Рассказы о математике с примерами на языках python и c

Версия текста 1.10. (с) 2018

Введение

Как сказал еще Галилей, “Книга природы написана на языке математики”, и с этим сложно не согласиться. Математика это универсальный язык науки, это базовые принципы, на которых построена вся Вселенная. 2+2=4 независимо от того, верим мы в это или нет, знаем мы это или нет, существуем мы вообще или нет, и это будет верно не только для нас, но и для жителя Альфы Центавра.

Из этого следует важное правило: математические законы нельзя придумать, их можно только открыть. Треугольник подчинялся теореме Пифагора еще до того, как Пифагор открыл и сформулировал известную теорему. Число Пи было вычислено в древнем Китае, но его значение было таким всегда — еще до того как появился не только Китай, но и наша планета Земля.

Именно поэтому я надеюсь, что кто-то из читателей с помощью этой книги откроет для себя в математике что-то новое. Увы, в представлении большинства, математика — это достаточно скучная наука, вероятно так ее преподают в школе. Если кто-то с помощью этой книги найдет для себя что-то новое, можно считать что время было потрачено не зря.

Эта книга не задачник, а скорее сборник рассказов о тех или иных математических вопросах. Т.к. математические примеры без цифр бессмысленны, “практическая” часть дается на языках программирования Python и Си.

Номер версии в заголовке указан не случайно. Эта книга не закончена, и по мере появления каких-то новых интересных вопросов она будет дополняться. Желающие также могут присылать свои истории или задачи по адресу dmitryelj@gmail.com, наиболее интересные из них будут включены в текст. Обо найденных неточностях также просьба писать на этот адрес.

Приятного чтения.

Елисеев Дмитрий

История версий текста

04.2017 — 1.0

09.2017 — 1.1, 1.2 — добавлены главы 19 и 20 про нейронные сети

11.2017 — 1.3, добавлена глава 21 про фракталы

11.2017 — 1.4, дополнена глава 7 про магические квадраты, добавлены главы 22 и 23 про “горн Гавриила” и построение графиков функций, в “Приложения” добавлен пример оптимизации кода на Python.

12.2017 — 1.5, дополнена глава 4 про шарообразность Земли.

01.2018 — 1.6, добавлена глава 24 про точность компьютерных вычислений, глава 25 про календарь, добавлено Приложение 4.

03.2018 — 1.7, добавлена глава 21 про использование библиотеки TensorFlow.

04.2018 — 1.8, добавлена глава 27 про азартные игры.

04.2018 — 1.9, добавлена глава 28 про теорему Пифагора.

10.2018 — 1.10, добавлена глава 29 про abc-гипотезу, дополнена глава про простые числа, дополнена глава о “магических квадратах”, улучшено форматирование кода.

1. Основы языков Python и Си

Математика немыслима без расчетов и примеров вычислений. Примеры в данной книге иллюстрируются фрагментами кода на языке Python. Этот язык удобен тем, что он очень прост и подходит для начинающих, поэтому кратко рассмотрим как им пользоваться.

Для использования языка Python нужно установить интерпретатор языка с сайта https://www.python.org/downloads/ или воспользоваться онлайн-версией, например на странице https://repl.it/languages/python3. Все примеры из книги тестировались на Python версии 2.7.

Для запуска Python-программы необходимо:

— Сохранить файл в Блокноте с любым именем и расширением .py, например test1.py.

— Открыть консоль (нажать Win+R и набрать cmd), в консоли набрать команду (без кавычек) “python путь_к_файлу.py”, например “python C:PythonAppstest1.py”.

Как более удобный вариант, можно скачать бесплатную среду разработки PyСharm community edition, и редактировать и запускать файлы в ней. Скачать PyСharm можно со страницы https://www.jetbrains.com/pycharm/download/.

Кстати, чтобы запустить короткую программу на Python, ее необязательно сохранять в файл, код можно ввести непосредственно в интерпретатор. Для этого достаточно запустить (Win+R) программу python.exe и просто ввести подряд соответствующие строки:

Для запуска программы на языке Си, ее сначала надо сохранить файле с расширением .c, и выполнить команду “gcc имя_файла.c”. Будет создан exe-файл, который можно запустить. Бесплатный компилятор С/C++ можно установить с помощью утилиты mingw-get, скачать которую можно на странице https://sourceforge.net/projects/mingw/files/. Также можно воспользоваться и любой онлайн-версией c++ компилятора, например этой.

Минимальная программа на Си выглядит так:

#include <stdio.h>

int main()

{

printf(«Hello worldn»);

return 0;

}

Рассмотрим простые примеры использования.

Объявление и вывод переменных

Python: достаточно ввести имя и значение.

x = 3

y = 10

print(«x=», x)

print(x+y)

В отличие от языка С++, тип переменной будет определен автоматически, указывать его не нужно. Его можно при необходимости узнать, введя print (type(x)).

Важно иметь в виду, что синтаксис функции print в версиях Python 2.7 и 3.0 разный. В Python 2.7 можно написать print x, y, но в Python 3.0 такой код вызовет ошибку, нужно использовать круглые скобки и писать print(x, y). Код со скобками будет работать в обеих версиях Python, поэтому в примерах используется именно он.

И еще один момент насчет вывода значений. По умолчанию Python может выдавать ошибку при использовании русских букв, нужно указывать кодировку символов. Чтобы избежать этого и сделать код короче, во многих примерах будут по возможности указываться английские или “международные” аббревиатуры.

Cи: необходимо явно указать тип и значение переменной.

int x = 3;

int y = 10;

printf(«x=%dn», x);

printf(«%dn», x+y);

Циклы

В отличие от того же С++ или Java, циклы в Python задаются отступами, что после других языков программирования может быть непривычным. Часть кода, находящаяся внутри цикла, будет выполнена заданное количество раз.

Python

Вывод чисел от 1 до 9:

for p in range(1,10):

print(p)

Для сравнения, вот такой код без отступов работать не будет, и это важно помнить, например при копировании кода из этой книги:

for p in range(1,10):

print(p)

Вывод чисел от 1 до 9 с шагом 2:

for p in range(1,10,2):

print(p)

Кстати, в Python 2.7 функция range возвращает объект “список”, и соответственно выделяет память заданного размера. Для большинства примеров в книге это не критично, но если нужно написать код типа for p in range(1,10000000), то range следует заменить на xrange, в противном случае программа вполне может занять гигабайт памяти даже на простом с виду цикле. Для Python 3.xx это не требуется.

Си

Вывод чисел от 1 до 9:

for(int i=1; i<10; i++) {

printf(«%dn», i);

}

Вывод чисел от 1 до 9 с шагом 2:

for (int i=1; i < 10; i += 2) {

printf(«%dn», i);

}

Массивы

Массив это линейный набор чисел, с которыми удобно выполнять однотипные операции, например вычисление суммы или среднего арифметического.

Python:

Объявляем массив чисел:

values = [1,2,3,5,10,15,20]

Добавляем элемент в массив:

values.append(7)

Выводим массив на экран:

print(values)

Выводим элементы массива построчно:

for p in values:

print(p)

Это же можно сделать с помощью индексов (нумерация элементов массива начинается с 0):

for i in range(0, len(values)):

print(values[i])

Можно получить и значение и индекс сразу, иногда это удобно.

for i, item in enumerate(mylist):

       print(i, item)

Можно создать массив определенного размера, заполненный определенными числами. Создадим массив из 100 элементов, заполненный нулями.

values = [0.0] * 100

print(values)

Есть немного более сложный, но и более гибкий вариант создания массива. Создадим массив из 100 элементов, заполненный нулями:

values = [0.0 for i in range(100)]

Создадим массив, заполненный числами 0,1,..,99:

values = [i for i in range(100)]

Создадим массив, заполненный квадратами чисел:

values = [i*i for i in range(100)]

Создать двухмерный массив в Python также несложно:

matrix4x4 = [ [0,0,0,0], [0,0,0,0], [0,0,0,0], [0,0,0,0]]

matrix4x4[0][0] = 1

print(matrix4x4)

Аналогично вышеописанному способу, можно создать 2х-мерный массив 100×100:

values100x100 = [[0.0 for j in range(100)] for i in range(100)]

Си:

Динамические массивы поддерживаются только в C++, статические массивы создаются так:

int values[7] = {1, 2, 3, 5, 10, 15, 20};

for (int i=0; i < 7; i++) {

printf(«%dn», values[i]);

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23