Знак больше и меньше в какую сторону пишется математике примеры как правильно записать

Доброго времени суток, уважаемые родители и маленькие школьники! Сегодня спешу поделиться с вами своим открытием. Недавно нашла в интернете, уже не помню точно где, решение проблемы, которая частенько подстерегает дошколят и учеников 1-х классов, которые только начинают свое знакомство с математикой.

Статья адресована всем тем, кого одолевает вопрос: «Знаки больше меньше в какую сторону пишутся?» Больше это как? Уголочком налево? Или направо? А может быть, это не больше, а меньше? Вспомните, родители, у вас в школе были проблемы с этими коварными значками? И как вам объяснял эту тему учитель?

Если честно, я не помню, как объясняли мне, но точно не так, как я вам собираюсь показать. Все гениальное просто!

Давайте для начала посмотрим на исследуемые в статье знаки. Это «больше». Вот он, в примере на картинке.

Он ставится, когда первое число в неравенстве больше второго. Острие галочки направлено вправо.

А это его товарищ – «меньше».

Ставим его тогда, когда первое число неравенства (то, что левее) меньше, чем второе. Уголочек галочки направлен влево.

Вроде, все понятно, но в светлых головах наших маленьких школьников возникает путаница. Давайте на пример посмотрим. Вот какой знак сюда нужно поставить?

Дети наши — не глупые ребята. Они прекрасно знают, что тройка меньше шестерки. И значит, знак нужно ставить «меньше». Вот только, как он выглядит? Уголочек куда направлен: влево, вправо? Вот в этом месте и случается основной ступор. Ну как же запомнить-то?

И вот мы переходим к главному секрету! Нам поможет метод точек!!! Только посмотрите, как все просто. Внимание на картинку.

У нас два числа, которые необходимо сравнить. Мы понимаем, что, к примеру, число 8 меньше, чем 9. Около меньшего числа (восьмерочки) ставим одну точечку, так, как на картинке, а около большего (девяточки) — две. А потом просто соединяем эти точки, получаем нужный знак! И дело в шляпе!

Еще раз попробуем.

Согласитесь, очень просто! И понятно! И намного легче, нежели рассказы про раскрытые клювики голодных птичек или острие стрелы направленное на меньшее число.

Надеюсь, вам пригодится этот способ запоминания, и детишки никогда не будут снова ошибаться!

Чем больше ребенок будет тренироваться, чем больше чисел он сравнит, тем быстрее он доведет навык выбора нужного значка до автоматизма. Устраивать такие «сравнительные» тренировки можно в обычной тетрадке или в специальном учебном пособии, которых навалом в магазинах.

Но! Есть способ и поинтереснее)

Мы тут кое-что изобрели, хотим похвастаться.

Та-дам! Представляем вам наш волшебный инструмент для запоминания угловатых значков!

Встречайте! Его Величество — Абак!

Абак — это тренажер, который помогает отработать тему.

Чтобы понять, как им пользоваться, посмотрите это коротенькое объясняющее видео.

Согласитесь, так тренироваться гораздо веселее, чем в обычной тетрадке.

Хотите такой же? Тогда пройдите в наш магазинчик, там все очень подробно.

Хорошая новость! В период с 30 декабря 2021 года по 9 января 2022 года в нашем магазинчике действуют Новогодние скидки! Не пропустите!

А может вам известны другие интересные методы запоминания? Делитесь ими в комментариях)

Кстати, мы уже говорили о том, как запоминать падежи.

Научились умножать на 9 с помощью пальчиков.

И узнали высокоскоростной способ деления на 5.

Посмотрите, это очень интересно! И наверняка пригодится в учебе.

Пожалуйста, не забудьте подписаться на новости блога, чтобы всегда быть в курсе наших событий. И вступайте в нашу группу «ВКонтакте», будем вам очень рады!

Успехов вам!

Ваша «ШколаЛа»

Математические знаки

Скорее всего, к первому классу ребенок уже отличает на слух и визуально, что горстка из десяти ягод больше трех штук. Чтобы внедрить в жизнь новые обозначения, посмотрим на знаки «больше», «меньше», «равно» в картинках.

Символ больше (>) — это когда острый нос галочки смотрит направо. Его нужно использовать, когда первое число больше второго:

Символ меньше (<) — это когда острый нос галочки смотрит налево. Его нужно использовать, когда первое число меньше второго:

Символ равенства (=) — это когда два коротких отрезка записаны горизонтально и параллельны друг другу. Используем его при сравнении двух одинаковых чисел:

Чтобы ребенку было легче запомнить схожие между собой знаки, можно применить игровой метод. Для этого нужно сравнить числа и определить в каком порядке они стоят. Далее ставим одну точку у наименьшего числа и две — рядом с наибольшим. Соединяем точки и получаем нужный знак. Вот так просто:

Ниже представлено цветное оформление математических символов. При обучении их можно использовать непосредственно с экрана монитора или же их можно распечатать на цветном принтере.

Как и в какую сторону пишется знак больше

Знак «больше» пишется так «>». Символ обозначается стрелкой, направление острого угла которой обращено в правую сторону. Немного теории: определяющим фактором является левая сторона символа. Если стрелка начинается с двух линий, которые в правой части сходятся в одну точку, тогда это знак «>».

В общем и целом логика понимания очень проста — какой стороной (большей или меньшей) знак по направлению письма смотрит в левую сторону — такой и знак. Соответственно, знак больше влево смотрит широкой стороной — большей.

Пример использования знака больше:

• 50>10 — число 50 больше числа 10;
• посещаемость студента в этом семестре составила >90% занятий.

Как и в какую сторону пишется знак меньше

Как писать знак меньше, пожалуй, повторно объяснять уже не стоит. Совершенно аналогично знаку больше. Если знак смотрит влево узкой стороной — меньшей, то перед вами знак меньше.

Пример использования знака меньше:

100 =», что, в принципе, часто вполне допустимо, но можно сделать красивее и правильнее.

На самом деле для того, чтобы напечатать эти знаки, существуют специальные символы, которые можно ввести на любой клавиатуре. Согласитесь, знаки «≤» и «≥» выглядят значительно лучше.

Знак «меньше» выглядит так «<». Если сказать просто, то стрелка должна смотреть влево. И снова для определения важна левая часть стрелки. Если точка, из которой выходят две линии, расположена слева, то это символ «<».

• 100<500 — число 100 меньше числа пятьсот;
• на заседание явилось <50% депутатов.

Как видите, все довольно логично и просто, так что теперь вопросов о том, в какую сторону писать знак больше и знак меньше в будущем у вас возникать не должно.

Знаки больше и меньше на клавиатуре

Символы больше (>) и меньше (<) находятся на всех компьютерных клавиатурах, на тех же клавишах что и буквы «Б» и «Ю» в русской раскладке клавиатуры. Чтобы использовать знак больше или меньше нужно переключиться на английский язык и удерживая Shift нажать по нужному символу. Знаки больше и меньше напоминают стрелки, указывающие вправо и влево, они широко используются в математике и программировании.

Ниже приведен пример того, как могут быть использованы эти знаки в математике. Пример показывает, что число 10 больше 2 и число 5 меньше 8.

10>2
5<8

Следующий пример показывает как знак больше (или меньше) может быть использован в программировании. В этом примере, если переменная $value больше 100, то на экран выведется предложение «Переменная больше 100», иначе ничего не произойдет.

Знаки «больше или равно» / «меньше или равно»

Знаки «больше или равно» и «меньше или равно» выглядят соответственно так «≥», «≤». Они являются результатом объединения двух символов – «>» или «<» и одной линии.

Эта линия находится под стрелкой. При этом нет пересечения стрелки с линией под ней. Обычно нижняя линия следует принципу параллельности по отношению к нижней части символа.

Данные знаки используются в нестрогих неравенствах. В первом классе такие неравенства обычно не изучают.

Игры для быстрого запоминания знаков «больше» и «меньше»

Существуют различные логические игры с использованием математических символов. Таких игр множество. Ниже приводятся три игры, где детям нужно поиграться со стрелками «>» и «<».

Игра «Большой голодный крокодил»

Это самый легкий и наглядный способ раз и навсегда запомнить, в какую сторону пишутся знаки «больше» и «меньше». На листе бумаги необходимо нарисовать две круглые тарелки. Диаметр каждой тарелки должен быть не менее 10 сантиметров.

На каждую из «тарелок» можно положить что-то приблизительно напоминающее еду. Например, можно слепить шарики из пластилина или соленого теста и договориться с ребенком, что горошины означают котлеты для крокодила. Для этой игры достаточно смастерить один символ. Его можно сделать на маленькой карточке. Обозначения «>» и «<» примерно напоминают подобие раскрытого рта крокодила.

Важное условие — крокодил выбирает всегда только ту тарелку, на которой больше еды! Об этом нужно сказать ребенку.

На обе «тарелки» необходимо выложить определенное количество «котлет». Затем пусть ребенок положит карточку так, чтобы «рот крокодила» был обращен в сторону «тарелки» на которой больше «котлет».

Игра «Что больше?»

В этой игре комбинация большого и указательного пальцев левой руки имеет значение символа «<», а комбинация большого и указательного пальцев правой руки представляет собой символ «>». Для обозначения того, что больше, достаточно протянуть правую руку, а левая рука нужна для обозначения того, что меньше.

В этой игре для сравнения можно использовать не только числа, но и изображения различных предметов, а также геометрические фигуры разных размеров. Эту игру-занятие можно выполнять во время приема пищи, разложив на столе печенье, конфеты, яблоки и другие продукты. Вот так можно запомнить правильное написание знаков задолго до школы.

Игра «Кубики и доски»

Эта игра принадлежит к разряду активных игр, так как детям нужно совершать действия не только умственного характера, но и быть активными строителями. Для этой игры понадобятся следующие принадлежности: большие кубики и две прямых доски. Одну доску нужно положить на горизонтальную поверхность. На оба края лежащей доски нужно выложить кубики в столбики.

Важно чтобы столбики быть ровными, как восклицательный знак. К примеру, первый (левый) столбик состоит из 4-х кубиков, а второй из 2-х. Затем нужно положить вторую доску на оба столбика. В итоге сочетание нижней и верхней досок покажет правильный символ. В данном примере получится обозначение «>».

С каждым последующим разом можно изменять количество кубиков в столбиках. Когда столбики будут содержать одинаковое количество кубиков – доски покажут «равно».

Равенство и неравенство

Что такое равенство в математике — это когда одно подобно по количеству другому и между ними можно поставить знак =.

Для примера посмотрим на картинку с изображением геометрических фигур. Справа и слева количество одинаковое, значит можно поставить символ «равно».

Неравенство — алгебраическое выражение, в котором используются знаки ≠, <, >, ≤, ≥.

Наглядный пример неравенства изображен на картинке ниже. Слева видим три фигуры, а справа — четыре. При этом мы знаем, что три не равно четырем или еще так: три меньше четырех.

Урок в школе зачастую проходит перед учебником, тетрадью и доской. Дома же можно использовать компьютер и некоторые задания выполнять в онлайн-формате. Как найти знаки на клавиатуре? Ответ на картинке:

Типы неравенств

1. Строгие неравенства — используют только знак больше (>) или меньше (<).
   • a < b — это значит, что a меньше, чем b.
   • a > b — это значит, что a больше, чем b.
   • неравенства a > b и b < a означают одно и то же, то есть равносильны.
2. Нестрогие неравенства — используют знаки сравнения ≥ (больше или равно) или ≤ (меньше или равно).
   • a ≤ b — это значит, что a меньше либо равно b.
   • a ≥ b — это значит, что a больше либо равно b.
   • знаки ⩽ и ⩾ являются противоположными.
3. Другие типы неравенств.
   • a ≠ b — означает, что a не равно b.
   • a ≫ b — означает, что a намного больше, чем b.
   • a ≪ b — означает, что a намного меньше, чем b.
   • знаки >> и << противоположны.

Источники

• https://skysmart.ru/articles/mathematic/znaki-bolshe-menshe-ili-ravno
• https://kakpravilno05.ru/kak-pishetsja-znaki-bolshe-i-menshe-v-matematike/
• https://linchakin.com/%D1%81%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%80%D1%8C/%D0%B7/%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA%D0%B8_%D0%B1%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D1%88%D0%B5_%D0%B8_%D0%BC%D0%B5%D0%BD%D1%8C%D1%88%D0%B5/
• https://nauka.club/matematika/znak-bolshe-i-menshe.html
• https://Sprint-Olympic.ru/uroki/matematika-uroki/92800-znaki-bolshe-i-menshe-v-matematike-sravnenie-chisel-s-primerami.html

[свернуть]

Математика – царица наук, а арифметика – царица математики. В повседневной жизни нам часто приходится что-либо считать, а потом и оформлять наши подсчёты в письменном виде. В процессы письменного оформления соотношений величин мы нередко используем знаки «Больше» или «Меньше». При этом многие люди, непосредственно не занятые арифметикой на бумаге, могут со временем позабыть, в какую из сторон (левую или правую) пишутся данные знаки. В нашем материале мы подробно разберём, в какую из сторон пишется знак больше, меньше или равно, и какие приёмы позволят эффектно запомнить изложенную информацию.

Как пишется знак больше меньше в математике

Знаки «больше (>)» или «меньше (<)» обычно используются для отображения отношений между числами. Они позволяют продемонстрировать, какое число имеет большее или меньшее значение, и применяются с целью помочь учащимся разобраться с соотношениями чисел. Знаки «больше» или «меньше» также часто известны как знаки «больше чем» и «меньше чем».

Широкий конец данного знака всегда обращён к большему числу. Например:

25 > 10

100 > 50

500 > 200

Знак «больше» (>) означает, что число перед знаком «больше» всегда больше числа, которое находится после данного знака.

200 > 100

Знак меньше (<) означает, что число перед данным знаком всегда меньше, нежели число после данного знака. Как видим, визуально знак «больше» и «меньше» — это просто перевернутые версии одного и того же символа.

100 < 200

Знак равенства (=) означает, что число после знака равно числу перед знаком.

Важно! Знак равенства не является показателем результата работы над числами (например, 3+5=8). Данный знак показывает, что сумма чисел слева равна сумме чисел справа. То есть 3+5 слева равно числу справа, которым и является 8.

Когда же два значения определенно не равны, тогда мы используем пример со знаком «не равно»: 2+2 ≠ 9. То есть сумма значений чисел слева (4) не равно значению чисел справа (9).

Читайте также: как посчитать разницу в процентах между двумя имеющимися числами.

Что значит «меньше или равно»?

Разобрав, в какую именно сторону пишутся знаки больше, меньше или равно, разберём также ситуации, когда какое-либо значение меньше, но может быть также равно. Например, чайник может вмещать до 10 стаканов воды. Так сколько в нём может быть воды? Это может быть 10 стаканов или меньше 10 стаканов. Пока мы не измерим количество жидкости, то всё, что мы можем сказать о наполнении стакана, то это то, что оно «меньше или равно» 10 стаканам.

Для показа данного отношения с помощью символов мы добавляем внизу дополнительную строку символа больше или меньше. Например:

• Знак «больше или равно»:   ≥
• Знак «меньше или равно»:  ≤

Зачем использовать данные знаки? Дело в том, что есть вещи, полной информации о которых мы не имеем, но, тем не менее, можем о них что-то полагать. Таким образом, у нас есть различные способы сказать то, что мы знаем, хоть и не до конца (это может быть полезно).

Пример:

У Олега было 10 яблок, но он потерял несколько. Сколько у него сейчас?
Ответ: У него должно быть меньше 10 яблок.
То есть:  яблоки у Олега < 10

Если у Олега все еще есть яблоки, мы также можем сказать, что у него больше нуля яблок? Конечно.
То есть:  яблоки у Олега > 0

Но если бы мы думали, что Олег мог потерять все свои яблоки, мы бы сказали:
яблоки у Олега ≥ 0

Другими словами, количество яблок больше или равно нулю.

Это пригодится: решение примеров по фотографии онлайн.

Обучение с использованием символов «больше» или «меньше»

Дети знакомятся с символами «больше» и «меньше» ещё в 1 классе, в процессе обучения пониманию единиц, из которых могут быть составлены числа. Но они не всегда могут запомнить правильную позицию данного знака. В этом случае им могут помочь пару полезных способов.

Способ №1. Рот крокодила

Самый распространенный способ объяснить, как работают символы «больше чем» и «меньше чем», — это сравнить их со пастью крокодила. Нужно объяснить, что крокодил всегда хочет наесться побольше, и съесть большее число. Это простое и красочное объяснение, апеллирует к воображению детей и помогает им правильно использовать данные символы.

Например, если у нас есть числа 72 и 45, мы могли бы сказать, что крокодил хочет съесть число 72, так как это число с более высоким значением. Затем мы добавим символы, чтобы это выглядело так:

72 > 45 (пасть крокодила направлена в сторону большего числа).

Способ №2. Метод точек

Знаки больше или меньше можно сравнить с тремя точка. Там где меньшая сторона знака – там одна точка посередине, а где большая – две точки, одна снизу, а вторая сверху. Выглядит это примерно так:

Мы ставим две точки всегда к числу, которое больше другого. И одной точкой – к числу, которое меньше другого. Таким образом, вы всегда поставите нужный символ.

Объединение знаков

Иногда мы можем объединить два (или более) сочетания в одной строке:

Пример: Аня имеет 100 рублей, покупает что-то и говорит: «У меня есть сдача».

Сколько же она могла потратить?

Ответ: что-то больше 0 рублей и меньше 100 рублей (но НЕ 0 или 100 рублей):

«Сколько Аня тратит» > 0 рублей

«Что тратит Аня» < 100 рублей

Это можно записать всего в одну строку:

Рублей 0 < «Сколько Аня тратит» <  Рублей 100.

Ключевые советы по работе с неравенствами

Выяснив, в какую сторону пишутся символы больше, меньше или равно, упомянем также работу с неравенствами. Неравенства сложны, так мы привыкли иметь четкие ответы на математические задачи, но неравенства не всегда дают нам это. Когда вы имеете с неравенством, помните о следующих правилах для облегчения процесса:

• Изолируйте переменные. При работе в неравенствах с переменными, важно помнить, что вы пытаетесь изолировать переменную в ту или иную сторону. Сосредоточьтесь на сжатии чисел, если это возможно,  с целью получить одну переменную в обеих сторонах вашего уравнения;
• Отрицательные числа изменяют знак больше или меньше. Не забывайте, что выполнение определенных действий может переворачивать знак. Когда вы умножаете или делите на отрицательное число, будет необходимо перевернуть знак «меньше» или «больше» вместе с ним;
• Избегайте умножения или деления на переменные. Если вы не уверены, что переменная всегда будет положительной или отрицательной, не умножайте и не делите неравенство на указанную переменную.

Знаки больше или меньше на клавиатуре

Знаки «больше» или «меньше» можно найти на клавиатуре внизу справа, переключившись на английскую раскладку. Достаточно зажать клавишу «Shift», и нажав на кнопку «Б» вы получите знак «меньше» (<), а нажав на кнопку «Ю» — знак «больше» (>).

Видео:

В нашем материале мы разобрали, в какую сторону направлен символ больше, меньше или равно, как не ошибиться с употреблением данных знаков, и что при этом стоит учитывать. Используйте представленный нами инструментарий, позволяющий разобраться в правильном применении данных знаков. И избежать ошибок при письменном оформлении соотношений имеющихся у вас чисел.

Каждому из нас ещё со школьной скамьи (а точнее с 1-го класса начальной школы) должны быть знакомы такие простые математические символы, как знак больше
и знак меньше
, а также знак равно.

Однако, если с последним что-то напутать достаточно сложно, то о том, как и в какую сторону пишутся знаки больше и меньше
(знак менее
и знак более
, как ещё их иногда называют) многие сразу после этой же школьной скамьи и забывают, т.к. они довольно редко используются нами в повседневной жизни.

Но практически каждому рано или поздно всё равно приходится столкнуться с ними, и «вспомнить» в какую сторону пишется нужный им символ получается лишь обратившись за помощью к любимой поисковой системе. Так почему бы не ответить развернуто на этот вопрос, заодно подсказав посетителям нашего сайта как запомнить правильное написание этих знаков на будущее?

Именно о том, как правильно пишется знак больше и знак меньше мы и хотим напомнить вам в этой небольшой заметке. Также будет не лишним рассказать и том, как набрать на клавиатуре знаки больше или равно
и меньше или равно
, т.к. этот вопрос тоже довольно часто вызывает затруднения у пользователей, сталкивающихся с такой задачей очень редко.

Перейдем сразу к делу. Если вам не очень интересно запоминать всё это на будущее и проще в следующий раз снова «погуглить», а сейчас просто нужен ответ на вопрос «в какую сторону писать знак», тогда для вас мы приготовили краткий ответ — знаки больше и меньше пишутся так, как показано на изображении ниже.

А теперь расскажем немного подробнее о том, как это понять и запомнить на будущее.

В общем и целом логика понимания очень проста — какой стороной (большей или меньшей) знак по направлению письма смотрит в левую сторону — такой и знак. Соответственно, знак больше влево смотрит широкой стороной — большей.

Пример использования знака больше:

• 50>10 — число 50 больше числа 10;
• посещаемость студента в этом семестре составила >90% занятий.

Как писать знак меньше, пожалуй, повторно объяснять уже не стоит. Совершенно аналогично знаку больше. Если знак смотрит влево узкой стороной — меньшей, то перед вами знак меньше.
Пример использования знака меньше:

• 100
• на заседание явилось

Как видите, все довольно логично и просто, так что теперь вопросов о том, в какую сторону писать знак больше и знак меньше в будущем у вас возникать не должно.

Знак больше или равно/меньше или равно

Если вы уже вспомнили, как пишется необходимый вам знак, то дописать к нему одну черточку снизу вам не составит труда, таким образом вы получите знак «меньше или равно»
или знак «больше или равно»
.

Однако относительно этих знаков у некоторых возникает другой вопрос — как набрать такой значок на клавиатуре компьютера? В результате большинство просто ставят два знака подряд, к примеру, «больше или равно» обозначая как «>=»
, что, в принципе, часто вполне допустимо, но можно сделать красивее и правильнее.

На самом деле для того, чтобы напечатать эти знаки, существуют специальные символы, которые можно ввести на любой клавиатуре. Согласитесь, знаки «≤»
и «≥»
выглядят значительно лучше.

Знак больше или равно на клавиатуре

Для того, чтобы написать «больше или равно» на клавиатуре одним знаком даже не нужно лезть в таблицу специальных символов — просто поставьте знак больше с зажатой клавишей «alt»
. Таким образом сочетание клавиш (вводится в английской раскладке) будет следующим.

Или же вы можете просто скопировать значок из этой статьи, если вам нужно воспользоваться им один раз. Вот он, пожалуйста.

≥

Знак меньше или равно на клавиатуре

Как вы наверное уже смогли догадаться сами, написать «меньше или равно» на клавиатуре вы можете по аналогии со знаком больше — просто поставьте знак меньше с зажатой клавишей «alt»
. Сочетание клавиш, которое нужно вводить в английской раскладке, будет следующим.

Или просто скопируйте его с этой страницы, если вам так будет проще, вот он.

≤

Как видите, правило написания знаков больше и меньше довольно просто запомнить, а для того чтобы набрать значки больше или равно и меньше или равно на клавиатуре достаточно просто нажать дополнительную клавишу — всё просто.

Бесконечность.

Дж.Валлис (1655).

Впервые встречается в трактате английского математика Джон Валиса «О конических сечениях».

Основание натуральных логарифмов. Л.Эйлер (1736).

Математическая константа, трансцендентное число. Данное число иногда называют неперовым
в честь шотландского
учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614). Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Якоб Бернулли в ходе решения задачи о предельной величине процентного дохода.

2,71828182845904523…

Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b
, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690-1691 годы. Букву e
начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e
обычно называют числом Эйлера
. Почему была выбрана именно буква e
, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential
(«показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a
, b
, c
и d
уже довольно широко использовались в иных целях, и e
была первой «свободной» буквой.

Отношение длины окружности к диаметру. У.Джонс (1706), Л.Эйлер (1736).

Математическая константа, иррациональное число. Число «пи», старое название — лудольфово число. Как и всякое иррациональное число, π
представляется бесконечной непереодической десятичной дробью:

π
=3,141592653589793…

Впервые обозначением этого числа греческой буквой π
воспользовался британский математик Уильям Джонс в книге «Новое введение в математику», а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера. Это обозначение происходит от начальной буквы греческих слов περιφερεια — окружность, периферия и περιμετρος — периметр. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π
в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π
2 . Лежандр, и Эйлер предполагали, что π
может быть трансцендентным, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом.

Мнимая единица. Л.Эйлер (1777, в печати — 1794).

Известно, что уравнение х 2 =1

имеет два корня: 1
и -1
. Мнимая единица — это один из двух корней уравнения х 2 =-1

, обозначается латинской буквой i

, ещё один корень: -i

. Это обозначение предложил Леонард Эйлер, взявший для этого первую букву латинского слова imaginarius
(мнимый). Он же распространил все стандартные функции на комплексную область, т.е. множество чисел, представимых в виде a+ib

, где a

и b

— действительные числа. В широкое употребление термин «комплексное число» ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Единичные векторы. У.Гамильтон (1853).

Единичные векторы часто связывают с координатными осями системы координат (в частности, с осями декартовой системы координат). Единичный вектор, направленный вдоль оси Х
, обозначается i
, единичный вектор, направленный вдоль оси Y
, обозначается j
, а единичный вектор, направленный вдоль оси Z
, обозначается k
. Векторы i
, j
, k
называются ортами, они имеют единичные модули. Термин «орт» ввёл английский математик, инженер Оливер Хевисайд (1892), а обозначения i
, j
, k
— ирландский математик Уильям Гамильтон.

Целая часть числа, антье. К.Гаусс (1808).

Целой частью числа [х] числа х называется наибольшее целое число, не превосходящее х. Так, =5, [-3,6]=-4. Функцию [х] называют также «антье от х». Символ функции «целая часть» ввёл Карл Гаусс в 1808 году. Некоторые математики предпочитают использовать вместо него обозначение E(x), предложенное в 1798 году Лежандром.

Угол параллельности. Н.И. Лобачевский (1835).

На плоскости Лобачевского — угол между прямой
b
, проходящей через точку
О
параллельно прямой
a
, не содержащей точку
О
, и перпендикуляром из
О
на
a
.
α

— длина этого перпендикуляра. По мере удаления точки
О
от прямой
a
угол параллельности убывает от 90° до 0°. Лобачевский дал формулу для угла параллельности
П(α


)=2arctg e
—
α

/q

,

где q
— некоторая постоянная, связанная с кривизной пространства Лобачевского.

Неизвестные или переменные величины. Р. Декарт (1637).

В математике переменная — это величина, характеризующаяся множеством значений, которое она может принимать. При этом может иметься в виду как реальная физическая величина, временно рассматриваемая в отрыве от своего физического контекста, так и некая абстрактная величина, не имеющая никаких аналогов в реальном мире. Понятие переменной возникло в XVII в. первоначально под влиянием запросов естествознания, выдвинувшего на первый план изучение движения, процессов, а не только состояний. Это понятие требовало для своего выражения новых форм. Такими новыми формами и явились буквенная алгебра и аналитическая геометрия Рене Декарта. Впервые прямоугольную систему координат и обозначения х, у ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости. Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

Вектор. О.Коши (1853).

С самого начала вектор понимается как объект, имеющий величину, направление и (необязательно) точку приложения. Зачатки векторного исчисления появились вместе с геометрической моделью комплексных чисел у Гаусса (1831). Развитые операции с векторами опубликовал Гамильтон как часть своего кватернионного исчисления (вектор образовывали мнимые компоненты кватерниона). Гамильтон предложил сам термин вектор
(от латинского слова vector
, несущий
) и описал некоторые операции векторного анализа. Этот формализм использовал Максвелл в своих трудах по электромагнетизму, тем самым обратив внимание учёных на новое исчисление. Вскоре вышли «Элементы векторного анализа» Гиббса (1880-е годы), а затем Хевисайд (1903) придал векторному анализу современный вид. Сам знак вектора ввёл в использование французский математик Огюстен Луи Коши в 1853 году.

Сложение, вычитание. Я.Видман (1489).

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в учебнике Яна (Йоханнеса) Видмана «Быстрый и приятный счёт для всех торговцев», изданном в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p
(от латинского plus
«больше») или латинским словом et
(союз «и»), а вычитание — буквой m
(от латинского minus
«менее, меньше»). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

Умножение. У.Оутред (1631), Г.Лейбниц (1698).

Знак умножения в виде косого крестика ввёл в 1631 году англичанин Уильям Оутред. До него использовали чаще всего букву M
, хотя предлагались и другие обозначения: символ прямоугольника (французский математик Эригон, 1634), звёздочка (швейцарский математик Иоганн Ран, 1659). Позднее Готфрид Вильгельм Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x
; до него такая символика встречалась у немецкого астронома и математика Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560 -1621).

Деление. И.Ран (1659), Г.Лейбниц (1684).

Уильям Оутред в качестве знака деления использовал косую черту /. Двоеточием деление стал обозначать Готфрид Лейбниц. До них часто использовали также букву D
. Начиная с Фибоначчи, используется также горизонтальная черта дроби, употреблявшаяся ещё у Герона, Диофанта и в арабских сочинениях. В Англии и США распространение получил символ ÷ (обелюс), который предложил Иоганн Ран (возможно, при участии Джона Пелла) в 1659 году. Попытка Американского национального комитета по математическим стандартам (National Committee on Mathematical Requirements
) вывести обелюс из практики (1923) оказалась безрезультатной.

Процент. М. де ла Порт (1685).

Сотая доля целого, принимаемого за единицу. Само слово «процент» происходит от латинского «pro centum», что означает в переводе «на сто». В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращённо от cento). Однако наборщик принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки этот знак вошёл в обиход.

Степени. Р.Декарт (1637), И.Ньютон (1676).

Современная запись показателя степени введена Рене Декартом в его «Геометрии
» (1637), правда, только для натуральных степеней с показателями больших 2. Позднее, Исаак Ньютон распространил эту форму записи на отрицательные и дробные показатели (1676), трактовку которых к этому времени уже предложили: фламандский математик и инженер Симон Стевин, английский математик Джон Валлис и французский математик Альбер Жирар.

Арифметический корень n

-й степени из действительного числа а

≥0, — неотрицательное число n

-я степень которого равна а

. Арифметический корень 2-й степени называется квадратным корнем и может записываться без указания степени: √
. Арифметический корень 3-й степени называется кубическим корнем. Средневековые математики (например, Кардано) обозначали квадратный корень символом R x (от латинского Radix
, корень). Современное обозначение впервые употребил немецкий математик Кристоф Рудольф, из школы коссистов, в 1525 году. Происходит этот символ от стилизованной первой буквы того же слова radix
. Черта над подкоренным выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт (1637) для иной цели (вместо скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня. Кубический корень в XVI веке обозначался следующим образом: R x .u.cu (от лат. Radix universalis cubica
). Привычное нам обозначение корня произвольной степени начал использовать Альбер Жирар (1629). Закрепился этот формат благодаря Исааку Ньютону и Готфриду Лейбницу.

Логарифм, десятичный логарифм, натуральный логарифм. И.Кеплер (1624), Б.Кавальери (1632), А. Принсхейм (1893).

Термин «логарифм» принадлежит шотландскому математику Джону Неперу («Описание удивительной таблицы логарифмов»,
1614); он возник из сочетания от греческих слов λογος (слово, отношение) и αριθμος (число). Логарифм у Дж. Непера — вспомогательное число для измерения отношения двух чисел. Современное определение логарифма впервые дано английским математиком Уильямом Гардинером (1742). По определению, логарифм числа b
по основанию a
(a ≠
1, a > 0
) — показатель степени m
, в которую следует возвести число a
(называемое основанием логарифма), чтобы получить b
. Обозначается log a b.
Итак, m =

log a b
,
если a m = b.

Первые таблицы десятичных логарифмов опубликовал в 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс. Поэтому за рубежом десятичные логарифмы часто называют бригсовыми. Термин «натуральный логарифм» ввели Пьетро Менголи (1659) и Николас Меркатор (1668), хотя лондонский учитель математики Джон Спайделл ещё в 1619 году составил таблицу натуральных логарифмов.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a
указывалось то левее и выше символа log
, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log
. Знак логарифма — результат сокращения слова «логарифм» — встречается в различных видах почти одновременно с появлением первых таблиц логарифмов, например Log
— у И. Кеплера (1624) и Г. Бригса (1631), log
— у Б. Кавальери (1632). Обозначение ln
для натурального логарифма ввёл немецкий математик Альфред Прингсхейм (1893).

Синус, косинус, тангенс, котангенс. У.Оутред (сер. XVII века), И.Бернулли (XVIII в.), Л.Эйлер (1748, 1753).

Сокращённые обозначения для синуса и косинуса ввёл Уильям Оутред в середине XVII века. Сокращённые обозначения тангенса и котангенса: tg, ctg
введены Иоганном Бернулли в XVIII веке, они получили распространение в Германии и России. В других странах употребляются названия этих функций tan, cot
предложенные Альбером Жираром ещё ранее, в начале XVII века. В современную форму теорию тригонометрических функций привёл Леонард Эйлер (1748, 1753), ему же мы обязаны и закреплением настоящей символики.
Термин «тригонометрические функции» введён немецким математиком и физиком Георгом Симоном Клюгелем в 1770 году.

Линия синуса у индийских математиков первоначально называлась «арха-джива»
(«полутетива», то есть половина хорды), затем слово «арха»
было отброшено и линию синуса стали называть просто «джива»
. Арабские переводчики не перевели слово «джива»
арабским словом «ватар»
, обозначающим тетиву и хорду, а транскрибировали арабскими буквами и стали называть линию синуса «джиба»
. Так как в арабском языке краткие гласные не обозначаются, а долгое «и» в слове «джиба»
обозначается так же, как полугласная «й», арабы стали произносить название линии синуса «джайб»
, что буквально обозначает «впадина», «пазуха». При переводе арабских сочинений на латынь европейские переводчики перевели слово «джайб»
латинским словом sinus
, имеющим то же значение.
Термин «тангенс» (от лат.
tangens
— касающийся) был введен датским математиком Томасом Финке в его книге «Геометрия круглого» (1583).

Арксинус. К.Шерфер (1772), Ж.Лагранж (1772).

Обратные тригонометрические функции — математические функции, которые являются обратными к тригонометрическим функциям. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк» (от лат. arc
— дуга).
К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксинус (arcsin), арккосинус (arccos), арктангенс (arctg), арккотангенс (arcctg), арксеканс (arcsec) и арккосеканс (arccosec). Впервые специальные символы для обратных тригонометрических функций использовал Даниил Бернулли (1729, 1736).
Манера обозначать обратные тригонометрических функции с помощью приставки arc
(от лат. arcus
, дуга) появилась у австрийского математика Карла Шерфера и закрепилась благодаря французскому математику, астроному и механику Жозефу Луи Лагранжу. Имелось в виду, что, например, обычный синус позволяет по дуге окружности найти стягивающую её хорду, а обратная функция решает противоположную задачу. Английская и немецкая математические школы до конца XIX века предлагали иные обозначения: sin
-1 и 1/sin, но они не получили широкого распространения.

Гиперболический синус, гиперболический косинус. В.Риккати (1757).

Первое появление гиперболических функций историки обнаружили в трудах английского математика Абрахама де Муавра (1707, 1722). Современное определение и обстоятельное их исследование выполнил итальянец Винченцо Риккати в 1757 году в работе «Opusculorum», он же предложил их обозначения: sh
, ch
. Риккати исходил из рассмотрения единичной гиперболы. Независимое открытие и дальнейшее исследование свойств гиперболических функций было проведено немецким математиком, физиком и философом Иоганном Ламбертом (1768), который установил широкий параллелизм формул обычной и гиперболической тригонометрии. Н.И. Лобачевский впоследствии использовал этот параллелизм, пытаясь доказать непротиворечивость неевклидовой геометрии, в которой обычная тригонометрия заменяется на гиперболическую.

Подобно тому, как тригонометрические синус и косинус являются координатами точки на координатной окружности, гиперболические синус и косинус являются координатами точки на гиперболе. Гиперболические функции выражаются через экспоненту и тесно связанных с тригонометрическими функциями: sh(x)=0,5(e

x
-e -x

)
, ch(x)=0,5(e x +e -x
). По аналогии с тригонометрическими функциями определены гиперболические тангенс и котангенс как отношения гиперболических синуса и косинуса, косинуса и синуса, соответственно.

Дифференциал. Г.Лейбниц (1675, в печати 1684).

Главная, линейная часть приращения функции.
Если функция y=f(x)
одного переменного
x имеет при
x=x
0
производную, и приращение
Δy=f(x
0 +?x)-f(x
0 )

функции f(x)
можно представить в виде
Δy=f»(x
0 )Δx+R(Δx

)
,
где член R
бесконечно мал по сравнению с
Δx
. Первый член
dy=f»(x
0 )Δx

в этом разложении и называется дифференциалом функции f(x)
в точке
x
0
. В
работах Готфрида Лейбница, Якоба и Иоганна Бернулли слово
«differentia»
употреблялось в смысле «приращение», его И. Бернулли обозначал через Δ. Г. Лейбниц (1675, в печати 1684) для «бесконечно малой разности» использовал обозначение
d
— первую букву слова
«differential»
, образованого им же от
«differentia»
.

Неопределённый интеграл. Г.Лейбниц (1675, в печати 1686).

Слово «интеграл» впервые в печати употребил Якоб Бернулли (1690). Возможно, термин образован от латинского integer
— целый. По другому предположению, основой послужило латинское слово integro
— приводить в прежнее состояние, восстанавливать. Знак ∫
используется для обозначения интеграла в математике и представляет собой стилизованное изображение первой буквы латинского слова summa —
сумма. Впервые он был использован немецким математиком основателем дифференциального и интегрального исчислений Готфридом Лейбницем в конце XVII века. Другой из основателей дифференциального и интегрального исчислений Исаак Ньютон в своих работах не предложил альтернативной символики интеграла, хотя пробовал различные варианты: вертикальную черту над функцией или символ квадрата, который стоит перед функцией или окаймляет её. Неопределённый интеграл для функции y=f(x)
— это совокупность всех первообразных данной функции.

Определённый интеграл. Ж.Фурье (1819-1822).

Определённый интеграл функции f(x)
с нижним пределом a
и верхним пределом b
можно определить как разность F(b) — F(a) = a ∫
b f(x)dx

, где F(х)
— некоторая первообразная функции f(x)

. Определённый интеграл a ∫
b f(x)dx

численно равен площади фигуры, ограниченной осью абсцисс, прямыми x=a
и x=b
и графиком функции f(x)
. Оформление определённого интеграла в привычном нам виде предложил французский математик и физик Жан Батист Жозеф Фурье в начале XIX века.

Производная. Г.Лейбниц (1675), Ж.Лагранж (1770, 1779).

Производная — основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции f(x)
при изменении аргумента x

. Определяется как предел отношения приращения функции к приращению её аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если такой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную в некоторой точке, называют дифференцируемой в данной точке. Процесс вычисления производной называется дифференцированием. Обратный процесс — интегрирование. В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления.

Термин «производная» ввёл Жозеф Луи Лагранж в 1797 году, обозначения производной с помощью штриха — он же (1770, 1779), а dy/dx
— Готфрид Лейбниц в 1675 году. Манера обозначать производную по времени точкой над буквой идёт от Ньютона (1691).
Русский термин «производная функции» впервые употребил русский математик
Василий Иванович Висковатов (1779-1812)
.

Частная производная. А. Лежандр (1786), Ж.Лагранж (1797, 1801).

Для функций многих переменных определяются частные производные — производные по одному из аргументов, вычисленные в предположении, что остальные аргументы постоянны. Обозначения ∂f/∂
x
, ∂
z/∂
y
ввёл французский математик Адриен Мари Лежандр в 1786 году; f
x »
, z x »
— Жозеф Луи Лагранж (1797, 1801); ∂
2 z/∂
x 2
, ∂
2 z/∂
x∂
y
— частные производные второго порядка — немецкий математик Карл Густав Якоб Якоби (1837).

Разность, приращение. И.Бернулли (кон. XVII в. — перв. пол. XVIII в.), Л.Эйлер (1755).

Обозначение приращения буквой Δ
впервые употребил швейцарский математик Иоганн Бернулли. В общую практику использования символ «дельта» вошёл после работ Леонарда Эйлера в 1755 году.

Сумма. Л.Эйлер (1755).

Сумма — результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Для обозначения суммы n чисел a 1 , a 2 , …, a n применяется греческая буква «сигма» Σ
: a 1 + a 2 + … + a n = Σ
n i=1 a i = Σ
n 1 a i . Знак Σ
для суммы ввёл Леонард Эйлер в 1755 году.

Произведение. К.Гаусс (1812).

Произведение — результат умножения. Для обозначения произведения n чисел a 1 , a 2 , …, a n применяется греческая буква «пи» Π: a 1 · a 2 · … · a n = Π n i=1 a i = Π n 1 a i . Например, 1 · 3 · 5 · … · 97 · 99 = ? 50 1 (2i-1). Знак Π для произведения ввёл немецкий математик Карл Гаусс в 1812 году. В русской математической литературе термин «произведение» впервые встречается у Леонтия Филипповича Магницкого в 1703 году.

Факториал. К.Крамп (1808).

Факториал числа n (обозначается n!, произносится «эн факториал») — произведение всех натуральных чисел до n включительно: n! = 1·2·3·…·n. Например, 5! = 1·2·3·4·5 = 120. По определению полагают 0! = 1. Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Факториал числа n равен числу перестановок из n элементов. Например, 3! = 6, действительно,

♣ ♦

♣ ♦

♣
♦

♦
♣

♦

♣

♦

♣

Все шесть и только шесть вариантов перестановок из трёх элементов.

Термин «факториал» ввёл французский математик и политический деятель Луи Франсуа Антуан Арбогаст (1800), обозначение n! — французский математик Кристиан Крамп (1808).

Модуль, абсолютная величина. К.Вейерштрасс (1841).

Модуль, абсолютная величина действительного числа х — неотрицательное число, определяемое следующим образом: |х| = х при х ≥ 0, и |х| = -х при х ≤ 0. Например, |7| = 7, |- 0,23| = -(-0,23) = 0,23. Модуль комплексного числа z = a + ib — действительное число, равное √(a 2 + b 2).

Считают, что термин «модуль» предложил использовать английский математик и философ, ученик Ньютона, Роджер Котс. Готфрид Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл «модулем» и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году немецким математиком Карлом Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели французские математики Огюстен Коши и Жан Робер Арган в начале XIX века. В 1903 году австрийский учёный Конрад Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.

Норма. Э.Шмидт (1908).

Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или модуля числа. Знак «нормы» (от латинского слово «norma» — «правило», «образец») ввел немецкий математик Эрхард Шмидт в 1908 году.

Предел. С.Люилье (1786), У.Гамильтон (1853), многие математики (вплоть до нач. ХХ в.)

Предел — одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Понятие предела на интуитивном уровне использовалось ещё во второй половине XVII века Исааком Ньютоном, а также математиками XVIII века, такими как Леонард Эйлер и Жозеф Луи Лагранж. Первые строгие определения предела последовательности дали Бернард Больцано в 1816 году и Огюстен Коши в 1821 году. Символ lim (3 первые буквы от латинского слова limes — граница) появился в 1787 году у швейцарского математика Симона Антуана Жана Люилье, но его использование ещё не напоминало современное. Выражение lim в более привычном для нас оформлении первым использовал ирландский математик Уильям Гамильтон в 1853 году.
Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков — например, у английского математика Годфрида Харди в 1908 году.

Дзета-функция, дзета-функция Римана
. Б.Риман (1857).

Аналитическая функция комплексного переменного s = σ + it, при σ > 1 определяемая абсолютно и равномерно сходящимся рядом Дирихле:

ζ(s) = 1 -s + 2 -s + 3 -s + … .

При σ > 1 справедливо представление в виде произведения Эйлера:

ζ(s) = Π

p
(1-p -s) -s ,

где произведение берётся по всем простым p. Дзета-функция играет большую роль в теории чисел.
Как функция вещественного переменного, дзета-функция была введена в 1737 году (опубликовано в 1744 г.) Л. Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась немецким математиком Л. Дирихле и, особенно успешно, российским математиком и механиком П.Л. Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы немецкого математика Георга Фридриха Бернхарда Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного; им же введено название «дзета-функция» и обозначение ζ(s) в 1857 году.

Гамма-функция, Γ-функция Эйлера. А.Лежандр (1814).

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z). Г-функция впервые введена Леонардом Эйлером в 1729 году; она определяется формулой:

Γ(z) = lim

n→∞
n!·n z /z(z+1)…(z+n).

Через Г-функцию выражается большое число интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Широко используется в аналитической теории чисел. Название «Гамма-функция» и обозначение Γ(z) предложено французским математиком Адриеном Мари Лежандром в 1814 году.

Бета-функция, В-функция, В-функция Эйлера. Ж.Бине (1839).

Функция двух переменных p и q, определяемая при p>0, q>0 равенством:

В(p, q) = 0
∫ 1
х р-1 (1-х) q-1 dx.

Бета-функцию можно выразить через Γ-функция: В(p, q) = Γ(p)Г(q)/Г(p+q).
Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция, в некотором смысле, является обобщением биномиальных коэффициентов.

С помощью бета-функции описываются многие свойства
элементарных частиц
, участвующих в
сильном взаимодействии
. Эта особенность подмечена итальянским физиком-теоретиком
Габриэле Венециано
в
1968
году.
Это положило начало
теории струн
.

Название «бета-функция» и обозначение В(p, q) ввёл в 1839 году французский математик, механик и астроном Жак Филипп Мари Бине.

Оператор Лапласа, лапласиан. Р.Мёрфи (1833).

Линейный дифференциальный оператор Δ, который функции φ(х 1 , х 2 , …, х n) от n переменных х 1 , х 2 , …, х n ставит в соответствие функцию:

Δφ = ∂ 2 φ/∂х 1 2 + ∂ 2 φ/∂х 2 2 + … + ∂ 2 φ/∂х n 2 .

В частности для функции φ(х) одного переменного оператор Лапласа совпадает с оператором 2-й производной: Δφ = d 2 φ/dx 2 . Уравнение Δφ = 0 обычно называют уравнением Лапласа; отсюда и произошли названия «оператор Лапласа» или «лапласиан». Обозначение Δ ввёл английский физик и математик Роберт Мёрфи в 1833 году.

Оператор Гамильтона, набла-оператор, гамильтониан. О.Хевисайд (1892).

Векторный дифференциальный оператор вида

∇ = ∂/∂x · i
+ ∂/∂y · j
+ ∂/∂z · k
,

где i
, j
, и k
— координатные орты. Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа, а так же оператор Лапласа.

В 1853 году ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон ввёл этот оператор и придумал для него символ ∇ в виде перевёрнутой греческой буквы Δ (дельта). У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах шотландского математика и физика Питера Гатри Тэйта символ приобрёл современный вид. Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» (слово «дельта», прочитанное наоборот). Позднее английские учёные, в том числе Оливер Хевисайд, стали называть этот символ «набла», по названию буквы ∇ в финикийском алфавите, где она и встречается. Происхождение буквы связано с музыкальным инструментом типа арфы, ναβλα (набла) по-древнегречески означает «арфа». Оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла.

Функция. И.Бернулли (1718), Л.Эйлер (1734).

Математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», » правило» по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений). Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим. Долгое время математики задавали аргументы без скобок, например, так — φх.
Впервые подобное обозначение использовал швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году.
Скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение. Отголоском тех времён являются употребительные и сейчас записи
sin x, lg x
и др. Но постепенно использование скобок, f(x)
, стало общим правилом. И основная заслуга в этом принадлежит Леонарду Эйлеру.

Равенство. Р.Рекорд (1557).

Знак равенства предложил уэльский врач и математик Роберт Рекорд в 1557 году; начертание символа было намного длиннее нынешнего, так как имитировало изображение двух параллельных отрезков. Автор пояснил, что нет в мире ничего более равного, чем два параллельных отрезка одинаковой длины. До этого в античной и средневековой математике равенство обозначалось словесно (например est egale
). Рене Декарт в XVII веке при записи стал использовать æ
(от лат. aequalis
), а современный знак равенства он использовал чтобы указать, что коэффициент может быть отрицательным. Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. Символ Рекорда получил распространение далеко не сразу. Распространению символа Рекорда мешало то обстоятельство, что с античных времён такой же символ использовался для обозначения параллельности прямых; в конце концов было решено символ параллельности сделать вертикальным. В континентальной Европе знак «=
» был введён Готфридом Лейбницем только на рубеже XVII-XVIII веков, то есть более чем через 100 лет, после смерти впервые использовавшего его для этого Роберта Рекорда.

Примерно равно, приблизительно равно. А.Гюнтер (1882).

Знак «≈
» ввёл в использование как символ отношения «примерно равно» немецкий математик и физик Адам Вильгельм Зигмунд Гюнтер в 1882 году.

Больше, меньше. Т.Гарриот (1631).

Эти два знака ввёл в использование английский астроном, математик, этнограф и переводчик Томас Гарриот в 1631 году, до этого использовали слова «больше» и «меньше».

Сравнимость. К.Гаусс (1801).

Сравнение — соотношение между двумя целыми числами n и m, означающее, что разность n-m этих чисел делится на заданное целое число а, называемое модулем сравнения; пишется: n≡m(mod а) и читается «числа n и m сравнимы по модулю а». Например, 3≡11(mod 4), так как 3-11 делится на 4; числа 3 и 11 сравнимы по модулю 4. Сравнения обладают многими свойствами, аналогичными свойствам равенств. Так, слагаемое, находящееся в одной части сравнения можно перенести с обратным знаком в другую часть, а сравнения с одним и тем же модулем можно складывать, вычитать, умножать, обе части сравнения можно умножать на одно и то же число и др. Например,

3≡9+2(mod 4) и 3-2≡9(mod 4)

Одновременно верные сравнения. А из пары верных сравнений 3≡11(mod 4) и 1≡5(mod 4) следует верность следующих:

3+1≡11+5(mod 4)

3-1≡11-5(mod 4)

3·1≡11·5(mod 4)

3 2 ≡11 2 (mod 4)

3·23≡11·23(mod 4)

В теории чисел рассматриваются методы решения различных сравнений, т.е. методы отыскания целых чисел, удовлетворяющих сравнениям того или иного вида.
Cравнения по модулю впервые использовались немецким математиком Карлом Гауссом в его книге «Арифметические исследования» 1801 года. Он же предложил утвердившуюся в математике символику для сравнений.

Тождество. Б.Риман (1857).

Тождество — равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв. Равенство a+b = b+a справедливо при всех числовых значениях a и b, и поэтому является тождеством. Для записи тождеств в некоторых случаях с 1857 года применяется знак «≡
» (читается «тождественно равно»), автором которого в таком использовании, является немецкий математик Георг Фридрих Бернхард Риман. Можно записать
a+b ≡ b+a.

Перпендикулярность. П.Эригон (1634).

Перпендикулярность — взаимное расположение двух прямых, плоскостей или прямой и плоскости, при котором указанные фигуры составляют прямой угол. Знак ⊥
для обозначения перпендикулярности ввёл в 1634 году французский математик и астроном Пьер Эригон. Понятие перпендикулярности имеет ряд обобщений, но всем им, как правило, сопутствует знак ⊥
.

Параллельность. У.Оутред (посмертное издание 1677 года).

Параллельность — отношение между некоторыми геометрическими фигурами; например, прямыми. Определяется по-разному в зависимости от различных геометрий; например, в геометрии Евклида и в геометрии Лобачевского. Знак параллельности известен с античных времён, его использовали Герон и Папп Александрийский. Сначала символ был похож на нынешний знак равенства (только более протяжённый), но с появлением последнего, во избежание путаницы, символ был повёрнут вертикально ||. В таком виде он появился впервые в посмертном издании работ английского математика Уильяма Оутреда в 1677 году.

Пересечение, объединение. Дж.Пеано (1888).

Пересечение множеств — это множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам. Объединение множеств — множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств. Пересечением и объединением называются и операции над множествами, ставящие в соответствие некоторым множествам новые по указанным выше правилам. Обозначаются ∩ и ∪, соответственно. Например, если

А=
{♠ ♣
}
и В=
{♣
♦
},

То

А∩В={♣
}

А∪В={♠ ♣
♦
}
.

Содержится, содержит. Э.Шрёдер (1890).

Если А и В — два множества и в А нет элементов, не принадлежащих В, то говорят что А содержится в В. Пишут А⊂В или В⊃А (В содержит А). Например,

{♠}⊂{♠ ♣}⊂{♠ ♣ ♦
}

{♠ ♣
♦
}⊃{ ♦
}⊃{♦
}

Символы «содержится» и «содержит» появились в 1890 году у немецкого математика логика Эрнста Шрёдера.

Принадлежность. Дж.Пеано (1895).

Если а — элемент множества А, то пишут а∈А и читают «а принадлежит А». Если а не является элементом множества А, пишут а∉А и читают «а не принадлежит А». Вначале отношения «содержится» и «принадлежит» («является элементом») не различали, но со временем эти понятия потребовали разграничения. Знак принадлежности ∈ впервые стал использовать итальянский математик Джузеппе Пеано в 1895 году. Символ ∈ происходит от первой буквы греческого слова εστι — быть.

Квантор всеобщности, квантор существования. Г.Генцен (1935), Ч.Пирс (1885).

Квантор — общее название для логических операций, указывающих область истинности какого-либо предиката (математического высказывания). Философы давно обращали внимание на логические операции, ограничивающие область истинности предиката, однако не выделяли их в отдельный класс операций. Хотя кванторно-логические конструкции широко используются как в научной, так и в обыденной речи, их формализация произошла только в 1879 году, в книге немецкого логика, математика и философа Фридриха Людвига Готлоба Фреге «Исчисление понятий». Обозначения Фреге имели вид громоздких графических конструкций и не были приняты. Впоследствии было предложено множество более удачных символов, но общепринятыми стали обозначения ∃
для квантора существования (читается «существует», «найдётся»), предложенное американским философом, логиком и математиком Чарльзом Пирсом в 1885 году, и ∀
для квантора всеобщности (читается «любой», «каждый», «всякий»), образованное немецким математиком и логиком Герхардом Карлом Эрихом Генценом в 1935 году по аналогии с символом квантора существования (перевёрнутые первые буквы английских слов Existence (существование) и Any (любой)). Например, запись

(∀ε>0) (∃δ>0) (∀x≠x 0 , |x-x 0 |

читается так: «для любого ε>0 существует δ>0 такое, что для всех х, не равных х 0 и удовлетворяющих неравенству |x-x 0 |

Пустое множество. Н.Бурбаки (1939).

Множество, не содержащее ни одного элемента. Знак пустого множества был введён в книгах Николя Бурбаки в 1939 году. Бурбаки — коллективный псевдоним группы французских математиков, созданной в 1935 году. Одним из участников группы Бурбаки был Андре Вейль — автор символа Ø.

Что и требовалось доказать. Д.Кнут (1978).

В математике под доказательством понимается последовательность рассуждений, построеных на определённых правилах, показывающая, что верно некоторое утверждение. Со времён эпохи Возрождения окончание доказательства обозначалось математиками сокращением «Q.E.D.», от латинского выражения «Quod Erat Demonstrandum» — «Что и требовалось доказать». При создании системы компьютерной вёрстки ΤΕΧ в 1978 году американский профессор информатики Дональд Эдвин Кнут использовал символ: заполненный квадрат, так называемый «символ Халмоша», по имени американского математика венгерского происхождения Пола Ричарда Халмоша. Сегодня завершение доказательства как правило обозначают Символом Халмоша. В качестве альтернативы используют и другие знаки: пустой квадрат, правый треугольник, // (две косых черты), а также русскую аббревиатуру «ч.т.д.».

из двух), 3 > 2 (три больше двух) и т.п.

Развитие математической символики было тесно связано с общим развитием понятий и методов математики. Первыми Знаки математические
были знаки для изображения чисел — цифры
,
возникновение которых, по-видимому, предшествовало письменности. Наиболее древние системы нумерации — вавилонская и египетская — появились ещё за 3 1 / 2 тысячелетия до н. э.

Первые Знаки математические
для произвольных величин появились много позднее (начиная с 5-4 вв. до н. э.) в Греции. Величины (площади, объёмы, углы) изображались в виде отрезков, а произведение двух произвольных однородных величин — в виде прямоугольника, построенного на соответствующих отрезках. В «Началах» Евклида

(3 в. до н. э.) величины обозначаются двумя буквами — начальной и конечной буквами соответствующего отрезка, а иногда и одной. У Архимеда

(3 в. до нашей эры) последний способ становится обычным. Подобное обозначение содержало в себе возможности развития буквенного исчисления. Однако в классической античной математике буквенного исчисления создано не было.

Начатки буквенного изображения и исчисления возникают в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы. Диофант

(вероятно, 3 в.) записывал неизвестную (х
) и её степени следующими знаками:

[ — от греческого термина dunamiV (dynamis — сила), обозначавшего квадрат неизвестной, — от греческого cuboV (k_ybos) — куб]. Справа от неизвестной или её степеней Диофант писал коэффициенты, например 3х 5 изображалось

(где = 3). При сложении Диофант приписывал слагаемые друг к другу, для вычитания употреблял специальный знак ; равенство Диофант обозначал буквой i [от греческого isoV (isos) — равный]. Например, уравнение

(x
3 + 8x
) — (5x
2 + 1) = х

У Диофанта записалось бы так:

(здесь

означает, что единица не имеет множителя в виде степени неизвестного).

Несколько веков спустя индийцы ввели различные Знаки математические
для нескольких неизвестных (сокращения наименований цветов, обозначавших неизвестные), квадрата, квадратного корня, вычитаемого числа. Так, уравнение

3х
2 + 10x
— 8 = x
2 + 1

В записи Брахмагупты

(7 в.) имело бы вид:

Йа ва 3 йа 10 ру 8

Йа ва 1 йа 0 ру 1

(йа — от йават — тават — неизвестное, ва — от варга — квадратное число, ру — от рупа — монета рупия — свободный член, точка над числом означает вычитаемое число).

Создание современной алгебраической символики относится к 14-17 вв.; оно определялось успехами практической арифметики и учения об уравнениях. В различных странах стихийно появляются Знаки математические
для некоторых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный символ. Так, в конце 15 и. Н. Шюке

и Л. Пачоли

употребляли знаки сложения и вычитания

(от лат. plus и minus), немецкие математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и -. Ещё в 17 в. можно насчитать около десятка Знаки математические
для действия умножения.

Различны были и Знаки математические
неизвестной и её степеней. В 16 — начале 17 вв. конкурировало более десяти обозначений для одного только квадрата неизвестной, например се
(от census — латинский термин, служивший переводом греческого dunamiV, Q
(от quadratum), , A (2), , Aii, aa
, a 2
и др. Так, уравнение

x 3 + 5x
= 12

имело бы у итальянского математика Дж. Кардано (1545) вид:

у немецкого математика М. Штифеля (1544):

у итальянского математика Р. Бомбелли (1572):

французского математика Ф. Виета (1591):

у английского математика Т. Гарриота (1631):

В 16 и начале 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли

, 1550), круглые (Н. Тарталья
,
1556), фигурные (Ф. Виет
,
1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей.

Значительным шагом вперёд в развитии математической символики явилось введение Виетом (1591) Знаки математические
для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв латинского алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраические уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными буквами А, Е,… Например, запись Виета

В наших символах выглядит так:

x 3
+ 3bx
= d.

Виет явился творцом алгебраических формул. Р. Декарт

(1637) придал знакам алгебры современный вид, обозначая неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, z,
а произвольные данные величины — начальными буквами а, b, с.
Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.

Дальнейшее развитие Знаки математические
было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики которого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.

Даты возникновения некоторых математических знаков

знак	значение	Кто ввёл	Когда введён
Знаки индивидуальных объектов
¥	бесконечность	Дж. Валлис	1655
e	основание натуральных логарифмов	Л. Эйлер	1736
p	отношение длины окружности к диаметру	У. Джонс Л. Эйлер	1706
i	корень квадратный из -1	Л. Эйлер	1777 (в печати 1794)
i j k	единичные векторы, орты	У. Гамильтон	1853
П (а)	угол параллельности	Н.И. Лобачевский	1835
Знаки переменных объектов
x,y, z	неизвестные или переменные величины	Р. Декарт	1637
r	вектор	О. Коши	1853
Знаки индивидуальных операций
+	сложение	немецкие математики	Конец 15 в.
–	вычитание
´	умножение	У. Оутред	1631
×	умножение	Г. Лейбниц	1698
:	деление	Г. Лейбниц	1684
a 2 , a 3 ,…, a n	степени	Р. Декарт	1637
	И. Ньютон	1676
	корни	К. Рудольф	1525
А. Жирар	1629
Log	логарифм	И. Кеплер	1624
log	Б. Кавальери	1632
sin	синус	Л. Эйлер	1748
cos	косинус
tg	тангенс	Л. Эйлер	1753
arc.sin	арксинус	Ж. Лагранж	1772
Sh	гиперболический синус	В. Риккати	1757
Ch	гиперболический косинус
dx, ddx, …	дифференциал	Г. Лейбниц	1675 (в печати 1684)
d 2 x, d 3 x,…
	интеграл	Г. Лейбниц	1675 (в печати 1686)
	производная	Г. Лейбниц	1675
¦¢x	производная	Ж. Лагранж	1770, 1779
y’
¦¢(x)
Dx	разность	Л. Эйлер	1755
	частная производная	А. Лежандр	1786
	определённый интеграл	Ж. Фурье	1819-22
	сумма	Л. Эйлер	1755
П	произведение	К. Гаусс	1812
!	факториал	К. Крамп	1808
|x|	модуль	К. Вейерштрасс	1841
lim	предел	У. Гамильтон, многие математики	1853, начало 20 в.
lim
n = ¥
lim
n ® ¥
x	дзета-функция	Б. Риман	1857
Г	гамма-функция	А. Лежандр	1808
В	бета-функция	Ж. Бине	1839
D	дельта (оператор Лапласа)	Р. Мёрфи	1833
Ñ	набла (оператор Гамильтона)	У. Гамильтон	1853
Знаки переменных операций
jx	функция	И. Бернули	1718
f (x)	Л. Эйлер	1734
Знаки индивидуальных отношений
=	равенство	Р. Рекорд	1557
>	больше	Т. Гарриот	1631
	меньше
º	сравнимость	К. Гаусс	1801
	параллельность	У. Оутред	1677
^	перпендикулярность	П. Эригон	1634

И. Ньютон

в своём методе флюксий и флюент (1666 и следующие гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) величины (в виде

и для бесконечно малого приращения o
. Несколько ранее Дж. Валлис

(1655) предложил знак бесконечности ¥.

Создателем современной символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц
.
Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне Знаки математические
дифференциалов

dx, d
2 x, d
3 x

и интеграла

Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежат Л. Эйлеру
.
Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f
(x
)
(от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е
(основание натуральных логарифмов, 1736), p [вероятно, от греческого perijereia (periphereia) — окружность, периферия, 1736], мнимой единицы

(от французского imaginaire — мнимый, 1777, опубликовано в 1794).

В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины |x| (К. Вейерштрасс
,
1841), вектора (О. Коши
,
1853), определителя

(А. Кэли
,
1841) и др. Многие теории, возникшие в 19 в., например Тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.

Наряду с указанным процессом стандартизации Знаки математические
в современной литературе весьма часто можно встретить Знаки математические
, используемые отдельными авторами только в пределах данного исследования.

С точки зрения математической логики, среди Знаки математические
можно наметить следующие основные группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Например, знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1 + 3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определённое содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём основным группам Знаки математические
примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания основных знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.

Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки «неременных», или «неизвестных», объектов, операций и отношений.

Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу):

A 1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е
и p; мнимой единицы i.

Б 1) Знаки арифметических действий +, -, ·, ´,:; извлечения корня , дифференцирования

знаки суммы (объединения) È и произведения (пересечения) Ç множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т.п.

1) Знаки равенства и неравенства =, >,

Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые каким-либо заранее оговорённым условиям. Например, при записи тождества (a
+ b
)(a
— b
) = a
2 — b
2 буквы а
и b
обозначают произвольные числа; при изучения функциональной зависимости у
= х
2 буквы х
и у —
произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения

х
обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и -1).

С логической точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математической логике, не пугаясь того обстоятельства, что «область изменения» переменного может оказаться состоящей из одного единственного объекта или даже «пустой» (например, в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:

A 2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрических фигур буквами в геометрии.

Б 2) Обозначения f, ,
j для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L
изображают, например, произвольный оператор вида:

Обозначения для «переменных отношений» менее распространены, они находят применение лишь в математической логике (см. Алгебра логики

) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математических исследованиях.

Лит.:
Cajori ., A history of mathematical notations, v. 1-2, Chi., 1928-29.

Статья про слово «Знаки математические
» в Большой Советской Энциклопедии была прочитана 39767 раз

В абстрактной алгебре повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста, а также стандартные обозначения для некоторых групп. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся алгебраических обозначений, соответствующие команды в … Википедия

Математические обозначения это символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо цифр и букв различных алфавитов (латинского, в том числе в готическом начертании, греческого и еврейского),… … Википедия

Статья содержит список общеупотребительных аббревиатур математических функций, операторов и др. математических терминов. Содержание 1 Аббревиатуры 1.1 Латиница 1.2 Греческий алфавит … Википедия

Юникод, или Уникод (англ. Unicode) стандарт кодирования символов, позволяющий представить знаки практически всех письменных языков. Стандарт предложен в 1991 году некоммерческой организацией «Консорциум Юникода» (англ. Unicode Consortium,… … Википедия

Список используемых в математике специфических символов можно увидеть в статье Таблица математических символов Математические обозначения («язык математики») сложная графическая система обозначений, служащая для изложения абстрактных… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Плюс минус (значения). ± ∓ Знак плюс минус (±) математический символ, который ставится перед некоторым выражением и означает, что значение этого выражения может быть как положительным, так и … Википедия

Необходимо проверить качество перевода и привести статью в соответствие со стилистическими правилами Википедии. Вы можете помочь … Википедия

Или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения в… … Википедия

Знаки операций или математические символы знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами. К самым распространённым относятся: Плюс: + Минус: , − Знак умножения: ×, ∙ Знак деления: :, ∕, ÷ Знак возведения… … Википедия

Как известно, математика любит точность и краткость — недаром одна-единственная формула может в словесной форме занимать абзац, а порой и целую страницу текста. Таким образом, графические элементы, используемые во всем мире в науке, призваны увеличить скорость написания и компактность представления данных. Кроме того, стандартизованные графические изображения может распознать носитель любого языка, имеющий базовые знания в соответствующей сфере.

История математических знаков и символов насчитывает много столетий — некоторые из них были придуманы случайным образом и предназначались для обозначения иных явлений; другие же стали продуктом деятельности ученых, целенаправленно формирующих искусственный язык и руководствующихся исключительно практическими соображениями.

Плюс и минус

История происхождения символов, обозначающих простейшие арифметические операции, доподлинно неизвестна. Однако существует достаточно вероятная гипотеза происхождения знака «плюс», имеющего вид перекрещенных горизонтальной и вертикальной черт. В соответствии с ней символ сложения берет начало в латинском союзе et, который переводится на русский язык как «и». Постепенно, с целью ускорения процесса записи, слово было сокращено до вертикально ориентированного креста, напоминающего букву t. Самый ранний достоверный пример подобного сокращения датируется XIV веком.

Общепринятый знак «минус» появился, по всей видимости, позже. В XIV и даже XV веке в научной литературе использовался целый ряд символов, обозначающих операцию вычитания, и лишь к XVI веку «плюс» и «минус» в их современном виде стали встречаться в математических трудах вместе.

Умножение и деление

Как ни странно, математические знаки и символы для этих двух арифметических действий не полностью стандартизованы и сегодня. Популярным обозначением умножения является предложенный математиком Отредом в XVII веке диагональный крестик, который можно увидеть, например, на калькуляторах. На уроках математики в школе ту же операцию обычно представляют в виде точки — данный способ предложил в том же веке Лейбниц. Ещё один способ представления — звёздочка, которая наиболее часто используется при компьютерном представлении различных расчётов. Использовать её предложил всё в том же XVII веке Иоганн Ран.

Для операции деления предусмотрены знак наклонной черты (предложен Отредом) и горизонтальная линия с точками сверху и снизу (символ ввел Иоганн Ран). Первый вариант обозначения является более популярным, однако второй также достаточно распространен.

Математические знаки и символы и их значения порой изменяются во времени. Однако все три способа графического представления умножения, а также оба способа для деления являются в той или иной степени состоятельными и актуальными на сегодняшний день.

Равенство, тождество, эквивалентность

Как и в случае многих других математических знаков и символов, обозначение равенства изначально было словесным. Достаточно продолжительное время общепринятым обозначением служило сокращение ae от латинского aequalis («равны»). Однако в XVI веке математик из Уэльса по имени Роберт Рекорд предложил в качестве символа две горизонтальные прямые, расположенные друг под другом. Как утверждал ученый, нельзя придумать ничего более равного между собой, чем два параллельных отрезка.

Несмотря на то что аналогичный знак использовался для обозначения параллельности прямых, новый символ равенства постепенно получил распространение. К слову, такие знаки как «больше» и «меньше», изображающие развернутые в разные стороны галочки, появились лишь в XVII-XVIII веке. Сегодня же они кажутся интуитивно понятными любому школьнику.

Несколько более сложные знаки эквивалентности (две волнистые линии) и тождества (три горизонтальные параллельные прямые) вошли в обиход лишь во второй половине XIX века.

Знак неизвестного — «Икс»

История возникновения математических знаков и символов знает и весьма интересные случаи переосмысления графики по мере развития науки. Знак обозначения неизвестного, именуемый сегодня «иксом», берет своё начало на Ближнем Востоке на заре прошлого тысячелетия.

Ещё в X веке в арабском мире, славящемся в тот исторический период своими учеными, понятие неизвестного обозначалось словом, буквально переводящимся как «нечто» и начинающимся со звука «Ш». С целью экономии материалов и времени слово в трактатах стало сокращаться до первой буквы.

Спустя многие десятилетия письменные труды арабских ученых оказались в городах Пиренейского полуострова, на территории современной Испании. Научные трактаты стали переводиться на национальный язык, но возникла трудность — в испанском отсутствует фонема «Ш». Заимствованные арабские слова, начинающиеся с неё, записывались по особому правилу и предварялись буквой X. Научным языком того времени была латынь, в которой соответствующий знак имеет название «Икс».

Таким образом, знак, на первый взгляд являющийся лишь случайно выбранным символом, имеет глубокую историю и изначально является сокращением арабского слова «нечто».

Обозначение других неизвестных

В отличие от «Икса», знакомые нам со школьной скамьи Y и Z, а также a, b, c имеют гораздо более прозаичную историю происхождения.

В XVII веке была издана книга Декарта под названием «Геометрия». В этой книге автор предлагал стандартизировать символы в уравнениях: в соответствии с его идеей, последние три буквы латинского алфавита (начиная от «Икса») стали обозначать неизвестные, а три первые — известные значения.

Тригонометрические термины

По-настоящему необычна история такого слова, как «синус».

Первоначально соответствующие тригонометрические функции получили название в Индии. Слово, соответствующее понятию синуса, буквально означало «тетива». В эпоху расцвета арабской науки индийские трактаты были переведены, а понятие, аналога которому не оказалось в арабском языке, транскрибировано. По стечению обстоятельств, то, что получилось на письме, напоминало реально существующее слово «впадина», семантика которого не имела никакого отношения к исходному термину. В результате, когда в 12 веке арабские тексты были переведены на латынь, возникло слово «синус», означающее «впадина» и закрепившееся в качестве нового математического понятия.

А вот математические знаки и символы для тангенса и котангенса до сих пор не стандартизованы — в одних странах их принято писать как tg, а в других — как tan.

Некоторые другие знаки

Как видно из примеров, описанных выше, возникновение математических знаков и символов в значительной мере пришлось на XVI-XVII века. На этот же период пришлось возникновение привычных сегодня форм записи таких понятий, как процент, квадратный корень, степень.

Процент, т. е. сотая доля, долгое время обозначался как cto (сокращение от лат. cento). Считается, что общепринятый на сегодняшний день знак появился в результате опечатки около четырехсот лет назад. Получившееся изображение было воспринято как удачный способ сокращения и прижилось.

Знак корня изначально представлял собой стилизованную букву R (сокращение от латинского слова radix — «корень»). Верхняя черта, под которую сегодня записывается выражение, выполняла функцию скобок и являлась отдельным символом, обособленным от корня. Круглые скобки были придуманы позже — в повсеместное обращение они вошли благодаря деятельности Лейбница (1646-1716). Благодаря его же трудам был введен в науку и символ интеграла, выглядящий как вытянутая буква S — сокращение от слова «сумма».

Наконец, знак операции возведения в степень был придуман Декартом и доработан Ньютоном во второй половине XVII века.

Более поздние обозначения

Учитывая, что знакомые нам графические изображения «плюса» и «минуса» были введены в обращение всего несколько столетий назад, не кажется удивительным, что математические знаки и символы, обозначающие сложные явления, стали использоваться лишь в позапрошлом веке.

Так, факториал, имеющий вид восклицательного знака после числа или переменной, появился лишь в начале XIX века. Приблизительно тогда же появились заглавная «П» для обозначения произведения и символ предела.

Несколько странно, что знаки для числа Пи и алгебраической суммы появились лишь в XVIII веке — позже, чем, например, символ интеграла, хотя интуитивно кажется, что они являются более употребительными. Графическое изображение отношения длины окружности к диаметру происходит от первой буквы греческих слов, означающих «окружность» и «периметр». А знак «сигма» для алгебраической суммы был предложен Эйлером в последней четверти XVIII столетия.

Названия символов на разных языках

Как известно, языком науки в Европе на протяжении многих веков была латынь. Физические, медицинские и многие другие термины часто заимствовались в виде транскрипций, значительно реже — в виде кальки. Таким образом, многие математические знаки и символы на английском называются почти так же, как на русском, французском или немецком. Чем сложнее суть явления, тем выше вероятность, что в разных языках оно будет иметь одинаковое название.

Компьютерная запись математических знаков

Простейшие математические знаки и символы в «Ворде» обозначаются обычной комбинацией клавиш Shift+цифра от 0 до 9 в русской или английской раскладке. Отдельные клавиши отведены под некоторые широкоупотребительные знаки: плюс, минус, равенство, наклонная черта.

Если же требуется использовать графические изображения интеграла, алгебраической суммы или произведения, числа Пи и т. д., требуется открыть в «Ворде» вкладку «Вставка» и найти одну из двух кнопок: «Формула» или «Символ». В первом случае откроется конструктор, позволяющий выстроить целую формулу в рамках одного поля, а во втором — таблица символов, где можно найти любые математические знаки.

Как запомнить математические символы

В отличие от химии и физики, где количество символов для запоминания может превосходить сотню единиц, математика оперирует относительно небольшим числом знаков. Простейшие из них мы усваиваем ещё в глубоком детстве, учась складывать и вычитать, и только в университете на определенных специальностях знакомимся с немногочисленными сложными математическими знаками и символами. Картинки для детей помогают за считанные недели достичь мгновенного узнавания графического изображения требуемой операции, гораздо больше времени может понадобиться для овладения навыком самого осуществления этих операций и понимания их сущности.

Таким образом, процесс запоминания знаков происходит автоматически и не требует особых усилий.

В заключение

Ценность математических знаков и символов заключается в том, что их без труда понимают люди, говорящие на разных языках и являющиеся носителями различных культур. По этой причине крайне полезно понимать и уметь воспроизводить графические изображения различных явлений и операций.

Высокий уровень стандартизации этих знаков обуславливает их использование в самых различных сферах: в области финансов, информационных технологий, инженерном деле и др. Для каждого, кто хочет заниматься делом, связанным с числами и расчетами, знание математических знаков и символов и их значений становится жизненной необходимостью.

Знаки больше и меньше в математике становятся известны детям еще до поступления в первый класс. Часто детки путают, что означает конкретный символ. Родители могут помочь своим чадам в этом вопросе, что положительно повлияет на успеваемость детей. Эти знания пригодятся малышам и в будущем – при изучении геометрии, на уроках алгебры, в примерах, где используется квадратная, а также другая степень чисел. Советы из дан статьи помогут родителям научить малышей важной математической премудрости.

Математические знаки в картинках для дошкольников

Ниже представлено цветное оформление математических символов. При обучении их можно использовать непосредственно с экрана монитора или же их можно распечатать на цветном принтере.

Знак «больше» – в какую сторону

Знак «больше» пишется так «>». Символ обозначается стрелкой, направление острого угла которой обращено в правую сторону. Немного теории: определяющим фактором является левая сторона символа. Если стрелка начинается с двух линий, которые в правой части сходятся в одну точку, тогда это знак «>».

Знак «меньше» – как правильно писать

Знак «меньше» выглядит так «<». Если сказать просто, то стрелка должна смотреть влево. И снова для определения важна левая часть стрелки. Если точка, из которой выходят две линии, расположена слева, то это символ «<».

Знаки «больше или равно» / «меньше или равно»

Знаки «больше или равно» и «меньше или равно» выглядят соответственно так «≥», «≤». Они являются результатом объединения двух символов – «>» или «<» и одной линии.

Эта линия находится под стрелкой. При этом нет пересечения стрелки с линией под ней. Обычно нижняя линия следует принципу параллельности по отношению к нижней части символа.

Данные знаки используются в нестрогих неравенствах. В первом классе такие неравенства обычно не изучают.

Примеры на сравнение чисел для 1 класса

В первом блоке примеров (Таблица 1) нужно поставить правильный символ. Справа и слева стоят только однозначные числа.

Второй блок примеров (Таблица 2) содержит примеры, в которых нужно сопоставить суммы чисел. В случае равенства необходимо вписать знак «равно».

Игры для быстрого запоминания знаков «больше» и «меньше»

Существуют различные логические игры с использованием математических символов. Таких игр множество. Ниже приводятся три игры, где детям нужно поиграться со стрелками «>» и «<».

Игра «Большой голодный крокодил»

Это самый легкий и наглядный способ раз и навсегда запомнить, в какую сторону пишутся знаки «больше» и «меньше». На листе бумаги необходимо нарисовать две круглые тарелки. Диаметр каждой тарелки должен быть не менее 10 сантиметров.

На каждую из «тарелок» можно положить что-то приблизительно напоминающее еду. Например, можно слепить шарики из пластилина или соленого теста и договориться с ребенком, что горошины означают котлеты для крокодила. Для этой игры достаточно смастерить один символ. Его можно сделать на маленькой карточке. Обозначения «>» и «<» примерно напоминают подобие раскрытого рта крокодила. 

Важное условие — крокодил выбирает всегда только ту тарелку, на которой больше еды! Об этом нужно сказать ребенку.

На обе «тарелки» необходимо выложить определенное количество «котлет». Затем пусть ребенок положит карточку так, чтобы «рот крокодила» был обращен в сторону «тарелки» на которой больше «котлет».

Игра «Что больше?»

В этой игре комбинация большого и указательного пальцев левой руки имеет значение символа «<», а комбинация большого и указательного пальцев правой руки представляет собой символ «>». Для обозначения того, что больше, достаточно протянуть правую руку, а левая рука нужна для обозначения того, что меньше.

В этой игре для сравнения можно использовать не только числа, но и изображения различных предметов, а также геометрические фигуры разных размеров. Эту игру-занятие можно выполнять во время приема пищи, разложив на столе печенье, конфеты, яблоки и другие продукты. Вот так можно запомнить правильное написание знаков задолго до школы.

Игра «Кубики и доски»

Эта игра принадлежит к разряду активных игр, так как детям нужно совершать действия не только умственного характера, но и быть активными строителями. Для этой игры понадобятся следующие принадлежности: большие кубики и две прямых доски. Одну доску нужно положить на горизонтальную поверхность. На оба края лежащей доски нужно выложить кубики в столбики.

Важно чтобы столбики быть ровными, как восклицательный знак. К примеру, первый (левый) столбик состоит из 4-х кубиков, а второй из 2-х. Затем нужно положить вторую доску на оба столбика. В итоге сочетание нижней и верхней досок покажет правильный символ. В данном примере получится обозначение «>».

С каждым последующим разом можно изменять количество кубиков в столбиках. Когда столбики будут содержать одинаковое количество кубиков – доски покажут «равно».

Заключение

Итак, в математике обозначения «>» и «<» используются довольно часто. Малыши способны освоить принцип их применения довольно рано. Воспользовавшись советами из этой статьи, родители помогут своим детям сделать это быстро и в увлекательной форме.