Знак подобия треугольников как пишется

В учебниках по геометрии часто встречаются задачи на подобие фигур. Какой знак используется для обозначения подобия фигур? Какие фигуры называются подобными? Поговорим обо всем этом в нашей статье.

Определение и знак подобия в геометрии

Подобными называются фигуры, если одна из них представляет уменьшенную копию другой.

На нижеприведенном рисунке подобные фигуры: круги, параллелограммы, пятиугольники и ромбы.

Для обозначения термина «подобие» в геометрии используют знак «тильда», который является типографским символом и обозначается волнистой чертой:

∆ABC ~ ∆A₁B₁C₁
— треугольники ABC и A₁B₁C₁
подобны.

Знак «двойная тильда» ставится около чисел для демонстрации примерности или приблизительности чего-либо:

1,35 ≈ 1,4 — числа 1,35 и 1,4 приблизительно равны.

Коэффициент подобия треугольников и знак подобия

Часто сверху знака подобия выставляют коэффициент подобия треугольников:

В математических задачах и уравнениях «тильду» используют для маркирования разных типов подобия. Часто применяется для обозначения подобия, эквивалентности.

В алгебре высказываний знаком ~ обозначают логическую операцию «эквиваленция».

При сочетании тильды и знака равенства получают обозначение отношения конгруэнтности, определения в геометрии, применяемого в контексте обозначения равенства различных фигур и тел (углов, отрезков):

Признаки подобия прямоугольных треугольников

Острые углы: наличие равного острого угла в прямоугольных треугольниках делает их подобными.

Два катета: общая пропорциональность катетам одного прямоугольного треугольника к катетам второго делает их подобными.

Катет и гипотенуза: пропорциональность катета и гипотенузы одного прямоугольного треугольника к катету и гипотенузе второго прямоугольного треугольника делает их подобными.

Утверждения:

• треугольник ∆ABC и треугольник ∆A₁B₁C₁ считаются подобными при равнозначности углов и пропорциональности сторон;

• отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Доказательство подобия треугольников через среднюю линию

Имеется треугольник ∆ABC, mn — средняя линия. M лежит на AB, N лежит на BC.

Требуется доказательство подобия треугольников ∆MBN и ∆ABC.

Посмотрев на ∆MBN и ∆ABC, видим, что угол В — общий, а отношение:

Отсюда делаем вывод, что ∆MBN ~ ∆ABC по II признаку подобия треугольников, что и требовалось доказать.

Примеры решения задач по геометрии на тему «Подобие треугольников»

_____________________________________________________________________

Подобные треугольники в евклидовой геометрии — треугольники, углы у которых соответственно равны, а стороны соответственно пропорциональны. Являются подобными фигурами.

В данной статье рассматриваются свойства подобных треугольников в евклидовой геометрии. Некоторые утверждения являются неверными для неевклидовых геометрий.

Признаки подобия треугольников[править | править код]

Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов определения.

Первый признак[править | править код]

то есть:

Дано: и

Доказать:

Следствия первого признака подобия[править | править код]

• Если три разные стороны исходного треугольника попарно параллельны (дважды антипараллельны или перпендикулярны) трем разным сходственным сторонам другого треугольника, то указанные два треугольника подобны. Примеры применения этого следствия см. ниже в разделах: «Примеры подобных треугольников» и «Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников».
• Под дважды антипараллельными сторонами понимается следующее. Например, стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат. В таком случае соответствующие стороны ортотреугольника ортотреугольника (дважды ортотреугольника) дважды антипараллельны соответствующим сторонам исходного треугольника, то есть просто параллельны. Следовательно, подобны, например, ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник как треугольники с параллельными сторонами.

Второй признак[править | править код]

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: и

Доказать:

Третий признак[править | править код]

Дано: и = = .

Доказать:

Признаки подобия прямоугольных треугольников[править | править код]

1. По острому углу — см. первый признак;
2. По двум катетам — см. второй признак;
3. По катету и гипотенузе — см. третий признак.

Свойства подобных треугольников[править | править код]

• Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия
• Отношение периметров и длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров равно коэффициенту подобия.

Примеры подобных треугольников[править | править код]

Подобны следующие виды треугольников:

• Дополнительный треугольник и антидополнительный треугольник подобны; соответственные их стороны параллельны.
• Треугольник ABC подобен своему дополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 2:1.
• Треугольник ABC подобен своему антидополнительному треугольнику; соответственные их стороны параллельны и относятся как 1:2.
• Исходный треугольник по отношению к ортотреугольнику является треугольником трёх внешних биссектрис^[1].
• Ортотреугольник и тангенциальный треугольник подобны (Зетель, следствие 1, § 66, с. 81).
• Ортотреугольник ортотреугольника и исходный треугольник подобны.
• Треугольник трёх внешних биссектрис треугольника трех внешних биссектрис и исходный треугольник подобны.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
• Выше указанные свойства подобия родственных треугольников являются следствием ниже перечисленных свойств параллельности сторон родственных треугольников.
• Теорема: окружностно-чевианный треугольник подобен подерному^[2]. Здесь использованы определения:
  • Треугольник с вершинами во вторых точках пересечения прямых, проведённых через вершины и данную точку, с описанной окружностью, называют окружностно-чевианным треугольником.
  • Треугольник с вершинами в проекциях данной точки на стороны называется подерным или педальным треугольником этой точки.

Свойства параллельности (антипараллельности) сторон родственных треугольников[править | править код]

• Соответственные стороны дополнительного треугольника, антидополнительного треугольника и исходного треугольника попарно параллельны.
• Стороны данного остроугольного треугольника антипараллельны соответствующим сторонам ортотреугольника, против которых они лежат.
• Стороны тангенциального треугольника антипараллельны соответствующим противоположным сторонам данного треугольника (по свойству антипараллельности касательных к окружности).
• Стороны тангенциального треугольника параллельны соответствующим сторонам ортотреугольника.
• Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.

Подобие в прямоугольном треугольнике[править | править код]

Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:

• Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
• Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Связанные определения[править | править код]

• Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
• Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

См. также[править | править код]

• Неравенство Пидо
• Подобие
• Признаки равенства треугольников
• Решение треугольников
• Среднее геометрическое
• Треугольник

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

• Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.:
• Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.:Учпедгиз, 1962. 153 с.

Ссылки[править | править код]

• Видео. Подобные треугольники
• Подобие треугольников
• Признаки подобия из учебника за восьмой класс

Теорема 1. Первый признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие
треугольники подобны.

Доказательство. Пусть ABC и $А_1В_1С_1$ — треугольники, у которых $angle A = angle A_1 ; angle B = angle B_1$ , и, следовательно, $angle C = angle C_1$ . Докажем, что $triangle ABC sim triangle A_1B_1C_1$ (рис.1).

Отложим на ВА от точки В отрезок $ВА_2$, равный отрезку $A_1B_1$ , и через точку $А_2$ проведем прямую, параллельную прямой АС. Эта прямая пересечет ВС в некоторой точке $С_2$ . Треугольники $А_1В_1С_1text{ и }А_2ВС_2$ равны: $А_1В_1 = А_2В$ по построению, $angle В = angle В_1$ по условию и $angle А_1 = angle А_2$ , так как $angle А_1 = angle А$ по условию и $angle А = angle А_2$ как соответственные углы. По лемме 1 о подобных треугольниках имеем: $triangle A_2BC_2 sim triangle ABC$ , и значит, $triangle ABC sim triangle A_1B_1C_1$ . Теорема доказана.

По аналогичной схеме устанавливаются теоремы 2 и 3.

Теорема 2. Второй признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между этими сторонами
равны, то треугольники подобны.

Теорема 3. Третий признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Из теоремы 1 вытекает следующее.

Следствие 1. В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны сходственным высотам, т. е. тем высотам, которые опущены на сходственные стороны.

Пример 1. Подобны ли два равносторонних треугольника?

Решение. Так как в равностороннем треугольнике каждый внутренний угол равен 60° (следствие 3), то два равносторонних треугольника подобны по первому признаку.

Пример 2. В треугольниках ABC и $А_1В_1С_1$ известно, что $angle A = angle A_1 ; angle B = angle B_1 ; АВ = 5 м, ВС = 7 м, А_1В_1 = 10 м, А_1С_1 = 8 м.$ Найти неизвестные стороны треугольников.

Решение. Треугольники, определенные условием задачи, подобны по первому признаку подобия.
Из подобия треугольников следует:
$$ frac{AB}{A_1B_1} = frac{BC}{B_1C_1} = frac{AC}{A_1C_1} ,,, (1) $$
Подставив в равенство (1) данные из условия задачи, получим:
$$ frac{5}{10} = frac{7}{B_1C_1} = frac{AC}{8} ,,, (2) $$
Из равенства (2) составим две пропорции
$$ frac{5}{10} = frac{7}{B_1C_1}
frac{5}{10} = frac{AC}{8}
text{ откуда }В_1С_1 = 14 (м), АС = 4 (м).
$$

Пример 3. Углы В и $В_1$ треугольников ABC и $А_1В_1С_1$ равны. Стороны АВ и ВС треугольника ABC в 2,5 раза больше сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Найти АС и $A_1C_1$ , если их сумма равна 4,2 м.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2.

Из условия задачи:
$$ 1) angle B = angle B_1 ;
2) frac{AB}{A_1B_1} = frac{BC}{B_1C_1} = 2,5
3) AC + A_1C_1 = 4,2 м.
$$
Следовательно, $triangle ABC sim triangle А_1В_1С_1$. Из подобия этих треугольников следует
$$ frac{AC}{A_1C_1} = 2,5text{ , или }АС = 2,5bullet А_1С_1 $$
Так как АС = 2,5 • А₁С₁, то АС + А₁C₁ = 2,5 • А₁С₁ + A₁C₁ = 4,2, откуда A₁C₁ = 1,2 (м), АС = 3 (м).

Пример 4. Подобны ли треугольники ABC и А₁В₁С₁, если АВ = 3 см, ВС = 5 см, АС = 7 см, А₁В₁ = 4,5 см, B₁C₁ = 7,5 см, A₁C₁ = 10,5 см?

Решение. Имеем:
$$ frac{AB}{A_1B_1} = frac{3}{4,5} = frac{1}{1,5}
frac{BC}{B_1C_1} = frac{5}{7,5} = frac{1}{1,5}
frac{AC}{A_1C_1} = frac{7}{10,5} = frac{1}{1,5}
$$
Следовательно, треугольники подобны по третьему признаку.

Пример 5. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Решение. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан $АА_1text{ и }ВВ_1$ и проведем среднюю линию $A_1B_1$ этого треугольника (рис.3).

Отрезок $A_1B_1$ параллелен стороне АВ, поэтому $angle 1 = angle2 text{ и } angle 3 = angle 4 $. Следовательно, треугольники АОВ и $A_1OB_1$ подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны:
$$ frac{AO}{A_1O} = frac{BO}{B_1O} = frac{AB}{A_1B_1} $$

Но $AB = 2A_1B_1$ , поэтому $AO = 2A_1O$ и $BO = 2B_1O$ .

Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан $BB_1text{ и }CC_1} делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О.

Итак, все три медианы треугольника ABC пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины.

Замечание. Ранее отмечалось, что биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. На основе последнего утверждения устанавливается, что и высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Эти три точки и точка пересечения медиан называются замечательными точками треугольника.

Пример 6. Проектор полностью освещает экран А высотой 90 см, расположенный на расстоянии 240 см. На каком наименьшем расстоянии в см. от проектора нужно расположить экран Б, высотой 150 см, так, что бы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными.

Видео-решение.

Презентация на тему: Подобие треугольников. Первый признак подобия

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1

№ слайда 2

№ слайда 3

№ слайда 4

№ слайда 5

№ слайда 6

№ слайда 7

№ слайда 8

№ слайда 9

№ слайда 10

№ слайда 11

№ слайда 12

№ слайда 13

№ слайда 14

№ слайда 15

In Euclidean geometry, two objects are similar if they have the same shape, or one has the same shape as the mirror image of the other. More precisely, one can be obtained from the other by uniformly scaling (enlarging or reducing), possibly with additional translation, rotation and reflection. This means that either object can be rescaled, repositioned, and reflected, so as to coincide precisely with the other object. If two objects are similar, each is congruent to the result of a particular uniform scaling of the other.

For example, all circles are similar to each other, all squares are similar to each other, and all equilateral triangles are similar to each other. On the other hand, ellipses are not all similar to each other, rectangles are not all similar to each other, and isosceles triangles are not all similar to each other.

If two angles of a triangle have measures equal to the measures of two angles of another triangle, then the triangles are similar. Corresponding sides of similar polygons are in proportion, and corresponding angles of similar polygons have the same measure.

Two congruent shapes are similar, with a scale factor of 1. However, some school textbooks specifically exclude congruent triangles from their definition of similar triangles by insisting that the sizes must be different if the triangles are to qualify as similar.^{[citation needed]}

Similar triangles[edit]

Two triangles, △ABC and △A′B′C′, are similar if and only if corresponding angles have the same measure: this implies that they are similar if and only if the lengths of corresponding sides are proportional.^[1] It can be shown that two triangles having congruent angles (equiangular triangles) are similar, that is, the corresponding sides can be proved to be proportional. This is known as the AAA similarity theorem.^[2] Note that the «AAA» is a mnemonic: each one of the three A’s refers to an «angle». Due to this theorem, several authors simplify the definition of similar triangles to only require that the corresponding three angles are congruent.^[3]

There are several criteria each of which is necessary and sufficient for two triangles to be similar:

• Any two pairs of congruent angles,^[4] which in Euclidean geometry implies that their all three angles are congruent:^[5]

If ∠BAC is equal in measure to ∠B′A′C′, and ∠ABC is equal in measure to ∠A′B′C′, then this implies that ∠ACB is equal in measure to ∠A′C′B′ and the triangles are similar.

• All the corresponding sides are proportional:^[6]

AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′. This is equivalent to saying that one triangle (or its mirror image) is an enlargement of the other.

• Any two pairs of sides are proportional, and the angles included between these sides are congruent:^[7]

AB/A′B′ = BC/B′C′ and ∠ABC is equal in measure to ∠A′B′C′.

This is known as the SAS similarity criterion.^[8] The «SAS» is a mnemonic: each one of the two S’s refers to a «side»; the A refers to an «angle» between the two sides.

Symbolically, we write the similarity and dissimilarity of two triangles△ABC and △A′B′C′ as follows:^[9]

There are several elementary results concerning similar triangles in Euclidean geometry:^[10]

• Any two equilateral triangles are similar.
• Two triangles, both similar to a third triangle, are similar to each other (transitivity of similarity of triangles).
• Corresponding altitudes of similar triangles have the same ratio as the corresponding sides.
• Two right triangles are similar if the hypotenuse and one other side have lengths in the same ratio.^[11] There are several equivalent conditions in this case, such as the right triangles having an acute angle of the same measure, or having the lengths of the legs (sides) being in the same proportion.

Given a triangle △ABC and a line segment DE one can, with ruler and compass, find a point F such that △ABC ∼ △DEF. The statement that the point F satisfying this condition exists is Wallis’s postulate^[12] and is logically equivalent to Euclid’s parallel postulate.^[13] In hyperbolic geometry (where Wallis’s postulate is false) similar triangles are congruent.

In the axiomatic treatment of Euclidean geometry given by George David Birkhoff (see Birkhoff’s axioms) the SAS similarity criterion given above was used to replace both Euclid’s parallel postulate and the SAS axiom which enabled the dramatic shortening of Hilbert’s axioms.^[8]

Similar triangles provide the basis for many synthetic (without the use of coordinates) proofs in Euclidean geometry. Among the elementary results that can be proved this way are: the angle bisector theorem, the geometric mean theorem, Ceva’s theorem, Menelaus’s theorem and the Pythagorean theorem. Similar triangles also provide the foundations for right triangle trigonometry.^[14]

Other similar polygons[edit]

The concept of similarity extends to polygons with more than three sides. Given any two similar polygons, corresponding sides taken in the same sequence (even if clockwise for one polygon and counterclockwise for the other) are proportional and corresponding angles taken in the same sequence are equal in measure. However, proportionality of corresponding sides is not by itself sufficient to prove similarity for polygons beyond triangles (otherwise, for example, all rhombi would be similar). Likewise, equality of all angles in sequence is not sufficient to guarantee similarity (otherwise all rectangles would be similar). A sufficient condition for similarity of polygons is that corresponding sides and diagonals are proportional.

For given n, all regular n-gons are similar.

Similar curves[edit]

Several types of curves have the property that all examples of that type are similar to each other. These include:

• Lines (any two lines are even congruent)
• Line segments
• Circles
• Parabolas^[15]
• Hyperbolas of a specific eccentricity^[16]
• Ellipses of a specific eccentricity^[16]
• Catenaries
• Graphs of the logarithm function for different bases
• Graphs of the exponential function for different bases
• Logarithmic spirals are self-similar

In Euclidean space[edit]

A similarity (also called a similarity transformation or similitude) of a Euclidean space is a bijection f from the space onto itself that multiplies all distances by the same positive real number r, so that for any two points x and y we have

where «d(x,y)» is the Euclidean distance from x to y.^[17] The scalar r has many names in the literature including; the ratio of similarity, the stretching factor and the similarity coefficient. When r = 1 a similarity is called an isometry (rigid transformation). Two sets are called similar if one is the image of the other under a similarity.

As a map f : ℝⁿ → ℝⁿ, a similarity of ratio r takes the form

where A ∈ O_n(ℝ) is an n × n orthogonal matrix and t ∈ ℝⁿ is a translation vector.

Similarities preserve planes, lines, perpendicularity, parallelism, midpoints, inequalities between distances and line segments.^[18] Similarities preserve angles but do not necessarily preserve orientation, direct similitudes preserve orientation and opposite similitudes change it.^[19]

The similarities of Euclidean space form a group under the operation of composition called the similarities group S.^[20] The direct similitudes form a normal subgroup of S and the Euclidean group E(n) of isometries also forms a normal subgroup.^[21] The similarities group S is itself a subgroup of the affine group, so every similarity is an affine transformation.

One can view the Euclidean plane as the complex plane,^[22] that is, as a 2-dimensional space over the reals. The 2D similarity transformations can then be expressed in terms of complex arithmetic and are given by f(z) = az + b (direct similitudes) and f(z) = az + b (opposite similitudes), where a and b are complex numbers, a ≠ 0. When |a| = 1, these similarities are isometries.

Area ratio and volume ratio[edit]

The ratio between the areas of similar figures is equal to the square of the ratio of corresponding lengths of those figures (for example, when the side of a square or the radius of a circle is multiplied by three, its area is multiplied by nine — i.e. by three squared). The altitudes of similar triangles are in the same ratio as corresponding sides. If a triangle has a side of length b and an altitude drawn to that side of length h then a similar triangle with corresponding side of length kb will have an altitude drawn to that side of length kh. The area of the first triangle is, A = 1/2bh, while the area of the similar triangle will be A′ = 1/2(kb)(kh) = k²A. Similar figures which can be decomposed into similar triangles will have areas related in the same way. The relationship holds for figures that are not rectifiable as well.

The ratio between the volumes of similar figures is equal to the cube of the ratio of corresponding lengths of those figures (for example, when the edge of a cube or the radius of a sphere is multiplied by three, its volume is multiplied by 27 — i.e. by three cubed).

Galileo’s square–cube law concerns similar solids. If the ratio of similitude (ratio of corresponding sides) between the solids is k, then the ratio of surface areas of the solids will be k², while the ratio of volumes will be k³.

Similarity with a center[edit]

If a similarity has exactly one invariant point: a point that the similarity keeps unchanged, then this only point is called «center» of the similarity.

On the first image below the title, on the left, one or another similarity shrinks a regular polygon into a concentric one, the vertices of which are each on a side of the previous polygon. This rotational reduction is repeated, so the initial polygon is extended into an abyss of regular polygons. The center of the similarity is the common center of the successive polygons. A red segment joins a vertex of the initial polygon to its image under the similarity, followed by a red segment going to the following image of vertex, and so on to form a spiral. Actually we can see more than three direct similarities on this first image, because every regular polygon is invariant under certain direct similarities, more precisely certain rotations the center of which is the center of the polygon, and a composition of direct similarities is also a direct similarity. For example we see the image of the initial regular pentagon under a homothety of negative which is a similarity of ±180° angle and a positive ratio

Below the title on the right, the second image shows a similarity decomposed into a rotation and a homothety. Similarity and rotation have the same angle of +135 degrees modulo 360 degrees. Similarity and homothety have the same ratio multiplicative inverse of the (square root of 2) of the inverse similarity. Point S is the common center of the three transformations: rotation, homothety and similarity. For example point W is the image of F under the rotation, and point T is the image of W under the homothety, more briefly T = H (W ) = H ( R ( F )) = (H ∘ R )( F ) = D ( F ), by naming  the previous rotation, homothety and similarity, with

This direct similarity that transforms triangle EFA into triangle ATB can be decomposed into a rotation and a homothety of same center S in several manners. For example,  the last decomposition being only represented on the image. To get  we can also compose in any order a rotation  angle and a homothety

With  and  if  is the reflection with respect to line (CW ), then  is the indirect similarity that transforms segment [BF ]  into segment [CT ], but transforms point E into B and point A into A itself. Square ACBT is the image of ABEF under similarity  Point A is the center of this similarity because any point K being invariant under it fulfills only possible  otherwise written 

How to construct the center S of direct similarity   how to find point S center of a rotation of +135° angle that transforms ray [SE ) into ray [SA )? This is an inscribed angle problem plus a question of orientation. The set of points  is an arc of circle  that joins E and A, of which the two radius leading to E and A form a central angle  This set of points is the blue quarter of circle of center F inside square ABEF. In the same manner, point S is a member of the blue quarter of circle of center T inside square BCAT. So point S is the intersection point of these two quarters of circles.

In general metric spaces[edit]

In a general metric space (X, d), an exact similitude is a function f from the metric space X into itself that multiplies all distances by the same positive scalar r, called f ‘s contraction factor, so that for any two points x and y we have

Weaker versions of similarity would for instance have f be a bi-Lipschitz function and the scalar r a limit

This weaker version applies when the metric is an effective resistance on a topologically self-similar set.

A self-similar subset of a metric space (X, d) is a set K for which there exists a finite set of similitudes { f_s }_s∈S with contraction factors 0 ≤ r_s < 1 such that K is the unique compact subset of X for which

A self-similar set constructed with two similitudes z’=0.1[(4+i)z+4] and z’=0.1[(4+7i)z*+5-2i]

These self-similar sets have a self-similar measure μ^D with dimension D given by the formula

which is often (but not always) equal to the set’s Hausdorff dimension and packing dimension. If the overlaps between the f_s(K) are «small», we have the following simple formula for the measure:

Topology[edit]

In topology, a metric space can be constructed by defining a similarity instead of a distance. The similarity is a function such that its value is greater when two points are closer (contrary to the distance, which is a measure of dissimilarity: the closer the points, the lesser the distance).

The definition of the similarity can vary among authors, depending on which properties are desired. The basic common properties are

1. Positive defined:

   

2. Majored by the similarity of one element on itself (auto-similarity):

   

More properties can be invoked, such as reflectivity () or finiteness (). The upper value is often set at 1 (creating a possibility for a probabilistic interpretation of the similitude).

Note that, in the topological sense used here, a similarity is a kind of measure. This usage is not the same as the similarity transformation of the § In Euclidean space and § In general metric spaces sections of this article.

Self-similarity[edit]

Self-similarity means that a pattern is non-trivially similar to itself, e.g., the set {…, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, …} of numbers of the form {2ⁱ, 3·2ⁱ} where i ranges over all integers. When this set is plotted on a logarithmic scale it has one-dimensional translational symmetry: adding or subtracting the logarithm of two to the logarithm of one of these numbers produces the logarithm of another of these numbers. In the given set of numbers themselves, this corresponds to a similarity transformation in which the numbers are multiplied or divided by two.

Psychology[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (July 2021)

The intuition for the notion of geometric similarity already appears in human children, as can be seen in their drawings.^[23]

See also[edit]

• Congruence (geometry)
• Hamming distance (string or sequence similarity)
• Helmert transformation
• Inversive geometry
• Jaccard index
• Proportionality
• Basic proportionality theorem
• Semantic similarity
• Similarity search
• Similarity (philosophy)
• Similarity space on numerical taxonomy
• Homoeoid (shell of concentric, similar ellipsoids)
• Solution of triangles

Notes[edit]

References[edit]

• Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005). Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.). Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143748-7.
• Jacobs, Harold R. (1974). Geometry. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0456-0.
• Pedoe, Dan (1988) [1970]. Geometry/A Comprehensive Course. Dover. ISBN 0-486-65812-0.
• Sibley, Thomas Q. (1998). The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-87450-1.
• Smart, James R. (1998). Modern Geometries (5th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35188-3.
• Stahl, Saul (2003). Geometry/From Euclid to Knots. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-032927-1.
• Venema, Gerard A. (2006). Foundations of Geometry. Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143700-5.
• Yale, Paul B. (1968). Geometry and Symmetry. Holden-Day.

Further reading[edit]

• Cederberg, Judith N. (2001) [1989]. «Chapter 3.12: Similarity Transformations». A Course in Modern Geometries. Springer. pp. 183–189. ISBN 0-387-98972-2.
• Coxeter, H. S. M. (1969) [1961]. «§5 Similarity in the Euclidean Plane». pp. 67–76. «§7 Isometry and Similarity in Euclidean Space». pp. 96–104. Introduction to Geometry. John Wiley & Sons.
• Ewald, Günter (1971). Geometry: An Introduction. Wadsworth Publishing. pp. 106, 181.
• Martin, George E. (1982). «Chapter 13: Similarities in the Plane». Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer. pp. 136–146. ISBN 0-387-90636-3.

External links[edit]

• Animated demonstration of similar triangles

In Euclidean geometry, two objects are similar if they have the same shape, or one has the same shape as the mirror image of the other. More precisely, one can be obtained from the other by uniformly scaling (enlarging or reducing), possibly with additional translation, rotation and reflection. This means that either object can be rescaled, repositioned, and reflected, so as to coincide precisely with the other object. If two objects are similar, each is congruent to the result of a particular uniform scaling of the other.

For example, all circles are similar to each other, all squares are similar to each other, and all equilateral triangles are similar to each other. On the other hand, ellipses are not all similar to each other, rectangles are not all similar to each other, and isosceles triangles are not all similar to each other.

If two angles of a triangle have measures equal to the measures of two angles of another triangle, then the triangles are similar. Corresponding sides of similar polygons are in proportion, and corresponding angles of similar polygons have the same measure.

Two congruent shapes are similar, with a scale factor of 1. However, some school textbooks specifically exclude congruent triangles from their definition of similar triangles by insisting that the sizes must be different if the triangles are to qualify as similar.^{[citation needed]}

Similar triangles[edit]

Two triangles, △ABC and △A′B′C′, are similar if and only if corresponding angles have the same measure: this implies that they are similar if and only if the lengths of corresponding sides are proportional.^[1] It can be shown that two triangles having congruent angles (equiangular triangles) are similar, that is, the corresponding sides can be proved to be proportional. This is known as the AAA similarity theorem.^[2] Note that the «AAA» is a mnemonic: each one of the three A’s refers to an «angle». Due to this theorem, several authors simplify the definition of similar triangles to only require that the corresponding three angles are congruent.^[3]

There are several criteria each of which is necessary and sufficient for two triangles to be similar:

• Any two pairs of congruent angles,^[4] which in Euclidean geometry implies that their all three angles are congruent:^[5]

If ∠BAC is equal in measure to ∠B′A′C′, and ∠ABC is equal in measure to ∠A′B′C′, then this implies that ∠ACB is equal in measure to ∠A′C′B′ and the triangles are similar.

• All the corresponding sides are proportional:^[6]

AB/A′B′ = BC/B′C′ = AC/A′C′. This is equivalent to saying that one triangle (or its mirror image) is an enlargement of the other.

• Any two pairs of sides are proportional, and the angles included between these sides are congruent:^[7]

AB/A′B′ = BC/B′C′ and ∠ABC is equal in measure to ∠A′B′C′.

This is known as the SAS similarity criterion.^[8] The «SAS» is a mnemonic: each one of the two S’s refers to a «side»; the A refers to an «angle» between the two sides.

Symbolically, we write the similarity and dissimilarity of two triangles△ABC and △A′B′C′ as follows:^[9]

There are several elementary results concerning similar triangles in Euclidean geometry:^[10]

• Any two equilateral triangles are similar.
• Two triangles, both similar to a third triangle, are similar to each other (transitivity of similarity of triangles).
• Corresponding altitudes of similar triangles have the same ratio as the corresponding sides.
• Two right triangles are similar if the hypotenuse and one other side have lengths in the same ratio.^[11] There are several equivalent conditions in this case, such as the right triangles having an acute angle of the same measure, or having the lengths of the legs (sides) being in the same proportion.

Given a triangle △ABC and a line segment DE one can, with ruler and compass, find a point F such that △ABC ∼ △DEF. The statement that the point F satisfying this condition exists is Wallis’s postulate^[12] and is logically equivalent to Euclid’s parallel postulate.^[13] In hyperbolic geometry (where Wallis’s postulate is false) similar triangles are congruent.

In the axiomatic treatment of Euclidean geometry given by George David Birkhoff (see Birkhoff’s axioms) the SAS similarity criterion given above was used to replace both Euclid’s parallel postulate and the SAS axiom which enabled the dramatic shortening of Hilbert’s axioms.^[8]

Similar triangles provide the basis for many synthetic (without the use of coordinates) proofs in Euclidean geometry. Among the elementary results that can be proved this way are: the angle bisector theorem, the geometric mean theorem, Ceva’s theorem, Menelaus’s theorem and the Pythagorean theorem. Similar triangles also provide the foundations for right triangle trigonometry.^[14]

Other similar polygons[edit]

The concept of similarity extends to polygons with more than three sides. Given any two similar polygons, corresponding sides taken in the same sequence (even if clockwise for one polygon and counterclockwise for the other) are proportional and corresponding angles taken in the same sequence are equal in measure. However, proportionality of corresponding sides is not by itself sufficient to prove similarity for polygons beyond triangles (otherwise, for example, all rhombi would be similar). Likewise, equality of all angles in sequence is not sufficient to guarantee similarity (otherwise all rectangles would be similar). A sufficient condition for similarity of polygons is that corresponding sides and diagonals are proportional.

For given n, all regular n-gons are similar.

Similar curves[edit]

Several types of curves have the property that all examples of that type are similar to each other. These include:

• Lines (any two lines are even congruent)
• Line segments
• Circles
• Parabolas^[15]
• Hyperbolas of a specific eccentricity^[16]
• Ellipses of a specific eccentricity^[16]
• Catenaries
• Graphs of the logarithm function for different bases
• Graphs of the exponential function for different bases
• Logarithmic spirals are self-similar

In Euclidean space[edit]

A similarity (also called a similarity transformation or similitude) of a Euclidean space is a bijection f from the space onto itself that multiplies all distances by the same positive real number r, so that for any two points x and y we have

where «d(x,y)» is the Euclidean distance from x to y.^[17] The scalar r has many names in the literature including; the ratio of similarity, the stretching factor and the similarity coefficient. When r = 1 a similarity is called an isometry (rigid transformation). Two sets are called similar if one is the image of the other under a similarity.

As a map f : ℝⁿ → ℝⁿ, a similarity of ratio r takes the form

where A ∈ O_n(ℝ) is an n × n orthogonal matrix and t ∈ ℝⁿ is a translation vector.

Similarities preserve planes, lines, perpendicularity, parallelism, midpoints, inequalities between distances and line segments.^[18] Similarities preserve angles but do not necessarily preserve orientation, direct similitudes preserve orientation and opposite similitudes change it.^[19]

The similarities of Euclidean space form a group under the operation of composition called the similarities group S.^[20] The direct similitudes form a normal subgroup of S and the Euclidean group E(n) of isometries also forms a normal subgroup.^[21] The similarities group S is itself a subgroup of the affine group, so every similarity is an affine transformation.

One can view the Euclidean plane as the complex plane,^[22] that is, as a 2-dimensional space over the reals. The 2D similarity transformations can then be expressed in terms of complex arithmetic and are given by f(z) = az + b (direct similitudes) and f(z) = az + b (opposite similitudes), where a and b are complex numbers, a ≠ 0. When |a| = 1, these similarities are isometries.

Area ratio and volume ratio[edit]

The ratio between the areas of similar figures is equal to the square of the ratio of corresponding lengths of those figures (for example, when the side of a square or the radius of a circle is multiplied by three, its area is multiplied by nine — i.e. by three squared). The altitudes of similar triangles are in the same ratio as corresponding sides. If a triangle has a side of length b and an altitude drawn to that side of length h then a similar triangle with corresponding side of length kb will have an altitude drawn to that side of length kh. The area of the first triangle is, A = 1/2bh, while the area of the similar triangle will be A′ = 1/2(kb)(kh) = k²A. Similar figures which can be decomposed into similar triangles will have areas related in the same way. The relationship holds for figures that are not rectifiable as well.

The ratio between the volumes of similar figures is equal to the cube of the ratio of corresponding lengths of those figures (for example, when the edge of a cube or the radius of a sphere is multiplied by three, its volume is multiplied by 27 — i.e. by three cubed).

Galileo’s square–cube law concerns similar solids. If the ratio of similitude (ratio of corresponding sides) between the solids is k, then the ratio of surface areas of the solids will be k², while the ratio of volumes will be k³.

Similarity with a center[edit]

If a similarity has exactly one invariant point: a point that the similarity keeps unchanged, then this only point is called «center» of the similarity.

On the first image below the title, on the left, one or another similarity shrinks a regular polygon into a concentric one, the vertices of which are each on a side of the previous polygon. This rotational reduction is repeated, so the initial polygon is extended into an abyss of regular polygons. The center of the similarity is the common center of the successive polygons. A red segment joins a vertex of the initial polygon to its image under the similarity, followed by a red segment going to the following image of vertex, and so on to form a spiral. Actually we can see more than three direct similarities on this first image, because every regular polygon is invariant under certain direct similarities, more precisely certain rotations the center of which is the center of the polygon, and a composition of direct similarities is also a direct similarity. For example we see the image of the initial regular pentagon under a homothety of negative which is a similarity of ±180° angle and a positive ratio

Below the title on the right, the second image shows a similarity decomposed into a rotation and a homothety. Similarity and rotation have the same angle of +135 degrees modulo 360 degrees. Similarity and homothety have the same ratio multiplicative inverse of the (square root of 2) of the inverse similarity. Point S is the common center of the three transformations: rotation, homothety and similarity. For example point W is the image of F under the rotation, and point T is the image of W under the homothety, more briefly T = H (W ) = H ( R ( F )) = (H ∘ R )( F ) = D ( F ), by naming  the previous rotation, homothety and similarity, with

This direct similarity that transforms triangle EFA into triangle ATB can be decomposed into a rotation and a homothety of same center S in several manners. For example,  the last decomposition being only represented on the image. To get  we can also compose in any order a rotation  angle and a homothety

With  and  if  is the reflection with respect to line (CW ), then  is the indirect similarity that transforms segment [BF ]  into segment [CT ], but transforms point E into B and point A into A itself. Square ACBT is the image of ABEF under similarity  Point A is the center of this similarity because any point K being invariant under it fulfills only possible  otherwise written 

How to construct the center S of direct similarity   how to find point S center of a rotation of +135° angle that transforms ray [SE ) into ray [SA )? This is an inscribed angle problem plus a question of orientation. The set of points  is an arc of circle  that joins E and A, of which the two radius leading to E and A form a central angle  This set of points is the blue quarter of circle of center F inside square ABEF. In the same manner, point S is a member of the blue quarter of circle of center T inside square BCAT. So point S is the intersection point of these two quarters of circles.

In general metric spaces[edit]

In a general metric space (X, d), an exact similitude is a function f from the metric space X into itself that multiplies all distances by the same positive scalar r, called f ‘s contraction factor, so that for any two points x and y we have

Weaker versions of similarity would for instance have f be a bi-Lipschitz function and the scalar r a limit

This weaker version applies when the metric is an effective resistance on a topologically self-similar set.

A self-similar subset of a metric space (X, d) is a set K for which there exists a finite set of similitudes { f_s }_s∈S with contraction factors 0 ≤ r_s < 1 such that K is the unique compact subset of X for which

A self-similar set constructed with two similitudes z’=0.1[(4+i)z+4] and z’=0.1[(4+7i)z*+5-2i]

These self-similar sets have a self-similar measure μ^D with dimension D given by the formula

which is often (but not always) equal to the set’s Hausdorff dimension and packing dimension. If the overlaps between the f_s(K) are «small», we have the following simple formula for the measure:

Topology[edit]

In topology, a metric space can be constructed by defining a similarity instead of a distance. The similarity is a function such that its value is greater when two points are closer (contrary to the distance, which is a measure of dissimilarity: the closer the points, the lesser the distance).

The definition of the similarity can vary among authors, depending on which properties are desired. The basic common properties are

1. Positive defined:

   

2. Majored by the similarity of one element on itself (auto-similarity):

   

More properties can be invoked, such as reflectivity () or finiteness (). The upper value is often set at 1 (creating a possibility for a probabilistic interpretation of the similitude).

Note that, in the topological sense used here, a similarity is a kind of measure. This usage is not the same as the similarity transformation of the § In Euclidean space and § In general metric spaces sections of this article.

Self-similarity[edit]

Self-similarity means that a pattern is non-trivially similar to itself, e.g., the set {…, 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, 3, 4, 6, 8, 12, …} of numbers of the form {2ⁱ, 3·2ⁱ} where i ranges over all integers. When this set is plotted on a logarithmic scale it has one-dimensional translational symmetry: adding or subtracting the logarithm of two to the logarithm of one of these numbers produces the logarithm of another of these numbers. In the given set of numbers themselves, this corresponds to a similarity transformation in which the numbers are multiplied or divided by two.

Psychology[edit]

This section needs expansion. You can help by adding to it. (July 2021)

The intuition for the notion of geometric similarity already appears in human children, as can be seen in their drawings.^[23]

See also[edit]

• Congruence (geometry)
• Hamming distance (string or sequence similarity)
• Helmert transformation
• Inversive geometry
• Jaccard index
• Proportionality
• Basic proportionality theorem
• Semantic similarity
• Similarity search
• Similarity (philosophy)
• Similarity space on numerical taxonomy
• Homoeoid (shell of concentric, similar ellipsoids)
• Solution of triangles

Notes[edit]

References[edit]

• Henderson, David W.; Taimiņa, Daina (2005). Experiencing Geometry/Euclidean and Non-Euclidean with History (3rd ed.). Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143748-7.
• Jacobs, Harold R. (1974). Geometry. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0456-0.
• Pedoe, Dan (1988) [1970]. Geometry/A Comprehensive Course. Dover. ISBN 0-486-65812-0.
• Sibley, Thomas Q. (1998). The Geometric Viewpoint/A Survey of Geometries. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-87450-1.
• Smart, James R. (1998). Modern Geometries (5th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35188-3.
• Stahl, Saul (2003). Geometry/From Euclid to Knots. Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-032927-1.
• Venema, Gerard A. (2006). Foundations of Geometry. Pearson Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-143700-5.
• Yale, Paul B. (1968). Geometry and Symmetry. Holden-Day.

Further reading[edit]

• Cederberg, Judith N. (2001) [1989]. «Chapter 3.12: Similarity Transformations». A Course in Modern Geometries. Springer. pp. 183–189. ISBN 0-387-98972-2.
• Coxeter, H. S. M. (1969) [1961]. «§5 Similarity in the Euclidean Plane». pp. 67–76. «§7 Isometry and Similarity in Euclidean Space». pp. 96–104. Introduction to Geometry. John Wiley & Sons.
• Ewald, Günter (1971). Geometry: An Introduction. Wadsworth Publishing. pp. 106, 181.
• Martin, George E. (1982). «Chapter 13: Similarities in the Plane». Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry. Springer. pp. 136–146. ISBN 0-387-90636-3.

External links[edit]

• Animated demonstration of similar triangles