способ определения множеств — с помощью характеристического свойства, т.е. такого, которое присуще всем его элементам множества, и которым не обладают объекты вне множества:

$A = {x vee P(x)}$,

где $P(x)$ — характеристическое свойство.

В такой форме объединение записывается как

$A cup B = {x | x in A vee x in B}$,

а пересечение как

$A cap B = {x | x in A wedge x in B}$

Знаки $vee$ и $wedge$ обозначают, соответственно, «или» и «и». Знак $|$ читается как «таких, что».

Для обозначения множеств как числовых интервалов используются круглые и квадратные скобки. Например, запись $[4, 24)$ означает, диапазон чисел от $4$ до $24$, причем число $4$ в это множество входит, а $24$ нет, хотя любое число меньше $24$ этому множеству принадлежит.

Для графического выражения операций пересечения и объединения применяются знаки пересечения и объединения множеств:

«Пересечение и объединение множеств» 👇

• $A cup B$ — объединение множеств $A$ и $B$$;;
• $A cap B$ — пересечение множеств $A$ и $B$$..

Для мнемонического запоминания этих знаков можно представить, что знак объединения $cup$ похож на емкость с открытым верхом, куда можно что-то складывать. Знак пересечения $cap$, напротив, представляет собой как бы перевернутый стакан, препятствующий проникновению внутрь неподходящих элементов.

Правила нахождения пересечений и объединений

Правила для нахождения пересечений и объединений множеств заключаются в следующем:

• для составления объединения числовых множеств нужно записать все элементы одного множества и к ним дописать недостающие элементы из остальных;
• для составления пересечения числовых множеств, надо последовательно брать элементы одного множества и проверять, принадлежат ли они другим исследуемым множествам; те, которые принадлежат, и будут составлять пересечение.

Найдем объединение числовых множеств $A = {3, 5, 7, 14}$ и $B = {2, 5, 8, 11, 12, 13}$. К элементам множества $A$ $3, 5, 7, 14$ добавляем недостающие элементы множества $B$ $2, 8, 11, 13$. Результирующее множество будет выглядеть как ${3, 5, 7, 14, 2, 8, 11, 13}$. Это можно записать как

$A ∪ B = {2, 3, 5, 7, 8, 11, 13, 14}$.

Для нахождения пересечения этих же множеств, последовательно проверим элементы $A$ на их наличие внутри $B$. Так, элемент $3$ не принадлежит множеству $B$, значит он не войдет в состав пересечения. Число $5$ из $A$ принадлежит и $B$, а значит и пересечению.Число $7$ не принадлежит $B$ и пересечению, а число 14 принадлежит. Таким образом, пересечение $A = {3, 5, 7, 14}$ и $B = {2, 5, 8, 11, 14, 13}$ состоит из элементов $5$ и $14$. Это записывается как:

$A ∩ B = {5, 14}$.

Пересечение и объединение большего, чем 2 количества множеств сводится к последовательному нахождению пересечений и объединений: чтобы найти пересечение трех множеств $A$, $B$ и $C$ сначала находят пересечение $A$ и $B$, затем пересечение результирующего множества с $C$. Так, пересечение числовых множеств $A = {3, 6, 4, 3, 55, 21}$, $B = {2, 7, 6, 21}$ и $C = {7, 6, 17, 3}$ можно найти поэтапно. Сначала находим, что $A cap B = {6, 21}$, затем полученное множество сравниваем с $C$ (это ${6}$). Получаем, что

$A cap B cap C = {6}$.

Метод нахождения объединений более двух множеств заключается в том, что к числам первого множества добавляют недостающие элементы из второго, затем недостающие из третьего и т.д. Например, если есть $A = {1, 4}$, $B = {4, 3}$ и $C = {1, 3, 6, 7}$, то к числам $1$ и $4$ из $A$ следует добавить число $3$ из $B$, а к полученному множеству ${1, 3, 4}$ нужно добавить $6$ и $7$ из $C$. В результате получаем объединение

$A cup B cup C = {1, 3, 4, 6, 7}$.

Для нахождения пересечения нескольких конечных множеств, нужно перебрать числа первого из них и выяснить, принадлежит ли текущий элемент каждому из рассматриваемых множеств. Если это условие не соблюдается, он не принадлежит пересечению. В качестве проверочного (элементы которого перебираются) следует выбирать множество с наименьшим числом элементов.

Рассмотрим множества $A = {1, 3, 7, 12, 5, 2}$, $B = {0, 1, 2, 12}$, $C = {1, 2, 6, 7, 11}$ и $D = {1, 2, 6, 7, 8, 15}$. Для поиска перебором задействуем $B$ как самое короткое. Элемент множества $B$ $0$ не входит в состав $A$, следовательно, в состав пересечения не войдет. Число $1$ входит в состав $A$, $C$ и $D$. Оно входит в состав их общего пересечения. Число $2$, принадлежащее $B$, входит в состав всех остальных множеств, т.е. входит в состав пересечения. Четвертый элемент проверяемого множества $12$ не входит в состав $D$ и в пересечение не войдет. Таким образом, найденное пересечение выглядит как

$A cap B cap C cap D = {1, 2}$.

Исследование множеств с помощью координатной прямой

Исследовать и выражать пересечения и объединения числовых множеств удобно с помощью координатной прямой и выделяемых на ней числовых промежутков. Любая выбранная точка разбивает все расположенные на такой прямой числа на два открытых числовых луча. Например, точка с координатой $36,6$ создаст промежутки, записываемые как $(−∞, 36,6)$, $(36,6, +∞)$. Сама точка не входит в состав ни одного из них, поэтому числовая прямая, представляющая собой множество всех действительных чисел $R = (−∞, +∞)$, представляет собой в данном случае объединение $ (−∞, −36,6) cup {36,6} cup (36,6, +∞)$.

Если рассматриваемую точку со значением $36,6$ добавить к одному из открытых числовых лучей, т.е. промежутку $(−∞, 36,6)$ или $(36,6, +∞)$, то такой промежуток перестанет быть открытым. Это записывается как $(−∞, 36,6]$ или $[36,6, +∞)$, т.е. вхождение граничного числа в состав числового луча обозначается квадратной скобкой. Множество действительных чисел $R$ в этом случае будет выглядеть как

$(−∞, 36,6] cup (36,6, +∞)$ либо $(−∞, 36,6) cup [36,6, +∞)$.

Если разбить числовую прямую на части не точкой, а отрезком или лучом, то все рассмотренные закономерности будут соблюдаться и в этих случаях. Более того, они соблюдаются и при разбиении самих числовых промежутков (отрезков, лучей). Например, точка с координатой $14$ на промежутке $(5, 51]$ разобьет его на промежутки $(5, 14) ∪ {14} ∪ (14, 51]$. Включив точку в один из промежутков, можно получить такие записи, как $(5, 14] cup (14, 51]$, $(5, 14) cup [14, 51]$. Приняв за разбивающую точку число $51$, ограничивающее рассматриваемый промежуток справа и входящее в его состав, получим объединение множества ${51}$ и интервала $(5, 51)$, т.е. $(5, 51] = (5, 51) cup {51}$.

Подобные закономерности справедливы и в случаях, когда координатная прямая разбивается на промежутки несколькими точками. Например, числа $−6$, $0$ и $7$ разобьют ее на промежутки $(−∞, −6)$, $(−6, 0)$, $(0, 7)$, $(7, +∞)$, а множество действительных чисел $R$ будет представлено как $(−∞, −6) ∪ {−6} ∪ (−6, 0) ∪ {0} ∪ (0, 7) ∪ {7} ∪ (7, +∞)$.

С помощью координатной прямой удобно анализировать пересечения и объединения множеств. Они изображаются друг под другом на координатных прямых с совпадающими точками и направлениями отсчета. Для отображения объединения множеств координатные прямые отмечают слева квадратной скобкой, для обозначения пересечения используется фигурная скобка.

На дополнительной координатной прямой, размещаемой под исходными, изображаются искомые пересечение или объединение. На ней все граничные точки исходных множеств отмечают поперечными чертами, а после уточнения — полыми или сплошными точками. Графически вхождение промежутка в пересечение или объединение изображается штриховкой, вхождение точки — сплошной точкой, невхождение – полой.

Пересечение множеств $A$ и $B$ графически отображается промежутками, над которыми есть штриховка, с добавлением отдельных точек, принадлежащих обоим множествам. Объединение графически проявляется там, где есть штриховка хотя бы у одного из множеств, а также всех сплошных точек.