Как пишется знак принадлежит в математике

∈ Принадлежит

Нажмите, чтобы скопировать и вставить символ

Значение символа

Принадлежит. Математические операторы.

Символ «Принадлежит» был утвержден как часть Юникода версии 1.1 в 1993 г.

Свойства

Версия 1.1
Блок Математические операторы
Тип парной зеркальной скобки (bidi) Нет
bmg 220B
Композиционное исключение Нет
Изменение регистра 2208
Простое изменение регистра 2208

Кодировка

Кодировка hex dec (bytes) dec binary
UTF-8 E2 88 88 226 136 136 14846088 11100010 10001000 10001000
UTF-16BE 22 08 34 8 8712 00100010 00001000
UTF-16LE 08 22 8 34 2082 00001000 00100010
UTF-32BE 00 00 22 08 0 0 34 8 8712 00000000 00000000 00100010 00001000
UTF-32LE 08 22 00 00 8 34 0 0 136445952 00001000 00100010 00000000 00000000

Список всех математических символов и знаков — значения и примеры.

  • Основные математические символы
  • Символы геометрии
  • Символы алгебры
  • Символы вероятности и статистики
  • Символы теории множеств
  • Логические символы
  • Символы исчисления и анализа
  • Числовые символы
  • Греческие символы
  • римские цифры

Основные математические символы

Символ Название символа Значение / определение пример
= знак равенства равенство 5 = 2 + 3
5 равно 2 + 3
знак не равно неравенство 5 ≠ 4
5 не равно 4
примерно равный приближение sin (0,01) ≈ 0,01,
xy означает, что x примерно равен y
/ строгое неравенство больше чем 5/ 4
5 больше 4
< строгое неравенство меньше, чем 4 <5
4 меньше 5
неравенство больше или равно 5 ≥ 4,
xy означает, что x больше или равно y
неравенство меньше или равно 4 ≤ 5,
x ≤ y означает, что x меньше или равно y
() круглые скобки сначала вычислить выражение внутри 2 × (3 + 5) = 16
[] кронштейны сначала вычислить выражение внутри [(1 + 2) × (1 + 5)] = 18
+ знак плюс дополнение 1 + 1 = 2
знак минус вычитание 2 — 1 = 1
± плюс — минус операции плюс и минус 3 ± 5 = 8 или -2
± минус — плюс как минус, так и плюс операции 3 ∓ 5 = -2 или 8
* звездочка умножение 2 * 3 = 6
× знак раз умножение 2 × 3 = 6
точка умножения умножение 2 ⋅ 3 = 6
÷ знак деления / обел деление 6 ÷ 2 = 3
/ разделительная косая черта деление 6/2 = 3
горизонтальная линия деление / дробь  frac {6} {2} = 3
мод по модулю расчет остатка 7 мод 2 = 1
. период десятичная точка, десятичный разделитель 2,56 = 2 + 56/100
а б сила показатель степени 2 3 = 8
а ^ б каретка показатель степени 2 ^ 3 = 8
а квадратный корень

аа  = а

9 = ± 3
3 а кубический корень 3 a3a  ⋅ 3a  = a 3 8 = 2
4 а четвертый корень 4 a4a  ⋅ 4a  ⋅ 4a  = a 4 16 = ± 2
п а корень n-й степени (радикал)   для n = 3, n8 = 2
% процентов 1% = 1/100 10% × 30 = 3
промилле 1 ‰ = 1/1000 = 0,1% 10 ‰ × 30 = 0,3
ppm на миллион 1 частей на миллион = 1/1000000 10 частей на миллион × 30 = 0,0003
ppb на миллиард 1ppb = 1/1000000000 10ppb × 30 = 3 × 10-7
ppt на триллион 1ppt = 10 -12 10ppt × 30 = 3 × 10-10

Символы геометрии

Символы алгебры

Символ Название символа Значение / определение пример
х переменная x неизвестное значение для поиска когда 2 x = 4, то x = 2
эквивалентность идентично  
равны по определению равны по определению  
знак равно равны по определению равны по определению  
~ примерно равный слабое приближение 11 ~ 10
примерно равный приближение грех (0,01) ≈ 0,01
пропорционально пропорционально

yx, когда y = kx, k постоянная

лемниската символ бесконечности  
намного меньше чем намного меньше чем 1 1000000 ≪
намного больше, чем намного больше, чем 1000000 ≫ 1
() круглые скобки сначала вычислить выражение внутри 2 * (3 + 5) = 16
[] кронштейны сначала вычислить выражение внутри [(1 + 2) * (1 + 5)] = 18
{} подтяжки набор  
х напольные кронштейны округляет число до меньшего целого ⌊4.3⌋ = 4
х потолочные кронштейны округляет число до верхнего целого ⌈4.3⌉ = 5
х ! восклицательный знак факториал 4! = 1 * 2 * 3 * 4 = 24
| х | вертикальные полосы абсолютная величина | -5 | = 5
f ( x ) функция x отображает значения x в f (x) е ( х ) = 3 х +5
( жг ) функциональная композиция ( ег ) ( х ) = е ( г ( х )) f ( x ) = 3 x , g ( x ) = x -1 ⇒ ( fg ) ( x ) = 3 ( x -1)
( а , б ) открытый интервал ( a , b ) = { x | а < х < б } х ∈ (2,6)
[ а , б ] закрытый интервал [ a , b ] = { x | ахб } x ∈ [2,6]
дельта изменение / разница t = t 1t 0
дискриминант Δ = b 2 — 4 переменного тока  
сигма суммирование — сумма всех значений в диапазоне ряда Σ х я = х 1 + х 2 + … + х п
∑∑ сигма двойное суммирование Как пишется знак принадлежит в алгебре
заглавная пи product — произведение всех значений в диапазоне серии x i = x 1 ∙ x 2 ∙ … ∙ x n
е e константа / число Эйлера е = 2,718281828 … е = lim (1 + 1 / x ) x , x → ∞
γ Постоянная Эйлера-Маскерони γ = 0,5772156649 …  
φ Золотое сечение константа золотого сечения  
π константа пи π = 3,141592654 …

отношение длины окружности к диаметру круга.

c = πd = 2⋅ πr

Символы линейной алгебры

Символ Название символа Значение / определение пример
· точка скалярное произведение а · б
× пересекать векторный продукт а × б
АБ тензорное произведение тензорное произведение A и B АБ
 langle x, y rangle внутренний продукт    
[] кронштейны матрица чисел  
() круглые скобки матрица чисел  
| А | детерминант определитель матрицы A  
det ( А ) детерминант определитель матрицы A  
|| х || двойные вертикальные полосы норма  
А Т транспонировать матрица транспонировать ( A T ) ij = ( A ) ji
A Эрмитова матрица матрица сопряженная транспонировать ( A ) ij = ( A ) ji
А * Эрмитова матрица матрица сопряженная транспонировать ( A * ) ij = ( A ) ji
А -1 обратная матрица AA -1 = I  
ранг ( А ) ранг матрицы ранг матрицы A ранг ( А ) = 3
тусклый ( U ) измерение размерность матрицы A dim ( U ) = 3

Символы вероятности и статистики

Символ Название символа Значение / определение пример
P ( А ) функция вероятности вероятность события A P ( A ) = 0,5
P ( AB ) вероятность пересечения событий вероятность того, что событий A и B P ( AB ) = 0,5
P ( AB ) вероятность объединения событий вероятность того, что событий A или B P ( AB ) = 0,5
P ( A | B ) функция условной вероятности вероятность события A данное событие B произошло P ( A | B ) = 0,3
f ( x ) функция плотности вероятности (pdf) P ( axb ) = ∫ f ( x ) dx  
F ( х ) кумулятивная функция распределения (cdf) F ( х ) = Р ( Хх )  
μ Средняя численность населения среднее значение совокупности μ = 10
E ( X ) ожидаемое значение ожидаемое значение случайной величины X E ( X ) = 10
E ( X | Y ) условное ожидание ожидаемое значение случайной величины X с учетом Y E ( X | Y = 2 ) = 5
var ( X ) отклонение дисперсия случайной величины X var ( X ) = 4
σ 2 отклонение дисперсия значений совокупности σ 2 = 4
std ( X ) стандартное отклонение стандартное отклонение случайной величины X std ( X ) = 2
σ X стандартное отклонение значение стандартного отклонения случайной величины X σ X  = 2
Как пишется знак принадлежит в алгебре медиана среднее значение случайной величины x Как пишется знак принадлежит в алгебре
cov ( X , Y ) ковариация ковариация случайных величин X и Y cov ( X, Y ) = 4
корр ( X , Y ) корреляция корреляция случайных величин X и Y корр ( X, Y ) = 0,6
ρ X , Y корреляция корреляция случайных величин X и Y ρ X , Y = 0,6
суммирование суммирование — сумма всех значений в диапазоне ряда Как пишется знак принадлежит в алгебре
∑∑ двойное суммирование двойное суммирование Как пишется знак принадлежит в алгебре
Пн Режим значение, которое чаще всего встречается в популяции  
MR средний диапазон MR = ( x макс + x мин ) / 2  
Мкр медиана выборки половина населения ниже этого значения  
Q 1 нижний / первый квартиль 25% населения ниже этого значения  
2 квартал медиана / второй квартиль 50% населения ниже этого значения = медиана выборки  
3 квартал верхний / третий квартиль 75% населения ниже этого значения  
х выборочное среднее среднее / среднее арифметическое х = (2 + 5 + 9) / 3 = 5,333
с 2 выборочная дисперсия оценщик дисперсии выборки населения s 2 = 4
с стандартное отклонение выборки Оценка стандартного отклонения выборки населения s = 2
z x стандартная оценка z x = ( xx ) / s x  
X ~ распределение X распределение случайной величины X X ~ N (0,3)
N ( μ , σ 2 ) нормальное распределение гауссово распределение X ~ N (0,3)
U ( а , б ) равномерное распределение равная вероятность в диапазоне a, b  Х ~ U (0,3)
ехр (λ) экспоненциальное распределение f ( x ) = λe λx , x ≥0  
гамма ( c , λ) гамма-распределение f ( x ) = λ cx c-1 e λx / Γ ( c ), x ≥0  
χ 2 ( к ) распределение хи-квадрат f ( x ) = x k / 2-1 e x / 2 / (2 k / 2 Γ ( k / 2))  
F ( k 1 , k 2 ) F распределение    
Корзина ( n , p ) биномиальное распределение f ( k ) = n C k p k (1 -p ) nk  
Пуассон (λ) распределение Пуассона е ( К ) знак равно λ К е λ / К !  
Геом ( p ) геометрическое распределение f ( k ) = p (1 -p ) k  
HG ( N , K , n ) гипергеометрическое распределение    
Берн ( p ) Распределение Бернулли    

Комбинаторические символы

Символы теории множеств

Символ Название символа Значение / определение пример
{} набор набор элементов A = {3,7,9,14},
B = {9,14,28}
А ∩ Б пересечение объекты, принадлежащие множеству A и множеству B A ∩ B = {9,14}
А ∪ Б союз объекты, принадлежащие множеству A или множеству B A ∪ B = {3,7,9,14,28}
А ⊆ Б подмножество A является подмножеством B. множество A включено в набор B. {9,14,28} ⊆ {9,14,28}
A ⊂ B правильное подмножество / строгое подмножество A является подмножеством B, но A не равно B. {9,14} ⊂ {9,14,28}
А ⊄ Б не подмножество множество A не является подмножеством множества B {9,66} ⊄ {9,14,28}
А ⊇ Б суперсет A является надмножеством B. множество A включает множество B {9,14,28} ⊇ {9,14,28}
А ⊃ Б правильный суперсет / строгий суперсет A является надмножеством B, но B не равно A. {9,14,28} ⊃ {9,14}
А ⊅ Б не суперсет множество A не является надмножеством множества B {9,14,28} ⊅ {9,66}
2 А набор мощности все подмножества A  
 mathcal {P} (А) набор мощности все подмножества A  
А = В равенство оба набора имеют одинаковые элементы A = {3,9,14},
B = {3,9,14},
A = B
А в дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A  
А Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
AB = {9,14}
А — Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
AB = {9,14}
A ∆ B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ∆ B = {1,2,9,14}
А ⊖ Б симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ⊖ B = {1,2,9,14}
a ∈A элемент,
принадлежит
установить членство A = {3,9,14}, 3 ∈ A
x ∉A не элемент нет установленного членства A = {3,9,14}, 1 ∉ A
( а , б ) упорядоченная пара сборник из 2-х элементов  
A × B декартово произведение множество всех упорядоченных пар из A и B  
| A | мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, | A | = 3
#A мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, # A = 3
| вертикальная полоса такой, что А = {х | 3 <х <14}
Как пишется знак принадлежит в алгебре алеф-нуль бесконечная мощность множества натуральных чисел  
Как пишется знак принадлежит в алгебре алеф-он мощность множества счетных порядковых чисел  
Ø пустой набор Ø = {} C = {Ø}
 mathbb {U} универсальный набор набор всех возможных значений  
 mathbb {N}0 набор натуральных / целых чисел (с нулем)  mathbb {N}0 = {0,1,2,3,4, …} 0 ∈  mathbb {N}0
 mathbb {N}1 набор натуральных / целых чисел (без нуля)  mathbb {N}1 = {1,2,3,4,5, …} 6 ∈  mathbb {N}1
 mathbb {Z} набор целых чисел  mathbb {Z} = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} -6 ∈ mathbb {Z}
 mathbb {Q} набор рациональных чисел  mathbb {Q} = { x | x = a / b , a , b mathbb {Z}} 2/6 ∈ mathbb {Q}
 mathbb {R} набор реальных чисел  mathbb {R} = { x | -∞ < х <∞} 6.343434∈ mathbb {R}
 mathbb {C} набор комплексных чисел  mathbb {C} = { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} 6 + 2 i mathbb {C}

Логические символы

Символ Название символа Значение / определение пример
и и х у
^ каретка / циркумфлекс и х ^ у
& амперсанд и х и у
+ плюс или х + у
перевернутая каретка или ху
| вертикальная линия или х | y
х одиночная кавычка не — отрицание х
х бар не — отрицание х
¬ нет не — отрицание ¬ х
! восклицательный знак не — отрицание ! Икс
обведен плюс / oplus эксклюзивное или — xor ху
~ тильда отрицание ~ х
подразумевает    
эквивалент тогда и только тогда (если и только если)  
эквивалент тогда и только тогда (если и только если)  
для всех    
Существует    
не существует    
следовательно    
потому что / с тех пор    

Символы исчисления и анализа

Символ Название символа Значение / определение пример
 lim_ {x to x0} f (x) предел предельное значение функции  
ε эпсилон представляет собой очень маленькое число, близкое к нулю ε 0
е e константа / число Эйлера е = 2,718281828 … е = lim (1 + 1 / x ) x , x → ∞
y производная производная — обозначение Лагранжа (3 х 3 ) ‘= 9 х 2
у » вторая производная производная от производной (3 х 3 ) » = 18 х
у ( п ) n-я производная n раз вывод (3 х 3 ) (3) = 18
 frac {dy} {dx} производная производная — обозначение Лейбница d (3 x 3 ) / dx = 9 x 2
 frac {d ^ 2y} {dx ^ 2} вторая производная производная от производной d 2 (3 x 3 ) / dx 2 = 18 x
 frac {d ^ ny} {dx ^ n} n-я производная n раз вывод  
 точка {y} производная по времени производная по времени — обозначение Ньютона  
Как пишется знак принадлежит в алгебре вторая производная по времени производная от производной  
D x y производная производная — обозначение Эйлера  
Д х 2 у вторая производная производная от производной  
 frac { partial f (x, y)} { partial x} частная производная   ∂ ( x 2 + y 2 ) / ∂ x = 2 x
интеграл противоположно происхождению f (x) dx
∫∫ двойной интеграл интегрирование функции двух переменных ∫∫ f (x, y) dxdy
∫∫∫ тройной интеграл интегрирование функции 3 переменных ∫∫∫ f (x, y, z) dxdydz
замкнутый контур / линейный интеграл    
интеграл с закрытой поверхностью    
интеграл замкнутого объема    
[ а , б ] закрытый интервал [ a , b ] = { x | ахб }  
( а , б ) открытый интервал ( a , b ) = { x | а < х < б }  
я мнимая единица я ≡ √ -1 г = 3 + 2 я
z * комплексно сопряженный z = a + biz * = abi г * = 3 — 2 я
z комплексно сопряженный z = a + biz = abi г = 3 — 2 я
Re ( z ) действительная часть комплексного числа z = a + bi → Re ( z ) = a Re (3 — 2 i ) = 3
Im ( z ) мнимая часть комплексного числа z = a + bi → Im ( z ) = b Im (3 — 2 я ) = -2
| z | абсолютное значение / величина комплексного числа | z | = | а + би | = √ ( a 2 + b 2 ) | 3 — 2 я | = √13
arg ( z ) аргумент комплексного числа Угол радиуса в комплексной плоскости arg (3 + 2 i ) = 33,7 °
набла / дель оператор градиента / дивергенции е ( х , у , г )
Как пишется знак принадлежит в алгебре вектор    
Как пишется знак принадлежит в алгебре единичный вектор    
х * у свертка у ( т ) = х ( т ) * ч ( т )  
Как пишется знак принадлежит в алгебре Преобразование Лапласа F ( s ) = Как пишется знак принадлежит в алгебре{ f ( t )}  
Как пишется знак принадлежит в алгебре преобразование Фурье X ( ω ) = Как пишется знак принадлежит в алгебре{ f ( t )}  
δ дельта-функция    
лемниската символ бесконечности  

Цифровые символы

название Западный арабский Римский Восточно-арабский иврит
нуль 0   ٠  
один 1 Я ١ א
два 2 II ٢ ב
три 3 III ٣ ג
четыре 4 IV ٤ ד
пять 5 V ٥ ה
шесть 6 VI ٦ ו
Семь 7 VII ٧ ז
8 8 VIII ٨ ח
девять 9 IX ٩ ט
десять 10 X ١٠ י
11 11 XI ١١ יא
двенадцать 12 XII ١٢ יב
13 13 XIII ١٣ יג
14 14 XIV ١٤ יד
15 15 XV ١٥ טו
шестнадцать 16 XVI ١٦ טז
семнадцать 17 XVII ١٧ יז
восемнадцать 18 XVIII ١٨ יח
19 19 XIX ١٩ יט
20 20 XX ٢٠ כ
30 30 XXX ٣٠ ל
сорок 40 XL ٤٠ מ
пятьдесят 50 L ٥٠ נ
шестьдесят 60 LX ٦٠ ס
семьдесят 70 LXX ٧٠ ע
восемьдесят 80 LXXX ٨٠ פ
девяносто 90 XC ٩٠ צ
сто 100 C ١٠٠ ק

Буквы греческого алфавита

Прописная буква Строчная буква Имя греческой буквы Английский эквивалент Письмо Имя Произносить
Α α Альфа а альфа
Β β Бета б бета
Γ γ Гамма г га-ма
Δ δ Дельта d дель-та
Ε ε Эпсилон е эп-си-лон
Ζ ζ Зета z зэ-та
Η η Eta h а-та
Θ θ Тета th тэ-та
Ι ι Йота я йота
Κ κ Каппа k ка-па
Λ λ Лямбда л лама
Μ μ Му м м-ю
Ν ν Ню п нет
Ξ ξ Си х x-ee
Ο ο Омикрон о о-ми-к-рон
Π π Пи p Pa-yee
Ρ ρ Ро г строка
Σ σ Сигма с сигма
Τ τ Тау т та-оо
Υ υ Ипсилон u оо-пси-лон
Φ φ Пхи ph ф-э
Χ χ Чи ch кх-ее
Ψ ψ Пси пс п-см
Ω ω Омега о омега

римские цифры

номер Римская цифра
0 не определен
1 Я
2 II
3 III
4 IV
5 V
6 VI
7 VII
8 VIII
9 IX
10 X
11 XI
12 XII
13 XIII
14 XIV
15 XV
16 XVI
17 XVII
18 XVIII
19 XIX
20 XX
30 XXX
40 XL
50 L
60 LX
70 LXX
80 LXXX
90 XC
100 C
200 CC
300 CCC
400 CD
500 D
600 DC
700 DCC
800 DCCC
900 CM
1000 M
5000 V
10000 X
50000 L
100000 C
500000 D
1000000 M

Смотрите также

  • Символы алгебры
  • Символы геометрии
  • Статистические символы
  • Логические символы
  • Символы теории множеств
  • Символы исчисления и анализа
  • Числовые символы
  • Символы греческого алфавита
  • римские цифры
  • Символ бесконечности
  • Коды символов HTML
  • Математические калькуляторы
Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название
Произношение
(varnothing) ∅ {} «Пустое множество»
(in) (notin) ∈ ∉ Принадлежность/непринадлежность к множеству
«принадлежит», «из» «не принадлежит»

Как поставить знак параллельности?

Математические обозначения знаки, буквы и сокращения

Знак Значение
параллельно
~ подобно
треугольник
угол

Что такое м в математике?

Либо метры, либо масса.

Что означает буква V в математике?

Расстояние обозначается латинской буквой S. Скорость – это расстояние, пройденное телом за единицу времени. … Скорость обозначается латинской буквой v.

Что значит большая е в математике?

Символ ∀ (перевёрнутая А) и ∃ (Е наоборот) — всего-навсего английские «Any» и «Exist», попавшие в «математический международный» таким идиотским способом из-за уже используемых «А» (альфа) и «Е» (число Эйлера). То есть: Символ ∀ (Any) используется для обозначения фразы «Для любого…», «Для любых…».

Как пишется знак принадлежит в геометрии?

Теория множеств и теория чисел

Символ TeX (Команда TeX) Символ (Юникод) Название
Произношение
(in) (notin) ∈ ∉ Принадлежность/непринадлежность к множеству
«принадлежит», «из» «не принадлежит»
(subseteq) (subset) ⊆ ⊂ Подмножество

Что означает этот символ &?

Символ & называется амперсандом, по-английски ampersand. Знак означает союз «и». … В данном случае в одном символе соединились буквы латинского союза et, который означает «и». Амперсанд возник еще в латинском языке.

Что значит цифра внизу?

НИЖНИЙ ИНДЕКС, маленькая по размеру буква, цифра или иные символы, написанные или напечатанные внизу, слева или справа, от другого символа, как, например, в химических формулах (типа С2Н5) или в математических обозначениях, где нижние индексы служат для различения переменных величин в последовательностях: х1 , х2, х3 и …

Что означает буква А в математике?

а — это переменная величина и может быть не только (а), ещё другими буквами х, у, z, b, c, d.. Например прямоугольник сторонами 3 см и 5 см ; S=a•b площадь и две стороны, когда ищем площадь, то подставим цифры.

Что означает звездочка в математике?

В математике

Звёздочкой обозначается двуместный оператор свёртки. … Надстрочной звёздочкой часто обозначают всякого рода двойственные и сопряжённые объекты. Надстрочная звёздочка в записи регулярных множеств означает операцию итерации: ; через тут обозначено пустое слово, а точкой — операция конкатенации.

Как найти V в математике?

В 4 классе ученики решают много задач по математике с примением формулы нахождения скорости, времени или расстояния при равномерном движении. Эта формула выглядит так: S = V×t. В данной формуле S — это путь, V — скорость, а t — время.

Что означает буква V?

В физике буква используется для обозначения объёма и вольта. Иногда символом V обозначают стрелку (или направление) вниз.

Что такое V в геометрии?

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты. где V — объем прямоугольного параллелепипеда, … h — высота.

Что означает буква Е в цифрах?

E (exponent) — буква E в числе, означающая «*10^» («…умножить на десять в степени…»), p — порядок. Это необходимо для представлении очень больших и очень малых чисел, а также для унификации их написания.

Что обозначает буква Е в математике?

e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. … числами Эйлера I рода) или числом Непера. Обозначается строчной латинской буквой «e». Играет важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении, а также многих других разделах математики.

Что значит е в другую сторону?

Знак (э) только в другую сторону значит «принадлежит».

{} набор набор элементов A = {3,7,9,14},
B = {9,14,28} А ∩ Б пересечение объекты, принадлежащие множеству A и множеству B A ∩ B = {9,14} А ∪ Б союз объекты, принадлежащие множеству A или множеству B A ∪ B = {3,7,9,14,28} А ⊆ Б подмножество A является подмножеством B. множество A включено в набор B. {9,14,28} ⊆ {9,14,28} A ⊂ B правильное подмножество / строгое подмножество A является подмножеством B, но A не равно B. {9,14} ⊂ {9,14,28} А ⊄ Б не подмножество множество A не является подмножеством множества B {9,66} ⊄ {9,14,28} А ⊇ Б суперсет A является надмножеством B. множество A включает множество B {9,14,28} ⊇ {9,14,28} А ⊃ Б правильный суперсет / строгий суперсет A является надмножеством B, но B не равно A. {9,14,28} ⊃ {9,14} А ⊅ Б не суперсет множество A не является надмножеством множества B {9,14,28} ⊅ {9,66} 2 А набор мощности все подмножества A    mathcal {P} (А) набор мощности все подмножества A   А = В равенство оба набора имеют одинаковые элементы A = {3,9,14},
B = {3,9,14},
A = B А в дополнять все объекты, не принадлежащие множеству A   А Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
AB = {9,14} А — Б относительное дополнение объекты, принадлежащие A, а не B A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
AB = {9,14} A ∆ B симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ∆ B = {1,2,9,14} А ⊖ Б симметричная разница объекты, принадлежащие A или B, но не их пересечение A = {3,9,14},
B = {1,2,3},
A ⊖ B = {1,2,9,14} a ∈A элемент,
принадлежит установить членство A = {3,9,14}, 3 ∈ A x ∉A не элемент нет установленного членства A = {3,9,14}, 1 ∉ A ( а , б ) упорядоченная пара сборник из 2-х элементов   A × B декартово произведение множество всех упорядоченных пар из A и B   | A | мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, | A | = 3 #A мощность количество элементов множества A A = {3,9,14}, # A = 3 | вертикальная полоса такой, что А = {х | 3 <х <14} алеф-нуль бесконечная мощность множества натуральных чисел   алеф-он мощность множества счетных порядковых чисел   Ø пустой набор Ø = {} C = {Ø}  mathbb {U} универсальный набор набор всех возможных значений    mathbb {N}0 набор натуральных / целых чисел (с нулем)  mathbb {N}0 = {0,1,2,3,4, …} 0 ∈  mathbb {N}0  mathbb {N}1 набор натуральных / целых чисел (без нуля)  mathbb {N}1 = {1,2,3,4,5, …} 6 ∈  mathbb {N}1  mathbb {Z} набор целых чисел  mathbb {Z} = {…- 3, -2, -1,0,1,2,3, …} -6 ∈ mathbb {Z}  mathbb {Q} набор рациональных чисел  mathbb {Q} = { x | x = a / b , a , b mathbb {Z}} 2/6 ∈ mathbb {Q}  mathbb {R} набор реальных чисел  mathbb {R} = { x | -∞ < х <∞} 6.343434∈ mathbb {R}  mathbb {C} набор комплексных чисел  mathbb {C} = { z | z = a + bi , -∞ < a <∞, -∞ < b <∞} 6 + 2 i mathbb {C}

Навигация по справочнику TehTab.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Алфавиты, номиналы, коды / / Алфавиты, в т.ч. греческий и латинский. Символы. Коды. Альфа, бета, гамма, дельта, эпсилон…  / / Таблица математических символов. Сокращённая запись математического текста, математические обозначения. Математический алфавит. Математическая скоропись. Негламурный эксклюзив от Проекта DPVA.info

Таблица математических символов. Сокращённая запись математического текста, математические обозначения. Математический алфавит. Математическая скоропись. Негламурный эксклюзив от Проекта DPVA.info

  • Сортировка знак / легенда
  • Сортировка легенда / знак

Знак (символ, сокращение)

Пояснения (расшифровка, легенда)

Следовательно, таким образом, в результате, математическое сокращение

  • следовательно,
  • таким образом,
  • поэтому

т.о.

  • следовательно,
  • таким образом,
  • поэтому

Из-за того что; вследствие того, что; поскольку -математическое сокращение

  • потому что
  • из-за того что
  • вследствие того, что
  • поскольку
  • в результате того, что

ЧТД

QED

Конец доказательства = «Что и требовалось доказать» = quod erat demonstrandum

Что и требовалось доказать

Что и требовалось доказать = окончание доказательства

Что и требовалось доказать = окончание доказательства

Что и требовалось доказать = окончание доказательства

Что и требовалось доказать = окончание доказательства , математический символ

Что и требовалось доказать = окончание доказательства

=

Равенство

Примерное равенство

  • приблизительно равно (везде)
  • изоморфно (теория групп)

Равенстово по определению

По определению равно

Равно по определению

По определению равно

Математичесий символ равенства по определению

По определению равно

Математический знак равенства по определению

По определению равно

Сокрашенный знак равно по определению

По определению равно

Равенство по определению

  • По определению равно
  • Равенство по модулю

Записывается aРавенство по определениюb (mod n), читается a равно b по модулю n.

Равенство следующее из определения

По определению логически эквивалентно

Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ

  • эквивалентность матриц (т.е. одна сводится к другой с помощью элементарных операций над строками)
  • Случайная величина имеет распределение вероятности …
  • числа одного порядка
  • эквивалентность функций при определенной базе, т.е. одинаковое ассимптотическое поведение
  • отношение эквивалентности , используется, когда 2 элемента принадлежат одному и тому же классу эквивалентности

Конгруэнтность, изоморфизм

  • Конгруэнтность в геометрии
  • Изморфизм

Неравно, математический символ, знак неравенства

Неравенство

Меньше, математический символ

Меньше

Больше, математический символ

Больше

Много меньше, знак

Много меньше

Много больше, сокращенная запись, математический символ

Много больше

Меньше или равно, математический знак

<=

Меньше или равно

Больше или равно, символ математический

>=

Больше или равно

Сведение -приведение по Карпу

Сведение по Карпу (Karp reduction) — теория сложности, левое сводимо по Карпу к правому, левое «не сложнее правого», естественно возможно и использование знака острием вправо (но нам лень было рисовать)

Знак пропорциональности, математический символ

  • пропорциональность — основной символ
  • !иногда! сведение по Карпу (Karp reduction) — теория сложности, левое сводимо по Карпу к правому, левое «не сложнее правого», естественно возможно и использование знака острием вправо (но нам лень было рисовать)

Плюс, несвязное объединение или сумма - математический символ

  • Плюс
  • Несвязное объединение = несвязная сумма = дизъюнктное объединение — теория множеств

Минус, противоположный, отрицательный, разность множеств - математический символ

  • Минус
  • Противоположный
  • Отрицательный
  • !иногда!Разность множеств — теория множеств

Умножить, скалярное произведение, группа единиц в теории колец

  • Умножить
  • Векторное произведение векторов
  • Прямое (декартово) произведение множеств
  • Группа единиц или группа обратимых элементов — теория колец: группа Rx — это обратимые элементы кольца R с той же опрецией умножения, что и на R. Так же обозначается как R* или U(R).

Умножить, скалярное произведение,  производная по времени, математический символ

  • Умножить
  • Скалярное произведение векторов в пространстве
  • Производная по времени (записывается над аргументом)

Разделить, математический символ

Разделить

Разделить, математический символ,Фактормножество, факторгруппа

  • Разделить
  • Факторгруппа

Если G -группа, а H- ее нормальная подгруппа, то G/H — факторгруппа G по H, т.е. группа классов смежности H в G

  • Фактормножество

Если X — множество с заданным на нем отношением эквивалентности Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ, то X/Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ — фактормножество, т.е. множество классов эквивалентности относительно Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ

Плюс - минус, с точностью, математический символ

  • Плюс-минус
  • с точностью

Минус-плюс

Минус плюс — имеет смысл только при употреблении вместе со знаком плюс минус cos(x ± y) = cos(x) cos(y) Минус-плюс sin(x) sin(y).

Корень квадратный, действительный или мнимый, математический знак

  • Корень квадратный действительный
  • Корень квадратный мнимый

Модуль, длина вектора, определитель матрицы, мощность множества, математический символ

  • Модуль
  • Длина вектора (Евклидова норма)
  • Определитель матрицы
  • мощность множества (если оно бесконечно), количество элементов множества (порядок) (если оно конечно)

Функция нахождения ближайшего целого числа, округления или норма - математический символ

  • Норма в нормированном векторном пространстве
  • длина
  • функция нахождения ближайшего целого числа (округления) (Другие варианты обозначения: [x], nint(x) или Round(x))

Делитель, делит - математический символ

Не делитель, не делит - математический символ

  • делитель, делит нацело
  • не является делителем, не делит нацело

Условная вероятность, ограниченно..., таких что.... математический символ

  • условная вероятность — в теории вероятностей

P(A|B) — вероятность события А, при условии, что событие B уже произошло

  • ограничение функции на множестве, т.е. сужение области определения функции.

Если функция f определена на R, то f|N определена только на N и принимает на N те же значения, что и f

  • таких что……., так что…………..

A={x | |x|<1} читается: «А — множество x таких, что модуль x меньше 1» и значит, что множество А — множество элементов числовой прямой, лежащих между -1 и 1.

Параллельность или несравнимость - математический значок, символ

  • параллельность

a||b — параллельные прямые a и b

  • несравнимость (несравнимо) — в теории порядка

Если X — множество с отношением частичного порядка ≤, а a и b — его элементы, то a||b — a и b несравнимы, если про них невозможно сказать ни a≤b, ни b≤a

  • точный делитель (при разложении числа в произведение степеней простых чисел — простое число в максимальной степени, делящее исходное)

Мощность или кардинальное число, связная сумма, праймориал, примориал - математический символ

  • мощность или кардинальное число в теории множеств
  • связная сумма в топологии
  • Примориал или праймориал

n#  — произведение простых чисел, не превышающих n

Алеф, математический символ.

Алеф — кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного вполне упорядоченного множества

Бет символ в теории множеств, математический символ

Бет — кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного множества

Мощность континуума, значок в теории множеств, математический символ

мощность континуума — теория множеств

:

  • так что, такой что- везде

Математический знак - обозначение понятия - любой, для любого, для всех, для каждого.aЗначок принадлежности - математический символ.R Обозначение понятия - существует, математический знак bЗначок принадлежности - математический символ.R : a<b читается » для любого рационального числа a существует рациональное число b такое что a меньше b»

  • расширение поля — теория поля

E:K значит, что E — это расширение поля K

  • скалярное произведение матриц в некотором предгильбертовом пространстве, элементами которого являются матрицы.

!

  • факториал

n!=1*2*3…..*(n-1)*n читается n-факториал

  • логическое отрицание

!A=1, если А=0, !А=0, если А=1, читается не А.

Веночное произведение, сплетение в теории  групп. Символ.

сплетение групп в теории групп (Также обозначается как АwrВ)

Инвариантная (нормальная) подгруппа а также дивизор - математический символ

дивизор

  • инвариантная (нормальная) подгруппа
  • Идеал кольца( теория колец )

Антисоединение отношений, Antijoin, математический символ

Антисоединение отношений (Antijoin) — операция реляционной алгебры, которая оставляет только те кортежи первого отношения, для которых не найдется кортежей второго отношения, совпадающих с ними по общему атрибуту.

Полупрямое произведение групп, Полусоединение отношений, semijoin, математический символ или Полупрямое произведение групп, Полусоединение отношений, semijoin, математический символ

  • Полупрямое произведение групп
  • Полусоединение отношений (Semijoin)- операция реляционной алгебры, оставляющая только те кортежи первого отношения, для которых найдутся кортежи второго отношения, совпадающие с ними по общему атрибуту.

Естественное  соединение отношений, Natural join, математический символ

Естественное соединение отношений (Natural Join)- операция реляционной алгебры, результатом которой является набор всех возможных комбинаций кортежей исходных отношений, то есть комбинаций тех кортежей, у которых совпадают общие атрибуты

Импликация (материальная), следовательно - математический знак

  • импликация (материальная) логика
  • следовательно (в доказательствах)

Импликация (материальная) - математический знак

импликация (материальная) логика

Импликация (материальная) - математический знак

  • импликация (материальная) логика
  • надмножество строгое (теория множеств) само понятие надмножества в русской традиции не вводится.

Материальная эквивалетность, тогда и только тогда, математический символ.

Материальная эквивалентность, равносильность= «тогда и только тогда»

Материальная эквивалетность, тогда и только тогда, математический символ.

Материальная эквивалентность, равносильность= «тогда и только тогда»

Логическое отрицание = не, математический символ

Логическое отрицание = не

Логическое отрицание = не, математический символ

Логическое отрицание = не

Логическая конъюнкция, математический символ

  • Логическая конъюнкция
  • Пересечение в теории графов
  • V произведение — внешнее произведение — линейная алгебра
  • Знак возведения в степень в строчной записи

Логическая дизъюнкция

  • Логическая дизъюнкция
  • Или, ( в смысле «ИЛИ»)
  • Смыкание, сшивание в теории графов

Исключающее ИЛИ , прямая сумма - математический символ.

  • исключающее ИЛИ , симметрическая разность (логика, Булева алгебра, теория множеств)
  • прямая сумма (абстрактая алгебра)

Исключающее или в логике, математический знак

исключающее ИЛИ (только в логике)

Математический знак - обозначение понятия - любой, для любого, для всех, для каждого.

обозначение понятия — любой, читается как — «для любого», «для всех», «для каждого»

Обозначение понятия - существует, математический знак

обозначение понятия — существует, читается как «найдется», «существует», «существуют»…

Обозначение понятия - существует единственный, математический символ

обозначение понятия — существует единственный, читается как «найдется ровно один «, «существует один и только один «, «существует единственный «…

Скобки множества или ряда, математический символ.

внутри скобок записываются элементы множества

Значок множества со значком определяющего признака элементов множеств.

значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы «икс», такие что «для всех икс верно….».

Значок множества со значком определяющего признака элементов множеств.

значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы «икс», такие что «для всех икс верно….».

Значок пустого множества.

значок пустого множества

Обозначение пустого множества математический символ.

значок пустого множества

Математический символ пустого множества.

значок пустого множества

Значок принадлежности - математический символ.

значок принадлежности к множеству — читается «принадлежит…»

Значок непринадлежности. Математический символ.

значок не принадлежности к множеству — читается «не принадлежит…»

Знак подмножества, математический символ

Знак подмножества. А подмножество B означает — все элементы A являются элементами B. Часто путают со знаком ниже.

Знак строгого = истинного подмножества, математический символ

Знак собственного (строгого = истинного ) подмножества. А строгое (или истинное) подмножество B означает — все элементы A являются элементами B, но A не равно B. Часто путают со знаком выше.

Знак надмножества, математический символ

Знак надмножества. А Знак надмножества, математический символ B означает — все элементы B являются элементами A. В РФ очень часто вообще не используется (пользуются значком подмножества и переставляют буквы)

Знак строгого = истинного подмножества, математический символ

Знак строгого = истинного надмножества. А Знак строгого = истинного подмножества, математический символ B означает — все элементы B являются элементами A, но B не равно A. В РФ очень часто вообще не используется (пользуются значком подмножества и переставляют буквы), кроме того этот знак путают со знаком выше.

Объединение множеств, математический символ

В теории множеств-объединение множеств. С= А Объединение множеств, математический символ B означает, что элементы С — это элементы, принадлежащие хотя бы одному из множеств А и В.

Пересечение множеств, математический символ

В теории множеств — пересечение множеств. С= А Пересечение множеств, математический символ B означает, что элементы множества С — это элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В.

Симметрическая разность множеств, математический символ

В теории множеств — симметрическая разность множеств. С= А Симметрическая разность множеств, математический символ B значит, что элементами множества С являются элементы, принадлежащие только множеству А или только множеству В.

Разность множеств, относительное дополнение множеств, математический символ

В теории множеств — разность множеств (или относительное дополнение одного множества до другого).

С= А Разность множеств, относительное дополнение множеств, математический символ B читается С — разность множеств А и В (или С — относительное дополнение множества В до множества А) и значит, что элементами С являются все элементы А, которые не принадлежат В.

Действие отображения, функции, стрелка, математический символ

  • Стрелка, обозначающая откуда и куда действует отображение (функция) f. Запись f : X Действие отображения, функции, стрелка, математический символ Y означает, что отображение f переводит элементы множества X в элементы множества Y. Или, можно сказать, что X — область определения f, а область значений f — есть некоторое подмножество множества Y.
  • «Стремится» — в теории пределов

Стрелка, определение отображения, математический символ

Стрелка, определяющая отображение (функцию) f. Запись f: a Стрелка, определение отображения, математический символ b означает, что отображение(функция) f переводит элемент а в элемент b.

Наример, f: x Стрелка, определение отображения, математический символ x2 означает, что f(x)=x2

Композиция функций, произведение адамара, математический символ

  • Композиция функций. Запись z=gКомпозиция функций, математический символf означает, что z(x)=g(f(x)).
  • Произведение Адамара двух матриц одинакового размера

Композиция функций, произведение адамара, математический символ —  матрица того же размера, элементы которой равны произведению соответствующих элементов перемножаемых матриц

Множество натуральных чисел, математический символ

Множество натуральных чисел, математический символ

Множество натуральных чисел. В зависимости от контекста и области применения этого обозначения за Множество натуральных чисел, математический символ обозначают либо множество {1, 2, 3, 4, …}, либо множество {0, 1, 2, 3, 4…}.

Множество целых чисел, математический символ

Множество целых чисел, математический символ

Множество целых чисел.

Множество целых чисел, математический символ={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}.

Также можно написать Множество целых чисел, математический символ={p, -p| p∈Множество натуральных чисел, математический символ} U {0}.

Множество положительных целых чисел, математический символ+

>

Множество положительных целых чисел. Т.е. множество {1, 2, 3, …}

Множество неотрицательных целых чисел. Т.е. множество {0, 1, 2, …}

Кольцо вычетов по модулю n, математический символ

Кольцо вычетов по модулю n, математический символ

Z/(n)Z

Z/(n)

Кольцо вычетов по модулю n.

Кольцо вычетов по модулю n, математический символ={0, 1, 2,…, n-1} с операциями сложения и умножения по модулю n.

Стоит понимать, что вместо n может стоять любая буква, а в частном случае цифра.

Множество p-адических чисел, математичекий символ

Множество p-адических чисел, математичекий символ

Множество p-адических чисел вида p-адическое число, математичекий символ, где m≥0; ak — целые числа, а p — простое число.

Стоит понимать, что вместо p может стоять любая буква, а в частном случае цифра.

Проективное пространство, математичекий символ

Проективное пространство, математичекий символ

Проективное пространство. В частности, Проективное пространство, математичекий символn n-мерное проективное пространство.

Вероятность, математичекий символ

Вероятность, математичекий символ

P(X)

Pr(X)

P[X]

Pr[X]

В теории вероятности — вероятность.

Вероятность, математичекий символ(X) — вероятность того, что произойдет событие X.

Множество рациональных чисел, математичекий символ

Множество рациональных чисел, математичекий символ

Множество рациональных чисел.

Множество рациональных чисел, математичекий символ={m/n | m∈Множество целых чисел, математичекий символ, n∈Множество натуральных чисел, математичекий символ}

Множество действительных чисел, математичекий символ

Множество действительных чисел, математичекий символ

Множество действительных чисел

Множество комплексных чисел, математичекий символ

Множество комплексных чисел, математичекий символ

Множество комплексных чисел.

Множество комплексных чисел, математичекий символ={a+bi | a,b∈Множество рациональных чисел, математичекий символ }, где i — мнимая единица.

Множество кватернионов Гамильтона, математичекий символ

Множество кватернионов Гамильтона, математичекий символ

Множество кватернионов (кватернионов Гамильтона).

Множество кватернионов Гамильтона, математичекий символ={a+b i +c j +d k | a,b,c,d∈Множество рациональных чисел, математичекий символ }, где { i, j, k } — стандартный базис трехмерного пространства.

Другими словами, a — это рациональное число, а b i +c j +d k — это вектор трехмерного пространства с координатами {b, c, d}.

O

O-большое в исследовании ассимптотического поведения функций. Описывает ассимптотическое поведение функции, когда ее аргумент стремится к числу или к бесконечности.

Запись f(x)=O(g(x)) при xa означает, что lim f(x)/g(x)=K при xa. Где К — константа.

Бесконечность, математичекий символ

Бесконечность. Элемент расширенной числовой прямой, который больше любого числа. Чаще всего употребляется, когда речь идет о пределах.

Округление до целого в меньшую сторону, математичекий символ

Огругление числа до целого в меньшую сторону.

Округление до целого в меньшую сторону, нижняя квадратная скобка, математичекий символxОкругление до целого в меньшую сторону, нижняя квадратная скобка, математичекий символ — это наибольшее целое число, меньшее или равное х.

Например, Округление до целого в меньшую сторону, нижняя квадратная скобка, математичекий символ3.4Округление до целого в меньшую сторону, нижняя квадратная скобка, математичекий символ=3, Округление до целого в меньшую сторону, нижняя квадратная скобка, математичекий символ-2, 3Округление до целого в меньшую сторону, нижняя квадратная скобка, математичекий символ= -3.

Округление до целого в большую сторону, математичекий символ

Огругление числа до целого в большую сторону.

Округление до целого в большую сторону, верхняя квадратная скобка, математичекий символxОкругление до целого в большую сторону, верхняя квадратная скобка, математичекий символ-это наименьшее целое число, большее или равное х.

Например, Округление до целого в большую сторону, верхняя квадратная скобка, математичекий символ3.4Округление до целого в большую сторону, верхняя квадратная скобка, математичекий символ=4, Округление до целого в большую сторону, верхняя квадратная скобка, математичекий символ-2.3Округление до целого в большую сторону, верхняя квадратная скобка, математичекий символ=-2.

Округление числа до ближайшего целого, математичекий символ

Огругление числа до ближайшего целого к нему.

Например, Округление числа до ближайшего целого, нижняя квадратная скобка, математичекий символ3.4Округление числа до ближайшего целого, верхняя квадратная скобка, математичекий символ=3, Округление числа до ближайшего целого, нижняя квадратная скобка, математичекий символ-4.6Округление числа до ближайшего целого, верхняя квадратная скобка, математичекий символ=-5, Округление числа до ближайшего целого, нижняя квадратная скобка, математичекий символ3.5Округление числа до ближайшего целого, верхняя квадратная скобка, математичекий символ=4.

Степень расширения поля, индекс подгруппы, математичекий символ

  • В теории полей — степень расширения поля. [E:K] — это степень расширения поля E:K, где E — это расширение поля K.

[E:K] — это по определению размерность векторного пространства E над K.

Например, [ : ]=2.

  • Индекс подгруппы

    Если H — подгруппа группы G, то [G:H] — индекс подгруппы H, т.е. число смежных классов по подгруппе H (или мощность множества смежных классов)

Класс эквивалентности, огругление до целого в меньшую сторону, округление до ближайшего целого числа, нотация, скобака айверсона, образ множества,математичекий символ

  • Класс эквивалентности. [a] — это множество элементов, эквивалентных a. Более точная запись — [a]R означает класс эквивалентности, порожденный элементом a относительно отношения эквивалентности R.
  • Огругление числа до целого в меньшую сторону.

    [x] — это наибольшее целое число, меньшее или равное х.

  • Огругление числа до ближайшего целого к нему.
  • Нотация Айверсона, или скобка Айверсона. Сопоставляет некоторому утверждению 1 или 0, в зависимости от того, истинно или ложно данное утверждение. Т.о., если S — некоторое утверждение, то [S]=0, если S — ложно, и [S]=1, если S — истинно.

Например, [2=3]=0; [4<5]=1.

  • Если f — функция, а X — некоторое подмножество ее области определения, то f[X] — образ множества X.

Иными словами, f[X]={f(x) | x∈X}

Отрезок, коммутатор, векторное произведение векторов, математичекий символ

  • Отрезок. [a,b]={x∈ | a≤x≤b}
  • В алгебре — коммутатор.

[g, h] = g-1h-1gh, если g, h∈G, где G — группа.

[a,b]=ab-ba, если a, b∈R, где R — кольцо.

[A, B]=AB-BA, если A и B — операторы.

  • Векторное произведение векторов.

Смешанное произведение векторов, математичекий символ

Смешанное произведение векторов.

Применение функции, количество сочетаний, порядок выполнения операций, скобки, математичекий символ

  • Образ элемента

f(x) — образ x при применении f.

  • Если f — функция, а X — некоторое подмножество ее области определения, то f(X) — образ множества X.

Иными словами, f(X)={f(x) | x∈X}

  • Количество сочетаний.

число сочетаний, математический символ

— число советаний из r элементов, выбранных из n элементов
  • Скобки, указывающие порядок выполнения операций. Операция в скобках выполняется в первую очередь.
(( ))

Количество мультимножеств

число мультимножеств, математический символ

-число различных мультимножеств мощности k, состоящих из элементов, выбранных из множества мощности n

Наибольший общий делитель, список, множество, кортеж, горизонтальный вектор, интервал, скалярное произведение, математичекий символ

  • Наибольший общий делитель.

(a, b)=НОД(a, b) — наибольший общий делитель чисел a и b.

  • Кортеж — упорядоченный набор (список) некоторых величин, или горизонтальный вектор.
  • Интервал

(a,b)={x∈Множество рациональных, действительных чисел, математический символ | a<x<b}

  • Скалярное произведение векторов

Интервал, математичекий символ

Интервал

(a,b)={x∈Множество рациональных, действительных чисел, математический символ | a<x<b}

Полуинтервал, математичекий символ

Полуинтервал (открытый слева)

(a,b)={x∈Множество рациональных, действительных чисел, математический символ | a<x≤b}

Полуинтервал, математичекий символ

Полуинтервал (открытый слева)

(a,b)={x∈Множество рациональных, действительных чисел, математический символ | a<x≤b}

Полуинтервал, математичекий символ

Полуинтервал (открытый справа)

(a,b)={x∈Множество рациональных, действительных чисел, математический символ | a≤x<b}

Полуинтервал, математичекий символ

Полуинтервал (открытый справа)

(a,b)={x∈Множество рациональных, действительных чисел, математический символ | a≤x<b}

Среднее значение, усреднение, линейная оболочка подмножества, группа, порожденная подмножеством, математичекий символ

  • Среднее значение, усреднение

<S> — среднее значение элементов множества S.

  • В линейной алгебре — линейная оболочка подмножества линейного пространства — пересечение всех подпространств, содержащих данное подмножество.

Если S — подмножество линейного пространства L, <S> — линейная оболочка множества S, т.е. прересечение всех подпространств линейного пространства L, содержащих в себе множество S.

  • В теории групп — группа, порожденная некоторым подмножеством элементов группы- минимальная подгруппа данной группы, содержащая в себе данное подмножество.

Если S — некоторое подмножество элементов группы G, то <S> — подгруппа G, порожденная S, т.е. минимальная подгруппа G, содержащая S.

Скалярное произведение векторов, линейная оболочка элементов, группа, порожденная элементами, кортеж, набор, горизонтальный вектор,математичекий символ

  • Скалярное произведение векторов в предгильбертовом пространстве. (Следует понимать, что скалярное произведение может быть определено множеством способов)
  • В линейной алгебре — линейная оболочка элементов линейного пространства- пересечение всех подпространств данного линейного пространства, содержащих данные элементы.

Если a1, a2…,an — векторы линейного пространства L, то <a1, a2…,an> — линейная оболочка векоторов a1, a2…,an т.е. пересечение всех подпространств пространства L, содержащих в себе векторы a1, a2…,an.

  • В теории групп — группа, порожденная данными элементами группы — минимальная подгруппа данной группы, содержащая в себе эти элементы.

Если a1, a2…,an— некоторые элементы группы G, то <a1, a2…,an> — подгруппа G, порожденная элементами a1, a2…,an, т.е. минимальная подгруппа G, содержащая в себе элементы a1, a2…,an.

  • Кортеж — упорядоченный набор (список) некоторых величин, или горизонтальный вектор.

Скалярное произведение, математичекий символ

Скалярное произведение векторов в предгильбертовом пространстве. (Следует понимать, что скалярное произведение может быть определено множеством способов)

Скалярное произведение, математичекий символ

Скалярное произведение векторов в предгильбертовом пространстве. (Следует понимать, что скалярное произведение может быть определено множеством способов)

кет-вектор, математичекий символ

В обозначениях Дирака — кет-вектор. |φ> — вектор φ некоторого гильбертого пространства

бра-вектор, математичекий символ

В обозначениях Дирака — бра-вектор из пространства, сопряженного некоторому гильбертовому пространству. <φ| — бра вектор, соответствующий кет-вектору |φ> (говорят, даже, совпадающий с кет-фектором |φ>), задающий линейный функционал, ставящий в соответствие каждому кет-вектору |ψ> скалярное произведение <φ|ψ>.

бра-вектор, математичекий символ

число советаний из r элементов, выбранных из n элементов

сумма, ряд, математичекий символ

Сумма, ряд.

сумма, ряд, математичекий символ

=a1+…+an

Прямое, декартово произведение, математичекий символ

  • Произведение

произведение, математичекий символ

=a1…an
  • В теории множеств — прямое (декартово) произведение множеств

Прямое, декартово произведение, математичекий символ

— множество n-местных кортежей (наборов), в которых на i-м месте стоит элемент из Yi.

Копроизведение, категорная сумма, математичекий символ

В теории категорий — копроизведение (категорная сумма)

Производная, математичекий символ

Производная. f'(x) — значение производной функции f в точке x (Тангенс угла наклона касательно к функции f в точке x).

Неопределенный, определенный, криволинейный, интеграл первого, второго рода по кривой, математичекий символ

  • Неопределенный интеграл (первообразная)
A(x)=

Неопределенный интеграл, математический символ

f(x)dx значит, что A'(x)=f(x).
  • Определенный интеграл.
Определенный интеграл, математический символ

f(x)dx

площадь (с учетом знака) фигуры, образованной графиком функции f(x)dx, прямой Ox и прямыми x=a и x=b.
  • Криволинейный интеграл по незамкнутой кривой (первого или второго рода).
Криволинейный интеграл первого рода, математический символ

f(x,y,z)dl

криволинейный интеграл первого рода функции f по кривой l.

Криволинейный интеграл второго рода, математический символ

f(x,y,z)dx

криволинейный интеграл второго рода функции f по кривой l.

Криволинейный интеграл второго рода, математический символ

f(x,y,z)dy

криволинейный интеграл второго рода функции f по кривой l.

Криволинейный интеграл второго рода, математический символ

f(x,y,z)dz

криволинейный интеграл второго рода функции f по кривой l.

Интеграл по контуру, поверхности, объему, математичекий символ

Интеграл по контуру (поверхности — знак интеграла удваивается, объему-знак интеграла утраивается).

Градиент, дивергенция, ротор, математичекий символ

  • Градиент

Градиент, математический символf(x1,…,xn)- вектор частных производных (f ‘x1,..,f ‘xn)

  • Дивергенция

Если вектор =vx i +vy j +vz k , где vx, vy, vz — функции от трех переменных x, y, z, а i, j, k — стандартный базис в пространстве, то

Дивергенция, математический символ

  • Ротор

Если вектор Ротор, вектор, математический символ=vx i +vy j +vz k ,

где vx, vy, vz — функции от трех переменных x, y, z,

а i, j, k — стандартный базис в пространстве, то
Ротор, математический символ
Ротор, математический символ

частная производная, граница множества, степень многочлена, математичекий символ

  • Частная производная
Частная производная, математический символ частная производная функции f по переменной xk, где f = f(x1,..,xk,..,xn)
  • В топологии — граница множества

Если M — некоторое множество, то граница множества, математический символ — граница множества M (другими словами, множество всех граничных точек множества M)

  • Степень многочлена

Если f — многочлен, то степень многослена, математический символ — степень многочлена f. Чаще встречается обозначение deg f.

Приращение, лапласиан, оператор лапласа, определитель матрицы математичекий символ

  • Приращение , дельта

приращение, дельта, математический символx — приращение (изменение) x

  • Лапласиан

Оператор Лапласа ставит функции от n переменных в соответствие ее дифференциал второго порядка.

  • Определитель матрицы

Приращение, лапласиан, оператор лапласа, определитель матрицы математичекий символ(А), где А — матрица

дельта функция, символ кронекера, математичекий символ

  • Дельта-функция

Дельта функция, математический символ

  • Символ Кронекера, индикатор равенства переменных

символ кронекера, математический символ

Проекция, число Пи, математичекий символ

  • В реляционной алгебре — проекция

Операция, которая из заданного отношения (таблицы) выбирает подмножество, которое получается выбором нескольких из имеющихся атрибутов и (если потребуется) вычеркиванием повторяющихся кортежей. Результатом перации проекция, математический символa,b,..,k(R) является таблица (отношение), полученная из таблицы R вычеркиванием атрибутов, не равных a,b,…k, и затем вычеркиванием одинаковых строчек (кортежей), если такие появились.

Например:

Если в изначальной таблице ЛЮДИ атрибутами являются рост, вес, пол, то результатом операции
проекция, математический символрост(ЛЮДИ)
будет таблица ЛЮДИ с одним атрибутом — рост, и если в ней окажутся одигнаковые строки, они будут вычеркнуты.

  • Число Пи

Математическая константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру. Примерное равенство3,14159265.

Выборка, математичекий символ

В реляционной алгебре — выборка

Операция Выборка, математический символaθb(v)(R), где a и b — атрибуты (или a-атрибут, а v -константа), а θ — бинарная операция из множества {<, ≤, =, ≥, >} выбирает из отношения R те кортежи, для атрибутов которых выполнено соотношение aθb (aθv).

Покрытие, смежные элементы диаграммы Хассе, математичекий символ

В теории порядка — покрытие (понятие, определяющее смежность вершин диаграммы Хассе некоторого частично-упорядоченного множества). Если X — множество с отношением частичного порядка ≤ , а отношение < на этом множестве задается следующим образом : a<b, если a≤b и а ≠ b, то элемент y покрывает элемент x и пишется xПокрытие, смежные элементы диаграммы Хассе, математичекий символy, если
а) x<y
б) не существует такого элемента z, что

x<z<y.

Если aПокрытие, смежные элементы диаграммы Хассе, математичекий символb, то вершины a и b диаграммы Хассе данного множества смежные.

Подтип, подкласс, дочерний класс, математичекий символ

В теории типов — подтип (подкласс, дочерний тип(класс)). Часто используется в объектно-ориентированном программировании.
SПодтип, подкласс, дочерний класс, математичекий символT значит, что S — подтип T, т.е. все элементы S являются элементами типа Т, и их объединяет какое-то общее свойство.
Например, КругиПодтип, подкласс, дочерний класс, математичекий символФигуры.
SПодтип, подкласс, дочерний класс, математичекий символT значит, что любой элемент типа S можно использовать в том месте, где ожидается использование элемента типа T, и при этом не возникнет ошибки.

Эрмитово, комплексно сопряженная матрица, математичекий символ

Эрмитово-сопряженная (комплексно-сопряженная) матрица.

A — матрица, полученная из матрицы A транспонированием и заменой каждого элемента матрицы A комплексно-сопряженным ему.

Чаще всего такая матрица обозначается A*, а также встречаются обозначения A*T, AT*, Эрмитово, комплексно сопряженная матрица, математичекий символ, Эрмитово, комплексно сопряженная матрица, математичекий символ.

Транспонированная матрица, математичекий символ

Транспонирование матрицы.

AT — матрица, в которой в качестве строк записаны столбцы матрицы А.
Другими словами, если А=(aij), то AT=(aji)

Верхний, наибольший элемент решетки, высший, универсальный тип, математичекий символ

  • Наибольший элемент решетки — в теории порядка

Верхний, наибольший элемент решетки, математичекий символ
— наибольший (верхний )элемент решетки.

  • Высший (универсальный) тип в теории типов.

высший, универсальный тип, математичекий символ — тип, который содержит в себе каждый возможный объект в данной системе типов.

Перпендикуляр, ортогональное дополнение, взаимно простые числа, независимые случайные события, наименьший нижний элемент решетки, нижайший тип, универсальный подтип, сравнимость элементов, математичекий символ

  • Перпендикуляр — в геометрии

x⊥y значит, что векторы (прямые) x и y перпендикулярны, или, в более общем случае, ортогональны.

  • Ортогональное дополнение подпространства — в линейной алгебре

Если W — подпространство предгильбертового пространства V, то W — ортогональное дополнение подпространства W, т.е. множество векторов пространства V, перпендикулярных каждому из векторов подпространства W.

  • Взаимно простые числа — в теории чисел

a⊥b значит, что наибольший общий делитель чисел a и b равен единице. Часто записывается как (a, b)=1

  • Независимость случайных событий — в теории вероятностей

A⊥B значит, что случайные события A и B независимы, т.е. наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого.

  • Наименьший (нижний) элемент решетки — в теории порядка

⊥ — наименьший (нижний) элемент решетки

  • Нижайший тип (универсальный подтип) — в теории типов

⊥ — тип, у которого нет подтипов

  • Сравнимость — в теории порядка

x⊥y значит, что элементы x и y частично упорядоченного множества сравнимы, т.е. про них известно, что x≤y или y≤x

Импликация, логическое следование, математичекий символ

Импликация (логическое следование) — в теории моделей

A Импликация, логическое следование, математичекий символB значит, что из А следует B, или A влечет B. В любой модели, где A Импликация, логическое следование, математичекий символB, если А верно, то и B верно.

Вывод, выводимость, математический символ

Вывод — в логике высказываний (предикатов).

A Вывод, выводимость, математический символB значит, что B выводится из A.

Тензорное произведение модулей, пространств, элементов, математичекий символ

Тензорное произведение (модулей) — в линейной алгебре.

Если A и B — линейные пространства, то
A
Тензорное произведение модулей, пространств, элементов, математичекий символB — их тензорное произведение, тоже линейное пространство

Если аЗначок принадлежности - математический символ.A и bЗначок принадлежности - математический символ.B, то

aТензорное произведение модулей, пространств, элементов, математичекий символb — их тензорное произведение, и

Если A и B — модули над коммутативным кольцом R, то A
Тензорное произведение модулей, пространств, элементов, математичекий символR B — их тензорное произведение, тоже модуль над кольцом R

Умножение, свертка функций, сопряжение комплексных чисел, группа единиц, обратимых элементов кольца, гипердействительные числа, звезда Ходжа, математичекий символ

  • Умножение

aУмножение, математический символb — произведение a и b

  • Свертка функций — в функциональном анализе
(f*g)(x) = Свертка функций, математический символ

f(y)g(x-y)dy,

где f, g — функции, определенные и интегрируемые относительно меры Лебега на пространстве Rd

  • Сопряжение комплексных чисел

z* — число, комплексно-сопряженное к z.

Если z=a+bi, то z*=a-bi

  • Группа единиц (обратимых элементов) кольца

R* — группа обратимых элементов кольца R

  • Гипердействительные числа

R* — расширение множества R действительных чисел, в котором каждый элемент представляется в виде суммы действительного числа и бесконечно малой добавки, бесконечно малые величины в котором являются величинами постоянными. В R* входят также бесконечно большие числа.

Вместо R можно использовать также другие множества, например, N*.

  • Звезда Ходжа

Линейный оператор из пространства p-векторов в пространства (n-p)-форм.

Если вектор v — поливектор степени p, то *v — дифференциальная форма степени n-p.

Среднее значение, сопряжение комплексных чисел, алгебраическое, топологическое замыкание, математичекий символ

  • Среднее значение — в статистике

среднее значение, математический символ— среднее значение величин xi

  • Сопряжение комплексных чисел

Среднее значение, сопряжение комплексных чисел, алгебраическое, топологическое замыкание, математичекий символ — число, комплексно-сопряженное к x.
Если x=a+bi, то Среднее значение, сопряжение комплексных чисел, алгебраическое, топологическое замыкание, математичекий символ=a-bi

  • Алгебраическое замыкание — в алгебре

алгебраическое замыкание, математический символ— алгебраическое замыкание поля T, т.е. алгебраически замкнутое расширение поля T. Поле называется алгебраически замкнутым, если каждый многочлен ненулевой степени над этим полем имеет хотя бы 1 корень.

  • Топологическое замыкание — в геометрии (топологии)

Если S — некоторое подмножество топологического пространства, то топологическое замыкание, математический символ— топологическое замыкание подмножества S, т.е. пересечение всех замкнутых надмножеств подмножества S.

  • Сортировка знак / легенда
  • Сортировка легенда / знак

Легенда (пояснение, расшифровка)

Символ (знак, сокращение)

Следовательно, таким образом, поэтому

1. Следовательно, таким образом, в результате, математическое сокращение

2. т.о.

3. Импликация (материальная), следовательно - математический знак (следовательно)

Потому что, из-за того что, вследствие того что, поскольку, в результате того, что

Из-за того что; вследствие того, что; поскольку -математическое сокращение

Конец доказательства, что и требовалось доказать

1. ЧТД, QED (Что и требовалось доказать, quod erat demonstrandum)

2. Что и требовалось доказать

3. Что и требовалось доказать = окончание доказательства

4. Что и требовалось доказать = окончание доказательства , математический символ

Таких что, так что, такие что

1. Условная вероятность, ограниченно..., таких что.... математический символ

A={x | |x|<1} читается: «А — множество x таких, что модуль x меньше 1» и значит, что множество А — множество элементов числовой прямой, лежащих между -1 и 1.

2. :

Математический знак - обозначение понятия - любой, для любого, для всех, для каждого.aЗначок принадлежности - математический символ.R Обозначение понятия - существует, математический знак bЗначок принадлежности - математический символ.R : a<b читается » для любого рационального числа a существует рациональное число b такое что a меньше b»

Материальная эквивалентность, равносильность, тогда и только тогда

1. Материальная эквивалетность, тогда и только тогда, математический символ.

2. Материальная эквивалетность, тогда и только тогда, математический символ.

Любой, для любого Математический знак - обозначение понятия - любой, для любого, для всех, для каждого.
Существует, найдется Обозначение понятия - существует, математический знак
Существует единственный Обозначение понятия - существует единственный, математический символ
Или Логическая дизъюнкция
Бесконечность Бесконечность, математичекий символ
Приращение, изменение Приращение, лапласиан, оператор лапласа, математичекий символ
Стремится Действие отображения, функции, стрелка, математический символ
Равно =
По определению равно 1. Равенстово по определению

2. Равно по определению

3. Математичесий символ равенства по определению

4. Математический знак равенства по определению

5. Сокрашенный знак равно по определению

6. Равенство по определению

По определению эквивалентно Равенство следующее из определения
Равно по модулю

Равенство по определению

Записывается aРавенство по определениюb (mod n), читается a равно b по модулю n.

Не равно Неравно, математический символ, знак неравенства
Приблизительно равно Примерное равенство
Сложение, ряд

1. Плюс, несвязное объединение или сумма - математический символ

2. сумма, ряд, математичекий символ (ряд)

сумма, ряд, математичекий символ

=a1+…+an
Вычитание Минус, противоположный, отрицательный, разность множеств - математический символ
Умножение, произведение

1. Умножить, скалярное произведение, группа единиц в теории колец

2. Умножить, скалярное произведение,  производная по времени, математический символ

3. *

4. произведение, математичекий символ

произведение, математичекий символ

=a1…an
Деление, разделить

1. :

2. Разделить, математический символ,Фактормножество, факторгруппа

3. Разделить, математический символ

Квадратный корень (действительный, мнимый) Корень квадратный, действительный или мнимый, математический знак
Возведение в степень

Логическая конъюнкция, математический символ — в строчной записи.

2^3 = 23

Факториал

!

n!=1*2*3…..*(n-1)*n читается n-факториал

Модуль числа

1. Модуль, длина вектора, определитель матрицы, мощность множества, математический символ

|a| — модуль а

2. Abs(a)

Плюс-минус, минус-плюс

1. Плюс - минус, с точностью, математический символ

2. Минус-плюс

имеет смысл только при употреблении вместе со знаком плюс минус cos(x ± y) = cos(x) cos(y) Минус-плюс sin(x) sin(y).

Больше Больше, математический символ
Больше или равно

1. Больше или равно, символ математический

2. >=

Меньше Меньше, математический символ
Меньше или равно

1. Меньше или равно, математический знак

2. <=

Много больше Много больше, сокращенная запись, математический символ
Много меньше Много меньше, знак
Числа одного порядка Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ
Приоритет операций ( )
Число сочетаний из n по r

1. число сочетаний, математический символ

2. бра-вектор, математичекий символ

Количество мультимножеств, число различных мультимножеств мощности k, состоящих из элементов, выбранных из множества мощности n

(( ))

число мультимножеств, математический символ

Число Пи Проекция, число Пи, математичекий символПримерное равенство3,14159265.
Кортеж , упорядоченный набор (список) некоторых величин, или горизонтальный вектор

1. Наибольший общий делитель, список, множество, кортеж, горизонтальный вектор, интервал, математичекий символ

2. Скалярное произведение векторов, линейная оболочка элементов, группа, порожденная элементами, кортеж, набор, горизонтальный вектор,математичекий символ

Среднее значение, усреднение

1. Среднее значение, усреднение, линейная оболочка подмножества, группа, порожденная подмножеством, математичекий символ

2. Среднее значение, сопряжение комплексных чисел, алгебраическое, топологическое замыкание, математичекий символ — в статистике

Множество, знак множества

1. Скобки множества или ряда, математический символ. — внутри скобок записываются элементы

2. Значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. — значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы «икс», такие что «для всех икс верно….».

3. Значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. — значок множества со значком определяющего признака элементов множеств. Читается, как элементы «икс», такие что «для всех икс верно….».

Пустое множество

1. Обозначение пустого множества математический символ.

2. Значок пустого множества.

3.Математический символ пустого множества.

Знак принадлежности множеству, принадлежит Значок принадлежности - математический символ.
Знак «не принадлежит множеству» Значок принадлежности - математический символ.
Множество натуральных чисел

Множество натуральных чисел, математический символ

Множество натуральных чисел, математический символ

Множество целых чисел

1. Множество целых чисел, математический символ, Множество целых чисел, математический символ

2. Множество положительных целых чисел, математический символ+, > — положительные целые числа

3. — неотрицательные целые числа

Множество рациональных чисел

Множество рациональных чисел, математичекий символ, Множество рациональных чисел, математичекий символ

Множество действительных чисел

Множество действительных чисел, математичекий символ, Множество действительных чисел, математичекий символ

Множество комплексных чисел

Множество комплексных чисел, математичекий символ, Множество комплексных чисел, математичекий символ

Множество кватернионов

Множество кватернионов Гамильтона, математичекий символ, Множество кватернионов Гамильтона, математичекий символ

Множество p-адических чисел

Множество p-адических чисел, математичекий символ, Множество p-адических чисел, математичекий символ

Стоит понимать, что вместо p может стоять любая буква, а в частном случае цифра.

Множество гипердействительных чисел

R*

— расширение множества R действительных чисел, в котором каждый элемент представляется в виде суммы действительного числа и бесконечно малой добавки, бесконечно малые величины в котором являются величинами постоянными. В R* входят также бесконечно большие числа.
Вместо R можно использовать также другие множества, например, N*.

Мощность множества, кардинальное число, количество элементов

1. Мощность или кардинальное число, связная сумма, праймориал, примориал - математический символ

2. Модуль, длина вектора, определитель матрицы, мощность множества, математический символ

Алеф — кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного вполне упорядоченного множества

Алеф, математический символ.

Бет — кардинальное число, характеризующее мощность бесконечного множества

Бет символ в теории множеств, математический символ

Континуум, мощность континуума

Мощность континуума, значок в теории множеств, математический символ
Знак подмножества

1. подмножество

А подмножество B — A — подмножество B

2.подмножество — строгое, истинное подмножество

А подмножество B — A — подмножество B, при этом AНеравно, математический символ, знак неравенстваB

Знак надмножества

1. подмножество

А подмножество B — A — надмножество B

2. подмножество

А подмножество B — A — надмножество B, при этом AНеравно, математический символ, знак неравенстваB

Объединение (множеств) Объединение множеств, математический символ
Пересечение (множеств) Пересечение множеств, математический символ
Симметрическая разность (множеств)

1.Симметрическая разность множеств, математический символ

2. Исключающее ИЛИ , прямая сумма - математический символ. — чаще употребляется в булевой алгебре, математической логике

Разность множеств

1. Разность множеств, относительное дополнение множеств, математический символ

2. (редко)

Прямое (декартово) произведение множеств 1. Прямое, декартово произведение, математичекий символ

Прямое, декартово произведение, математичекий символ

— множество n-местных кортежей (наборов), в которых на i-м месте стоит элемент из Yi.

2. Умножить, скалярное произведение, группа единиц в теории колец

Прямая сумма Исключающее ИЛИ , прямая сумма - математический символ.
Несвязное объединение, несвязная сумма, дизъюнктное объединение Плюс, несвязное объединение или сумма - математический символ
Логическое отрицание

1. Логическое отрицание = не, математический символ

2. Логическое отрицание = не, математический символ

3. !

Логическая конъюнкция

1. Логическая конъюнкция, математический символ

2. &

Логическая дизъюнкция Логическая дизъюнкция
Исключающее или Исключающее или в логике, математический знак
Импликация (логическое следование)

1. Импликация, логическое следование, математичекий символ

2. Импликация (материальная), следовательно - математический знак

3. Импликация (материальная) - математический знак

4. Импликация (материальная) - математический знак

Вывод в логике высказываний Вывод, выводимость, математический символ
Нотация Айверсона, или скобка Айверсона. Сопоставляет некоторому утверждению 1 или 0, в зависимости от того, истинно или ложно данное утверждение. Класс эквивалентности, огругление до целого в меньшую сторону, округление до ближайшего целого числа, нотация, скобака айверсона, образ множества,математичекий символ
Сведение по Карпу (Karp reduction) — теория сложности, левое сводимо по Карпу к правому, левое «не сложнее правого», естественно возможно и использование знака острием вправо (но нам лень было рисовать)

1. Сведение -приведение по Карпу

2. Знак пропорциональности, математический символ — иногда

Делитель, делит/ не делит нацело

1. Делитель, делит - математический символ — делит

2. Не делитель, не делит - математический символ — не делит

Точный делитель (при разложении числа в произведение степеней простых чисел — простое число в максимальной степени, делящее исходное) Параллельность или несравнимость - математический значок, символ
Взаимно простые числа Перпендикуляр, ортогональное дополнение, взаимно простые числа, независимые случайные события, наименьший нижний элемент решетки, нижайший тип, универсальный подтип, сравнимость элементов, математичекий символ
Примориал или праймориал Мощность или кардинальное число, связная сумма, праймориал, примориал - математический символ
Наибольший общий делитель

1.Наибольший общий делитель, список, множество, кортеж, горизонтальный вектор, интервал, скалярное произведение, математичекий символ

2. НОДНаибольший общий делитель, список, множество, кортеж, горизонтальный вектор, интервал, скалярное произведение, математичекий символ

Окргугление числа до целого

1. Округление до целого в меньшую сторону, математичекий символ — в меньшую сторону

2. Округление до целого в меньшую сторону, математичекий символ — в большую сторону

3. Округление до целого в меньшую сторону, математичекий символ — до ближайшего целого

4. Функция нахождения ближайшего целого числа, округления или норма - математический символ — до ближайшего целого

5. Класс эквивалентности, огругление до целого в меньшую сторону, округление до ближайшего целого числа, нотация, скобака айверсона, образ множества,математичекий символ — до ближайшего целого

6. Round(x) — до ближайшего целого

7. Nint(x) — до ближайшего целого

Сопряжение комплексных чисел

1. Умножение, свертка функций, сопряжение комплексных чисел, группа единиц, обратимых элементов кольца, гипердействительные числа, звезда Ходжа, математичекий символ

z* — число, комплексно-сопряженное к z

2. Среднее значение, сопряжение комплексных чисел, алгебраическое, топологическое замыкание, математичекий символ

Среднее значение, сопряжение комплексных чисел, алгебраическое, топологическое замыкание, математичекий символ — число, комплексно-сопряженное к x.
Если x=a+bi, то Среднее значение, сопряжение комплексных чисел, алгебраическое, топологическое замыкание, математичекий символ=a-bi

Пропорциональность Знак пропорциональности, математический символ
Отрезок Отрезок, коммутатор, векторное произведение векторов, математичекий символ
Интервал

1. Наибольший общий делитель, список, множество, кортеж, горизонтальный вектор, интервал, математичекий символ

2. Наибольший общий делитель, список, множество, кортеж, горизонтальный вектор, интервал, математичекий символ

Полуинтервал

1. Полуинтервал, математичекий символ — открытый слева

2. Полуинтервал, математичекий символ— открытый слева

3. Полуинтервал, математичекий символ— открытый справа

4. Полуинтервал, математичекий символ— открытый справа

Норма, длина вектора

1. Функция нахождения ближайшего целого числа, округления или норма - математический символ

2. Модуль, длина вектора, определитель матрицы, мощность множества, математический символ — евклидова норма

Обозначения Дирака: кет-вектор кет-вектор, математичекий символ
Обозначения Дирака: бра-вектор кет-вектор, математичекий символ
Скалярное произведение

1. Наибольший общий делитель, список, множество, кортеж, горизонтальный вектор, интервал, скалярное произведение, математичекий символ

2. Скалярное произведение векторов, линейная оболочка элементов, группа, порожденная элементами, кортеж, набор, горизонтальный вектор,математичекий символ

3. Скалярное произведение векторов, линейная оболочка элементов, группа, порожденная элементами, кортеж, набор, горизонтальный вектор,математичекий символ

4. Скалярное произведение векторов, линейная оболочка элементов, группа, порожденная элементами, кортеж, набор, горизонтальный вектор,математичекий символ

5. Умножить, скалярное произведение,  производная по времени, математический символ

Векторное произведение векторов

1. Отрезок, коммутатор, векторное произведение векторов, математичекий символ

2. Умножить, скалярное произведение, группа единиц в теории колец

Смешанное произведение векоторов Отрезок, коммутатор, векторное произведение векторов, математичекий символ
Ортогональность (перпендикулярность) Перпендикуляр, ортогональное дополнение, взаимно простые числа, независимые случайные события, наименьший нижний элемент решетки, нижайший тип, универсальный подтип, сравнимость элементов, математичекий символ
Параллельность Параллельность или несравнимость - математический значок, символ
Эквивалентность матриц Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ
Скалярное произведение матриц :
Определитель матрицы

1. Модуль, длина вектора, определитель матрицы, мощность множества, математический символ

2. det(A), где А — матрица

3. Приращение, лапласиан, оператор лапласа, определитель матрицы математичекий символ(А), где А — матрица

Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица, математичекий символ

АТ — транспонированная матрица А

Эрмитово-сопряженная (комплексно-сопряженная) матрица к матрице А

1. A

2.A*

3.А*T

4. AT*

5. Эрмитово, комплексно сопряженная матрица, математичекий символ

6.Эрмитово, комплексно сопряженная матрица, математичекий символ.

Произведение Адамара двух матриц одинакового размера Композиция функций, произведение адамара, математический символ
Определение функции, область определения и область значений функции

Действие отображения, функции, стрелка, математический символ

Запись f : X Действие отображения, функции, стрелка, математический символ Y означает, что отображение f переводит элементы множества X в элементы множества Y

Определение функции (отображения) , задание функции

Стрелка, определение отображения, математический символ

Запись f: a Стрелка, определение отображения, математический символ b означает, что отображение(функция) f переводит элемент а в элемент b.

Образ элемента/множества

1. Применение функции, количество сочетаний, порядок выполнения операций, скобки, математичекий символ

f(x) — образ элемента x;

f(X) — образ множества X

2. Класс эквивалентности, огругление до целого в меньшую сторону, округление до ближайшего целого числа, нотация, скобака айверсона, образ множества,математичекий символ — образ множества

f[X] — образ множества X

Ограничение функции на множестве, сужение области определения функции

Условная вероятность, ограниченно..., таких что.... математический символ

Если функция f определена на R, то f|N определена только на N и принимает на N те же значения, что и f

Композиция функций Композиция функций, математический символ
Производная

1. Производная, математичекий символ

2. Частная производная, математический символ

Частная производная, математический символ частная производная функции f по переменной xk, где f = f(x1,..,xk,..,xn)

3. Умножить, скалярное произведение,  производная по времени, математический символ — производная по времени (записывается над аргументом)

Интеграл, первообразная

1. Неопределенный, определенный, криволинейный, интеграл первого, второго рода по кривой, математичекий символ — неопределенный интеграл, первообразная

2. Определенный интеграл, математический символ — определенный интеграл

3. Определенный интеграл, математический символ — криволинейный интеграл

4. Определенный интеграл, математический символ — интеграл по контуру (поверхности — знак интеграла удваивается, объему-знак интеграла утраивается).

Свертка функция

Умножение, свертка функций, сопряжение комплексных чисел, группа единиц, обратимых элементов кольца, гипердействительные числа, звезда Ходжа, математичекий символ

(f*g)(x) = Свертка функций, математический символ

f(y)g(x-y)dy,

Градиент

Градиент, дивергенция, ротор, математичекий символ

Градиент, математический символf(x1,…,xn)- вектор частных производных (f ‘x1,..,f ‘xn)

Дивергенция

Градиент, дивергенция, ротор, математичекий символ

Дивергенция, математический символ

Ротор

Градиент, дивергенция, ротор, математичекий символ

Ротор, математический символ
Ротор, математический символ

Эквивалентность функций при определенной базе Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ
О-большое O
Степень многочлена

1. частная производная, граница множества, степень многочлена, математичекий символ

частная производная, граница множества, степень многочлена, математичекий символ — степень многочлена f

2. deg f

Лапласиан, оператор Лапласа Приращение, лапласиан, оператор лапласа, математичекий символ
Кольцо вычетов по модулю n 1. Кольцо вычетов по модулю n, математический символ

2. Кольцо вычетов по модулю n, математический символ

3. Z/(n)Z

4. Z/(n)

Проективное пространство

1. Проективное пространство, математичекий символ

2. Проективное пространство, математичекий символ

Изоморфизм

1. Примерное равенство

2. Конгруэнтность, изоморфизм

Конгруэнтность Конгруэнтность, изоморфизм
Коммутатор

Отрезок, коммутатор, векторное произведение векторов, математичекий символ

[g, h] = g-1h-1gh, если g, h∈G, где G — группа.

[a,b]=ab-ba, если a, b∈R, где R — кольцо.

[A, B]=AB-BA, если A и B — операторы

Группа, порожденная подмножеством/элементом группы

1. Среднее значение, усреднение, линейная оболочка подмножества, группа, порожденная подмножеством, математичекий символ

Если S — некоторое подмножество элементов группы G, то <S> — подгруппа G, порожденная S

2. Среднее значение, усреднение, линейная оболочка подмножества, группа, порожденная подмножеством, математичекий символ

Если a1, a2…,an— некоторые элементы группы G, то <a1, a2…,an> — подгруппа G, порожденная элементами a1, a2…,an

Линейная оболочка подмножества/векторов линейного пространства

1. Среднее значение, усреднение, линейная оболочка подмножества, группа, порожденная подмножеством, математичекий символ

Если S — подмножество линейного пространства L, <S> — линейная оболочка множества S

2. Среднее значение, усреднение, линейная оболочка подмножества, группа, порожденная подмножеством, математичекий символ

Если a1, a2…,an — векторы линейного пространства L, то <a1, a2…,an> — линейная оболочка векоторов a1, a2…,an т.е. пересечение всех подпространств пространства L, содержащих в себе векторы a1, a2…,an.

Ортогональное дополнение подпространства

Если W — подпространство предгильбертового пространства V, то W — ортогональное дополнение подпространства W

Тензорное произведение Тензорное произведение модулей, пространств, элементов, математичекий символ
Нормальная (инвариантная) подгруппа Инвариантная (нормальная) подгруппа а также дивизор - математический символ

дивизор
Идеал кольца Инвариантная (нормальная) подгруппа а также дивизор - математический символ

дивизор
Индекс подгруппы

Степень расширения поля, индекс подгруппы, математичекий символ

Если H — подгруппа группы G, то [G:H] — индекс подгруппы H

Расширение поля

:

E:K значит, что E — это расширение поля K

Степень расширения поля

Степень расширения поля, индекс подгруппы, математичекий символ

[E:K] — это степень расширения поля E:K, где E — это расширение поля K.

Факторгруппа

Разделить, математический символ,Фактормножество, факторгруппа

Если G -группа, а H- ее нормальная подгруппа, то G/H — факторгруппа G по H, т.е. группа классов смежности H в G

Фактормножество

Разделить, математический символ,Фактормножество, факторгруппа

Если X — множество с заданным на нем отношением эквивалентности Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ, то X/Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ — фактормножество, т.е. множество классов эквивалентности относительно Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ

Сплетение групп

1. Веночное произведение, сплетение в теории  групп. Символ.

2. АwrВ

Граница множества

граница множества, математический символ

Если M — некоторое множество,
то граница множества, математический символ — граница множества M

Группа единиц (обратимых элементов) кольца

1. R*

2. Rx

3. U(R)

Звезда Ходжа Умножение, свертка функций, сопряжение комплексных чисел, группа единиц, обратимых элементов кольца, гипердействительные числа, звезда Ходжа, математичекий символ
Замыкание (алгебраическое, топологическое) алгебраическое замыкание, математический символ
Полупрямое произведение групп Полупрямое произведение групп, Полусоединение отношений, semijoin, математический символ
Копроизведение (категорная сумма) Копроизведение, категорная сумма, математичекий символ
Антисоединение отношений (Antijoin) — реляционная алгебра Антисоединение отношений, Antijoin, математический символ
Полусоединение отношений (Semijoin) — реляционная алгебра Полупрямое произведение групп, Полусоединение отношений, semijoin, математический символ или Полупрямое произведение групп, Полусоединение отношений, semijoin, математический символ
Естественное соединение отношений (Natural Join) — реляционная алгебра Естественное  соединение отношений, Natural join, математический символ
Проекция — реляционная алгебра

проекция, математический символ

проекция, математический символa,b,..,k(R) — где a, b,…, k — атрибуты,
R — отношение

Выборка — реляционная алгебра

Выборка, математический символ

Выборка, математический символaθb(R) — где a — атрибут, b — атрибут или константа, θ — бинарная операция из множества {<, ≤, =, ≥, >}, а R — отношение

Отношение эквивалентности, принадлежность одному классу эквивалентности Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ
Класс эквивалентности

Класс эквивалентности, огругление до целого в меньшую сторону, округление до ближайшего целого числа, нотация, скобака айверсона, образ множества,математичекий символ

[a] — это множество элементов, эквивалентных a. Более точная запись — [a]R означает класс эквивалентности, порожденный элементом a относительно отношения эквивалентности R

Вероятность события X

1. Вероятность, математичекий символ(X)

2. Вероятность, математичекий символ(X)

3. P(X)

4. Pr(X)

5. P[X]

6. Pr[X]

Условная вероятность

Условная вероятность, ограниченно..., таких что.... математический символ

P(A|B) — вероятность события А, при условии, что событие B уже произошло

Независимость случайных событий Перпендикуляр, ортогональное дополнение, взаимно простые числа, независимые случайные события, наименьший нижний элемент решетки, нижайший тип, универсальный подтип, сравнимость элементов, математичекий символ
Распределение вероятности случайной величины Грубая апроксимация, приблизительно описывается, математический символ
Несравнимость в теории порядка Параллельность или несравнимость - математический значок, символ
Сравнимость в теории порядка Перпендикуляр, ортогональное дополнение, взаимно простые числа, независимые случайные события, наименьший нижний элемент решетки, нижайший тип, универсальный подтип, сравнимость элементов, математичекий символ
Покрытие в теории порядка

Покрытие, смежные элементы диаграммы Хассе, математичекий символ

xПокрытие, смежные элементы диаграммы Хассе, математичекий символy — элемент y покрывает элемент x

Наибольший (верхний )элемент решетки в теории порядка Верхний, наибольший элемент решетки, математичекий символ
Наименьший (нижний) элемент решетки Перпендикуляр, ортогональное дополнение, взаимно простые числа, независимые случайные события, наименьший нижний элемент решетки, нижайший тип, универсальный подтип, сравнимость элементов, математичекий символ
Подтип, подкласс, дочерний класс в теории типов

Подтип, подкласс, дочерний класс, математичекий символ

SПодтип, подкласс, дочерний класс, математичекий символT значит, что S — подтип T

Высший (универсальный) тип в теории типов Верхний, наибольший элемент решетки, математичекий символ
Нижайший тип (универсальный подтип) в теории типов Перпендикуляр, ортогональное дополнение, взаимно простые числа, независимые случайные события, наименьший нижний элемент решетки, нижайший тип, универсальный подтип, сравнимость элементов, математичекий символ
Дельта-функция

дельта функция, символ кронекера, математичекий символ

Дельта функция, математический символ

Символ Кронекера, индикатор равенства переменных

дельта функция, символ кронекера, математичекий символ

символ кронекера, математический символ

  • Сортировка знак / легенда
  • Сортировка легенда / знак

A mathematical symbol is a figure or a combination of figures that is used to represent a mathematical object, an action on mathematical objects, a relation between mathematical objects, or for structuring the other symbols that occur in a formula. As formulas are entirely constituted with symbols of various types, many symbols are needed for expressing all mathematics.

The most basic symbols are the decimal digits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), and the letters of the Latin alphabet. The decimal digits are used for representing numbers through the Hindu–Arabic numeral system. Historically, upper-case letters were used for representing points in geometry, and lower-case letters were used for variables and constants. Letters are used for representing many other sorts of mathematical objects. As the number of these sorts has remarkably increased in modern mathematics, the Greek alphabet and some Hebrew letters are also used. In mathematical formulas, the standard typeface is italic type for Latin letters and lower-case Greek letters, and upright type for upper case Greek letters. For having more symbols, other typefaces are also used, mainly boldface {displaystyle mathbf {a,A,b,B} ,ldots }, script typeface {displaystyle {mathcal {A,B}},ldots } (the lower-case script face is rarely used because of the possible confusion with the standard face), German fraktur {displaystyle {mathfrak {a,A,b,B}},ldots }, and blackboard bold {displaystyle mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}} (the other letters are rarely used in this face, or their use is unconventional).

The use of Latin and Greek letters as symbols for denoting mathematical objects is not described in this article. For such uses, see Variable (mathematics) and List of mathematical constants. However, some symbols that are described here have the same shape as the letter from which they are derived, such as {displaystyle textstyle prod {}} and {displaystyle textstyle sum {}}.

These letters alone are not sufficient for the needs of mathematicians, and many other symbols are used. Some take their origin in punctuation marks and diacritics traditionally used in typography; others by deforming letter forms, as in the cases of in and forall . Others, such as + and =, were specially designed for mathematics.

Layout of this article[edit]

Normally, entries of a glossary are structured by topics and sorted alphabetically. This is not possible here, as there is no natural order on symbols, and many symbols are used in different parts of mathematics with different meanings, often completely unrelated. Therefore, some arbitrary choices had to be made, which are summarized below.

The article is split into sections that are sorted by an increasing level of technicality. That is, the first sections contain the symbols that are encountered in most mathematical texts, and that are supposed to be known even by beginners. On the other hand, the last sections contain symbols that are specific to some area of mathematics and are ignored outside these areas. However, the long section on brackets has been placed near to the end, although most of its entries are elementary: this makes it easier to search for a symbol entry by scrolling.

Most symbols have multiple meanings that are generally distinguished either by the area of mathematics where they are used or by their syntax, that is, by their position inside a formula and the nature of the other parts of the formula that are close to them.

As readers may not be aware of the area of mathematics to which is related the symbol that they are looking for, the different meanings of a symbol are grouped in the section corresponding to their most common meaning.

When the meaning depends on the syntax, a symbol may have different entries depending on the syntax. For summarizing the syntax in the entry name, the symbol Box is used for representing the neighboring parts of a formula that contains the symbol. See § Brackets for examples of use.

Most symbols have two printed versions. They can be displayed as Unicode characters, or in LaTeX format. With the Unicode version, using search engines and copy-pasting are easier. On the other hand, the LaTeX rendering is often much better (more aesthetic), and is generally considered a standard in mathematics. Therefore, in this article, the Unicode version of the symbols is used (when possible) for labelling their entry, and the LaTeX version is used in their description. So, for finding how to type a symbol in LaTeX, it suffices to look at the source of the article.

For most symbols, the entry name is the corresponding Unicode symbol. So, for searching the entry of a symbol, it suffices to type or copy the Unicode symbol into the search textbox. Similarly, when possible, the entry name of a symbol is also an anchor, which allows linking easily from another Wikipedia article. When an entry name contains special characters such as [, ], and |, there is also an anchor, but one has to look at the article source to know it.

Finally, when there is an article on the symbol itself (not its mathematical meaning), it is linked to in the entry name.

Arithmetic operators[edit]

+
1.  Denotes addition and is read as plus; for example, 3 + 2.
2.  Denotes that a number is positive and is read as plus. Redundant, but sometimes used for emphasizing that a number is positive, specially when other numbers in the context are or may be negative; for example, +2.
3.  Sometimes used instead of sqcup for a disjoint union of sets.
1.  Denotes subtraction and is read as minus; for example, 3 – 2.
2.  Denotes the additive inverse and is read as negative or the opposite of; for example, –2.
3.  Also used in place of for denoting the set-theoretic complement; see in § Set theory.
×
1.  In elementary arithmetic, denotes multiplication, and is read as times; for example, 3 × 2.
2.  In geometry and linear algebra, denotes the cross product.
3.  In set theory and category theory, denotes the Cartesian product and the direct product. See also × in § Set theory.
·
1.  Denotes multiplication and is read as times; for example, 3 ⋅ 2.
2.  In geometry and linear algebra, denotes the dot product.
3.  Placeholder used for replacing an indeterminate element. For example, «the absolute value is denoted | · |» is clearer than saying that it is denoted as | |.
±
1.  Denotes either a plus sign or a minus sign.
2.  Denotes the range of values that a measured quantity may have; for example, 10 ± 2 denotes an unknown value that lies between 8 and 12.
Used paired with ±, denotes the opposite sign; that is, + if ± is , and if ± is +.
÷
Widely used for denoting division in anglophone countries, it is no longer in common use in mathematics and its use is «not recommended».[1] In some countries, it can indicate subtraction.
:
1.  Denotes the ratio of two quantities.
2.  In some countries, may denote division.
3.  In set-builder notation, it is used as a separator meaning «such that»; see {□ : □}.
/
1.  Denotes division and is read as divided by or over. Often replaced by a horizontal bar. For example, 3 / 2 or {displaystyle {frac {3}{2}}}.
2.  Denotes a quotient structure. For example, quotient set, quotient group, quotient category, etc.
3.  In number theory and field theory, {displaystyle F/E} denotes a field extension, where F is an extension field of the field E.
4.  In probability theory, denotes a conditional probability. For example, {displaystyle P(A/B)} denotes the probability of A, given that B occurs. Also denoted P(Amid B): see «|«.
Denotes square root and is read as the square root of. Rarely used in modern mathematics without a horizontal bar delimiting the width of its argument (see the next item). For example, √2.
  
1.  Denotes square root and is read as the square root of. For example, {displaystyle {sqrt {3+2}}}.
2.  With an integer greater than 2 as a left superscript, denotes an nth root. For example, {displaystyle {sqrt[{7}]{3}}}.
^
1.  Exponentiation is normally denoted with a superscript. However, x^y is often denoted x^y when superscripts are not easily available, such as in programming languages (including LaTeX) or plain text emails.
2.  Not to be confused with ∧.

Equality, equivalence and similarity[edit]

=
1.  Denotes equality.
2.  Used for naming a mathematical object in a sentence like «let {displaystyle x=E}«, where E is an expression. On a blackboard and in some mathematical texts, this may be abbreviated as {displaystyle x,{stackrel {mathrm {def} }{=}},E} or {displaystyle xtriangleq E.} This is related to the concept of assignment in computer science, which is variously denoted (depending on the programming language used) {displaystyle =,:=,leftarrow ,ldots }
Denotes inequality and means «not equal».
Means «is approximately equal to». For example, {displaystyle pi approx {frac {22}{7}}} (for a more accurate approximation, see pi).
~
1.  Between two numbers, either it is used instead of to mean «approximatively equal», or it means «has the same order of magnitude as».
2.  Denotes the asymptotic equivalence of two functions or sequences.
3.  Often used for denoting other types of similarity, for example, matrix similarity or similarity of geometric shapes.
4.  Standard notation for an equivalence relation.
5.  In probability and statistics, may specify the probability distribution of a random variable. For example, Xsim N(0,1) means that the distribution of the random variable X is standard normal.[2]
6.  Notation for showing proportionality. See also ∝ for a less ambiguous symbol.
1.  Denotes an identity, that is, an equality that is true whichever values are given to the variables occurring in it.
2.  In number theory, and more specifically in modular arithmetic, denotes the congruence modulo an integer.
cong
1.  May denote an isomorphism between two mathematical structures, and is read as «is isomorphic to».
2.  In geometry, may denote the congruence of two geometric shapes (that is the equality up to a displacement), and is read «is congruent to».

Comparison[edit]

<
1.  Strict inequality between two numbers; means and is read as «less than».
2.  Commonly used for denoting any strict order.
3.  Between two groups, may mean that the first one is a proper subgroup of the second one.
>
1.  Strict inequality between two numbers; means and is read as «greater than».
2.  Commonly used for denoting any strict order.
3.  Between two groups, may mean that the second one is a proper subgroup of the first one.
1.  Means «less than or equal to». That is, whatever A and B are, AB is equivalent to A < B or A = B.
2.  Between two groups, may mean that the first one is a subgroup of the second one.
1.  Means «greater than or equal to». That is, whatever A and B are, AB is equivalent to A > B or A = B.
2.  Between two groups, may mean that the second one is a subgroup of the first one.
≪ , ≫
1.  Means «much less than» and «much greater than». Generally, much is not formally defined, but means that the lesser quantity can be neglected with respect to the other. This is generally the case when the lesser quantity is smaller than the other by one or several orders of magnitude.
2.  In measure theory, {displaystyle mu ll nu } means that the measure mu is absolutely continuous with respect to the measure nu .
1.  A rarely used synonym of . Despite the easy confusion with , some authors use it with a different meaning.
≺ , ≻
Often used for denoting an order or, more generally, a preorder, when it would be confusing or not convenient to use < and >.

Set theory[edit]

Denotes the empty set, and is more often written emptyset . Using set-builder notation, it may also be denoted {}.
#
1.  Number of elements: {displaystyle #{}S} may denote the cardinality of the set S. An alternative notation is |S|; see {displaystyle |square |}.
2.  Primorial: {displaystyle n{}#} denotes the product of the prime numbers that are not greater than n.
3.  In topology, {displaystyle M#N} denotes the connected sum of two manifolds or two knots.
Denotes set membership, and is read «in» or «belongs to». That is, xin S means that x is an element of the set S.
Means «not in». That is, {displaystyle xnotin S} means {displaystyle neg (xin S)}.
Denotes set inclusion. However two slightly different definitions are common.
1.  Asubset B may mean that A is a subset of B, and is possibly equal to B; that is, every element of A belongs to B; in formula, {displaystyle forall {}x,,xin ARightarrow xin B}.
2.  Asubset B may mean that A is a proper subset of B, that is the two sets are different, and every element of A belongs to B; in formula, {displaystyle Aneq Bland forall {}x,,xin ARightarrow xin B}.
Asubseteq B means that A is a subset of B. Used for emphasizing that equality is possible, or when the second definition of Asubset B is used.
{displaystyle Asubsetneq B} means that A is a proper subset of B. Used for emphasizing that Aneq B, or when the first definition of Asubset B is used.
⊃, ⊇, ⊋
Denote the converse relation of subset , subseteq , and subsetneq respectively. For example, Bsupset A is equivalent to Asubset B.
Denotes set-theoretic union, that is, Acup B is the set formed by the elements of A and B together. That is, {displaystyle Acup B={xmid (xin A)lor (xin B)}}.
Denotes set-theoretic intersection, that is, Acap B is the set formed by the elements of both A and B. That is, {displaystyle Acap B={xmid (xin A)land (xin B)}}.
Set difference; that is, {displaystyle Asetminus B} is the set formed by the elements of A that are not in B. Sometimes, A-B is used instead; see – in § Arithmetic operators.
or triangle
Symmetric difference: that is, Aominus B or {displaystyle Aoperatorname {triangle } B} is the set formed by the elements that belong to exactly one of the two sets A and B.
1.  With a subscript, denotes a set complement: that is, if Bsubseteq A, then {displaystyle complement _{A}B=Asetminus B}.
2.  Without a subscript, denotes the absolute complement; that is, {displaystyle complement A=complement _{U}A}, where U is a set implicitly defined by the context, which contains all sets under consideration. This set U is sometimes called the universe of discourse.
×
See also × in § Arithmetic operators.
1.  Denotes the Cartesian product of two sets. That is, Atimes B is the set formed by all pairs of an element of A and an element of B.
2.  Denotes the direct product of two mathematical structures of the same type, which is the Cartesian product of the underlying sets, equipped with a structure of the same type. For example, direct product of rings, direct product of topological spaces.
3.  In category theory, denotes the direct product (often called simply product) of two objects, which is a generalization of the preceding concepts of product.
Denotes the disjoint union. That is, if A and B are sets then {displaystyle Asqcup B=left(Atimes {i_{A}}right)cup left(Btimes {i_{B}}right)} is a set of pairs where iA and iB are distinct indices discriminating the members of A and B in {displaystyle Asqcup B}.
1.  An alternative to sqcup .
2.  Denotes the coproduct of mathematical structures or of objects in a category.

Basic logic[edit]

Several logical symbols are widely used in all mathematics, and are listed here. For symbols that are used only in mathematical logic, or are rarely used, see List of logic symbols.

¬
Denotes logical negation, and is read as «not». If E is a logical predicate, {displaystyle neg E} is the predicate that evaluates to true if and only if E evaluates to false. For clarity, it is often replaced by the word «not». In programming languages and some mathematical texts, it is sometimes replaced by «~» or «!«, which are easier to type on some keyboards.
1.  Denotes the logical or, and is read as «or». If E and F are logical predicates, {displaystyle Elor F} is true if either E, F, or both are true. It is often replaced by the word «or».
2.  In lattice theory, denotes the join or least upper bound operation.
3.  In topology, denotes the wedge sum of two pointed spaces.
1.  Denotes the logical and, and is read as «and». If E and F are logical predicates, {displaystyle Eland F} is true if E and F are both true. It is often replaced by the word «and» or the symbol «&«.
2.  In lattice theory, denotes the meet or greatest lower bound operation.
3.  In multilinear algebra, geometry, and multivariable calculus, denotes the wedge product or the exterior product.
Exclusive or: if E and F are two Boolean variables or predicates, {displaystyle Eveebar F} denotes the exclusive or. Notations E XOR F and {displaystyle Eoplus F} are also commonly used; see ⊕.
1.  Denotes universal quantification and is read as «for all». If E is a logical predicate, {displaystyle forall xE} means that E is true for all possible values of the variable x.
2.  Often used improperly[3] in plain text as an abbreviation of «for all» or «for every».
1.  Denotes existential quantification and is read «there exists … such that». If E is a logical predicate, {displaystyle exists xE} means that there exists at least one value of x for which E is true.
2.  Often used improperly[3] in plain text as an abbreviation of «there exists».
∃!
Denotes uniqueness quantification, that is, {displaystyle exists !xP} means «there exists exactly one x such that P (is true)». In other words,
{displaystyle exists !xP(x)} is an abbreviation of exists x,( P(x) , wedge neg exists y,(P(y) wedge y  ne x)).
1.  Denotes material conditional, and is read as «implies». If P and Q are logical predicates, PRightarrow Q means that if P is true, then Q is also true. Thus, PRightarrow Q is logically equivalent with {displaystyle Qlor neg P}.
2.  Often used improperly[3] in plain text as an abbreviation of «implies».
1.  Denotes logical equivalence, and is read «is equivalent to» or «if and only if». If P and Q are logical predicates, PLeftrightarrow Q is thus an abbreviation of {displaystyle (PRightarrow Q)land (QRightarrow P)}, or of {displaystyle (Pland Q)lor (neg Pland neg Q)}.
2.  Often used improperly[3] in plain text as an abbreviation of «if and only if».
1.  top denotes the logical predicate always true.
2.  Denotes also the truth value true.
3.  Sometimes denotes the top element of a bounded lattice (previous meanings are specific examples).
4.  For the use as a superscript, see .
1.  bot denotes the logical predicate always false.
2.  Denotes also the truth value false.
3.  Sometimes denotes the bottom element of a bounded lattice (previous meanings are specific examples).
4.  In Cryptography often denotes an error in place of a regular value.
5.  For the use as a superscript, see .
6.  For the similar symbol, see perp .

Blackboard bold[edit]

The blackboard bold typeface is widely used for denoting the basic number systems. These systems are often also denoted by the corresponding uppercase bold letter. A clear advantage of blackboard bold is that these symbols cannot be confused with anything else. This allows using them in any area of mathematics, without having to recall their definition. For example, if one encounters mathbb {R} in combinatorics, one should immediately know that this denotes the real numbers, although combinatorics does not study the real numbers (but it uses them for many proofs).

mathbb N
Denotes the set of natural numbers {displaystyle {1,2,ldots }}, or sometimes {displaystyle {0,1,2,ldots }}. It is often denoted also by {mathbf  N}. When the distinction is important and readers might assume either definition, mathbb {N} _{1} and mathbb {N} _{0} are used, respectively, to denote one of them unambiguously.
mathbb {Z}
Denotes the set of integers {displaystyle {ldots ,-2,-1,0,1,2,ldots }}. It is often denoted also by {mathbf  Z}.
mathbb {Z} _{p}
1.  Denotes the set of p-adic integers, where p is a prime number.
2.  Sometimes, {displaystyle mathbb {Z} _{n}} denotes the integers modulo n, where n is an integer greater than 0. The notation {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } is also used, and is less ambiguous.
mathbb {Q}
Denotes the set of rational numbers (fractions of two integers). It is often denoted also by mathbf Q.
mathbb {Q} _{p}
Denotes the set of p-adic numbers, where p is a prime number.
mathbb {R}
Denotes the set of real numbers. It is often denoted also by mathbf {R} .
mathbb {C}
Denotes the set of complex numbers. It is often denoted also by mathbf C.
mathbb {H}
Denotes the set of quaternions. It is often denoted also by mathbf {H} .
mathbb {F} _{q}
Denotes the finite field with q elements, where q is a prime power (including prime numbers). It is denoted also by GF(q).
mathbb {O}
Used on rare occasions to denote the set of octonions. It is often denoted also by {displaystyle mathbf {O} }.

Calculus[edit]

Lagrange’s notation for the derivative: If f is a function of a single variable, f', read as «f prime», is the derivative of f with respect to this variable. The second derivative is the derivative of f', and is denoted f''.
{displaystyle {dot {Box }}}
Newton’s notation, most commonly used for the derivative with respect to time: If x is a variable depending on time, then {dot {x}} is its derivative with respect to time. In particular, if x represents a moving point, then {dot {x}} is its velocity.
{displaystyle {ddot {Box }}}
Newton’s notation, for the second derivative: If x is a variable that represents a moving point, then {ddot  x} is its acceleration.
d □/d □
Leibniz’s notation for the derivative, which is used in several slightly different ways.
1.  If y is a variable that depends on x, then {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}}, read as «d y over d x», is the derivative of y with respect to x.
2.  If f is a function of a single variable x, then {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}} is the derivative of f, and
{displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}(a)} is the value of the derivative at a.
3.  Total derivative: If {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})} is a function of several variables that depend on x, then {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}} is the derivative of f considered as a function of x. That is, {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{dx}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x_{i}}},{frac {mathrm {d} x_{i}}{mathrm {d} x}}}.
∂ □/∂ □
Partial derivative: If {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})} is a function of several variables, {displaystyle textstyle {frac {partial f}{partial x_{i}}}} is the derivative with respect to the ith variable considered as an independent variable, the other variables being considered as constants.
𝛿 □/𝛿 □
Functional derivative: If {displaystyle f(y_{1},ldots ,y_{n})} is a functional of several functions, {displaystyle textstyle {frac {delta f}{delta y_{i}}}} is the functional derivative with respect to the nth function considered as an independent variable, the other functions being considered constant.
{displaystyle {overline {Box }}}
1.  Complex conjugate: If z is a complex number, then {overline {z}} is its complex conjugate. For example, {displaystyle {overline {a+bi}}=a-bi}.
2.  Topological closure: If S is a subset of a topological space T, then {overline {S}} is its topological closure, that is, the smallest closed subset of T that contains S.
3.  Algebraic closure: If F is a field, then {overline {F}} is its algebraic closure, that is, the smallest algebraically closed field that contains F. For example, {displaystyle {overline {mathbb {Q} }}} is the field of all algebraic numbers.
4.  Mean value: If x is a variable that takes its values in some sequence of numbers S, then {overline {x}} may denote the mean of the elements of S.
1.  Ato B denotes a function with domain A and codomain B. For naming such a function, one writes f:A to B, which is read as «f from A to B«.
2.  More generally, Ato B denotes a homomorphism or a morphism from A to B.
3.  May denote a logical implication. For the material implication that is widely used in mathematics reasoning, it is nowadays generally replaced by ⇒. In mathematical logic, it remains used for denoting implication, but its exact meaning depends on the specific theory that is studied.
4.  Over a variable name, means that the variable represents a vector, in a context where ordinary variables represent scalars; for example, {displaystyle {overrightarrow {v}}}. Boldface (mathbf {v} ) or a circumflex ({displaystyle {hat {v}}}) are often used for the same purpose.
5.  In Euclidean geometry and more generally in affine geometry, overrightarrow {PQ} denotes the vector defined by the two points P and Q, which can be identified with the translation that maps P to Q. The same vector can be denoted also {displaystyle Q-P}; see Affine space.
Used for defining a function without having to name it. For example, xmapsto x^2 is the square function.
[4]
1.  Function composition: If f and g are two functions, then gcirc f is the function such that {displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))} for every value of x.
2.  Hadamard product of matrices: If A and B are two matrices of the same size, then {displaystyle Acirc B} is the matrix such that {displaystyle (Acirc B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}. Possibly, circ is also used instead of for the Hadamard product of power series.[citation needed]
1.  Boundary of a topological subspace: If S is a subspace of a topological space, then its boundary, denoted partial S, is the set difference between the closure and the interior of S.
2.  Partial derivative: see ∂□/∂□.
1.  Without a subscript, denotes an antiderivative. For example, {displaystyle textstyle int x^{2}dx={frac {x^{3}}{3}}+C}.
2.  With a subscript and a superscript, or expressions placed below and above it, denotes a definite integral. For example, {displaystyle textstyle int _{a}^{b}x^{2}dx={frac {b^{3}-a^{3}}{3}}}.
3.  With a subscript that denotes a curve, denotes a line integral. For example, {displaystyle textstyle int _{C}f=int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)operatorname {d} t}, if r is a parametrization of the curve C, from a to b.
Often used, typically in physics, instead of {displaystyle textstyle int } for line integrals over a closed curve.
∬, ∯
Similar to {displaystyle textstyle int } and {displaystyle textstyle oint } for surface integrals.
boldsymbol{nabla} or {vec  {nabla }}
Nabla, the gradient or vector derivative operator {displaystyle textstyle left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)}, also called del or grad.
2 or ∇⋅∇
Laplace operator or Laplacian: {displaystyle textstyle {frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}}. The forms nabla ^{2} and {displaystyle {boldsymbol {nabla }}cdot {boldsymbol {nabla }}} represent the dot product of the gradient (boldsymbol{nabla} or {vec  {nabla }}) with itself. Also notated Δ (next item).
Δ

(Capital Greek letter delta—not to be confused with triangle , which may denote a geometric triangle or, alternatively, the symmetric difference of two sets.}}

1.  Another notation for the Laplacian (see above).
2.  Operator of finite difference.
{displaystyle {boldsymbol {partial }}} or partial _{mu }

(Note: the notation Box is not recommend for the four-gradient since both Box and {displaystyle {Box }^{2}} are used to denote the d’Alembertian; see below.)

Quad, the 4-vector gradient operator or four-gradient, {displaystyle textstyle left({frac {partial }{partial t}},{frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)}.
Box or {displaystyle {Box }^{2}}

(here an actual box, not a placeholder)

Denotes the d’Alembertian or squared four-gradient, which is a generalization of the Laplacian to four-dimensional spacetime. In flat spacetime with Euclidean coordinates, this may mean either {displaystyle ~textstyle -{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}~;} or {displaystyle ;~textstyle +{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}~;}; the sign convention must be specified. In curved spacetime (or flat spacetime with non-Euclidean coordinates), the definition is more complicated. Also called box or quabla.

Linear and multilinear algebra[edit]

(Sigma notation)
1.  Denotes the sum of a finite number of terms, which are determined by subscripts and superscripts (which can also be placed below and above), such as in {displaystyle textstyle sum _{i=1}^{n}i^{2}} or {displaystyle textstyle sum _{0<i<j<n}j-i}.
2.  Denotes a series and, if the series is convergent, the sum of the series. For example, {displaystyle textstyle sum _{i=0}^{infty }{frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}.
(Capital-pi notation)
1.  Denotes the product of a finite number of terms, which are determined by subscripts and superscripts (which can also be placed below and above), such as in {displaystyle textstyle prod _{i=1}^{n}i^{2}} or {displaystyle textstyle prod _{0<i<j<n}j-i}.
2.  Denotes an infinite product. For example, the Euler product formula for the Riemann zeta function is {displaystyle textstyle zeta (z)=prod _{n=1}^{infty }{frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}.
3.  Also used for the Cartesian product of any number of sets and the direct product of any number of mathematical structures.
1.  Internal direct sum: if E and F are abelian subgroups of an abelian group V, notation {displaystyle V=Eoplus F} means that V is the direct sum of E and F; that is, every element of V can be written in a unique way as the sum of an element of E and an element of F. This applies also when E and F are linear subspaces or submodules of the vector space or module V.
2.  Direct sum: if E and F are two abelian groups, vector spaces, or modules, then their direct sum, denoted {displaystyle Eoplus F} is an abelian group, vector space, or module (respectively) equipped with two monomorphisms {displaystyle f:Eto Eoplus F} and {displaystyle g:Fto Eoplus F} such that {displaystyle Eoplus F} is the internal direct sum of {displaystyle f(E)} and g(F). This definition makes sense because this direct sum is unique up to a unique isomorphism.
3.  Exclusive or: if E and F are two Boolean variables or predicates, {displaystyle Eoplus F} may denote the exclusive or. Notations E XOR F and {displaystyle Eveebar F} are also commonly used; see ⊻.
Denotes the tensor product. If E and F are abelian groups, vector spaces, or modules over a commutative ring, then the tensor product of E and F, denoted {displaystyle Eotimes F} is an abelian group, a vector space or a module (respectively), equipped with a bilinear map {displaystyle (e,f)mapsto eotimes f} from {displaystyle Etimes F} to {displaystyle Eotimes F}, such that the bilinear maps from {displaystyle Etimes F} to any abelian group, vector space or module G can be identified with the linear maps from {displaystyle Eotimes F} to G. If E and F are vector spaces over a field R, or modules over a ring R, the tensor product is often denoted {displaystyle Eotimes _{R}F} to avoid ambiguity.
1.  Transpose: if A is a matrix, A^{top } denotes the transpose of A, that is, the matrix obtained by exchanging rows and columns of A. Notation {displaystyle ^{top }!!A} is also used. The symbol top is often replaced by the letter T or t.
2.  For inline uses of the symbol, see ⊤.
1.  Orthogonal complement: If W is a linear subspace of an inner product space V, then W^{bot } denotes its orthogonal complement, that is, the linear space of the elements of V whose inner products with the elements of W are all zero.
2.  Orthogonal subspace in the dual space: If W is a linear subspace (or a submodule) of a vector space (or of a module) V, then W^{bot } may denote the orthogonal subspace of W, that is, the set of all linear forms that map W to zero.
3.  For inline uses of the symbol, see ⊥.

Advanced group theory[edit]


1.  Inner semidirect product: if N and H are subgroups of a group G, such that N is a normal subgroup of G, then {displaystyle G=Nrtimes H} and {displaystyle G=Hltimes N} mean that G is the semidirect product of N and H, that is, that every element of G can be uniquely decomposed as the product of an element of N and an element of H. (Unlike for the direct product of groups, the element of H may change if the order of the factors is changed.)
2.  Outer semidirect product: if N and H are two groups, and varphi is a group homomorphism from N to the automorphism group of H, then {displaystyle Nrtimes _{varphi }H=Hltimes _{varphi }N} denotes a group G, unique up to a group isomorphism, which is a semidirect product of N and H, with the commutation of elements of N and H defined by varphi .
In group theory, {displaystyle Gwr H} denotes the wreath product of the groups G and H. It is also denoted as {displaystyle Goperatorname {wr} H} or {displaystyle Goperatorname {Wr} H}; see Wreath product § Notation and conventions for several notation variants.

Infinite numbers[edit]

1.  The symbol is read as infinity. As an upper bound of a summation, an infinite product, an integral, etc., means that the computation is unlimited. Similarly, -infty in a lower bound means that the computation is not limited toward negative values.
2.  -infty and +infty are the generalized numbers that are added to the real line to form the extended real line.
3.  infty is the generalized number that is added to the real line to form the projectively extended real line.
𝔠
{mathfrak {c}} denotes the cardinality of the continuum, which is the cardinality of the set of real numbers.
With an ordinal i as a subscript, denotes the ith aleph number, that is the ith infinite cardinal. For example, aleph _{0} is the smallest infinite cardinal, that is, the cardinal of the natural numbers.
With an ordinal i as a subscript, denotes the ith beth number. For example, beth _{0} is the cardinal of the natural numbers, and beth _{1} is the cardinal of the continuum.
ω
1.  Denotes the first limit ordinal. It is also denoted omega _{0} and can be identified with the ordered set of the natural numbers.
2.  With an ordinal i as a subscript, denotes the ith limit ordinal that has a cardinality greater than that of all preceding ordinals.
3.  In computer science, denotes the (unknown) greatest lower bound for the exponent of the computational complexity of matrix multiplication.
4.  Written as a function of another function, it is used for comparing the asymptotic growth of two functions. See Big O notation § Related asymptotic notations.
5.  In number theory, may denote the prime omega function. That is, omega (n) is the number of distinct prime factors of the integer n.

Brackets[edit]

Many sorts of brackets are used in mathematics. Their meanings depend not only on their shapes, but also on the nature and the arrangement of what is delimited by them, and sometimes what appears between or before them. For this reason, in the entry titles, the symbol is used as a placeholder for schematizing the syntax that underlies the meaning.

Parentheses[edit]

(□)
Used in an expression for specifying that the sub-expression between the parentheses has to be considered as a single entity; typically used for specifying the order of operations.
□(□)
□(□, □)
□(□, …, □)
1.  Functional notation: if the first Box is the name (symbol) of a function, denotes the value of the function applied to the expression between the parentheses; for example, f(x), sin(x+y). In the case of a multivariate function, the parentheses contain several expressions separated by commas, such as f(x,y).
2.  May also denote a product, such as in a(b+c). When the confusion is possible, the context must distinguish which symbols denote functions, and which ones denote variables.
(□, □)
1.  Denotes an ordered pair of mathematical objects, for example, {displaystyle (pi ,0)}.
2.  If a and b are real numbers, -infty , or +infty , and a < b, then (a,b) denotes the open interval delimited by a and b. See ]□, □[ for an alternative notation.
3.  If a and b are integers, (a,b) may denote the greatest common divisor of a and b. Notation gcd(a,b) is often used instead.
(□, □, □)
If x, y, z are vectors in mathbb {R} ^{3}, then (x,y,z) may denote the scalar triple product.[citation needed] See also [□,□,□] in § Square brackets.
(□, …, □)
Denotes a tuple. If there are n objects separated by commas, it is an n-tuple.
(□, □, …)
(□, …, □, …)
Denotes an infinite sequence.
{displaystyle {begin{pmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{pmatrix}}}
Denotes a matrix. Often denoted with square brackets.
{displaystyle {binom {Box }{Box }}}
Denotes a binomial coefficient: Given two nonnegative integers, {binom {n}{k}} is read as «n choose k«, and is defined as the integer {displaystyle {frac {n(n-1)cdots (n-k+1)}{1cdot 2cdots k}}={frac {n!}{k!,(n-k)!}}} (if k = 0, its value is conventionally 1). Using the left-hand-side expression, it denotes a polynomial in n, and is thus defined and used for any real or complex value of n.
(/)
Legendre symbol: If p is an odd prime number and a is an integer, the value of left({frac {a}{p}}right) is 1 if a is a quadratic residue modulo p; it is –1 if a is a quadratic non-residue modulo p; it is 0 if p divides a. The same notation is used for the Jacobi symbol and Kronecker symbol, which are generalizations where p is respectively any odd positive integer, or any integer.

Square brackets[edit]

[□]
1.  Sometimes used as a synonym of (□) for avoiding nested parentheses.
2.  Equivalence class: given an equivalence relation, [x] often denotes the equivalence class of the element x.
3.  Integral part: if x is a real number, [x] often denotes the integral part or truncation of x, that is, the integer obtained by removing all digits after the decimal mark. This notation has also been used for other variants of floor and ceiling functions.
4.  Iverson bracket: if P is a predicate, [P] may denote the Iverson bracket, that is the function that takes the value 1 for the values of the free variables in P for which P is true, and takes the value 0 otherwise. For example, {displaystyle [x=y]} is the Kronecker delta function, which equals one if x=y, and zero otherwise.
□[□]
Image of a subset: if S is a subset of the domain of the function f, then f[S] is sometimes used for denoting the image of S. When no confusion is possible, notation f(S) is commonly used.
[□, □]
1.  Closed interval: if a and b are real numbers such that aleq b, then [a,b] denotes the closed interval defined by them.
2.  Commutator (group theory): if a and b belong to a group, then {displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}.
3.  Commutator (ring theory): if a and b belong to a ring, then {displaystyle [a,b]=ab-ba}.
4.  Denotes the Lie bracket, the operation of a Lie algebra.
[□ : □]
1.  Degree of a field extension: if F is an extension of a field E, then {displaystyle [F:E]} denotes the degree of the field extension {displaystyle F/E}. For example, {displaystyle [mathbb {C} :mathbb {R} ]=2}.
2.  Index of a subgroup: if H is a subgroup of a group E, then {displaystyle [G:H]} denotes the index of H in G. The notation |G:H| is also used
[□, □, □]
If x, y, z are vectors in mathbb {R} ^{3}, then [x,y,z] may denote the scalar triple product.[5] See also (□,□,□) in § Parentheses.
{displaystyle {begin{bmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{bmatrix}}}
Denotes a matrix. Often denoted with parentheses.

Braces[edit]

{ }
Set-builder notation for the empty set, also denoted emptyset or ∅.
{□}
1.  Sometimes used as a synonym of (□) and [□] for avoiding nested parentheses.
2.  Set-builder notation for a singleton set: {x} denotes the set that has x as a single element.
{□, …, □}
Set-builder notation: denotes the set whose elements are listed between the braces, separated by commas.
{□ : □}
{□ | □}
Set-builder notation: if P(x) is a predicate depending on a variable x, then both {displaystyle {x:P(x)}} and {displaystyle {xmid P(x)}} denote the set formed by the values of x for which P(x) is true.
Single brace
1.  Used for emphasizing that several equations have to be considered as simultaneous equations; for example, {displaystyle textstyle {begin{cases}2x+y=1\3x-y=1end{cases}}}.
2.  Piecewise definition; for example, {displaystyle textstyle |x|={begin{cases}x&{text{if }}xgeq 0\-x&{text{if }}x<0end{cases}}}.
3.  Used for grouped annotation of elements in a formula; for example, {displaystyle textstyle underbrace {(a,b,ldots ,z)} _{26}}, {displaystyle textstyle overbrace {1+2+cdots +100} ^{=5050}}, {displaystyle textstyle left.{begin{bmatrix}A\Bend{bmatrix}}right}m+n{text{ rows}}}

Other brackets[edit]

|□|
1.  Absolute value: if x is a real or complex number, |x| denotes its absolute value.
2.  Number of elements: If S is a set, |x| may denote its cardinality, that is, its number of elements. #S is also often used, see #.
3.  Length of a line segment: If P and Q are two points in a Euclidean space, then {displaystyle |PQ|} often denotes the length of the line segment that they define, which is the distance from P to Q, and is often denoted {displaystyle d(P,Q)}.
4.  For a similar-looking operator, see |.
|□:□|
Index of a subgroup: if H is a subgroup of a group G, then {displaystyle |G:H|} denotes the index of H in G. The notation [G:H] is also used
{displaystyle textstyle {begin{vmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{vmatrix}}}
{displaystyle {begin{vmatrix}x_{1,1}&cdots &x_{1,n}\vdots &ddots &vdots \x_{n,1}&cdots &x_{n,n}end{vmatrix}}} denotes the determinant of the square matrix {displaystyle {begin{bmatrix}x_{1,1}&cdots &x_{1,n}\vdots &ddots &vdots \x_{n,1}&cdots &x_{n,n}end{bmatrix}}}.
||□||
1.  Denotes the norm of an element of a normed vector space.
2.  For the similar-looking operator named parallel, see .
⌊□⌋
Floor function: if x is a real number, lfloor xrfloor is the greatest integer that is not greater than x.
⌈□⌉
Ceiling function: if x is a real number, lceil xrceil is the lowest integer that is not lesser than x.
⌊□⌉
Nearest integer function: if x is a real number, {displaystyle lfloor xrceil } is the integer that is the closest to x.
]□, □[
Open interval: If a and b are real numbers, -infty , or +infty , and a<b, then
]a,b[ denotes the open interval delimited by a and b. See (□, □) for an alternative notation.
(□, □]
]□, □]
Both notations are used for a left-open interval.
[□, □)
[□, □[
Both notations are used for a right-open interval.
⟨□⟩
1.  Generated object: if S is a set of elements in an algebraic structure, {displaystyle langle Srangle } denotes often the object generated by S. If {displaystyle S={s_{1},ldots ,s_{n}}}, one writes {displaystyle langle s_{1},ldots ,s_{n}rangle } (that is, braces are omitted). In particular, this may denote

  • the linear span in a vector space (also often denoted Span(S)),
  • the generated subgroup in a group,
  • the generated ideal in a ring,
  • the generated submodule in a module.
2.  Often used, mainly in physics, for denoting an expected value. In probability theory, E(X) is generally used instead of {displaystyle langle Srangle }.
⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩
Both {displaystyle langle x,yrangle } and {displaystyle langle xmid yrangle } are commonly used for denoting the inner product in an inner product space.
⟨□| and |□⟩
Bra–ket notation or Dirac notation: if x and y are elements of an inner product space, |xrangle is the vector defined by x, and {displaystyle langle y|} is the covector defined by y; their inner product is {displaystyle langle ymid xrangle }.

Symbols that do not belong to formulas[edit]

In this section, the symbols that are listed are used as some sorts of punctuation marks in mathematical reasoning, or as abbreviations of English phrases. They are generally not used inside a formula. Some were used in classical logic for indicating the logical dependence between sentences written in plain English. Except for the first two, they are normally not used in printed mathematical texts since, for readability, it is generally recommended to have at least one word between two formulas. However, they are still used on a black board for indicating relationships between formulas.

■ , □
Used for marking the end of a proof and separating it from the current text. The initialism Q.E.D. or QED (Latin: quod erat demonstrandum, «as was to be shown») is often used for the same purpose, either in its upper-case form or in lower case.
Bourbaki dangerous bend symbol: Sometimes used in the margin to forewarn readers against serious errors, where they risk falling, or to mark a passage that is tricky on a first reading because of an especially subtle argument.
Abbreviation of «therefore». Placed between two assertions, it means that the first one implies the second one. For example: «All humans are mortal, and Socrates is a human. ∴ Socrates is mortal.»
Abbreviation of «because» or «since». Placed between two assertions, it means that the first one is implied by the second one. For example: «11 is prime ∵ it has no positive integer factors other than itself and one.»
1.  Abbreviation of «such that». For example, {displaystyle xni x>3} is normally printed «x such that {displaystyle x>3}«.
2.  Sometimes used for reversing the operands of in ; that is, {displaystyle Sni x} has the same meaning as xin S. See ∈ in § Set theory.
Abbreviation of «is proportional to».

Miscellaneous[edit]

!
1.  Factorial: if n is a positive integer, n! is the product of the first n positive integers, and is read as «n factorial».
2.  Subfactorial: if n is a positive integer, !n is the number of derangements of a set of n elements, and is read as «the subfactorial of n».
*
Many different uses in mathematics; see Asterisk § Mathematics.
|
1.  Divisibility: if m and n are two integers, mmid n means that m divides n evenly.
2.  In set-builder notation, it is used as a separator meaning «such that»; see {□ | □}.
3.  Restriction of a function: if f is a function, and S is a subset of its domain, then {displaystyle f|_{S}} is the function with S as a domain that equals f on S.
4.  Conditional probability: {displaystyle P(Xmid E)} denotes the probability of X given that the event E occurs. Also denoted {displaystyle P(X/E)}; see «/».
5.  For several uses as brackets (in pairs or with and ) see § Other brackets.
Non-divisibility: {displaystyle nnmid m} means that n is not a divisor of m.
1.  Denotes parallelism in elementary geometry: if PQ and RS are two lines, {displaystyle PQparallel RS} means that they are parallel.
2.  Parallel, an arithmetical operation used in electrical engineering for modeling parallel resistors: {displaystyle xparallel y={frac {1}{{frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}}}}.
3.  Used in pairs as brackets, denotes a norm; see ||□||.
Sometimes used for denoting that two lines are not parallel; for example, {displaystyle PQnot parallel RS}.
perp
1.  Denotes perpendicularity and orthogonality. For example, if A, B, C are three points in a Euclidean space, then {displaystyle ABperp AC} means that the line segments AB and AC are perpendicular, and form a right angle.
2.  For the similar symbol, see bot .
Hadamard product of power series: if {displaystyle textstyle S=sum _{i=0}^{infty }s_{i}x^{i}} and {displaystyle textstyle T=sum _{i=0}^{infty }t_{i}x^{i}}, then {displaystyle textstyle Sodot T=sum _{i=0}^{infty }s_{i}t_{i}x^{i}}. Possibly, odot is also used instead of for the Hadamard product of matrices.[citation needed]

See also[edit]

  • List of mathematical symbols (Unicode and LaTeX)
    • List of mathematical symbols by subject
    • List of logic symbols
  • Mathematical Alphanumeric Symbols (Unicode block)
    • Mathematical constants and functions
    • Table of mathematical symbols by introduction date
  • List of Unicode characters
    • Blackboard bold#Usage
    • Letterlike Symbols
    • Unicode block
  • Lists of Mathematical operators and symbols in Unicode
    • Mathematical Operators and Supplemental Mathematical Operators
    • Miscellaneous Math Symbols: A, B, Technical
    • Arrow (symbol) and Miscellaneous Symbols and Arrows and arrow symbols
    • ISO 31-11 (Mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology)
    • Number Forms
    • Geometric Shapes
  • Diacritic
  • Language of mathematics
    • Mathematical notation
  • Typographical conventions and common meanings of symbols:
    • APL syntax and symbols
    • Greek letters used in mathematics, science, and engineering
    • Latin letters used in mathematics
    • List of common physics notations
    • List of letters used in mathematics and science
    • List of mathematical abbreviations
    • Mathematical notation
    • Notation in probability and statistics
    • Physical constants
    • Typographical conventions in mathematical formulae

References[edit]

  1. ^ ISO 80000-2, Section 9 «Operations», 2-9.6
  2. ^ «Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate».
  3. ^ a b c d Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (2017). «AMS style guide» (PDF). American Mathematical Society. p. 99.
  4. ^ The LaTeX equivalent to both Unicode symbols ∘ and ○ is circ. The Unicode symbol that has the same size as circ depends on the browser and its implementation. In some cases ∘ is so small that it can be confused with an interpoint, and ○ looks similar as circ. In other cases, ○ is too large for denoting a binary operation, and it is ∘ that looks like circ. As LaTeX is commonly considered as the standard for mathematical typography, and it does not distinguish these two Unicode symbols, they are considered here as having the same mathematical meaning.
  5. ^ Rutherford, D. E. (1965). Vector Methods. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh.

External links[edit]

  • Jeff Miller: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
  • Numericana: Scientific Symbols and Icons
  • GIF and PNG Images for Math Symbols
  • Mathematical Symbols in Unicode
  • Detexify: LaTeX Handwriting Recognition Tool
Some Unicode charts of mathematical operators and symbols:
  • Index of Unicode symbols
  • Range 2100–214F: Unicode Letterlike Symbols
  • Range 2190–21FF: Unicode Arrows
  • Range 2200–22FF: Unicode Mathematical Operators
  • Range 27C0–27EF: Unicode Miscellaneous Mathematical Symbols–A
  • Range 2980–29FF: Unicode Miscellaneous Mathematical Symbols–B
  • Range 2A00–2AFF: Unicode Supplementary Mathematical Operators
Some Unicode cross-references:
  • Short list of commonly used LaTeX symbols and Comprehensive LaTeX Symbol List
  • MathML Characters — sorts out Unicode, HTML and MathML/TeX names on one page
  • Unicode values and MathML names
  • Unicode values and Postscript names from the source code for Ghostscript

A mathematical symbol is a figure or a combination of figures that is used to represent a mathematical object, an action on mathematical objects, a relation between mathematical objects, or for structuring the other symbols that occur in a formula. As formulas are entirely constituted with symbols of various types, many symbols are needed for expressing all mathematics.

The most basic symbols are the decimal digits (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), and the letters of the Latin alphabet. The decimal digits are used for representing numbers through the Hindu–Arabic numeral system. Historically, upper-case letters were used for representing points in geometry, and lower-case letters were used for variables and constants. Letters are used for representing many other sorts of mathematical objects. As the number of these sorts has remarkably increased in modern mathematics, the Greek alphabet and some Hebrew letters are also used. In mathematical formulas, the standard typeface is italic type for Latin letters and lower-case Greek letters, and upright type for upper case Greek letters. For having more symbols, other typefaces are also used, mainly boldface {displaystyle mathbf {a,A,b,B} ,ldots }, script typeface {displaystyle {mathcal {A,B}},ldots } (the lower-case script face is rarely used because of the possible confusion with the standard face), German fraktur {displaystyle {mathfrak {a,A,b,B}},ldots }, and blackboard bold {displaystyle mathbb {N,Z,Q,R,C,H,F} _{q}} (the other letters are rarely used in this face, or their use is unconventional).

The use of Latin and Greek letters as symbols for denoting mathematical objects is not described in this article. For such uses, see Variable (mathematics) and List of mathematical constants. However, some symbols that are described here have the same shape as the letter from which they are derived, such as {displaystyle textstyle prod {}} and {displaystyle textstyle sum {}}.

These letters alone are not sufficient for the needs of mathematicians, and many other symbols are used. Some take their origin in punctuation marks and diacritics traditionally used in typography; others by deforming letter forms, as in the cases of in and forall . Others, such as + and =, were specially designed for mathematics.

Layout of this article[edit]

Normally, entries of a glossary are structured by topics and sorted alphabetically. This is not possible here, as there is no natural order on symbols, and many symbols are used in different parts of mathematics with different meanings, often completely unrelated. Therefore, some arbitrary choices had to be made, which are summarized below.

The article is split into sections that are sorted by an increasing level of technicality. That is, the first sections contain the symbols that are encountered in most mathematical texts, and that are supposed to be known even by beginners. On the other hand, the last sections contain symbols that are specific to some area of mathematics and are ignored outside these areas. However, the long section on brackets has been placed near to the end, although most of its entries are elementary: this makes it easier to search for a symbol entry by scrolling.

Most symbols have multiple meanings that are generally distinguished either by the area of mathematics where they are used or by their syntax, that is, by their position inside a formula and the nature of the other parts of the formula that are close to them.

As readers may not be aware of the area of mathematics to which is related the symbol that they are looking for, the different meanings of a symbol are grouped in the section corresponding to their most common meaning.

When the meaning depends on the syntax, a symbol may have different entries depending on the syntax. For summarizing the syntax in the entry name, the symbol Box is used for representing the neighboring parts of a formula that contains the symbol. See § Brackets for examples of use.

Most symbols have two printed versions. They can be displayed as Unicode characters, or in LaTeX format. With the Unicode version, using search engines and copy-pasting are easier. On the other hand, the LaTeX rendering is often much better (more aesthetic), and is generally considered a standard in mathematics. Therefore, in this article, the Unicode version of the symbols is used (when possible) for labelling their entry, and the LaTeX version is used in their description. So, for finding how to type a symbol in LaTeX, it suffices to look at the source of the article.

For most symbols, the entry name is the corresponding Unicode symbol. So, for searching the entry of a symbol, it suffices to type or copy the Unicode symbol into the search textbox. Similarly, when possible, the entry name of a symbol is also an anchor, which allows linking easily from another Wikipedia article. When an entry name contains special characters such as [, ], and |, there is also an anchor, but one has to look at the article source to know it.

Finally, when there is an article on the symbol itself (not its mathematical meaning), it is linked to in the entry name.

Arithmetic operators[edit]

+
1.  Denotes addition and is read as plus; for example, 3 + 2.
2.  Denotes that a number is positive and is read as plus. Redundant, but sometimes used for emphasizing that a number is positive, specially when other numbers in the context are or may be negative; for example, +2.
3.  Sometimes used instead of sqcup for a disjoint union of sets.
1.  Denotes subtraction and is read as minus; for example, 3 – 2.
2.  Denotes the additive inverse and is read as negative or the opposite of; for example, –2.
3.  Also used in place of for denoting the set-theoretic complement; see in § Set theory.
×
1.  In elementary arithmetic, denotes multiplication, and is read as times; for example, 3 × 2.
2.  In geometry and linear algebra, denotes the cross product.
3.  In set theory and category theory, denotes the Cartesian product and the direct product. See also × in § Set theory.
·
1.  Denotes multiplication and is read as times; for example, 3 ⋅ 2.
2.  In geometry and linear algebra, denotes the dot product.
3.  Placeholder used for replacing an indeterminate element. For example, «the absolute value is denoted | · |» is clearer than saying that it is denoted as | |.
±
1.  Denotes either a plus sign or a minus sign.
2.  Denotes the range of values that a measured quantity may have; for example, 10 ± 2 denotes an unknown value that lies between 8 and 12.
Used paired with ±, denotes the opposite sign; that is, + if ± is , and if ± is +.
÷
Widely used for denoting division in anglophone countries, it is no longer in common use in mathematics and its use is «not recommended».[1] In some countries, it can indicate subtraction.
:
1.  Denotes the ratio of two quantities.
2.  In some countries, may denote division.
3.  In set-builder notation, it is used as a separator meaning «such that»; see {□ : □}.
/
1.  Denotes division and is read as divided by or over. Often replaced by a horizontal bar. For example, 3 / 2 or {displaystyle {frac {3}{2}}}.
2.  Denotes a quotient structure. For example, quotient set, quotient group, quotient category, etc.
3.  In number theory and field theory, {displaystyle F/E} denotes a field extension, where F is an extension field of the field E.
4.  In probability theory, denotes a conditional probability. For example, {displaystyle P(A/B)} denotes the probability of A, given that B occurs. Also denoted P(Amid B): see «|«.
Denotes square root and is read as the square root of. Rarely used in modern mathematics without a horizontal bar delimiting the width of its argument (see the next item). For example, √2.
  
1.  Denotes square root and is read as the square root of. For example, {displaystyle {sqrt {3+2}}}.
2.  With an integer greater than 2 as a left superscript, denotes an nth root. For example, {displaystyle {sqrt[{7}]{3}}}.
^
1.  Exponentiation is normally denoted with a superscript. However, x^y is often denoted x^y when superscripts are not easily available, such as in programming languages (including LaTeX) or plain text emails.
2.  Not to be confused with ∧.

Equality, equivalence and similarity[edit]

=
1.  Denotes equality.
2.  Used for naming a mathematical object in a sentence like «let {displaystyle x=E}«, where E is an expression. On a blackboard and in some mathematical texts, this may be abbreviated as {displaystyle x,{stackrel {mathrm {def} }{=}},E} or {displaystyle xtriangleq E.} This is related to the concept of assignment in computer science, which is variously denoted (depending on the programming language used) {displaystyle =,:=,leftarrow ,ldots }
Denotes inequality and means «not equal».
Means «is approximately equal to». For example, {displaystyle pi approx {frac {22}{7}}} (for a more accurate approximation, see pi).
~
1.  Between two numbers, either it is used instead of to mean «approximatively equal», or it means «has the same order of magnitude as».
2.  Denotes the asymptotic equivalence of two functions or sequences.
3.  Often used for denoting other types of similarity, for example, matrix similarity or similarity of geometric shapes.
4.  Standard notation for an equivalence relation.
5.  In probability and statistics, may specify the probability distribution of a random variable. For example, Xsim N(0,1) means that the distribution of the random variable X is standard normal.[2]
6.  Notation for showing proportionality. See also ∝ for a less ambiguous symbol.
1.  Denotes an identity, that is, an equality that is true whichever values are given to the variables occurring in it.
2.  In number theory, and more specifically in modular arithmetic, denotes the congruence modulo an integer.
cong
1.  May denote an isomorphism between two mathematical structures, and is read as «is isomorphic to».
2.  In geometry, may denote the congruence of two geometric shapes (that is the equality up to a displacement), and is read «is congruent to».

Comparison[edit]

<
1.  Strict inequality between two numbers; means and is read as «less than».
2.  Commonly used for denoting any strict order.
3.  Between two groups, may mean that the first one is a proper subgroup of the second one.
>
1.  Strict inequality between two numbers; means and is read as «greater than».
2.  Commonly used for denoting any strict order.
3.  Between two groups, may mean that the second one is a proper subgroup of the first one.
1.  Means «less than or equal to». That is, whatever A and B are, AB is equivalent to A < B or A = B.
2.  Between two groups, may mean that the first one is a subgroup of the second one.
1.  Means «greater than or equal to». That is, whatever A and B are, AB is equivalent to A > B or A = B.
2.  Between two groups, may mean that the second one is a subgroup of the first one.
≪ , ≫
1.  Means «much less than» and «much greater than». Generally, much is not formally defined, but means that the lesser quantity can be neglected with respect to the other. This is generally the case when the lesser quantity is smaller than the other by one or several orders of magnitude.
2.  In measure theory, {displaystyle mu ll nu } means that the measure mu is absolutely continuous with respect to the measure nu .
1.  A rarely used synonym of . Despite the easy confusion with , some authors use it with a different meaning.
≺ , ≻
Often used for denoting an order or, more generally, a preorder, when it would be confusing or not convenient to use < and >.

Set theory[edit]

Denotes the empty set, and is more often written emptyset . Using set-builder notation, it may also be denoted {}.
#
1.  Number of elements: {displaystyle #{}S} may denote the cardinality of the set S. An alternative notation is |S|; see {displaystyle |square |}.
2.  Primorial: {displaystyle n{}#} denotes the product of the prime numbers that are not greater than n.
3.  In topology, {displaystyle M#N} denotes the connected sum of two manifolds or two knots.
Denotes set membership, and is read «in» or «belongs to». That is, xin S means that x is an element of the set S.
Means «not in». That is, {displaystyle xnotin S} means {displaystyle neg (xin S)}.
Denotes set inclusion. However two slightly different definitions are common.
1.  Asubset B may mean that A is a subset of B, and is possibly equal to B; that is, every element of A belongs to B; in formula, {displaystyle forall {}x,,xin ARightarrow xin B}.
2.  Asubset B may mean that A is a proper subset of B, that is the two sets are different, and every element of A belongs to B; in formula, {displaystyle Aneq Bland forall {}x,,xin ARightarrow xin B}.
Asubseteq B means that A is a subset of B. Used for emphasizing that equality is possible, or when the second definition of Asubset B is used.
{displaystyle Asubsetneq B} means that A is a proper subset of B. Used for emphasizing that Aneq B, or when the first definition of Asubset B is used.
⊃, ⊇, ⊋
Denote the converse relation of subset , subseteq , and subsetneq respectively. For example, Bsupset A is equivalent to Asubset B.
Denotes set-theoretic union, that is, Acup B is the set formed by the elements of A and B together. That is, {displaystyle Acup B={xmid (xin A)lor (xin B)}}.
Denotes set-theoretic intersection, that is, Acap B is the set formed by the elements of both A and B. That is, {displaystyle Acap B={xmid (xin A)land (xin B)}}.
Set difference; that is, {displaystyle Asetminus B} is the set formed by the elements of A that are not in B. Sometimes, A-B is used instead; see – in § Arithmetic operators.
or triangle
Symmetric difference: that is, Aominus B or {displaystyle Aoperatorname {triangle } B} is the set formed by the elements that belong to exactly one of the two sets A and B.
1.  With a subscript, denotes a set complement: that is, if Bsubseteq A, then {displaystyle complement _{A}B=Asetminus B}.
2.  Without a subscript, denotes the absolute complement; that is, {displaystyle complement A=complement _{U}A}, where U is a set implicitly defined by the context, which contains all sets under consideration. This set U is sometimes called the universe of discourse.
×
See also × in § Arithmetic operators.
1.  Denotes the Cartesian product of two sets. That is, Atimes B is the set formed by all pairs of an element of A and an element of B.
2.  Denotes the direct product of two mathematical structures of the same type, which is the Cartesian product of the underlying sets, equipped with a structure of the same type. For example, direct product of rings, direct product of topological spaces.
3.  In category theory, denotes the direct product (often called simply product) of two objects, which is a generalization of the preceding concepts of product.
Denotes the disjoint union. That is, if A and B are sets then {displaystyle Asqcup B=left(Atimes {i_{A}}right)cup left(Btimes {i_{B}}right)} is a set of pairs where iA and iB are distinct indices discriminating the members of A and B in {displaystyle Asqcup B}.
1.  An alternative to sqcup .
2.  Denotes the coproduct of mathematical structures or of objects in a category.

Basic logic[edit]

Several logical symbols are widely used in all mathematics, and are listed here. For symbols that are used only in mathematical logic, or are rarely used, see List of logic symbols.

¬
Denotes logical negation, and is read as «not». If E is a logical predicate, {displaystyle neg E} is the predicate that evaluates to true if and only if E evaluates to false. For clarity, it is often replaced by the word «not». In programming languages and some mathematical texts, it is sometimes replaced by «~» or «!«, which are easier to type on some keyboards.
1.  Denotes the logical or, and is read as «or». If E and F are logical predicates, {displaystyle Elor F} is true if either E, F, or both are true. It is often replaced by the word «or».
2.  In lattice theory, denotes the join or least upper bound operation.
3.  In topology, denotes the wedge sum of two pointed spaces.
1.  Denotes the logical and, and is read as «and». If E and F are logical predicates, {displaystyle Eland F} is true if E and F are both true. It is often replaced by the word «and» or the symbol «&«.
2.  In lattice theory, denotes the meet or greatest lower bound operation.
3.  In multilinear algebra, geometry, and multivariable calculus, denotes the wedge product or the exterior product.
Exclusive or: if E and F are two Boolean variables or predicates, {displaystyle Eveebar F} denotes the exclusive or. Notations E XOR F and {displaystyle Eoplus F} are also commonly used; see ⊕.
1.  Denotes universal quantification and is read as «for all». If E is a logical predicate, {displaystyle forall xE} means that E is true for all possible values of the variable x.
2.  Often used improperly[3] in plain text as an abbreviation of «for all» or «for every».
1.  Denotes existential quantification and is read «there exists … such that». If E is a logical predicate, {displaystyle exists xE} means that there exists at least one value of x for which E is true.
2.  Often used improperly[3] in plain text as an abbreviation of «there exists».
∃!
Denotes uniqueness quantification, that is, {displaystyle exists !xP} means «there exists exactly one x such that P (is true)». In other words,
{displaystyle exists !xP(x)} is an abbreviation of exists x,( P(x) , wedge neg exists y,(P(y) wedge y  ne x)).
1.  Denotes material conditional, and is read as «implies». If P and Q are logical predicates, PRightarrow Q means that if P is true, then Q is also true. Thus, PRightarrow Q is logically equivalent with {displaystyle Qlor neg P}.
2.  Often used improperly[3] in plain text as an abbreviation of «implies».
1.  Denotes logical equivalence, and is read «is equivalent to» or «if and only if». If P and Q are logical predicates, PLeftrightarrow Q is thus an abbreviation of {displaystyle (PRightarrow Q)land (QRightarrow P)}, or of {displaystyle (Pland Q)lor (neg Pland neg Q)}.
2.  Often used improperly[3] in plain text as an abbreviation of «if and only if».
1.  top denotes the logical predicate always true.
2.  Denotes also the truth value true.
3.  Sometimes denotes the top element of a bounded lattice (previous meanings are specific examples).
4.  For the use as a superscript, see .
1.  bot denotes the logical predicate always false.
2.  Denotes also the truth value false.
3.  Sometimes denotes the bottom element of a bounded lattice (previous meanings are specific examples).
4.  In Cryptography often denotes an error in place of a regular value.
5.  For the use as a superscript, see .
6.  For the similar symbol, see perp .

Blackboard bold[edit]

The blackboard bold typeface is widely used for denoting the basic number systems. These systems are often also denoted by the corresponding uppercase bold letter. A clear advantage of blackboard bold is that these symbols cannot be confused with anything else. This allows using them in any area of mathematics, without having to recall their definition. For example, if one encounters mathbb {R} in combinatorics, one should immediately know that this denotes the real numbers, although combinatorics does not study the real numbers (but it uses them for many proofs).

mathbb N
Denotes the set of natural numbers {displaystyle {1,2,ldots }}, or sometimes {displaystyle {0,1,2,ldots }}. It is often denoted also by {mathbf  N}. When the distinction is important and readers might assume either definition, mathbb {N} _{1} and mathbb {N} _{0} are used, respectively, to denote one of them unambiguously.
mathbb {Z}
Denotes the set of integers {displaystyle {ldots ,-2,-1,0,1,2,ldots }}. It is often denoted also by {mathbf  Z}.
mathbb {Z} _{p}
1.  Denotes the set of p-adic integers, where p is a prime number.
2.  Sometimes, {displaystyle mathbb {Z} _{n}} denotes the integers modulo n, where n is an integer greater than 0. The notation {displaystyle mathbb {Z} /nmathbb {Z} } is also used, and is less ambiguous.
mathbb {Q}
Denotes the set of rational numbers (fractions of two integers). It is often denoted also by mathbf Q.
mathbb {Q} _{p}
Denotes the set of p-adic numbers, where p is a prime number.
mathbb {R}
Denotes the set of real numbers. It is often denoted also by mathbf {R} .
mathbb {C}
Denotes the set of complex numbers. It is often denoted also by mathbf C.
mathbb {H}
Denotes the set of quaternions. It is often denoted also by mathbf {H} .
mathbb {F} _{q}
Denotes the finite field with q elements, where q is a prime power (including prime numbers). It is denoted also by GF(q).
mathbb {O}
Used on rare occasions to denote the set of octonions. It is often denoted also by {displaystyle mathbf {O} }.

Calculus[edit]

Lagrange’s notation for the derivative: If f is a function of a single variable, f', read as «f prime», is the derivative of f with respect to this variable. The second derivative is the derivative of f', and is denoted f''.
{displaystyle {dot {Box }}}
Newton’s notation, most commonly used for the derivative with respect to time: If x is a variable depending on time, then {dot {x}} is its derivative with respect to time. In particular, if x represents a moving point, then {dot {x}} is its velocity.
{displaystyle {ddot {Box }}}
Newton’s notation, for the second derivative: If x is a variable that represents a moving point, then {ddot  x} is its acceleration.
d □/d □
Leibniz’s notation for the derivative, which is used in several slightly different ways.
1.  If y is a variable that depends on x, then {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}}, read as «d y over d x», is the derivative of y with respect to x.
2.  If f is a function of a single variable x, then {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}} is the derivative of f, and
{displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}(a)} is the value of the derivative at a.
3.  Total derivative: If {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})} is a function of several variables that depend on x, then {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}} is the derivative of f considered as a function of x. That is, {displaystyle textstyle {frac {mathrm {d} f}{dx}}=sum _{i=1}^{n}{frac {partial f}{partial x_{i}}},{frac {mathrm {d} x_{i}}{mathrm {d} x}}}.
∂ □/∂ □
Partial derivative: If {displaystyle f(x_{1},ldots ,x_{n})} is a function of several variables, {displaystyle textstyle {frac {partial f}{partial x_{i}}}} is the derivative with respect to the ith variable considered as an independent variable, the other variables being considered as constants.
𝛿 □/𝛿 □
Functional derivative: If {displaystyle f(y_{1},ldots ,y_{n})} is a functional of several functions, {displaystyle textstyle {frac {delta f}{delta y_{i}}}} is the functional derivative with respect to the nth function considered as an independent variable, the other functions being considered constant.
{displaystyle {overline {Box }}}
1.  Complex conjugate: If z is a complex number, then {overline {z}} is its complex conjugate. For example, {displaystyle {overline {a+bi}}=a-bi}.
2.  Topological closure: If S is a subset of a topological space T, then {overline {S}} is its topological closure, that is, the smallest closed subset of T that contains S.
3.  Algebraic closure: If F is a field, then {overline {F}} is its algebraic closure, that is, the smallest algebraically closed field that contains F. For example, {displaystyle {overline {mathbb {Q} }}} is the field of all algebraic numbers.
4.  Mean value: If x is a variable that takes its values in some sequence of numbers S, then {overline {x}} may denote the mean of the elements of S.
1.  Ato B denotes a function with domain A and codomain B. For naming such a function, one writes f:A to B, which is read as «f from A to B«.
2.  More generally, Ato B denotes a homomorphism or a morphism from A to B.
3.  May denote a logical implication. For the material implication that is widely used in mathematics reasoning, it is nowadays generally replaced by ⇒. In mathematical logic, it remains used for denoting implication, but its exact meaning depends on the specific theory that is studied.
4.  Over a variable name, means that the variable represents a vector, in a context where ordinary variables represent scalars; for example, {displaystyle {overrightarrow {v}}}. Boldface (mathbf {v} ) or a circumflex ({displaystyle {hat {v}}}) are often used for the same purpose.
5.  In Euclidean geometry and more generally in affine geometry, overrightarrow {PQ} denotes the vector defined by the two points P and Q, which can be identified with the translation that maps P to Q. The same vector can be denoted also {displaystyle Q-P}; see Affine space.
Used for defining a function without having to name it. For example, xmapsto x^2 is the square function.
[4]
1.  Function composition: If f and g are two functions, then gcirc f is the function such that {displaystyle (gcirc f)(x)=g(f(x))} for every value of x.
2.  Hadamard product of matrices: If A and B are two matrices of the same size, then {displaystyle Acirc B} is the matrix such that {displaystyle (Acirc B)_{i,j}=(A)_{i,j}(B)_{i,j}}. Possibly, circ is also used instead of for the Hadamard product of power series.[citation needed]
1.  Boundary of a topological subspace: If S is a subspace of a topological space, then its boundary, denoted partial S, is the set difference between the closure and the interior of S.
2.  Partial derivative: see ∂□/∂□.
1.  Without a subscript, denotes an antiderivative. For example, {displaystyle textstyle int x^{2}dx={frac {x^{3}}{3}}+C}.
2.  With a subscript and a superscript, or expressions placed below and above it, denotes a definite integral. For example, {displaystyle textstyle int _{a}^{b}x^{2}dx={frac {b^{3}-a^{3}}{3}}}.
3.  With a subscript that denotes a curve, denotes a line integral. For example, {displaystyle textstyle int _{C}f=int _{a}^{b}f(r(t))r'(t)operatorname {d} t}, if r is a parametrization of the curve C, from a to b.
Often used, typically in physics, instead of {displaystyle textstyle int } for line integrals over a closed curve.
∬, ∯
Similar to {displaystyle textstyle int } and {displaystyle textstyle oint } for surface integrals.
boldsymbol{nabla} or {vec  {nabla }}
Nabla, the gradient or vector derivative operator {displaystyle textstyle left({frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)}, also called del or grad.
2 or ∇⋅∇
Laplace operator or Laplacian: {displaystyle textstyle {frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}}. The forms nabla ^{2} and {displaystyle {boldsymbol {nabla }}cdot {boldsymbol {nabla }}} represent the dot product of the gradient (boldsymbol{nabla} or {vec  {nabla }}) with itself. Also notated Δ (next item).
Δ

(Capital Greek letter delta—not to be confused with triangle , which may denote a geometric triangle or, alternatively, the symmetric difference of two sets.}}

1.  Another notation for the Laplacian (see above).
2.  Operator of finite difference.
{displaystyle {boldsymbol {partial }}} or partial _{mu }

(Note: the notation Box is not recommend for the four-gradient since both Box and {displaystyle {Box }^{2}} are used to denote the d’Alembertian; see below.)

Quad, the 4-vector gradient operator or four-gradient, {displaystyle textstyle left({frac {partial }{partial t}},{frac {partial }{partial x}},{frac {partial }{partial y}},{frac {partial }{partial z}}right)}.
Box or {displaystyle {Box }^{2}}

(here an actual box, not a placeholder)

Denotes the d’Alembertian or squared four-gradient, which is a generalization of the Laplacian to four-dimensional spacetime. In flat spacetime with Euclidean coordinates, this may mean either {displaystyle ~textstyle -{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}+{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}~;} or {displaystyle ;~textstyle +{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial x^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial y^{2}}}-{frac {partial ^{2}}{partial z^{2}}}~;}; the sign convention must be specified. In curved spacetime (or flat spacetime with non-Euclidean coordinates), the definition is more complicated. Also called box or quabla.

Linear and multilinear algebra[edit]

(Sigma notation)
1.  Denotes the sum of a finite number of terms, which are determined by subscripts and superscripts (which can also be placed below and above), such as in {displaystyle textstyle sum _{i=1}^{n}i^{2}} or {displaystyle textstyle sum _{0<i<j<n}j-i}.
2.  Denotes a series and, if the series is convergent, the sum of the series. For example, {displaystyle textstyle sum _{i=0}^{infty }{frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}}.
(Capital-pi notation)
1.  Denotes the product of a finite number of terms, which are determined by subscripts and superscripts (which can also be placed below and above), such as in {displaystyle textstyle prod _{i=1}^{n}i^{2}} or {displaystyle textstyle prod _{0<i<j<n}j-i}.
2.  Denotes an infinite product. For example, the Euler product formula for the Riemann zeta function is {displaystyle textstyle zeta (z)=prod _{n=1}^{infty }{frac {1}{1-p_{n}^{-z}}}}.
3.  Also used for the Cartesian product of any number of sets and the direct product of any number of mathematical structures.
1.  Internal direct sum: if E and F are abelian subgroups of an abelian group V, notation {displaystyle V=Eoplus F} means that V is the direct sum of E and F; that is, every element of V can be written in a unique way as the sum of an element of E and an element of F. This applies also when E and F are linear subspaces or submodules of the vector space or module V.
2.  Direct sum: if E and F are two abelian groups, vector spaces, or modules, then their direct sum, denoted {displaystyle Eoplus F} is an abelian group, vector space, or module (respectively) equipped with two monomorphisms {displaystyle f:Eto Eoplus F} and {displaystyle g:Fto Eoplus F} such that {displaystyle Eoplus F} is the internal direct sum of {displaystyle f(E)} and g(F). This definition makes sense because this direct sum is unique up to a unique isomorphism.
3.  Exclusive or: if E and F are two Boolean variables or predicates, {displaystyle Eoplus F} may denote the exclusive or. Notations E XOR F and {displaystyle Eveebar F} are also commonly used; see ⊻.
Denotes the tensor product. If E and F are abelian groups, vector spaces, or modules over a commutative ring, then the tensor product of E and F, denoted {displaystyle Eotimes F} is an abelian group, a vector space or a module (respectively), equipped with a bilinear map {displaystyle (e,f)mapsto eotimes f} from {displaystyle Etimes F} to {displaystyle Eotimes F}, such that the bilinear maps from {displaystyle Etimes F} to any abelian group, vector space or module G can be identified with the linear maps from {displaystyle Eotimes F} to G. If E and F are vector spaces over a field R, or modules over a ring R, the tensor product is often denoted {displaystyle Eotimes _{R}F} to avoid ambiguity.
1.  Transpose: if A is a matrix, A^{top } denotes the transpose of A, that is, the matrix obtained by exchanging rows and columns of A. Notation {displaystyle ^{top }!!A} is also used. The symbol top is often replaced by the letter T or t.
2.  For inline uses of the symbol, see ⊤.
1.  Orthogonal complement: If W is a linear subspace of an inner product space V, then W^{bot } denotes its orthogonal complement, that is, the linear space of the elements of V whose inner products with the elements of W are all zero.
2.  Orthogonal subspace in the dual space: If W is a linear subspace (or a submodule) of a vector space (or of a module) V, then W^{bot } may denote the orthogonal subspace of W, that is, the set of all linear forms that map W to zero.
3.  For inline uses of the symbol, see ⊥.

Advanced group theory[edit]


1.  Inner semidirect product: if N and H are subgroups of a group G, such that N is a normal subgroup of G, then {displaystyle G=Nrtimes H} and {displaystyle G=Hltimes N} mean that G is the semidirect product of N and H, that is, that every element of G can be uniquely decomposed as the product of an element of N and an element of H. (Unlike for the direct product of groups, the element of H may change if the order of the factors is changed.)
2.  Outer semidirect product: if N and H are two groups, and varphi is a group homomorphism from N to the automorphism group of H, then {displaystyle Nrtimes _{varphi }H=Hltimes _{varphi }N} denotes a group G, unique up to a group isomorphism, which is a semidirect product of N and H, with the commutation of elements of N and H defined by varphi .
In group theory, {displaystyle Gwr H} denotes the wreath product of the groups G and H. It is also denoted as {displaystyle Goperatorname {wr} H} or {displaystyle Goperatorname {Wr} H}; see Wreath product § Notation and conventions for several notation variants.

Infinite numbers[edit]

1.  The symbol is read as infinity. As an upper bound of a summation, an infinite product, an integral, etc., means that the computation is unlimited. Similarly, -infty in a lower bound means that the computation is not limited toward negative values.
2.  -infty and +infty are the generalized numbers that are added to the real line to form the extended real line.
3.  infty is the generalized number that is added to the real line to form the projectively extended real line.
𝔠
{mathfrak {c}} denotes the cardinality of the continuum, which is the cardinality of the set of real numbers.
With an ordinal i as a subscript, denotes the ith aleph number, that is the ith infinite cardinal. For example, aleph _{0} is the smallest infinite cardinal, that is, the cardinal of the natural numbers.
With an ordinal i as a subscript, denotes the ith beth number. For example, beth _{0} is the cardinal of the natural numbers, and beth _{1} is the cardinal of the continuum.
ω
1.  Denotes the first limit ordinal. It is also denoted omega _{0} and can be identified with the ordered set of the natural numbers.
2.  With an ordinal i as a subscript, denotes the ith limit ordinal that has a cardinality greater than that of all preceding ordinals.
3.  In computer science, denotes the (unknown) greatest lower bound for the exponent of the computational complexity of matrix multiplication.
4.  Written as a function of another function, it is used for comparing the asymptotic growth of two functions. See Big O notation § Related asymptotic notations.
5.  In number theory, may denote the prime omega function. That is, omega (n) is the number of distinct prime factors of the integer n.

Brackets[edit]

Many sorts of brackets are used in mathematics. Their meanings depend not only on their shapes, but also on the nature and the arrangement of what is delimited by them, and sometimes what appears between or before them. For this reason, in the entry titles, the symbol is used as a placeholder for schematizing the syntax that underlies the meaning.

Parentheses[edit]

(□)
Used in an expression for specifying that the sub-expression between the parentheses has to be considered as a single entity; typically used for specifying the order of operations.
□(□)
□(□, □)
□(□, …, □)
1.  Functional notation: if the first Box is the name (symbol) of a function, denotes the value of the function applied to the expression between the parentheses; for example, f(x), sin(x+y). In the case of a multivariate function, the parentheses contain several expressions separated by commas, such as f(x,y).
2.  May also denote a product, such as in a(b+c). When the confusion is possible, the context must distinguish which symbols denote functions, and which ones denote variables.
(□, □)
1.  Denotes an ordered pair of mathematical objects, for example, {displaystyle (pi ,0)}.
2.  If a and b are real numbers, -infty , or +infty , and a < b, then (a,b) denotes the open interval delimited by a and b. See ]□, □[ for an alternative notation.
3.  If a and b are integers, (a,b) may denote the greatest common divisor of a and b. Notation gcd(a,b) is often used instead.
(□, □, □)
If x, y, z are vectors in mathbb {R} ^{3}, then (x,y,z) may denote the scalar triple product.[citation needed] See also [□,□,□] in § Square brackets.
(□, …, □)
Denotes a tuple. If there are n objects separated by commas, it is an n-tuple.
(□, □, …)
(□, …, □, …)
Denotes an infinite sequence.
{displaystyle {begin{pmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{pmatrix}}}
Denotes a matrix. Often denoted with square brackets.
{displaystyle {binom {Box }{Box }}}
Denotes a binomial coefficient: Given two nonnegative integers, {binom {n}{k}} is read as «n choose k«, and is defined as the integer {displaystyle {frac {n(n-1)cdots (n-k+1)}{1cdot 2cdots k}}={frac {n!}{k!,(n-k)!}}} (if k = 0, its value is conventionally 1). Using the left-hand-side expression, it denotes a polynomial in n, and is thus defined and used for any real or complex value of n.
(/)
Legendre symbol: If p is an odd prime number and a is an integer, the value of left({frac {a}{p}}right) is 1 if a is a quadratic residue modulo p; it is –1 if a is a quadratic non-residue modulo p; it is 0 if p divides a. The same notation is used for the Jacobi symbol and Kronecker symbol, which are generalizations where p is respectively any odd positive integer, or any integer.

Square brackets[edit]

[□]
1.  Sometimes used as a synonym of (□) for avoiding nested parentheses.
2.  Equivalence class: given an equivalence relation, [x] often denotes the equivalence class of the element x.
3.  Integral part: if x is a real number, [x] often denotes the integral part or truncation of x, that is, the integer obtained by removing all digits after the decimal mark. This notation has also been used for other variants of floor and ceiling functions.
4.  Iverson bracket: if P is a predicate, [P] may denote the Iverson bracket, that is the function that takes the value 1 for the values of the free variables in P for which P is true, and takes the value 0 otherwise. For example, {displaystyle [x=y]} is the Kronecker delta function, which equals one if x=y, and zero otherwise.
□[□]
Image of a subset: if S is a subset of the domain of the function f, then f[S] is sometimes used for denoting the image of S. When no confusion is possible, notation f(S) is commonly used.
[□, □]
1.  Closed interval: if a and b are real numbers such that aleq b, then [a,b] denotes the closed interval defined by them.
2.  Commutator (group theory): if a and b belong to a group, then {displaystyle [a,b]=a^{-1}b^{-1}ab}.
3.  Commutator (ring theory): if a and b belong to a ring, then {displaystyle [a,b]=ab-ba}.
4.  Denotes the Lie bracket, the operation of a Lie algebra.
[□ : □]
1.  Degree of a field extension: if F is an extension of a field E, then {displaystyle [F:E]} denotes the degree of the field extension {displaystyle F/E}. For example, {displaystyle [mathbb {C} :mathbb {R} ]=2}.
2.  Index of a subgroup: if H is a subgroup of a group E, then {displaystyle [G:H]} denotes the index of H in G. The notation |G:H| is also used
[□, □, □]
If x, y, z are vectors in mathbb {R} ^{3}, then [x,y,z] may denote the scalar triple product.[5] See also (□,□,□) in § Parentheses.
{displaystyle {begin{bmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{bmatrix}}}
Denotes a matrix. Often denoted with parentheses.

Braces[edit]

{ }
Set-builder notation for the empty set, also denoted emptyset or ∅.
{□}
1.  Sometimes used as a synonym of (□) and [□] for avoiding nested parentheses.
2.  Set-builder notation for a singleton set: {x} denotes the set that has x as a single element.
{□, …, □}
Set-builder notation: denotes the set whose elements are listed between the braces, separated by commas.
{□ : □}
{□ | □}
Set-builder notation: if P(x) is a predicate depending on a variable x, then both {displaystyle {x:P(x)}} and {displaystyle {xmid P(x)}} denote the set formed by the values of x for which P(x) is true.
Single brace
1.  Used for emphasizing that several equations have to be considered as simultaneous equations; for example, {displaystyle textstyle {begin{cases}2x+y=1\3x-y=1end{cases}}}.
2.  Piecewise definition; for example, {displaystyle textstyle |x|={begin{cases}x&{text{if }}xgeq 0\-x&{text{if }}x<0end{cases}}}.
3.  Used for grouped annotation of elements in a formula; for example, {displaystyle textstyle underbrace {(a,b,ldots ,z)} _{26}}, {displaystyle textstyle overbrace {1+2+cdots +100} ^{=5050}}, {displaystyle textstyle left.{begin{bmatrix}A\Bend{bmatrix}}right}m+n{text{ rows}}}

Other brackets[edit]

|□|
1.  Absolute value: if x is a real or complex number, |x| denotes its absolute value.
2.  Number of elements: If S is a set, |x| may denote its cardinality, that is, its number of elements. #S is also often used, see #.
3.  Length of a line segment: If P and Q are two points in a Euclidean space, then {displaystyle |PQ|} often denotes the length of the line segment that they define, which is the distance from P to Q, and is often denoted {displaystyle d(P,Q)}.
4.  For a similar-looking operator, see |.
|□:□|
Index of a subgroup: if H is a subgroup of a group G, then {displaystyle |G:H|} denotes the index of H in G. The notation [G:H] is also used
{displaystyle textstyle {begin{vmatrix}Box &cdots &Box \vdots &ddots &vdots \Box &cdots &Box end{vmatrix}}}
{displaystyle {begin{vmatrix}x_{1,1}&cdots &x_{1,n}\vdots &ddots &vdots \x_{n,1}&cdots &x_{n,n}end{vmatrix}}} denotes the determinant of the square matrix {displaystyle {begin{bmatrix}x_{1,1}&cdots &x_{1,n}\vdots &ddots &vdots \x_{n,1}&cdots &x_{n,n}end{bmatrix}}}.
||□||
1.  Denotes the norm of an element of a normed vector space.
2.  For the similar-looking operator named parallel, see .
⌊□⌋
Floor function: if x is a real number, lfloor xrfloor is the greatest integer that is not greater than x.
⌈□⌉
Ceiling function: if x is a real number, lceil xrceil is the lowest integer that is not lesser than x.
⌊□⌉
Nearest integer function: if x is a real number, {displaystyle lfloor xrceil } is the integer that is the closest to x.
]□, □[
Open interval: If a and b are real numbers, -infty , or +infty , and a<b, then
]a,b[ denotes the open interval delimited by a and b. See (□, □) for an alternative notation.
(□, □]
]□, □]
Both notations are used for a left-open interval.
[□, □)
[□, □[
Both notations are used for a right-open interval.
⟨□⟩
1.  Generated object: if S is a set of elements in an algebraic structure, {displaystyle langle Srangle } denotes often the object generated by S. If {displaystyle S={s_{1},ldots ,s_{n}}}, one writes {displaystyle langle s_{1},ldots ,s_{n}rangle } (that is, braces are omitted). In particular, this may denote

  • the linear span in a vector space (also often denoted Span(S)),
  • the generated subgroup in a group,
  • the generated ideal in a ring,
  • the generated submodule in a module.
2.  Often used, mainly in physics, for denoting an expected value. In probability theory, E(X) is generally used instead of {displaystyle langle Srangle }.
⟨□, □⟩
⟨□ | □⟩
Both {displaystyle langle x,yrangle } and {displaystyle langle xmid yrangle } are commonly used for denoting the inner product in an inner product space.
⟨□| and |□⟩
Bra–ket notation or Dirac notation: if x and y are elements of an inner product space, |xrangle is the vector defined by x, and {displaystyle langle y|} is the covector defined by y; their inner product is {displaystyle langle ymid xrangle }.

Symbols that do not belong to formulas[edit]

In this section, the symbols that are listed are used as some sorts of punctuation marks in mathematical reasoning, or as abbreviations of English phrases. They are generally not used inside a formula. Some were used in classical logic for indicating the logical dependence between sentences written in plain English. Except for the first two, they are normally not used in printed mathematical texts since, for readability, it is generally recommended to have at least one word between two formulas. However, they are still used on a black board for indicating relationships between formulas.

■ , □
Used for marking the end of a proof and separating it from the current text. The initialism Q.E.D. or QED (Latin: quod erat demonstrandum, «as was to be shown») is often used for the same purpose, either in its upper-case form or in lower case.
Bourbaki dangerous bend symbol: Sometimes used in the margin to forewarn readers against serious errors, where they risk falling, or to mark a passage that is tricky on a first reading because of an especially subtle argument.
Abbreviation of «therefore». Placed between two assertions, it means that the first one implies the second one. For example: «All humans are mortal, and Socrates is a human. ∴ Socrates is mortal.»
Abbreviation of «because» or «since». Placed between two assertions, it means that the first one is implied by the second one. For example: «11 is prime ∵ it has no positive integer factors other than itself and one.»
1.  Abbreviation of «such that». For example, {displaystyle xni x>3} is normally printed «x such that {displaystyle x>3}«.
2.  Sometimes used for reversing the operands of in ; that is, {displaystyle Sni x} has the same meaning as xin S. See ∈ in § Set theory.
Abbreviation of «is proportional to».

Miscellaneous[edit]

!
1.  Factorial: if n is a positive integer, n! is the product of the first n positive integers, and is read as «n factorial».
2.  Subfactorial: if n is a positive integer, !n is the number of derangements of a set of n elements, and is read as «the subfactorial of n».
*
Many different uses in mathematics; see Asterisk § Mathematics.
|
1.  Divisibility: if m and n are two integers, mmid n means that m divides n evenly.
2.  In set-builder notation, it is used as a separator meaning «such that»; see {□ | □}.
3.  Restriction of a function: if f is a function, and S is a subset of its domain, then {displaystyle f|_{S}} is the function with S as a domain that equals f on S.
4.  Conditional probability: {displaystyle P(Xmid E)} denotes the probability of X given that the event E occurs. Also denoted {displaystyle P(X/E)}; see «/».
5.  For several uses as brackets (in pairs or with and ) see § Other brackets.
Non-divisibility: {displaystyle nnmid m} means that n is not a divisor of m.
1.  Denotes parallelism in elementary geometry: if PQ and RS are two lines, {displaystyle PQparallel RS} means that they are parallel.
2.  Parallel, an arithmetical operation used in electrical engineering for modeling parallel resistors: {displaystyle xparallel y={frac {1}{{frac {1}{x}}+{frac {1}{y}}}}}.
3.  Used in pairs as brackets, denotes a norm; see ||□||.
Sometimes used for denoting that two lines are not parallel; for example, {displaystyle PQnot parallel RS}.
perp
1.  Denotes perpendicularity and orthogonality. For example, if A, B, C are three points in a Euclidean space, then {displaystyle ABperp AC} means that the line segments AB and AC are perpendicular, and form a right angle.
2.  For the similar symbol, see bot .
Hadamard product of power series: if {displaystyle textstyle S=sum _{i=0}^{infty }s_{i}x^{i}} and {displaystyle textstyle T=sum _{i=0}^{infty }t_{i}x^{i}}, then {displaystyle textstyle Sodot T=sum _{i=0}^{infty }s_{i}t_{i}x^{i}}. Possibly, odot is also used instead of for the Hadamard product of matrices.[citation needed]

See also[edit]

  • List of mathematical symbols (Unicode and LaTeX)
    • List of mathematical symbols by subject
    • List of logic symbols
  • Mathematical Alphanumeric Symbols (Unicode block)
    • Mathematical constants and functions
    • Table of mathematical symbols by introduction date
  • List of Unicode characters
    • Blackboard bold#Usage
    • Letterlike Symbols
    • Unicode block
  • Lists of Mathematical operators and symbols in Unicode
    • Mathematical Operators and Supplemental Mathematical Operators
    • Miscellaneous Math Symbols: A, B, Technical
    • Arrow (symbol) and Miscellaneous Symbols and Arrows and arrow symbols
    • ISO 31-11 (Mathematical signs and symbols for use in physical sciences and technology)
    • Number Forms
    • Geometric Shapes
  • Diacritic
  • Language of mathematics
    • Mathematical notation
  • Typographical conventions and common meanings of symbols:
    • APL syntax and symbols
    • Greek letters used in mathematics, science, and engineering
    • Latin letters used in mathematics
    • List of common physics notations
    • List of letters used in mathematics and science
    • List of mathematical abbreviations
    • Mathematical notation
    • Notation in probability and statistics
    • Physical constants
    • Typographical conventions in mathematical formulae

References[edit]

  1. ^ ISO 80000-2, Section 9 «Operations», 2-9.6
  2. ^ «Statistics and Data Analysis: From Elementary to Intermediate».
  3. ^ a b c d Letourneau, Mary; Wright Sharp, Jennifer (2017). «AMS style guide» (PDF). American Mathematical Society. p. 99.
  4. ^ The LaTeX equivalent to both Unicode symbols ∘ and ○ is circ. The Unicode symbol that has the same size as circ depends on the browser and its implementation. In some cases ∘ is so small that it can be confused with an interpoint, and ○ looks similar as circ. In other cases, ○ is too large for denoting a binary operation, and it is ∘ that looks like circ. As LaTeX is commonly considered as the standard for mathematical typography, and it does not distinguish these two Unicode symbols, they are considered here as having the same mathematical meaning.
  5. ^ Rutherford, D. E. (1965). Vector Methods. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh.

External links[edit]

  • Jeff Miller: Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
  • Numericana: Scientific Symbols and Icons
  • GIF and PNG Images for Math Symbols
  • Mathematical Symbols in Unicode
  • Detexify: LaTeX Handwriting Recognition Tool
Some Unicode charts of mathematical operators and symbols:
  • Index of Unicode symbols
  • Range 2100–214F: Unicode Letterlike Symbols
  • Range 2190–21FF: Unicode Arrows
  • Range 2200–22FF: Unicode Mathematical Operators
  • Range 27C0–27EF: Unicode Miscellaneous Mathematical Symbols–A
  • Range 2980–29FF: Unicode Miscellaneous Mathematical Symbols–B
  • Range 2A00–2AFF: Unicode Supplementary Mathematical Operators
Some Unicode cross-references:
  • Short list of commonly used LaTeX symbols and Comprehensive LaTeX Symbol List
  • MathML Characters — sorts out Unicode, HTML and MathML/TeX names on one page
  • Unicode values and MathML names
  • Unicode values and Postscript names from the source code for Ghostscript

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeXе, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, A subset B обозначает то же, что и B supset A.

Знаки операций или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

Символ (TeX) Символ (Unicode) Название Значение Пример Произношение Раздел математики Rightarrow !,

rightarrow !,

supset !,

Импликация, следование A Rightarrow B, означает «если A верно, то B также верно».
(→ может использоваться вместоили для обозначения функции, см. ниже.)
(⊃ может использоваться вместо, или для обозначения надмножества, см. ниже.). x = 2 Rightarrow x^2 = 4, верно, но x^2 = 4 Rightarrow x = 2, неверно (так как x=-2 также является решением). «влечёт» или «если…, то» везде Leftrightarrow ⇔ Равносильность A Leftrightarrow B означает «A верно тогда и только тогда, когда B верно». x + 5 = y + 2 Leftrightarrow x + 3 = y, «если и только если» или «равносильно» везде wedge ∧ Конъюнкция A wedge B истинно тогда и только тогда, когда A и B оба истинны. (n>2)wedge (n<4)Leftrightarrow (n=3), если n — натуральное число. «и» Математическая логика vee ∨ Дизъюнкция Avee B истинно, когда хотя бы одно из условий A и B истинно. (nleqslant 2)vee (ngeqslant 4)Leftrightarrow nne 3, если n — натуральное число. «или» Математическая логика neg ¬ Отрицание neg A истинно тогда и только тогда, когда ложно A. neg (Awedge B)Leftrightarrow (neg A)vee (neg B)
xnotin SLeftrightarrow neg(xin S) «не» Математическая логика forall ∀ Квантор всеобщности forall x, P(x) обозначает «P(x) верно для всех x». forall nin mathbb N,;n^2geqslant n «Для любых», «Для всех» Математическая логика exists ∃ Квантор существования exists x,;P(x) означает «существует хотя бы один x такой, что верно P(x)» exists nin mathbb N,;n+5=2n (подходит число 5) «существует» Математическая логика =, = Равенство x=y обозначает «x и y обозначают одно и то же значение». 1 + 2 = 6 − 3 «равно» везде :=

:Leftrightarrow

stackrel{rm{def}}{=}

 :=

:⇔

Определение x := y означает «x по определению равен y».
P :Leftrightarrow Q означает «P по определению равносильно Q» {rm ch} (x) := {1over 2}left(e^x+e^{-x}right) (Гиперболический косинус)
A oplus B :Leftrightarrow (Avee B)wedge neg (Awedge B) (Исключающее или) «равно/равносильно по определению» везде { ,} { , } Множество элементов {a,;b,;c} означает множество, элементами которого являются a, b и c. mathbb N = {1,;2,;ldots } (множество натуральных чисел) «Множество…» Теория множеств { | }

{ : }

{ | }

{ : }

Множество элементов, удовлетворяющих условию {x,|,P(x)} означает множество всех x таких, что верно P(x). {nin mathbb N,|,n^2<20} = {1,;2,;3,;4} «Множество всех… таких, что верно…» Теория множеств varnothing

{}

{}

Пустое множество {} и varnothing означают множество, не содержащее ни одного элемента. {nin mathbb N,|,1<n^2<4} = varnothing «Пустое множество» Теория множеств in

notin

Принадлежность/непринадлежность к множеству ain S означает «a является элементом множества S»
anotin S означает «a не является элементом множества S» 2in mathbb N
{1over 2}notin mathbb N «принадлежит», «из»
«не принадлежит» Теория множеств subseteq

subset

Подмножество Asubseteq B означает «каждый элемент из A также является элементом из B».
Asubset B обычно означает то же, что и Asubseteq B. Однако некоторые авторы используют subset, чтобы показать строгое включение (то есть subsetneq). (Acap B) subseteq A
mathbb Qsubseteq mathbb R «является подмножеством», «включено в» Теория множеств supseteq !,

supset !,

Надмножество Asupseteq B означает «каждый элемент из B также является элементом из A».
Asupset B обычно означает то же, что и Asupseteq B. Однако некоторые авторы используют supset, чтобы показать строгое включение (то есть supsetneq). (Acup B) supseteq A
mathbb Rsupseteq mathbb Q «является надмножеством», «включает в себя» Теория множеств subsetneq ⊊ Собственное подмножество Asubsetneq B означает Asubseteq B и Ane B. mathbb Nsubsetneq mathbb Q «является собственным подмножеством», «строго включается в» Теория множеств supsetneq ⊋ Собственное надмножество Asupsetneq B означает Asupseteq B и Ane B. mathbb Qsupsetneq mathbb N «является собственным надмножеством», «строго включает в себя» Теория множеств cup ∪ Объединение Acup B означает множество элементов, принадлежащих A или B (или обоим сразу). Asubseteq BLeftrightarrow Acup B=B «Объединение … и …», «…, объединённое с …» Теория множеств cap ⋂ Пересечение Acap B означает множество элементов, принадлежащих и A, и B. {xin R,|,x^2=1}cap mathbb N = {1} «Пересечение … и … », «…, пересечённое с …» Теория множеств setminus Разность множеств Asetminus B означает множество элементов, принадлежащих A, но не принадлежащих B. {1,;2,;3,;4}setminus {3,;4,;5,;6} = {1,;2} «разность … и … », «минус», «… без …» Теория множеств to → Функция f!!:Xto Y означает функцию f с областью определения X и областью прибытия (областью значений) Y. Функция f!!:mathbb Zto mathbb Z, определённая как f(x)=x^2 «из … в», везде mapsto ↦ Отображение x mapsto f(x) означает, что образом x после применения функции f будет f(x). Функцию, определённую как f(x)=x^2, можно записать так: fcolon x mapsto x^2 «отображается в» везде mathbb N N или ℕ Натуральные числа mathbb N означает множество {1,;2,;3,;ldots} или реже {0,;1,;2,;3,;ldots} (в зависимости от ситуации). {left|aright|,|,ain mathbb Z}=mathbb N «Эн» Числа mathbb Z Z или ℤ Целые числа mathbb Z означает множество {ldots,;-3,;-2,;-1,;0,;1,;2,;3,;ldots} {a,;-a,|,ainmathbb N} cup { 0 }=mathbb Z «Зед» Числа mathbb Q Q или ℚ Рациональные числа mathbb Q означает left{left.{pover q} right| pin mathbb Z wedge qin mathbb Zwedge qne 0right} 3,!14in mathbb Q
pi notin mathbb Q «Ку» Числа mathbb R R или ℝ Вещественные числа, или действительные числа R означает множество всех пределов последовательностей из mathbb Q pi in R
i notin R (i — комплексное число: i^2=-1) «Эр» Числа mathbb C C или ℂ Комплексные числа mathbb C означает множество {a+bcdot i,|,ain R wedge bin R} iin mathbb C «Це» Числа <,

>,

<
> Сравнение x<y обозначает, что x строго меньше y.
x>y означает, что x строго больше y. x<yLeftrightarrow y>x «меньше чем», «больше чем» Отношение порядка leqslant
geqslant ≤ или ⩽
≥ или ⩾ Сравнение xleqslant y означает, что x меньше или равен y.
xgeqslant y означает, что x больше или равен y. xgeqslant 1Rightarrow x^2geqslant x «меньше или равно»; «больше или равно» Отношение порядка approx ≈ Приблизительное равенство eapprox 2,!718 с точностью до 10^{-3} означает, что 2,718 отличается от e не больше чем на 10^{-3}. pi approx 3,!1415926 с точностью до 10^{-7}. «приблизительно равно» Числа sqrt{ } √ Арифметический квадратный корень sqrt x означает неотрицательное действительное число, которое в квадрате даёт x. sqrt 4=2
sqrt {x^2}= left|xright| «Корень квадратный из …» Числа infty ∞ Бесконечность +infty и -infty суть элементы расширенного множества действительных чисел. Эти символы обозначают числа, меньшее/большее всех действительных чисел. limlimits_{xto 0} {1over left|xright|}= infty «Плюс/минус бесконечность» Числа left|;right| | | Модуль числа (абсолютное значение), модуль комплексного числа или мощность множества left|xright| обозначает абсолютную величину x.
|A| обозначает мощность множества A и равняется, если A конечно, числу элементов A. left|a+bcdot iright|=sqrt {a^2+b^2} «Модуль»; «Мощность» Числа и Теория множеств sum ∑ Сумма, сумма ряда sum_{k=1}^n a_k означает «сумма a_k, где k принимает значения от 1 до n», то есть a_1+a_2+ldots+a_n.
sum_{k=1}^{infty} a_k означает сумму ряда, состоящего из a_k. sum_{k=1}^4 k^2=
= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2
= 30 «Сумма … по … от … до …» Арифметика, Математический анализ prod ∏ Произведение prod_{k=1}^n a_k означает «произведение a_k для всех k от 1 до n», то есть a_1cdot a_2cdotldotscdot a_n prod_{k=1}^4 (k+2)=
=3cdot 4cdot 5cdot 6=360 «Произведение … по … от … до …» Арифметика !  ! Факториал n! означает «произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, то есть 1cdot 2cdotldotscdot n n! = prod_{k=1}^n k = (n-1)!n
0! = 1
5! = 1cdot2cdot3cdot4cdot5=120 «n факториал» Комбинаторика int dx ∫ Интеграл intlimits_a^b f(x), dx означает «интеграл от a до b функции f от x по переменной x». intlimits_0^b x^2, dx = frac{b^3}{3}
int x^2, dx = frac{x^3}{3} + C «Интеграл (от … до …) функции … по (или d)…» Математический анализ begin{align}
& frac{df}{dx} \
& f'(x), \
end{align}
df/dx
f'(x) Производная frac{df}{dx} или f'(x) означает «(первая) производная функции f от x по переменной x». frac{d cos x}{dx} = -sin x «Производная … по …» Математический анализ begin{align}
& frac{d^n f}{dx^n} \
& f^{(n)} (x), \
end{align}
d^n f/dx^n
f^{(n)}(x) Производная n-го порядка frac{d^n f}{dx^n} или f^{(n)} (x)~ (во втором случае если n — фиксированное число, то оно пишется римскими цифрами) означает «n-я производная функции f от x по переменной x». frac{d^4 cos x}{dx^4} = cos x «n-я производная … по …» Математический анализ

  • Как пишется знак приблизительно в математике
  • Как пишется знак подобия в геометрии
  • Как пишется знак площадь
  • Как пишется знак перпендикулярности
  • Как пишется знак пересечения в математике