Рассказ о натуральных числах 5 класс

Определение натурального числа

Натуральные числа — это числа, которые мы используем для подсчета чего-то конкретного, осязаемого.

Вот какие числа называют натуральными: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 и т. д.

Натуральный ряд — последовательность всех натуральных чисел, расположенных в порядке возрастания. Первые сто можно посмотреть в таблице.

Какие операции возможны над натуральными числами

• сложение:
  слагаемое + слагаемое = сумма;
• умножение:
  множитель × множитель = произведение;
• вычитание:
  уменьшаемое − вычитаемое = разность.

  При этом уменьшаемое должно быть больше вычитаемого, иначе в результате получится отрицательное число или ноль;
• деление:
  делимое : делитель = частное;
• деление с остатком:
  делимое / делитель = частное (остаток);
• возведение в степень:
  a^b, где a — основание степени, b — показатель степени.

Записывайтесь на курсы обучения математике для учеников с 1 по 11 классы!

Десятичная запись натурального числа

В школе мы проходим тему натуральных чисел в 5 классе, но на самом деле многое нам может быть интуитивно понятно и раньше. Проговорим важные правила.

Мы регулярно используем цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. При записи любого натурального числа можно использовать только эти цифры без каких-либо других символов. Записываем цифры одну за другой в строчку слева направо, используем одну высоту.

Примеры правильной записи натуральных чисел: 208, 567, 24, 1 467, 899 112. Эти примеры показывают нам, что последовательность цифр может быть разной и некоторые даже могут повторяться.

077, 0, 004, 0931 — это примеры неправильной записи натуральных чисел, потому что ноль расположен слева. Число не может начинаться с нуля. Это и есть десятичная запись натурального числа.

Количественный смысл натуральных чисел

Натуральные числа несут в себе количественный смысл, то есть выступают в качестве инструмента для нумерации.

Представим, что перед нами банан 🍌. Мы можем записать, что видим 1 банан. При этом натуральное число 1 читается как «один» или «единица».

Но термин «единица» имеет еще одно значение: то, что можно рассмотреть, как единое целое. Элемент множества можно обозначить единицей. Например, любое дерево из множества деревьев — единица, любой листок из множества листков — единица.

Представим, что перед нами 2 банана 🍌🍌. Натуральное число 2 читается как «два». Далее, по аналогии:

Основная функция натурального числа — указать количество предметов.

Если запись числа совпадает с цифрой 0, то его называют «ноль». Напомним, что ноль — не натуральное число, но он может обозначать отсутствие. Ноль предметов значит — ни одного.

Однозначные, двузначные и трехзначные натуральные числа

Однозначное натуральное число — это такое число, в составе которого один знак, одна цифра. Девять однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Двузначные натуральные числа — те, в составе которых два знака, две цифры. Цифры могут повторяться или быть различными. Например: 88, 53, 70.

Если множество предметов состоит из девяти и еще одного, значит, речь идет об 1 десятке («один десяток») предметов. Если один десяток и еще один, значит, перед нами 2 десятка («два десятка») и так далее.

По сути, двузначное число — это набор однозначных чисел, где одно записывается справа, а другое слева. Число слева показывает количество десятков в составе натурального числа, а число справа — количество единиц. Всего двузначных натуральных чисел — 90.

Трехзначные натуральные числа — числа, в составе которых три знака, три цифры. Например: 666, 389, 702.

Одна сотня — это множество, состоящее из десяти десятков. Сотня и еще одна сотня — 2 сотни. Прибавим еще одну сотню — 3 сотни.

Вот как происходит запись трехзначного числа: натуральные числа записываются одно за другим слева направо.

Крайнее правое однозначное число указывает на количество единиц, следующее — на количество десятков, крайнее левое — на количество сотен. Цифра 0 показывает отсутствие единиц или десятков. Поэтому 506 — это 5 сотен, 0 десятков и 6 единиц.

Точно так же определяются четырехзначные, пятизначные, шестизначные и другие натуральные числа.

Многозначные натуральные числа

Многозначные натуральные числа состоят из двух и более знаков.

1 000 — это множество с десятью сотнями, 1 000 000 состоит из тысячи тысяч, а один миллиард — это тысяча миллионов. Тысяча миллионов, только представьте! То есть мы можем рассмотреть любое многозначное натуральное число как набор однозначных натуральных чисел.

Например, 2 873 206 содержит в себе: 6 единиц, 0 десятков, 2 сотни, 3 тысячи, 7 десятков тысяч, 8 сотен тысяч и 2 миллиона.

Свойства натуральных чисел

Об особенностях натуральных чисел мы уже знаем. А теперь подробно расскажем про их свойства:

множество натуральных чисел	бесконечно и начинается с единицы (1)
за каждым натуральным числом следует другое	оно больше предыдущего на 1
результат деления натурального числа на единицу (1)	само натуральное число: 5 : 1 = 5
результат деления натурального числа самого на себя	единица (1): 6 : 6 = 1
переместительный закон сложения	от перестановки мест слагаемых сумма не меняется: 4 + 3 = 3 + 4
сочетательный закон сложения	результат сложения нескольких слагаемых не зависит от порядка действий: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
переместительный закон умножения	от перестановки мест множителей произведение не изменится: 4 × 5 = 5 × 4
сочетательный закон умножения	результат произведения множителей не зависит от порядка действий; можно хоть так, хоть эдак: (6 × 7) × 8 = 6 × (7 ×
распределительный закон умножения относительно сложения	чтобы умножить сумму на число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить: 4 × (5 + 6) = 4 × 5 + 4 × 6
распределительный закон умножения относительно вычитания	чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе: 3 × (4 − 5) = 3 × 4 − 3 × 5
распределительный закон деления относительно сложения	чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты: (9 + : 3 = 9 : 3 + 8 : 3
распределительный закон деления относительно вычитания	чтобы разделить разность на число, можно разделить на это число сначала уменьшаемое, а затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе: (5 − 3) : 2 = 5 : 2 − 3 : 2

Разряды натурального числа и значение разряда

Напомним, что от позиции, на которой стоит цифра в записи числа, зависит ее значение. Так, например, 1 123 содержит в себе: 3 единицы, 2 десятка, 1 сотню, 1 тысячу. При этом можно сформулировать иначе и сказать, что в заданном числе 1 123 цифра 3 располагается в разряде единиц, 2 в разряде десятков, 1 в разряде сотен и 1 служит значением разряда тысяч.

Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа.

У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие. Чтобы быстрее запомнить, можно использовать таблицу.

Количество разрядов всегда соответствует количеству знаков в числе. В этой таблице есть названия всех разрядов для числа, которое состоит из 15 знаков. У следующих разрядов также есть названия, но они используются крайне редко.

Низший (младший) разряд многозначного натурального числа — разряд единиц.

Высший (старший) разряд многозначного натурального числа — разряд, соответствующий крайней левой цифре в заданном числе.

Вы наверняка заметили, что в учебниках часто ставят небольшие пробелы при записи многозначных чисел. Так делают, чтобы натуральные числа было удобно читать. А еще — чтобы визуально разделить разные классы чисел.

Класс — это группа разрядов, которая содержит в себе три разряда: единицы, десятки и сотни.

Десятичная система счисления

Люди в разные времена использовали разные методы записи чисел. И каждая система счисления имеет свои правила и особенности.

Десятичная система счисления — самая распространенная система счисления, в которой для записи чисел используют десять знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

В десятичной системе значение одной и той же цифры зависит от ее позиции в записи числа. Например, число 555 состоит из трех одинаковых цифр. В этом числе первая слева цифра означает пять сотен, вторая — пять десятков, а третья — пять единиц. Так как значение цифры зависит от ее позиции, десятичную систему счисления называют позиционной.

Вопрос для самопроверки

Сколько натуральных чисел можно отметить на координатном луче между точками с координатами:

1. 0 и 15;

2. 20 и 50;

3. 100 и 130?

1


Возникновение натуральных чисел Выполнили ученицы 5 «а» класса: Денисова Виктория Амеличкина Настя Учитель: Денисова И.П.

2


Запись натуральных чисел Любое натуральное число можно записать при помощи десяти арабских цифр: 1 (один), 2 (два), 3 (три), 4 (четыре), 5 (пять), 6 (шесть), 7 (семь), 8 (восемь), 9 (девять), 0 (ноль). Одно число может обозначаться несколькими цифрами. Например, число 18 (восемнадцать) обозначается двумя цифрами: 1 (один) и 8 (восемь). В записи натурального числа значение каждой цифры определяется местом (позицией), которое цифра занимает в записи числа.

3


Возникновение чисел У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись. В древние времена, когда человек хотел показать, сколькими животными он владел, он клал в большой мешок столько камешков, сколько у него было животных. Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а потом переходили на пальцы ног.

4


Первая запись чисел Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять. Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Вот так выглядели эти дощечки.

5


Как считали древние майя? Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, как у пришельцев, и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно

6


Древний способ счёта Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета. У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурочке! Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.

7


Счёт у древних египтян Древние египтяне на очень длинных и дорогих папирусах писали вместо цифр очень сложные, громоздкие знаки. Вот, например, как выглядело число 5656

8


Счёт индейцев Было очень неудобно хранить хрупкие и тяжелые глиняные таблички, веревки с узелками, рулоны папируса. И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак. Индия находилась далеко от других стран. Арабы были первыми, кто заимствовал цифры у индийцев и привез их в Европу.

9


Арабские цифры Чуть позже арабы упростили эти значки, они стали выглядеть вот так: Слово «цифра» тоже досталось нам от арабов по наследству. Арабы нуль, или «пусто», называли «цифра». С тех пор и появилось слово «цифра». Правда, сейчас цифрами называются все десять значков для записи чисел, которыми мы пользуемся.

10


Римские цифры Десятичная система исчисления, которую ввели римляне, была распространена по всей Европе. До сих пор римские цифры используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр была слишком сложной для счета.

11


Славянский способ счёта: Для обозначения больших чисел славяне придумали свой оригинальный способ: Десять тысяч – тьма, десять тем – легион, десять легионов – леодр, десять леодров – ворон, десять воронов – колода.

12


Натуральные числа Славянский способ обозначения чисел был очень неудобен. Поэтому Петр I ввел в России привычные для нас десять цифр, отменив буквенную цифирь. Этим способом записи чисел мы пользуемся до сих пор. Числа, которые употребляются при счёте предметов, называются натуральными числами. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

13


Литература 1.А. Ликум Все обо всем. Популярная энциклопедия для детей – М.: Филологическое общество «Слово», 1993 г., том 1, 7, 9. 2.А. Лопатина Добрая математика. М: «Амрита Русь» 2004 г. 3.Интернет-ресурсы.

История натуральных чисел

Слово арифметика происходит от греческого слова арифмос, что означает «число». Можно сказать, что арифметика — это наука о числах и действиях с ними.

Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Египте, Вавилоне, Китае и Индии, накопленные математические знания которых были развиты и продолжены учеными Древней Греции.

Термин натуральное число впервые употребил в VI в. в своей книге «О введении в арифметику» Боэций — римский ученый, переводивший на латынь работы математиков прошлого.

Натуральные числа служат фундаментом всей математической науки.

Первыми записями чисел были зарубки на деревянных брусках, а позднее черточки. Для обозначения больших чисел стали применять специальные знаки-цифры. Вы познакомились с арабскими цифрами, составляющими основу десятичной нумерации.

В Древней Руси для записи чисел использовались буквы алфавита. Чтобы отличить буквы от цифр, над буквами ставили специальный знак — титло. Первые девять букв алфавита обозначали единицы, следующие девять букв — десятки, а последние десять букв — сотни. Число десять тысяч называли словом тьма.

В Древнем Риме была создана своя система нумерации. Римские цифры мы можем увидеть на фронтонах некоторых старинных зданий, в книгах, где ими нумеруют главы, да и номер нашего двадцать первого века обычно записывают в римской системе счисления.

В римской нумерации есть семь основных цифр, которыми являются буквы языка древних римлян — латыни.

Существует несколько гипотез о происхождении римских цифр. Одни считают, что V обозначает раскрытую ладонь с пятью пальцами, а X — две скрещенные руки. Другие же полагают, что к появлению знака X привело перечеркивание десяти черточек, а V — это половина от X.

Где бы в записи числа ни стояла римская цифра, она всегда обозначает одно и то же число. Однако и в римской системе счисления есть некоторые правила записи чисел.

Правила записи чисел в римской системе

1. Одна и та же цифра не записывается подряд более трех раз.
2. Меньшая цифра (цифра, соответствующая меньшему числу), стоящая справа от большей, показывает, что числа следует сложить, а меньшая цифра, стоящая слева от большей, — что меньшее число надо вычесть из большего. При этом могло быть только шесть вариантов такого вычитания: IV, IX, XL, XC, CD, CM.
3. Цифры записываются слева направо в порядке убывания. Например, число MDCCLXXIX = 1000 + 500 + 100 + 50 + 10 + 10 + (10 — 1) = 1779.

Современная десятичная запись натуральных чисел появилась в Индии в VI в. В VII-VIII вв. ее переняли арабы, а затем с ней познакомились и в странах Европы, где ее назвали арабской. Интересно, что сами арабы по-прежнему называют свою систему индийской. Как ни странно, но до XVIII в. в Европе в официальных документах разрешалось использовать только римские цифры, и лишь с начала XIX в. арабскую нумерацию стали применять повсеместно.

В 1703 г. вышел первый российский учебник математики «Арифметика сиречь наука числительная.». Автором учебника был преподаватель Школы математических и навигацких наук Леонтий Филиппович Магницкий (1669-1739). В учебнике использовались современные арабские цифры, однако год издания книги и номера страниц были даны в славянской нумерации. Русские названия арабских чисел непосредственно связаны с десятичной системой счисления. Так, например, шестнадцать означает «шесть на десять», шестьдесят — «шесть десятков», а шестьсот — «шесть сотен».

Под округлением натурального числа понимают замену его таким ближайшим по значению числом, в котором одна или несколько последних цифр заменены нулями.

До XV в. общепринятых арифметических знаков не было. В XV-XVI вв. стали применять для сложения букву p — первую букву слова plus (более), а для вычитания букву m — первую букву слова minus (менее). Использовали также латинское слово et (союз «и»), которое в скорописи постепенно превратилось в знак «+». Современные знаки «+» и «-» стали встречаться в 80-х гг. XV в. Знак умножения «×» был введен в 1631 г. английским математиком Вильямом Оутредом (1574-1660). Точку для обозначения умножения стал использовать знаменитый немецкий математик XVII в. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Он же предложил двоеточие для обозначения действия деления. Знак «=» был введен английским врачом Робертом Рекордом в 1557 г.

Современные знаки действий и равенства входили во всеобщее употребление медленно и стали общепринятыми лишь в конце XVII в.

Таблицы квадратов и кубов чисел были составлены еще древними вавилонянами. Древнее происхождение имеет и таблица умножения. Ею пользовались вавилоняне, греки, римляне и другие народы. Наиболее ранняя известная таблица умножения от 1 × 1 до 10 × 10 содержится в «Арифметике» греческого математика Никомаха из Геразы (I-II вв.). Передаваясь от народа к народу, из поколения в поколение, таблица умножения дошла и до нас.

Знание таблицы умножения всегда считалось необходимым для каждого ученика.

Буквы и различные математические знаки медленно входили во всеобщее употребление. До XV в. все величины записывались словами. Алгебру того времени поэтому называют риторической, т. е. словесной. Лишь во второй половине XV в. в некоторых странах Европы появились первые буквенные символы.

В конце XVI в. французский математик Франсуа Виет (1540-1603) ввел буквы для обозначения не только неизвестных, но и любых чисел.

Создание буквенной символики, происходившее во многих странах мира, было завершено в XVII в., и к первой половине XVIII в. установилась общепризнанная система записи буквенных выражений.

Скобки и современный знак равенства встречаются впервые в трудах математиков XVI в. Знаки неравенства «<» и «>» были введены в первой половине XVII в. английским ученым Гарриотом.

Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и ускорило ее развитие.

Еще 4000 лет назад древние вавилоняне и египтяне решали различные задачи землемерия, строительства и военного дела с помощью уравнений. Задачи, решаемые с помощью уравнений, встречаются во многих текстах глубокой древности.

Цели: развивать интерес к математике,
расширить кругозор учащихся, повторить понятия
цифра и число.

План урока

I. Организационный момент.

II. Беседа «Как люди научились считать».

III. Способы счета и различные нумерации.

IV. Понятие цифры и числа.

V. Занимательные задания.

VI. Домашнее задание.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Беседа «Как люди научились считать».

III. Способы счета:

— пальцы;
— камушки;
— палки и т. д.

Для записи чисел сначала использовали зарубки
на куске дерева или кости. Позже для больших
чисел стали придумывать новые знаки.

а) Древний Египет:

б) Древний Рим: I — 1, V — 5, X — 10, L –
50. I = 3, ХII = 12, XIV = 14.

в) Славянская система: Славянские цифры,
цифры древнерусского счета, в котором каждое из
целых чисел от 1 до 9, а также десятки и сотни
обозначались буквами славянского алфавита с
надписанным над ними знаком —

г) Арабская система

д) Индийская система

IV. а) Вопросы:

• Сколько существует цифр? (10)
• Что мы составляем с помощью цифр? (числа)
• Как называются числа, которые мы используем при
  счете? (натуральные)
• Назовите самое маленькое число;
• Можно ли назвать самое большое натуральное
  число?
• Является ли число 0 натуральным?

б) Прочитайте числа: 12, 33, 517, 2638, 913056, 400001,
999999, 1000000.

г) Заполните таблицу в тетради:

V. а) Учитель: На уроках математики мы с
вами будем путешествовать по материку
МАТЕМАТИКА. Но чтобы добраться до него, нужно
переплыть ОКЕАН ЗНАНИЙ. Если вы умеете читать не
только слова, но и цифры, числа, формулы, то вас с
почетом примет королева ОБЪЕДИНЕННОГО СЧЕТНОГО
КОРОЛЕВСТВА — Цифра. Это могущественная особа, ей
подчиняются подданные трёх государств —
Арифметики, Алгебры и Геометрии. В них мы
побываем во время нашего путешествия. А теперь
пора вам, ребята, узнать имя короля СЧЕТНОГО
КОРОЛЕВСТВА. Для этого вы должны выполнить
следующее задание. Разгадайте загадки и запишите
ответы. Первые буквы правильных ответов образуют
имя короля.

Загадки.

Ног нет, а хожу, Рта нет, а скажу, Когда спать, когда вставать, Когда работу начинать. (Часы)

Я одноухая старуха, Я прыгаю по полотну И нитку тонкую из уха, Как паутину, я тяну. (Игла)

Растет она вниз головою, Не летом растет, а зимою. Но солнце её припечет — Заплачет она и умрет. (Сосулька)

В шубе летом, А зимой – раздетый. (Лес)

Без окон, без дверей полна горница людей.
(Огурец)

в) Дополнительное задание (при наличии
времени). Устно:

Клоун, чтобы посмешить публику, рассказал одну
историю о том, как он ходил на рыбалку. В этой
истории он нарочно перепутал все единицы
измерения.

«Я встал пораньше, в 4 килограмма утра.
Позавтракал плотно, выпил 1 километр молока.
Потом отправился на озеро. Расстояние до него
немалое, 5 градусов. Утром было прохладно,
температура всего 10 часов тепла. Поэтому я шел
быстро, со скоростью 6 литров. Пришел, закинул
удочки. Не прошло и 20 сантиметров, как я поймал
первую рыбину. Большущую – длиной 50 минут и весом
3 километра в час. Отличная получилась уха!»

Найдите все ошибки, допущенные клоуном в
рассказе. Перескажите его историю, правильно
расставив единицы измерения.

Домашнее задание:

1) Вычислить: 1+2+3+4+…+18+19+20;

2) Нарисовать рисунок, используя только цифры.