Параллельность прямых (a) и (b) обозначается так:
a∥b илиb∥a
.
Teорема 1. Через две параллельные прямые можно провести плоскость, и притом только одну.
1. так как прямые (a) и (b) параллельны, из определения следует, что через них можно провести плоскость
α
.
2. Чтобы доказать, что такая плоскость только одна, на прямой (a) обозначаем точки (B) и (C), а на прямой (b) — точку (A).
3. Так как через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести только одну плоскость ((2) аксиома), то
α
является единственной плоскостью, которой принадлежат прямые (a) и (b).
Теорема 2. Через любую точку пространства вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной прямой, и притом только одну.
Доказательство:
1. через данную прямую (a) и точку (M), которая не лежит на прямой, проводится плоскость
α
.
2. Такая плоскость только одна (т. к. через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну).
3. А в плоскости
α
через точку (M) можно провести только одну прямую (b), которая параллельна прямой (a).
Теорема 3. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
(1 рис.)
(2 рис.)
Доказательство:
рассмотрим две параллельные прямые (a) и (b) и допустим, что прямая (b) пересекает плоскость
α
в точке (M) (1 рис.).
Из (1)-й теоремы известно, что через параллельные прямые (a) и (b) можно провести только одну плоскость
β
.
Так как точка (M) находится на прямой (b), то (M) также принадлежит плоскости
β
(2 рис.). Если у плоскостей
α
и
β
есть общая точка (M), то у этих плоскостей есть общая прямая (c), которая является прямой пересечения этих плоскостей ((4) аксиома).
Прямые (a), (b) и (c) находятся в плоскости
β
.
Если в этой плоскости одна из параллельных прямых (b) пересекает прямую (c), то вторая прямая (a) тоже пересекает (c).
Точку пересечения прямых (a) и (c) обозначим за (K).
Так как точка (K) находится на прямой (c), то (K) находится в плоскости
α
и является единственной общей точкой прямой (a) и плоскости
α
.
Значит, прямая (a) пересекает плоскость
α
в точке (K).
Теорема 4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.
Доказательство:
выберем точку (M) на прямой (b).
Через точку (M) и прямую (a), которая не содержит эту точку, можно провести только одну плоскость
α
(через прямую и не лежащую на ней точку можно провести только одну плоскость).
Возможны два случая:
1) прямая (b) пересекает плоскость
α
; или 2) прямая (b) находится в плоскости
α
.
Пусть прямая (b) пересекает плоскость
α
.
Значит, прямая (c), которая параллельна прямой (b), тоже пересекает плоскость
α
. Так как
a∥c
, то получается, что (a) тоже пересекает эту плоскость. Но прямая (a) не может одновременно пересекать плоскость
α
и находиться в плоскости
α
. Получаем противоречие, следовательно, предположение, что прямая (b) пересекает плоскость
α
, является неверным.
Значит, прямая (b) находится в плоскости
α
.
Теперь нужно доказать, что прямые (a) и (b) параллельны.
Пусть у прямых (a) и (b) есть общая точка (L).
Это означает, что через точку (L) проведены две прямые (a) и (b), которые параллельны прямой (c). Но по второй теореме это невозможно. Поэтому предположение неверное, и прямые (a) и (b) не имеют общих точек.
Так как прямые (a) и (b) находятся в одной плоскости
α
, и у них нет общих точек, то они параллельны.
Всё множество прямых в пространстве, которые параллельны данной прямой, называется пучком параллельных прямых.
Выводы:
1) любые две прямые пучка параллельных прямых параллельны между собой.
2) Параллельности прямых в пространстве присуща транзитивность:
еслиa∥bиb∥c,тоa∥c.
Пример:
одна сторона параллелограмма пересекает плоскость. Докажите, что прямая, которая содержит противоположную сторону параллелограмма, тоже пересекает эту плоскость.
Допустим, что у параллелограмма (ABCD) сторона (AD) пересекает плоскость
α
в точке (K).
Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то, согласно третьей теореме, прямая, которая содержит сторону (BC), тоже пересекает плоскость
α
.
2) прямая и плоскость имеют только одну общую точку (прямая и плоскость пересекаются);
3) прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки.
Теорема 5 «Признак параллельности прямой и плоскости».
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой на этой плоскости, то эта прямая параллельна данной плоскости.
Параллельность прямых, прямой и плоскости и параллельность плоскостей в пространстве
Помнишь, на плоскости была тема «Параллельные прямые»?
Так вот, в пространстве тоже бывают параллельные прямые.
Но… всё немного иначе.
А еще есть параллельность плоскостей – очень важная штука в стереометрии.
Умея с ней работать, становится легче находить углы и значения величин в задачах, выполнять правильные построения.
Читай статью и будешь знать о параллельности плоскостей все!
Параллельность прямых в пространстве
Определение
Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Вот так:
Обрати внимание! Здесь очень важны слова “лежат в одной плоскости”.
Потому что в пространстве бывают другие, НЕ параллельные прямые, которые тоже НЕ пересекаются. Вот, например, такие:
Видишь, через прямые ( displaystyle a) и ( displaystyle b) никак нельзя провести плоскость, но они и не пересекаются.
Такие прямые называются скрещивающиеся.
Не пересекающиеся! И не параллельные!
Итак, ещё раз:
Прямые в пространстве параллельны, если лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Признаки параллельности прямых в пространстве
Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей.
Пример на признак параллельности прямых в пространстве
Пусть плоскости ( displaystyle ABDC) и ( displaystyle CDFE).
( displaystyle ABparallel EF), значит, ( displaystyle ABparallel CD) по признаку параллельности прямых в пространстве.
Параллельность прямой и плоскости
Определение параллельности прямой и плоскости
Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали.
Вот так: видишь, прямая как бы «висит» над плоскостью.
И представь себе, существует признак параллельности прямой и плоскости. Давай его сформулируем.
Признак параллельности прямой и плоскости
Прямая (displaystyle a ) параллельна плоскости (displaystyle alpha ), если в этой плоскости есть (хоть одна!) прямая (displaystyle b ), параллельная (displaystyle a ).
Можно сказать и немного другими словами, но смысл остаётся тот же.
Если прямая (displaystyle a ) параллельна прямой (displaystyle b), лежащей в плоскости (displaystyle alpha), то прямая (displaystyle a ) параллельна и всей плоскости (displaystyle alpha ).
Пример на признак параллельности прямой и плоскости
Пусть (displaystyle SABCD) – правильная 4 – угольная пирамида.
Тогда, например, (displaystyle AB parallel SCD). Почему? Но ведь (displaystyle AB parallel CD), а (displaystyle CD ) лежит в плоскости (displaystyle SCD).
Значит (по признаку) (displaystyle AB parallel SCD).
Параллельность плоскостей
Определение параллельности плоскостей
Плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, сколько бы их не продолжали
И так же, как для прямой и плоскости, есть признак параллельности плоскостей. Его формулировка немного длиннее.
Признак параллельности двух плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Слишком много слов? А ты посмотри на картинку: если ( displaystyle a parallel {a}’) и ( displaystyle b parallel {b}’), то это значит, что ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle {{alpha }’}) (плоскости) – параллельны, то есть нигде не пересекутся.
Параллельность в пространстве: свойство транзитивности
Ух, ну и название! О чём же мы?
А вот ты задумайся над вопросом: правда ли, что если прямая ( displaystyle a ) параллельна прямой ( displaystyle b), a ( displaystyle b parallel c), то ( displaystyle a parallel c)?
И есть ответ: правда! И как раз такой перенос с “( displaystyle a)” через “( displaystyle b)” на “( displaystyle c)” и называется «транзитивность».
Давай-ка теперь рассмотрим несколько вариантов в буквах и картинках:
( displaystyle a parallel b) и ( displaystyle b parallel c Rightarrow a parallel c).
( displaystyle alpha parallel beta) и ( displaystyle beta parallel gamma Rightarrow alpha parallel gamma).
( displaystyle aparallel alphaquad) и ( displaystyle quad alphaparallel betaRightarrow aparallel beta).
( displaystyle alpha parallel bquad) и ( displaystylequad bparallel alpha Rightarrow text{a}parallel alpha )
И один неверный вариант:
( displaystyle aparallel alpha ) и ( displaystyle alpha parallel b) ( displaystyle НЕ Rightarrow ) ( displaystyle aparallel b).
Посмотри – убедись!
Ну вот, мы обсудили определения и признаки параллельности прямых и плоскостей и даже немножко порисовали транзитивности. Давай теперь рассмотрим несколько примеров.
Пример на признак параллельности плоскостей
Пусть в пирамиде ( displaystyle SABC) проведена плоскость ( displaystyle MNK) через середины рёбер ( displaystyle SA), ( displaystyle SB) и ( displaystyle SC).
Тогда ( displaystyle MNKparallel ABC). Почему?
Да просто ( displaystyle MNparallel AB) (средняя линия), ( displaystyle NKparallel BC) (тоже средняя линия, но в ( displaystyle Delta SBC)).
Значит, получилось, что ( displaystyle MN) и ( displaystyle NK) – пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны ( displaystyle AB) и ( displaystyle BC) – пересекающимся прямым в другой плоскости – работает признак ( displaystyle Rightarrow ) ( displaystyle MNKparallel ABC).
Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+
Алексей Шевчук – ведущий курсов
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.
1. Понятие о параллельных прямых
2. Теоремы о параллельности двух прямых
3. Свойства параллельных прямых в пространстве
4. Пример задачи о параллельных прямых
Понятие о параллельных прямых
Прямые (a) и (b) являются параллельными в трехмерном пространстве только в том случае, если они находятся в одной плоскости и не пересекаются.
Если рассмотреть примеры, то параллельные прямые мы можем наблюдать как противоположные края у прямоугольного или квадратного стола, железнодорожные рельсы и шпалы, провода линий электропередач, линии в тетради в полоску и прочее. Таких примеров из реального мира можно привести очень много.
Другими вариантами прямых, расположенных в 3D-пространстве, есть их скрещивание и пересечение. Пересекающимися есть прямые, имеющие общую точку, она же и есть точкой пересечения. Скрещивающимися есть прямые, расположенные в разных плоскостях и не параллельные между собой.
Есть ряд теорем, описывающих поведение параллельных прямых в пространстве. Рассмотрим их подробнее.
Теоремы о параллельности двух прямых
Теоремы:
- если две прямые в пространстве перпендикулярные к одной плоскости, то они параллельные между собой;
- через точку в пространстве, что не расположена на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, параллельную заданной.
Доказательство теоремы: Через прямую a и точку (M), не находящуюся на данной прямой, проведем плоскость ∝. Эта плоскость определяется заданной прямой a и точкой (M), то есть она однозначно определена.
Для доказательства этой теоремы применим евклидовую аксиому из планиметрии про параллельные прямые.
Таким образом, через точку (M) возможно проложить лишь одну прямую, параллельную прямой (a), и ее существование доказано. Назовем эту прямую (b).
Два отрезка будут параллельными при их расположении на параллельных прямых.
Свойства параллельных прямых в пространстве
Некоторые свойства пересекаются с вышеизложенными теоремами, но все же рассмотрим их все:
- имея две параллельных прямых, одна из которых параллельная третьей прямой, можно утверждать, что вторая тоже будет параллельна третьей;
- если из двух параллельных прямых одна пересекает некую плоскость, то и вторая так же будет ее пересекать. Это свойство является леммой про две параллельные прямые в пространстве, ее применяют при обоснованиях различных геометрических теорем;
- при помощи двух параллельных прямых можно изобразить однозначно заданную плоскость;
- через любую точку, находящуюся в 3D-пространстве и не расположенную на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, что параллельна заданной.
Рассмотрим подробнее лемму про параллельные прямые и докажем ее. К примеру, некая прямая (b) пересекает плоскость (∝) в точке (M), что расположена на заданной плоскости. Параллельные прямые a и образуют некую плоскость (β). Таким образом, если точка (M) общая для плоскостей (∝) и (β), то эти плоскости пересекаются, линию пересечения обозначим c, на ней расположена точка (M).
Все прямые (a), (b) и (c) расположены в плоскости (β).
Не нашли что искали?
Просто напиши и мы поможем
В соответствии с аксиомой планиметрии, при пересечении одной из параллельных прямых третьей прямой, вторая так же будет ее пересекать.
В нашем варианте прямая a пересекает прямую c в точке (K).
Точка (K) расположена одновременно на прямой a и на плоскости (∝), значит она есть общей для них. Таким образом, прямая a пересекает плоскость (∝).
Пример задачи о параллельных прямых
Заданы прямые (a) и (b), описывающиеся уравнениями. Определить, параллельны ли заданные прямые.
(a: {(x-1)over 1}={(y-1)over 3}={(z+1)over (-2)} );
При совпадении прямых или если они параллельны их направляющие векторы (s_1) и ( s_2) будут коллинеарными, таким образом, их координаты будут иметь следующее соотношение:
({x_1over x_2} ={y_1over y_2} ={z_1over z_2} .)
Для того, чтобы найти направляющие вектора, воспользуемся каноническими уравнениями, таким образом для прямой a вектор (s_1) будет равен {1;3;-2}.
Для прямой b найдем направляющий вектор при помощи произведения нормальных векторов плоскостей, на которых он расположен:
таким образом, (s_2)= {-1;-3; — 2}.
(s_1=-s_2).
Таким образом, соблюдается вышеуказанное условие, значит эти прямые либо параллельны, либо совпадают. Необходимо определить каковыми именно они являются: параллельны или совпадают. Возьмем некую точку (K) с координатами (1;2;-1), находящуюся на прямой a, и подставим ее координаты в уравнение прямой (b):
1-2+1+1=0;1=0,
Равенство не выполняется, таким образом, точка (K) не расположена на прямой (b), а это означает, что прямые (a) и (b) не совпадают, соответственно они параллельны.